LUẬN văn THẠC sĩ HAY bài toán giá trị riêng bậc hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO BÀI TỐN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2017 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mở đầu Danh sách ký hiệu Bài toán giá trị riêng bậc hai 1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Một số thuật tốn tìm giá trị riêng 1.1.3 Bài toán giá trị riêng suy rộng Bài toán giá trị riêng bậc hai 13 1.2.1 Khái niệm 13 1.2.2 Tuyến tính hóa tốn giá trị riêng bậc hai 15 1.2.3 Bộ ba Jordan Q(λ ) 18 1.2.4 Một số tính chất tốn giá trị riêng bậc hai 19 Một số ứng dụng khác toán giá trị riêng bậc hai 21 1.2 1.3 1.3.1 Biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 21 1.3.2 Bài tốn hạn chế bình phương nhỏ 22 1.3.3 Một vài ví dụ 23 Giải số toán giá trị riêng bậc hai 26 2.1 Phương pháp số cho toán đặc 26 2.1.1 26 Phương pháp Newton LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng 28 2.2 Phương pháp số cho toán thưa 29 2.3 Ví dụ số 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Trong chương trình đại học sinh viên giới thiệu toán giá trị riêng bậc tiêu chuẩn Trong đó, có nhiều toán, đặc biệt lĩnh vực học, qui toán giá trị riêng bậc hai, ta đưa tốn giá trị riêng suy rộng bậc một, mặt khác nghiên cứu độc lập Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày "Bài tốn giá trị riêng bậc hai" Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương 1: Bài tốn giá trị riêng bậc hai Chương chúng tơi trình bày khái niệm tốn giá trị riêng bậc hai, tính chất ứng dụng tốn giá trị riêng bậc hai Chương 2: Giải số tốn giá trị riêng bậc hai Chương trình bày vài phương pháp giải toán giá trị riêng bậc hai Chúng tơi chia tốn hai loại dựa kích thước tốn dạng liệu Bài tốn đặc (thơng thường) cỡ tốn nhỏ Cịn tốn thưa tốn có kích cỡ lớn liệu dạng thưa Căn vào đặc điểm toán, phương pháp giải có nhiều khác biệt Chúng tơi trình bày phương pháp Newton phương pháp phân tích Schur cho tốn đặc phương pháp dựa không gian Krylov cho tốn thưa Ngồi có thêm vài ví dụ số để minh họa cho phương pháp Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Em muốn gửi lời biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Thanh Sơn giúp đỡ, hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để em hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, gia đình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bạn lớp cao học toán K9Y tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học cao học thực luận văn Trong q trình viết luận văn khơng tránh khỏi sai sót mong nhận góp ý chân thành độc giả Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Phí Thị Nho LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: A ma trận A AT chuyển vị ma trận thực A A∗ = (A)T liên hợp phức ma trận A A liên hợp số phức ma trận A ker(A) nhân ma trận A span(A) không gian sinh cột ma trận A A > (A ≥ 0) ma trận A xác định dương (nửa xác định dương) deg(P) bậc đa thức P det(A) định thức ma trận A rank(B) hạng ma trận B QEP toán giá trị riêng bậc hai ||x|| chuẩn Ơclit ∇P gradien P K j (x, A) không gian Krylov LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Bài