Đang tải... (xem toàn văn)
��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC ����� o0o ����� �INH THÀ KIM OANH GI�I B�I TO�N GI� TRÀ RI�NG THÆNG QUA TÈI ×U HÂA Chuy¶n ng nh To¡n ùng döng M¢ sè 8 46 01 12 LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC C�N[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o INH THÀ KIM OANH GII BI TON GI TR RING THặNG QUA TẩI ìU HA Chuyản ngnh: ToĂn ùng dưng M¢ sè: 46 01 12 LUN VN THC S TON HC CN Bậ HìẻNG DN KHOA HC TS Nguyạn Thanh Sỡn TS Hong Thá TuĐn ThĂi Nguyản - 2021 Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn hát sực tên tẳnh cừa têp th hữợng dăn, TS Nguyạn Thanh Sỡn v TS Hong Thá TuĐn Tổi xin ữủc by tọ lỏng kẵnh trồng v biát ỡn sƠu sưc nhĐt tợi cĂc ThƯy, nhỳng ngữới  luổn theo sĂt, hữợng dăn, ch bÊo nhiằt tẳnh v ởng viản tổi suèt qu¡ tr¼nh tø lüa chån · t i cho án thỹc hiằn v hon thiằn luên vôn Qua Ơy, tổi cụng xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi cĂc quỵ ThƯy, Cổ giĂo thuởc Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh giÊng dÔy v giúp ù tổi hon thnh khâa håc Ci cịng, tỉi xin gûi líi c£m ìn tợi Ban giĂm hiằu, têp th cĂc ThƯy, Cổ giĂo cừa Trữớng THPT Lữỡng Thá Vinh nỡi tổi ang cổng tĂc,  ởng viản v tÔo iÃu kiằn cho tổi suốt thới gian hồc têp cụng nhữ thỹc hiằn à ti ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2021 TĂc giÊ inh Thà Kim Oanh i Möc löc Möc löc ii Danh mửc kỵ hiằu v chỳ viát tưt iv M Ưu 1 Kián thực chuân b 1.1 Mởt sè v§n · cì b£n v· b i to¡n gi¡ trà ri¶ng 1.2 Sì l÷đc mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n gi¡ trà ri¶ng 1.2.1 Ph÷ìng ph¡p Arnoldi 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p Lanczos Nhưc lÔi sỡ lữủc và bi to¡n tèi ÷u 11 1.3.1 i·u ki»n c¦n 12 1.3.2 i·u ki»n õ 12 1.3.3 Phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt 12 1.3 Gi£i b i to¡n gi¡ tr riảng thổng qua tối ữu hõa 14 2.1 nh lỵ Courant-Fischer-Weyl 14 2.2 Tẳm giĂ tr riảng thổng qua tối ữu hõa hm vát ma 15 2.3 XĐp x giĂ tr riảng bơng t¿ sè Rayleigh 18 2.4 Sû dưng h m chi ph½ Brockett 22 2.4.1 H m chi phẵ v hữợng tẳm kiám 22 2.4.2 im tợi hÔn 24 2.5 Mët sè b i to¡n gi¡ trà ri¶ng khỉng tiảu chuân ii 25 iii 2.6 B i to¡n gi¡ trà riảng cừa cp ma ối xựng/phÊn ối xựng chẵnh tc: gi¡ trà ri¶ng symplectic 30 Danh mửc kỵ hiằu v chỳ vi¸t tt H Khỉng gian Hilbert thüc H Rn Khỉng gian thüc n chi·u C2n T½ch Descartes cõa C hay khỉng gian phùc v²c tì 2n chi·u Rn×n Khỉng gian cĂc ma thỹc cù n ì n P(2n) Têp cĂc ma thỹc ối xựng, xĂc nh dữỡng cù 2n ì 2n Sp(2n) Têp tĐt cÊ cĂc ma symplectic cù 2n ì 2n Sp(2k, 2n) Têp tĐt cÊ cĂc ma symplectic cù 2n ì 2k f Gradient cõa h m f ∇2 f Hessian cõa h m f hx, yi Tẵch vổ hữợng cừa hai vc tỡ x v y kxk Chuân cừa vc tỡ x iv M Ưu VĐn à tẵnh toĂn khổng gian riảng v giĂ tr riảng cừa ma l rĐt phờ bián k thuêt v khoa hồc vêt lỵ Nõ liản quan án cĂc lắnh vỹc a dÔng nhữ ởng lỹc hồc cĐu tróc v khai th¡c dú li»u v câ r§t nhi·u ựng dửng k thuêt Vẳ thá, khổng cõ gẳ ngÔc nhiản nõ  v ang l mởt lắnh vỹc nghiản cựu rĐt tẵch cỹc Bi toĂn giĂ tr riảng  tr thnh kinh in Ôi số tuyán tẵnh v toĂn hồc tẵnh toĂn Trong nh nghắa tiảu chuân, giĂ tr riảng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh c trững cừa ma CĂch tiáp cên ny khổng giúp ẵch cho viằc tẵnh giĂ tr riảng cừa ma cù trung bẳnh v lợn CĂc phữỡng phĂp số tẵnh giĂ tr riảng hiằn nhữ phữỡng phĂp Lanczos, phữỡng ph¡p Arnoldi sû dưng chõ y¸u c¡c ki¸n thùc cõa Ôi số tuyán tẵnh số é mởt diạn bián khĂc, tối ữu tr thnh mởt ngnh lợn cừa toĂn hồc Nõ phĂt trin cÊ khẵa cÔnh lỵ thuyát v gi£i sè C¥u häi °t l ta câ thº ữa bi toĂn giĂ tr riảng và bi toĂn tối ÷u hay khỉng? N¸u thüc hi»n ÷đc i·u n y, ta cõ th sỷ dửng nhỳng thuêt toĂn tối ữu vốn r§t phong phó º ¡p dưng cho b i to¡n n y Và mt lỵ thuyát, nõ nhữ mởt nt gÔch nối cho php kát hủp giỳa hai hữợng nghiản cựu tững chứng ẵt liản quan án Luên vôn ny s trẳnh by cĂch tiáp cên tối ữu hõa cho bi toĂn giĂ tr riảng Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny, chúng tổi tờng kát lÔi cĂc kián thùc cì b£n v· b i to¡n gi¡ trà ri¶ng, l÷đc mët sè ph÷ìng ph¡p sè gi£i b i to¡n gi¡ tr riảng v kián thực cƯn thiát và tối ữu hõa CĂc ti liằu tham khÊo cho chữỡng ny gỗm câ [3, 5, 6] Ch÷ìng Gi£i b i toĂn giĂ tr riảng thổng qua tối ữu hõa Chữỡng ny l nởi dung chẵnh cừa luên vôn Trong chữỡng n y chóng tỉi x²t b i to¡n gi¡ trà ri¶ng ti¶u chuân cho ma v cho cp ma (A, B) vợi B ối xựng xĂc nh dữỡng Cử th, trữợc tiản, chúng tổi trẳnh by nh lỵ CourantFischer-Weyl kinh in và xĂc nh giĂ tr riảng cừa ma èi xùng thỉng qua b i to¡n minimax Sau â, chóng tỉi x²t m»nh · têng qu¡t hìn vèn li¶n quan án mởt têp hủp cĂc giĂ tr riảng v cĂc vc tỡ riảng tữỡng ựng Chúng tổi tiáp tửc i sƠu khai thĂc hữợng ny trẳnh by hữợng tiáp cên bi toĂn ny nhữ mởt bi toĂn tối ữu trản a tÔp vợi viằc sỷ dửng phiám h m Brockett Hai mưc ci cõa ch÷ìng n y ÷đc d nh cho viằc trẳnh by cĂc kát quÊ tữỡng tỹ liản quan án bi toĂn giĂ tr riảng khổng tiảu chuân B l ma khổng xĂc nh v B l ma phÊn ối xựng Khi viát chữỡng n y, chóng tỉi ¢ tham kh£o c¡c t i li»u [2, 4, 5, 8] Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mët sè v§n · cì b£n v· b i to¡n giĂ tr riảng Cho mởt ma vuổng A Rnìn Bi toĂn giĂ tr riảng l bi toĂn tẳm mởt Ôi lữủng vổ hữợng cho cõ v²c tì x, x 6= 0, câ thº l c¡c Ôi lữủng phực, cho Ax = x (1.1) (A − λI)x = (1.2) ho°c câ nghi»m khỉng t¦m thữớng (khĂc khổng) nh nghắa 1.1.1 Vợi cĂc kẵ hiằu v quan h» ð ¯ng thùc (1.2), + λ ÷đc gåi l mët gi¡ trà ri¶ng cõa A + x ữủc gồi l vc tỡ riảng cừa A tữỡng ựng vợi + TĐt cÊ cĂc vc tỡ riảng cõ giĂ tr riảng vợi cĂc vc tỡ khổng tÔo thnh mởt khổng gian tuyán tẵnh cừa Rn , ữủc gồi l khổng gian riảng cừa λ + C°p (λ, x) ÷đc gåi l mët c°p riảng + Têp hủp cĂc giĂ tr riảng cừa A ÷đc gåi l phê cõa A + C¡c gi¡ trà riảng cừa A l nghiằm cừa a thực c trững cõa A, PA (z) := det(A − zI) + Bëi cõa nghi»m cõa a thùc ÷đc gåi l Ôi số cừa giĂ tr riảng tữỡng ựng + Bởi hẳnh hồc cừa tr riảng l số chiÃu cừa khổng gian riảng tữỡng ựng vợi tr riảng õ + Náu T l mởt ma khÊ nghch v (, x) l mởt cp riảng cừa A, thẳ cp (λ, T x) l mët c°p ri¶ng cõa (T AT −1 ) Ph²p bi¸n êi A 7→ T AT −1 ữủc gồi l php bián ời ỗng dÔng cừa A Chú ỵ 1.1.2 Náu