tốn giá trị riêng bậc hai Nội dung chương định nghĩa, tính chất số ứng dụng toán giá trị riêng bậc hai Tuy nhiên, dành thời lượng đáng kể cho việc trình bày tốn giá trị riêng tiêu chuẩn toán giá trị riêng suy rộng Lí ta chuyển toán giá trị riêng bậc hai toán giá trị riêng bậc để giải Thêm vào đó, nhiều phương pháp giải số toán bậc hai xuất phát từ ý tưởng tương tự cho toán bậc Khi viết chương tham khảo tài liệu [1–3] 1.1 1.1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn Khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho ma trận vng A ∈ Rn×n Tìm đại lượng vô hướng λ ∈ R véc tơ x ∈ Rn , x = 0, cho: Ax = λ x (1.1) (A − λ I)x = (1.2) hay có nghiệm khơng tầm thường Cho cặp (λ , x) nghiệm (1.1) (1.2) tương ứng (1) λ gọi giá trị riêng A; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (2) x gọi véc tơ riêng A; (3) (λ , x) gọi cặp riêng A; (4) Đặt σ (A) tất giá trị riêng A gọi phổ A; (5) Tất véc tơ riêng có giá trị riêng λ với véc tơ tạo thành khơng gian tuyến tính R gọi không gian riêng λ ; (6) Một nghiệm không tầm thường y y∗ A = λ y∗ gọi véc tơ riêng trái tương ứng với λ Một véc tơ riêng trái A véc tơ riêng phải AT tương ứng với giá trị riêng λ , ta viết : AT y = λ y 1.1.2 Một số thuật tốn tìm giá trị riêng • Cơ sở trực giao cho không gian Krylov Cho không gian Krylov K j (x) = K j (x, A) ta lấy {x, Ax, , A( j−1) x}, làm hệ sinh Tuy nhiên vectơ Ak x hội tụ đến vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng có modul lớn A nên chúng sớm có xu hướng phụ thuộc tuyến tính Do q trình trực giao hoá Gram-Schmidt áp dụng cho vectơ sở để tìm sở trực chuẩn không gian Krylov Giả sử {q1 , q2 , , qi } sở trực chuẩn cho K i (x), i ≤ j Chúng ta xây dựng vectơ q j+1 cách trực chuẩn hóa A j x với q1 , q2 , , q j j y j := A x − ∑ qi q∗i A j x, j i=1 sau chuẩn hóa vectơ kết q j+1 = y j /||y j || LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta {q1 , q2 , , q j+1 } sở trực chuẩn K j+1 (x), gọi chung sở Arnoldi Các vectơ gọi vectơ Arnoldi tương ứng Các vectơ qi tính sau K j+1 (x, A) = ℜ([x, Ax, , A j x]), (q1 = x/||x||), = ℜ([q1 , Aq1 , , A j q1 ]) (Aq1 = αq1 + β q2 , β = 0), = ℜ([q1 , αq1 + β q2 , A(αq1 + β q2 ), , A j−1 (αq1 + β q2 )]), = ℜ([q1 , q2 , Aq2 , , A j−1 q2 ]), = ℜ([q1 , q2 , , q j−1 , Aq j ]) Vì vậy, thay trực chuẩn hoá A j q1 với q1 , q2 , , q j , trực chuẩn hố Aq j với q1 , q2 , , q j để có q j+1 Điều có lợi mặt tính tốn giúp giảm số phép tính cần thực Các thành phần r j Aq j trực chuẩn với q1 , q2 , , q j cho j r j = Aq j − ∑ qi (q∗i Aqi ) (1.3) i=1 Nếu r j = thủ tục dừng lại Điều có nghĩa tìm thấy không gian bất biến, cụ thể span{q1 , q2 , , q j } Nếu ||r j || > ta có q j+1 q j+1 = rj ||r j || Do q j+1 r j phương, ta có q∗j+1 r j = ||r j || = q∗j+1 Aq j (1.4) Phương trình cuối suy từ việc q j+1 trực chuẩn với tất vectơ Arnoldi trước Đặt hij = q∗i Aq j (1.3) - (1.4) viết j+1 Aq j = ∑ qihij (1.5) i=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 22 với a ∈ R2n véc tơ nghiệm tổng quát phương trình tương ứng với (1.24) Thật (1.26) q(t) ˙ = XJeJt a, q(t) ă = XJ eJt a Thay (1.25), (1.26) vào (1.24) với f (t) ≡ 0, M q(t) ¨ +Cq(t) ˙ + Kq(t) = (MXJ +CXJ + KX)eJt a = Tiếp theo, ta q p (t) = XeJt t e−JsY f (s)ds nghiệm riêng (1.24) Thật t q˙ p (t) = XJeJt eJsY f (s)ds Jt qă p (t) = XJ e t e−JsY f (s)ds + XJY f (t) Vì thế, kết hợp (1.25) (1.26), ta thu c t Jt M qă p (t) +Cq˙(t) + Kq p (t) = (MXJ +CXJ + KX)e e−JsY f (s)ds + MXJY f (t) = f (t) Do vậy, nghiệm tổng quát (1.24) Jt t q(t) = Xe (a + e−JsY f (s)ds) 1.3.2 Bài tốn hạn chế bình phương nhỏ Cho A ∈ Rn×n ma trận đối xứng, b ∈ Rn Xét tốn bình phương tối thiểu có ràng buộc min{xT Ax − 2bT x : xT x = α } (1.27) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 23 Bài tốn đưa toán giá trị riêng bậc hai cách áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange Cho φ (x, λ ) = xT Ax − 2bT x − λ (xT x − α ) Đạo hàm ϕ theo x, λ sinh phương trình Ax − λ x = b, α = xT x (1.28) Ta cần tìm nghiệm λ nhỏ phương trình để giải tốn (1.27) Giả sử λ không giá trị riêng A Ta đặt y = (A − λ I)−2 b = (A − λ I)−1 x Khi (1.28) tương đương với: bT y − α = 0, (1.29) (A − λ I)2 y = b (1.30) Từ ( 1.29) ta có : bT y = α2 Bằng cách khai triển (1.30) ta thu toán giá trị riêng bậc hai đối xứng (λ I − 2λ A + A2 − α −2 bbT )y = (1.31) Nghiệm (1.27) x = (A − λ I)−1 b, (1.32) λ giá trị riêng nhỏ (1.32) 1.3.3 Một vài ví dụ Ví dụ 1.3.1 Cho λ ma trận bậc hai Q1 (λ ) = Mλ + Dλ + K, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 với  0.5  M= 1.5       1.75 1 0.2      ,D =  ,K =   7.5      2.5 5.0 0.2 1 Dễ thấy ba ma trận hệ số M, D, K ma trận đối xứng, xác định dương Ngồi ra, ta kiểm tra thỏa mãn điều kiện tắt dần Do vậy, hệ học miêu tả Q1 λ hệ tắt dần Sử dụng phần mềm MATLAB, câu lệnh [X, λ ] = polyeig(K, D, M), ta tính giá trị riêng, lấy xấp xỉ chữ số thập phân sau dấu phẩy λ1 = −4.7586, λ2 = −2.6614, λ3 = −1.6266, λ4 = −1.1556, λ5 = −0.2713, λ6 = −0.0264 ma  trận véc tơ riêng 0.2415 −0.9901 −0.6870  −0.9700 −0.1268 −0.2213  0.0273 0.0601 −0.6921 Như vậy, điều minh họa 0.9141 −0.5228 0.6933   0.6165   0.3092 −0.6740 −0.5887 cho mệnh đề 1.2.14 giá trị riêng 0.2623 −0.2549 hệ tắt dần Ngồi ra, kiểm tra thấy véc tơ riêng độc lập tuyến tính Các véc tơ riêng khác biểu thị tuyến tính qua véc tơ Ta xét tuyến tính hóa bảo tồn tính đối xứng Q(λ ) nói định nghĩa sau A1 = K , K D E1 = K −M tuyến tính hóa khác khơng bảo tồn tính đối xứng A2 = K −K −D , E2 = K M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 25 Bằng cách sử dụng lệnh eig(A1 , E1 ), eig(A2 , E2 ), ta thu tập giá trị riêng λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 , λ6 , đề cập Ví dụ 1.3.2 Xét λ -ma trận bậc hai Q2 (λ ) = Mλ + Dλ + K,   −1.5    với M, D giống ví dụ K cho    −1 Dễ thấy ma trận đối xứng ta kiểm tra Q2 (λ ) thỏa mãn điều kiện hyperbolic Tuy nhiên, K không nửa xác định dương nên Q2 (λ ) hệ hyperbolic hệ tắt dần Bằng cách tương tự ví dụ 1.3.1, ta tính giá trị riêng Q2 (λ ) tuyến tuyến tính hóa chúng sau: λ1 = −4.6886, λ2 = −4.0610, λ3 = 0.7556, λ4 = −0.5652, λ5 = 0.2132, λ6 = −2.1540 Điều minh họa cho mệnh đề 1.2.10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 26 Chương Giải số toán giá trị riêng bậc hai Trong chương này, chúng tơi trình bày số phương pháp số giải toán giá trị riêng