A l ma ối xựng cĐp n thẳ nõ cõ n giĂ tr riảng thỹc, n vc tỡ riảng trỹc chuân tữỡng ựng iÃu ny cụng cõ th ữủc phĂt biu bơng cĂch khĂc: ma ối xựng thỹc luổn cõ th ữủc cho hõa bi mởt ma trỹc giao qua php bián ời tữỡng ữỡng Cử th, náu A = AT thẳ luổn tỗn tÔi V trỹc chuân cho: (1.3) V T AV = D, â D l ma trªn ch²o m cĂc phƯn tỷ trản ữớng cho chẵnh l cĂc giĂ tr riảng cừa A Hằ thực (1.3) cỏn ữủc gồi phƠn tẵch giĂ tr riảng cừa A nh nghắa 1.1.3 Cho h» v²c tì S = {v1, v2, , vm} khỉng gian v²c tì V Tªp hđp tĐt cÊ cĂc tờ hủp tuyán tẵnh cừa S gồi l bao tuyán tẵnh cừa hằ S , kẵ hiằu l span(S) ho°c span(v1 , v2 , , vm ) nh nghắa 1.1.4 Vát cừa mởt ma vuổng A cĐp n, ữủc kẵ hiằu l tr(A), l tờng cĂc phƯn tỷ trản ữớng cho chẵnh ( ữớng nối tứ gõc trản trĂi xuống gõc dữợi phÊi) cừa A Cư thº, n¸u A = (aij ), i, j = 1, , n th¼ tr(A) = a11 + a22 + + ann = n X aii i=1 ành ngh¾a 1.1.5 T¿ sè x∗ Ax ρ(x) := ∗ , x 6= xx ÷đc gåi l cĂc t số Reyleigh cừa A tÔi x DĐu ữủc hiu l chuyn v náu A l ma thỹc v liản hủp phực náu A l ma phực nh nghắa 1.1.6 Mởt ma P thọa mÂn P = P ữủc gồi l mởt php chiáu nh nghắa 1.1.7 Mởt ma P ữủc gåi l ph²p chi¸u trüc giao n¸u i) P = P , ii) P T = P ành lỵ 1.1.8 Náu A Rnìn thẳ cõ mởt ma trỹc giao Q Rnìn cho T Q AQ = R11 R12 R1m R22 R2m Rmm l tüa tam gi¡c tr¶n C¡c khèi cho Rii l mởt ma ì hoc ì Mởt khối ì tữỡng ựng vợi mởt giĂ tr riảng thỹc, mởt khối ì tữỡng ựng vợi mởt cp giĂ tr riảng liản hủp Nhên xt 1.1.9 Ta cõ th suy tẵnh chĐt cho hõa ữủc cừa ma ối xựng bi cĂc ma trỹc giao tứ nh lỵ và phƠn tẵch Schur cừa ma ối xựng Thêt vêy, tẵnh ối xựng cừa A nản cĂc ma khối khổng nơm trản ữớng cho chẵnh Ãu bơng khổng Thảm vo õ, ma ối xựng ch cõ giĂ tr riảng thỹc nản cĂc ma khối trản ữớng cho chẵnh Ãu cõ cù ì v õ, chúng chẵnh l cĂc giĂ tr riảng 1.2 Sì l÷đc mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n giĂ tr riảng Trong mửc ny chúng tổi nhưc lÔi hai phữỡng phĂp Ôi số tuyán tẵnh phờ bián tẵnh giĂ tr riảng cừa ma cù lợn Chúng tổi sỷ dửng phƯn trẳnh by luên vôn cừa Vụ Vôn TƯn [1], m ti liằu gốc l [3] Chúng tổi s trẳnh by hai phữỡng phĂp phờ bián Ôi số tuyán tẵnh tẵnh giĂ tr riảng cừa ma A cù n ì n: phữỡng phĂp Arnoldi v ph÷ìng ph¡p Lanczos Trong ph÷ìng ph¡p thù hai Ăp dửng cho ma ối xựng, phữỡng phĂp thự nhĐt Ăp dửng cho ma bĐt ký St(p,n) Chóng ta câ Df (X) [Z] = tr(Z T AXN ), vẳ thá f (X) = PX ∇f (X) = 2AXN − 2X sym(X T AXN ) = 2AXN − XX T AXN − XN X T AX Cuối cũng, ta cƯn chồn mởt Ănh xÔ retraction Ơy vốn l Ănh xÔ cho php liản kát mởt vc tỡ trản khổng gian tiáp xúc tÔi X án mởt im trản a tÔp mởt lƠn cên cừa X Ta câ thº lüa chån RX (ξ) := qf(X + ), vợi qf kỵ hiằu php lĐy ma Q phƠn tẵch QR cừa ma Ơy l cĂc nguyản liằu cƯn thiát cho mởt thuêt toĂn düa tr¶n gradient cõa h m mưc ti¶u º gi£m thiºu chi phẵ cừa hm (2.8) trản a tÔp trỹc giao Stiefel 2.4.2 im tợi hÔn 24 BƠy giớ ch rơng X l im tợi hÔn cừa f n¸u v ch¿ n¸u c¡c cët cõa X l cĂc vc tỡ riảng cừa A Ơy l khng nh cõ lủi vữủt trởi so vợi viằc xt hm chi ph½ l t¿ sè Rayleigh suy rëng Gradient cõa f thäa m¢n ∇f (X) = 2(I − XX T )AXN + 2X skew(X T AXN ) (2.9) = 2(I − XX T )AXN + [X T AX, N ], â [A, B] := AB − BA l giao ho¡n tỷ cừa ma cừa A v B Vẳ cĂc cởt cừa số hÔng Ưu biu thực cừa gradient thuởc phƯn bũ trỹc giao cừa span(X), nản gradient triằt tiảu náu v ch náu (I XX T )AXN = (2.10) [X T AX, N ] = (2.11) v Vẳ N ữủc giÊ sỷ l khÊ nghch, phữỡng trẳnh (2.10) cho ta (I XX T )AX = iÃu õ cõ nghắa rơng AX = XM, (2.12) vợi M no õ Tiáp theo, ữủc giÊ sỷ l cõ dÔng cho nản tứ (2.11) ta suy X T AX cơng l ma trªn ch²o Tứ (2.12), nhƠn cÊ hai vá vợi X T , ta suy M = X T AX n¶n M cụng l dÔng ữớng cho Cụng tứ (2.12), M l dÔng cho nản cĂc cởt cừa X l cĂc vc tỡ riảng cừa A v cĂc phƯn tỷ cho cõa M l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A Trong tr÷íng hđp p = n, St(n, n) = On , v im tợi hÔn cừa hm chi phẵ Brockett l ma trỹc giao cho hõa A (Lữu ỵ rơng I XX T = 0, vẳ thá số hÔng Ưu tiản (2.9) triằt tiảu mởt cĂch Ăng k) iÃu ny tữỡng ữỡng vợi viằc nõi rơng cĂc cởt cõa X l c¡c v²c tì ri¶ng cõa A 25 2.5 Mët sè b i to¡n gi¡ trà ri¶ng khỉng tiảu chuân Trong mửc ny, chúng tổi s trẳnh by mởt số bi toĂn giĂ tr riảng khổng tiảu chuân m cõ th giÊi ữủc thổng qua cĂch tiáp cên tối ữu Nởi dung cừa mửc ny l diạn giÊi mët sè ph¦n c¡c b i b¡o [8] Cư thº, chúng tổi xem mởt số tẵnh chĐt cừa loÔi cp ma quan trồng nhĐt m php cho hõa A → F T AF, B → F T BF câ th thỹc hiằn ữủc õ l cp ma xĂc nh nh nghắa 2.5.1 Mởt cp ma (A, B) ữủc gồi l (nỷa) xĂc nh dữỡng náu tỗn tÔi mët sè λ cho ma trªn A − λB l nûa x¡c ành d÷ìng Sè λ cho ma trªn A − λB x¡c ành gåi l chuyºn dàch xĂc nh Têp hủp cừa tĐt cÊ cĂc dch chuyn xĂc nh tÔo thnh cĂc khoÊng m ữủc gồi l kho£ng x¡c ành Thỉng th÷íng, ng÷íi ta hay x²t b i toĂn giĂ tr riảng cho cp ma ối xựng (A, B) vợi iÃu kiằn xĂc nh dữỡng thảm cho B Chng hÔn, bi toĂn trẳnh by mửc trữợc thuởc loÔi ny Dạ thĐy, Ơy l mởt trữớng hủp c biằt cừa cp ma xĂc nh dữỡng ữủc nh nghắa trản Trong mửc ny, chúng tổi quan tƠm án mởt lợp cĂc cp ma ối xựng c biằt õ, B khổng nhĐt thiát phÊi xĂc nh Tuy nhiản, ta cƯn iÃu kiằn B khÊ nghàch Cö thº, ta x²t b i to¡n cüc trà sau cho mët c°p èi xùng têng qu¡t (A, B): trX T AX = min, X T BX = J1 , (2.13) â B khỉng suy bi¸n, J1 = diag(Ip1 , −Iq1 ), v p1 ≤ p, q1 ≤ q , vợi (p, q) l quĂn tẵnh cừa B Trữợc tiản chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ bờ trủ cho nh lỵ chẵnh mửc ny Chựng minh cừa cĂc phĂt biu ny cõ th tẳm thĐy cĂc ti liằu tham khÊo  nảu nh lỵ 2.5.2 Cho A, J l mët c°p nûa x¡c ành d÷ìng â J = diag(1 , , n ), vỵi i ∈ {1, −1} 26 Gi£ sû chóng ÷đc chia th nh H K A= K T , U J = J1 J2 â H, J1 câ bªc m v p = π(J), q = ν(J), p+q =n p1 = π(J1 ), q1 = ν(J1 ), p1 + q1 = m Kỵ hiằu bi q α1− ≤ α1+ ≤ ≤ αp+ , θq−1 ≤ ≤ θ1− ≤ θ1+ ≤ ≤ θp+1 c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p A, J v H, J1 t÷ìng ùng Khi â + αi+ ≤ θi+ ≤ αi+n−m , i = 1, , p1 , − αj+n−m ≤ θj− ≤ αj− , j = 1, , q1 , â αk+ = ∞ n¸u k > p, αk− = −∞ n¸u k > q M»nh · 2.5.3 Cho A 0B l ma nỷa xĂc nh dữỡng Khi õ: i) Tỗn tÔi mởt ma khÊ nghch C C T AC = A 0 A 00 , C T BC = J 0 J 00 , õ bêc cừa A bơng bêc cừa J 0, v J = diag(1, , n), i ∈ {−1, 1} é Ơy A0 l mởt ma cho v khỉng ph£i l gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (A0 , J ), c°p (A00 , J 00 ) ch cõ giĂ tr riảng (bởi) BĐt ký sè c¡c ma trªn A0 v A00 ·u cõ th l ma rộng Náu cp (A, B) l x¡c ành d÷ìng, A00 cơng câ thº ÷đc chån ữủc l ma cho ii) CĂc giĂ tr riảng cừa cp (A, B) bao gỗm cĂc Ôi số cừa chúng, vợi 0, cõ th ữủc sưp xáp l αq− ≤ ≤ α1− ≤ λ0 ≤ ≤ αp+ , â (p,q) l qu¡n t½nh cõa B v p + q = n 27 iii) Têp hủp tĐt cÊ m A 0B l nûa x¡c ành b¬ng kho£ng âng [α1−, α1+] iv) C°p (A, B) l xĂc nh dữỡng náu v ch náu < 1+ Trong trữớng hủp õ, têp tĐt cÊ lm cho A0B xĂc nh dữỡng bơng khoÊng m (α1−, α1+) v) Cho λ1 = (α1− + α1+)/2 v 6= Khi õ vợi > 1, kỵ hi»u n(λ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng [λ1, ), õ 1, náu l mởt giĂ tr riảng, ữủc ám (J 00 ) lƯn Khi õ, n() = ν(A − λB), v t÷ìng tü cho λ < λ1 nh lỵ 2.5.4 Cho (A, B) l mởt cp nỷa xĂc nh dữỡng cho quĂn tẵnh cừa B b¬ng (p, q) Khi â h m X → trX T AX (2.14) X T BX = J1 (2.15) giợi hÔn tªp X m J1 = diag(Ip1 , −Iq1 ), q1 q, b chn dữợi bi t0 = p1 X i=1 αi+ − p + q1 = m q1 X αj− , (2.16) j=1 â αq− ≤ ≤ α1− ≤ α1+ ≤ ≤ αp+ l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (A, B) Ngoi ra, giÊ sỷ tỗn tÔi ma X0 thọa mÂn (2.15) v bao gỗm cĂc vc tỡ riảng tữỡng ựng vợi cĂc giĂ tr riảng 1+ , , p+1 , q1 , , Khi õ cên dữợi t0 Ôt ữủc tÔi X0 Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ B  ữủc chu©n hâa Tùc l B = J = diag(J1 , J2 ) = diag(1 , , n ) (2.17) 28 Trản thỹc tá, vẳ B khổng suy bián, nản tỗn tÔi G khổng suy bián cho B = GJGT Khi â sü thay th¸ Y = GT X dăn án mởt hm ỡn giÊn hỡn tữỡng ữỡng b = G−1 AG−T A b Y → trY T AY, b giợi hÔn têp (2.18) S = Y : Y T JY = J1 Trữợc hát chựng minh nh lỵ cho trữớng hủp p = p1 , q = q1 , tùc l , ma X vuổng Trong trữớng hủp ny iÃu kiằn (2.15) trð th nh (2.19) X T JX = J v J1 = J B§t ký X n o tø (2.19) ·u ÷đc gåi l J - trüc giao, v rã r ng l tĐt cÊ cĂc ma J - trỹc giao tÔo thnh mởt nhõm nhƠn Cho cp (A, J) l xĂc nh dữỡng Khi õ theo Mằnh à 2.5.3 tỗn tÔi mởt ma X0 cho X0T AX0 = JΛ, Λ = diag(Λ+ , Λ− ), X0T JX0 = J, â Λ+ = diag(α1+ , , αp+ ), Λ− = diag(α1− , , αq− ) °t t0 = trX0T AX0 = p X i=1 αi+ − q X αj− j=1 Khi â X T AX = Y T JΛY, Y = X0−1 X Do Y l J - trỹc giao nản nõ cõ sỹ phƠn tẵch √ T I + WW W U1 , Y = H(W ) H(W ) = √ T T W I + WW U2 29 õ W l ma p ì q v U1 , U2 l c¡c khèi trüc giao Do â, trX T AX = trY T JΛY = trH(W )JΛH(W ) p p = tr( I + W W T Λ+ I + W W T − W Λ− W T ) p p T T + tr(W Λ+ W − I + W W Λ− I + W T W ) = t0 + 2(trW W T Λ+ − trW T W Λ− ) = t0 + 2[trW W T (Λ+ − µI) + trW T W (µI − Λ− )], â µ l mët dàch chuyºn xĂc nh Vẳ + àI v àI l xĂc nh dữỡng, nản trW W T (+ µI) ≥ 0, trW T W (µI − Λ− ) ≥ Do â trX T AX ≥ t0 ối vợi cp nỷa xĂc nh dữỡng (A, J) l§y > v x²t c°p (A+I, J), l xĂc nh dữỡng v cho dƯn và khổng Kh¯ng ành trX T ≥ t0 ÷đc suy tø tẵnh liản tửc v chuyn qua giợi hÔn c biằt, (2.20) trA ≥ t0 Rã r ng l trX T = t0 náu X l mởt ma J - trüc giao ch²o hâa A B¥y gií chóng ta chuyºn sang X T AX vỵi X khỉng vng Cho C = (X X) l mởt phƯn bũ cừa bĐt ký X ∈ S n o m CJC = J Khi â T T X AX X AX A1 = C T AT = T T X AX X AX K½ hi»u θq−1 ≤ ≤ θ1− ≤ θ1+ ≤ ≤ θp+1 c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c°p (X T AX, J1 ) Tø (2.20), ta câ T trX AX ≥ p1 X θi+ − i=1 q1 X θj− j=1 V¼ c¡c c°p (A, J) v (A1 , J) câ cịng gi¡ trà ri¶ng theo nh lỵ 2.5.2 ối vợi cp (A1 , J) v c¡c c°p cõa nâ (X T AX, J1 ) n¶n T trX AX ≥ p1 X i=1 αi+ − q1 X j=1 αj− = t0 30 Ngo i ra, náu cõ mởt X0 vợi AX0 = JX0 , X0T JX0 = J1 , v Λ = diag(α1+ , , αp+1 , αq−1 , , α1− ), th¼ trX0T AX0 = t0 GiÊ thiát và sỹ tỗn tÔi ma vc tỡ riảng X0 nh lỵ 2.5.4 hin nhiản ữủc thọa mÂn náu cp (A, B) cõ th cho hoĂ ữủc Nhữ vêy, cõ Hằ qu£ 2.5.5 Cho c°p (A, B) x¡c ành d÷ìng ho°c nûa x¡c ành d÷ìng v ch²o hâa ÷đc Khi â giĂ tr t0 nh lỵ 2.5.4 l giĂ tr nhọ nhĐt thỹc tá Hằ quÊ 2.5.6 Cho (A, B) l mët c°p nûa x¡c ành d÷ìng Khi â t0 tứ (2.16) l cên dữợi úng cừa hm (2.14) b giợi hÔn bi Chựng minh (2.15) Cho > v coi c°p nhi¹u (A + I, B), l x¡c ành d÷ìng Theo H» qu£ 2.5.5 mintrX T (A + I)X = t0 () B¥y gií kh¯ng ành theo sau bi tẵnh liản tửc cừa cĂc giĂ tr riảng nh lỵ 2.5.7 Cho hm (2.14) cõ giĂ tr cỹc tiu a phữỡng náu b giợi hÔn bi (2.15) Khi õ c°p n y l nûa x¡c ành d÷ìng v gi¡ trà nhä nh§t l tuy»t èi B§t ký gi¡ trà cüc tiu X1 vợi X1T BX1 = J1 thọa mÂn phữỡng trẳnh AX1 = BX1 vợi = diag(+, ) (trong õ sỹ phƠn chia khối giống nhữ cừa J1 (2.15) v Λ+, Λ− l èi xùng) cho α1+, , αp+ l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa Λ+ v αq− , , α1− l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa Λ− 1 2.6 B i to¡n gi¡ trà ri¶ng cừa cp ma ối xựng/phÊn ối xựng chẵnh tưc: gi¡ trà ri¶ng symplectic Mët c¡ch têng qu¡t, c¡c mưc trữợc  xt giĂ tr riảng cừa cp ma (A, B), vợi A, B l cĂc ma ối xùng Thªt vªy, B = I , ta câ bi toĂn giĂ tr riảng tiảu chuân Khi B ối xùng x¡c ành d÷ìng, ta câ b i to¡n gi¡ trà 31 riảng ối xựng xĂc nh Trữớng hủp cỏn lÔi l bi toĂn giĂ tr riảng khổng xĂc nh trẳnh b y ð Mưc 2.5 Ð mưc n y, chóng ta s³ x²t tr÷íng hđp B l ph£n èi xùng, tùc l B T = −B Do mët ma trªn ph£n ối xựng luổn cõ th ữa ữủc và ma Poisson J = I −I nhớ php bián ời tữỡng ng nản, khổng mĐt tẵnh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû B = J Hõa ra, Ơy lÔi l mởt bi toĂn giĂ trà ri¶ng °c bi»t, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng symplectic m ngữới Ưu tiản xĂc nh nõ l Williamson Trữợc tiản, chúng tổi nhưc lÔi nởi dung nh lỵ Williamson Ơy Gồi R2nì2n l khổng gian cừa cĂc ma thỹc cù 2n ì 2n, P(2n) l têp cừa R2nì2n bao gỗm cĂc ma xĂc nh dữỡng, v Sp(2n) l nhâm c¡c ma trªn symplectic thüc, tùc l , Sp(2n) = M ∈ R2n×2n : M T JM = J Ta cơng nâi c¡c ma trªn cù 2nì2k, k < n, l ma symplectic náu M T J2n M = J2k v kỵ hiằu têp cĂc ma ny l Sp(2k, 2n) Náu A l mởt phƯn tỷ cừa P(2n), õ tỗn tÔi mởt ma trªn symplectic M cho M T AM = D 0 D , â D l mởt ma ữớng cho vợi cĂc phƯn tû d÷ìng d1 (A) ≤ d2 (A) ≤ ≤ dn (A) C¡c sè di (A), i = 1, , n, ữủc gồi l giĂ tr riảng symplectic cừa ma A Ơy thữớng ữủc gồi l nh lỵ Williamson nh lỵ minimax Courant-Fischer-Weyl  trẳnh by Mửc 2.1 l mët nhúng cỉng cư quan trång vi»c phƠn tẵch cĂc giĂ tr riảng cừa cĂc ma Hermitian Mởt kát quÊ tữỡng tỹ nhữ vêy cụng thọa mÂn cho giĂ tr riảng symplectic cừa ma ối xựng xĂc nh dữỡng thuên tiằn cho ngữới ồc, chóng tỉi ph¡t biºu nëi dung v chùng minh cõa nõ 32 nh lỵ 2.6.1 (Minimax Courant-Fischer-Weyl cho giĂ tr riảng symplectic) Cho A P(2n) Khi õ, vợi ≤ j ≤ n = max M⊂C 2n dj (A) dim M=j = dj (A) Chùng minh hx, iJxi , x∈M hx,Axi=1 max M⊂C 2n dim M=2nj+1 hx, iJxi xM hx,Axi=1 Tẵch vổ hữợng Euclid thổng thữớng trản Rm hoc Cm ữủc kỵ hiằu bi hÃ, Ãi Nhưc lÔi rơng chúng tổi tẵch vổ hữợng Euclid khổng gian phực l tuyán tẵnh liản hủp theo bián Ưu tiản Cho A P (2n), ta nh nghắa mởt tẵch vổ hữợng khĂc trản C2n b¬ng c¡ch °t (x, y) = hx, Ayi Ta kỵ hiằu khổng gian tẵch vổ hữợng tữỡng ựng bði H °t A# = iA−1 J Khi â (x, A# y) = i hx, Jyi = (A# x, y) Do â, A# l to¡n tû Hermitian tr¶n H C¡c giĂ tr riảng symplectic cừa A1 ữủc sưp xáp theo thù tü gi£m d¦n l 1 ≥ ≥ ≥ d1 (A) d2 (A) dn (A) C¡c giĂ tr riảng (thổng thữớng) cừa A# l 1 −1 −1 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ d1 (A) d2 (A) dn (A) dn (A) d1 (A) p dửng nguyản lỵ minimax  trẳnh by ð Mưc 2.1 cho ma trªn A# , ta câ i·u ph£i chùng minh Mët nhúng h» qu£ quan trồng cừa nguyản lỵ minimax ối vợi ma Hermitian l nguy¶n tc an xen cho c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A v c¡c gi¡ trà cõa mët ma trªn chẵnh iÃu õ cụng úng cho giĂ tr riảng symplectic nh lỵ 2.6.2 ( nh lỵ xen k cho cĂc giĂ tr riảng symplectic) 33 Cho A P(2n) PhƠn hoÔch A bi A = [Aij ] õ mội Aij , i, j = 1, 2, l mët ma cù nìn Mởt ma B P(2n2) ữủc gồi l mởt ma schẵnh cừa A náu B = [Bij ], v méi Bij l mët ma chẵnh (n1)ì(n1) cừa Aij cõ v trẵ Aij vỵi i, j = 1, Nâi c¡ch khĂc, B nhên ữủc tứ A bơng cĂch xõa hng v cët thù i v i + cõa A, èi vỵi mët sè ≤ i ≤ n Khi â dj (A) ≤ dj (B) ≤ dj+2 (A), ≤ j ≤ n − 1, â chóng ta Ăp dửng quy ữợc rơng dn+1(A) = Chúng tổi bọ qua chựng minh nh lỵ ny GiĂ tr riảng symplectic ữủc nh hẳnh thổng qua bi toĂn tối ữu dữợi Ơy nh lỵ 2.6.3 Cho A P(2n) Khi õ vợi tĐt cÊ k n k X dj (A) = j=1 M ∈Sp(2k,2n) trM T AM (2.21) Trữợc chựng minh, ta thÊo luên thảm mởt số tẵnh chĐt cừa ma symplectic Ta nhên thĐy, mồi phƯn tỷ M cừa Sp(2n) Ãu cõ mởt phƠn tẵch khối A B , M = (2.22) C G â A, B, C, G l cĂc ma cù n ì n thọa mÂn i·u ki»n AGT − BC T = I, AB T − BAT = 0, CGT − GC T = (2.23) f cõ cĂc phƯn tỷ ữủc cho bi Chúng ta liản kát vợi M mởt ma M m e ij = (a2ij + b2ij + c2ij + gij ) Ma trªn n y câ mët sè tẵnh chĐt àp v cõ th ữủc sỷ dửng tốt viằc nghiản cựu ma symplectic BƠy giớ i án chựng minh nh lỵ 2.6.3 Chựng minh vợi mồi i, j , Mởt ma A cù n ì n ữủc cho l ngău nhiản kp n¸u aij ≥ n X j=1 aij = vợi tĐt cÊ i n 34 v n X aij = vợi tĐt cÊ j n i=1 Mởt ma B vợi cĂc phƯn tỷ khổng Ơm ữủc gồi l siảu-ngău nhiản kp náu cõ mởt ma A ngău nhiản kp cho bij aij vợi mồi i, j Lêp luên tiáp f l mởt ma siảu-ngău nhiản kp theo cho thĐy rơng M f cõ tẵnh chĐt Ta khng nh rơng, vợi mồi ma M Sp(2n) ma trªn M n X m e ij ≥ 1, ≤ i ≤ n, j=1 v n X m e ij ≥ 1, ≤ j ≤ n (2.24) i=1 Thªt vªy, tø i·u ki»n AGT − BC T = I (2.23), chóng ta câ n X (aij gij − bij cij ) 1= ≤ = j=1 n X j=1 n X n X1 2 (aij + gij )+ (b2ij + c2ij ) 2 j=1 m e ij , j=1 vỵi ≤ i ≤ n p dửng lêp luên tữỡng tỹ cho M T thĐy rơng bĐt ng thực thự hai (2.24) cụng úng Tiáp õ ta xt trữớng hủp c biằt k = n Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng D b = A=D D Gåi M l mởt phƯn tỷ bĐt ký cừa Sp(2n) v phƠn tẵch nâ th nh P Q M = R S theo c¡c quy tc (2.22) v (2.23) Khi â trM T DM = tr(P T DP + QT DQ + RT DR + S T DS) 35 = = n X i=1 n X di (A) di (A) i=1 n X ≥2 n X 2 (p2ij + qij + rij + s2ij ) j=1 n X (2m e ij ) j=1 di (A), i=1 sû döng (2.24) Khi M = I , hai Ôi lữủng tên và trĂi v phÊi bơng Nhữ vêy T M ∈Sp(2n) trM AM = n X dj (A) j=1 Ơy l trữớng hủp c biằt cừa (2.21) k = n BƠy giớ ta xt trữớng hủp k ≤ n Gåi M l ma trªn cï 2n × 2k thäa m¢n i·u ki»n M T J2n M = J2k PhƠn hoÔch M thnh 0 P Q , M = 0 R S â méi khèi l mët ma trªn cï n ì k Khi õ ta cõ th tẳm ữủc mởt ma symplectic cù 2n ì 2n L= P Q R S â méi khèi l mởt ma cù n ì n v k cởt Ưu tản cừa P, Q, R, S lƯn 0 0 l÷đt l c¡c cët cõa P , Q , R , S Ma trªn M T AM õ l mởt ma s-chẵnh cù 2k ì 2k cừa LT AL CĂc giĂ tr riảng symplectic cõa LT AL l d1 (A) ≤ d2 (A) ≤ ≤ dn (A) Gåi 0 c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa M T AM l d1 ≤ d2 dk Bơng nguyản lỵ xen k³ dj ≥ dj (A) vỵi ≤ j k Tứ trữớng hủp c biằt  chựng minh trản, cõ th thĐy rơng T trM AM ≥ k X dj j=1 Cuèi cũng, Ăp dửng nguyản lỵ xen k trản, ta thu ÷đc T trM AM ≥ k X j=1 dj (A) 36 Ơy cụng chẵnh l iÃu cƯn chựng minh Chú ỵ 2.6.4 Do têp Sp(2k, 2n) khổng b chn nản phiám hm mửc tiảu (2.21) khổng b ch°n Do â, khỉng gièng nh÷ b i to¡n gi¡ trà riảng tiảu chuân, ta khổng th suy kát quÊ tữỡng tỹ nhữ phĂt biu nh lỵ 2.6.3 thay bơng max v k giĂ tr riảng nhọ nhĐt bi k giĂ tr riảng lợn nhĐt im cỹc tiu cừa bi toĂn tối ữu nh lỵ 2.6.3 cho ta khæng gian symplectic sinh bði c¡c v²c tỡ riảng ựng vợi k giĂ tr riảng symplectic nhọ nhĐt tẳm ữủc k giĂ tr riảng õ, ngữới ta phÊi tiáp tửc Ăp dửng nh lỵ Williamson T AMmin â, Mmin l mët iºm cüc tiºu vøa tẳm ữủc cho ma Mmin Chi tiát và viằc ny v nhỳng tẵnh chĐt cừa bi toĂn tối ữu rng buởc (2.21) cõ th ữủc tẳm thĐy kát quÊ gƯn Ơy, tham khÊo tứ [7] Kát luên NgoÔi trứ viằc nhưc lÔi mởt số khĂi niằm liản quan án bi toĂn giĂ tr riảng v hai phữỡng phĂp phờ bián tẵnh giĂ tr riảng, luên vôn  trẳnh by mởt số kát quÊ liản quan án cĂch tiáp cên tối ữu cho bi toĂn giĂ tr riảng Trữợc tiản, nõ m Ưu vợi nh lỵ cờ iºn Courant-Fischer-Weyl vèn cho ph²p biºu mët gi¡ trà riảng bĐt ký cừa ma ối xựng thổng qua mởt bi toĂn minimax Tiáp án, cĂc kát quÊ liản quan án giĂ tr riảng cừa ma hay cp ma thổng qua tối thiu hõa hm vát ma ữủc trẳnh by Ơy cõ th coi l phĂt biu cừa nh lỵ Ky-Fan cờ in cho ma v nhỳng bián th khĂc cừa nõ LƯn lữủt, luên vôn trẳnh by tối thiu hõa vát cừa t sè Rayleigh mð rëng, x²t t¿ sè Rayleigh vỵi r ng buởc cởt trỹc giao ữủc tiáp cên nhữ l bi toĂn tối ữu trản a tÔp; thay cho t số Rayleigh nhữ l hm mửc tiảu, luên vôn cụng xt hm mửc tiảu Brockett vợi mởt lủi thá ró rng l nghi»m cüc tiºu cho ta gi¡ trà ri¶ng cƯn tẳm Cuối cũng, cĂch tiáp cên tối ữu ữủc mð rëng º x²t mët sè b i to¡n gi¡ trà khổng tiảu chuân nhữ bi toĂn giĂ tr riảng khổng x¡c ành, b i to¡n gi¡ ri¶ng symplectic 37