bậc hai Chúng tơi chia tốn hai loại dựa theo dạng liệu Nếu tốn có cỡ nhỏ đến vừa dạng đặc, tức số phần tử ma trận không đáng kể, trình bày phương pháp dựa theo phân tích Schur ma trận phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Để viết chương này, ngồi tài liệu [5], chúng tơi cịn tham khảo tài liệu [2–4] 2.1 2.1.1 Phương pháp số cho toán đặc Phương pháp Newton Để áp dụng phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến cho tốn QEP, ta đưa tốn khơng gian n + chiều sau P x λ := Q(λ )x vT x − = (2.1) Đạo hàm Fre’chet P tính ∇P = Q(λ ) Q (λ )x vT (2.2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 27 Nhắc lại phần phương pháp Newton cho phương trình phi tuyến P x = 0, λ dãy lặp xs+1 λs+1 = xs − (∇P)−1 P λs xs (2.3) λs Sử dụng (2.1) (2.2) kí hiệu Qs = Q(λs ) Qs = Q (λs ), (2.3) đưa dạng Qs Qs x s vTs xs+1 − xs λs+1 − λs =− Qs xs vTs xs − (2.4) Giả sử xs chuẩn tắc hóa vs , tức vTs xs = Khi (2.4) trở thành Qs xs+1 = −(λs+1 − λs )Qs xs , vTs xs+1 Đặt us+1 = (2.5) = xs+1 , ta viết lại (2.5) dạng thuật toán sau (−λs+1 + λs ) Algorithm Thuật toán Newton cho QEP Require: M,C, K, x0 , λ0 , ε, N Ensure: (X, λ ) 1: k = 0; 2: while (k < N; ||Xk+1 − Xk || > ε) 3: 5: Giải Qs uk+1 = Qs Xk tìm uk+1 ; VkT Xk ; Tính λk+1 = λk − T (Vk uk+1 ) Tính Xk+1 = Cuk+1 ; 6: k = k + 1; 4: 7: end while 8: X = Xk ; λ = λk ; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 28 Trong thuật toán C ma trận chuẩn tắc hóa Để kết thúc mục này, chúng tơi trình bày số cách chọn dãy vs Cách đơn giản chọn vs véc tơ đơn vị ei Nó có nghĩa giữ thành phần i véc tơ xs số Trong trường hợp ta cần tính i cặp riêng, ta nên chọn vs cho trực giao với véc tơ tính trước đó; điều giúp thuật tốn khơng hội tụ tới véc tơ tính 2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng Phân tích Schur biết đến cách hữu hiệu để tìm giá trị riêng ma trận Trường hợp đơn giản phân tích Schur phức ma trận đơn A Khi đó, giá trị riêng ma trận đơn A hiển thị đường chéo dạng Schur T A Với T ma trận phức, tam giác thỏa mãn T = QH AQ, Q ma trận phức, QH liên hợp phức Q Trong trường hợp A- ma trận thực bậc một, ta có kết sau Mệnh đề 2.1.1 Giả sử A, B ∈ Rn×n Khi đó, ln tồn ma trận trực giao Q, Z cho QT AZ = φ tựa tam giác QT BZ = ψ tam giác Trong trường hợp det(B) = 0, phần tử đường chéo ψ khác khơng Khi đó, giá trị riêng λ - ma trận A − λ B tính sau Ta xem xét đường chéo ma trận tựa chéo φ dạng khối, φi , i = 1, , k, φi phần tử (hay ma trận cỡ × 1) φi ma trận cỡ × có phần tử phía đường chéo khác khơng Ta gọi ψi ma trận khối ψ có vị trí với φi φ Theo đó, φi ma trận cỡ × hai giá trị giá trị riêng A − λ B ψi riêng λ -ma trận cỡ × φi − λ ψi Kĩ thuật có tên phân tích QZ Để áp dụng kĩ thuật cho toán QEP, ta cần áp dụng cho dạng tuyến tính hóa A − λ B LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 29 2.2 Phương pháp số cho toán thưa Khi cỡ toán QEP lớn phương pháp trình bày mục 2.1 trở nên đắt đỏ Trong mục này, trình bày phương pháp dựa không gian Krylov, phù hợp cho toán cỡ lớn Mục viết dựa việc tham kháo tài liệu [6] Trước tiên, để bắt đầu nhắc lại sơ lược phương pháp Arnoldi cho toán giá trị riêng suy rộng (λ A + B)x = Bởi phần phương pháp xây dựng sở trực chuẩn {q1 , , qk } cho không gian Krylov Kk (A−1 B, q1 ) = span{q1 , A−1 Bq, , (A−1 B)k−1 qk } Kí hiệu Qk = [q1 , , qk ], hình chiếu A−1 B lên Kk (A−1 B, q1 ) ma trận Hk = QTk (A−1 B)Qk = [hi j ] Đây ma trận Hessenberg, tức hi j = ∀i, j cho i − j ≥ Khi đó, ta có mối quan hệ (A−1 B)Qk = Qk Hk + hk+1,k qk+1 eTk , ek ∈ Rk véc tơ đơn vị thứ k Nếu (θ0 , u) với ||u|| = cặp riêng −Hk (θ0 , x) với x = Qk u coi xấp xỉ cặp riêng ma trận A−1 B Cặp (θ0 , x) gọi cặp Ritz bao gồm giá trị Ritz véc tơ Ritz Thặng dư việc xấp xỉ (θ0 A + B)x = hk+1,k uk Aqk+1 Do hk+1,k giảm k tăng uk giảm nên thặng dư dần Điều dẫn đến hội tụ phương pháp Ta áp dụng phương pháp với toán QEP Do toán liên quan đến số hạng chứa ma trận K, nên ta áp dụng thuật toán Arnoldi để xây dựng ma trận Hessenberg Hk M −1C Sau ta tiếp tục tính hình chiếu M −1 K lên không gian Krylov này: Gk = QTk M −1 KQk LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 30 Khi đó, ta xét tốn QEP chiếu Lk (λ ) = Iλ + Hk λ + Gk Nếu θ0 , u cặp riêng Lk (λ ), tức (Iθ + Hk θ + Gk )u = 0, ta sử dụng (θ0 , x = Qk u) cặp riêng xấp xỉ L(λ ) Ta gọi chúng cặp Ritz Xét thặng dư tương ứng rk = (Mθ0 +Cθ0 + K)x = A(Qk θ + Qk Hk θ0 + Qk Gk )u + + θ0 hk+1, k Aq+1 eTk u + ∆k u = θ0 hk+1, k uk Aqk+1 + ∆k u, uk thành phần thứ k u ∆k = KQk − MQk Gk Trong số hạng thứ ∆k nhỏ dần k tăng, số hạng thứ hai khơng thiết nhỏ Do ta viết ||rk || ≈ ||∆k u|| ≤ ||∆k || ≤ ||M||||M −1 K|| Do đó, áp dụng trực tiếp phương pháp Arnoldi đạt thặng dư mức ||∆k u|| Lí khơng gian Krylov không chứa thông tin ma trận M −1 K hình chiếu Gk khơng chứa đủ thông tin Để khắc phục điều này, ta sử dụng chiến lược trượt nghịch đảo để giảm bớt ảnh hưởng ∆k Xét giá trị riêng Q(λ ) gần với giá trị σ Ta chọn ln λ0 = σ xấp xỉ ban đầu giá trị riêng cần tìm x0 véc tơ riêng tương ứng Sử dụng phép biến đổi trượt nghịch đảo µ = 1 = , λ λ − λ0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 31 dẫn đến Q(λ ) = M(λ + λ0 )2 +C(λ +0 ) + K = Mλ + (2λ0 M +C)λ + Q(λ0 ) Tiếp theo, ta tìm giá trị lớn theo mơ đun tốn trượt nghịch đảo Q(µ) = µ Q(λ ) = Mµ + Cµ + K, với M = Q(λ0 ), C = 2λ0 M +C, K = M Giả sử λ0 = 0, ta viết K= C −C 2λ0 Cuối cùng, áp dụng thuật tốn Arnoldi trình bày phần trước vào Q(µ) xấp xỉ Q(µ) Qk (µ) = Iµ + Hk µ + Gk với Hk hình chiếu M −1C sinh thuật tốn Arnoldi Gk hình chiếu M −1 K, tức Gk = QTk M −1 KQk Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra thấy (H − Gk ) Gk = k , với Gk = QTk M −1CQk 2λ Ta có kết sau thặng dư phép xấp xỉ Mệnh đề 2.2.1 Giả sử µ0 giá trị riêng có mơ đun lớn Qk (µ) với u = (u1 , , uk )T véc tơ riêng có độ dài đơn vị tương ứng Đặt x1 = Qk u λ1 = λ0 + µ0−1 Khi λ12 − λ02 hk+1,k uk ||Q(λ0 )qk+1 || 2|λ0 | λ12 − λ02 + ||∆k u||, (2.6) 2|λ0 | ||(Mλ12 +Cλ1 + K)x1 || ≤ ∆k = CQk − Q(λ0 )Qk Gk LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 Chứng minh mệnh đề trình bày chi tiết [6] Cũng giống phần trước, số hạng thứ vế phải (2.6) giảm k tăng đảm bảo số hạng thứ hai giảm khơng có chiến lược đặc biệt Ở ta cập nhật biên độ phép tịnh tiến giá trị riêng tìm thỏa mãn |λ − σ | ≤ η với η > cho trước Điều dẫn đến thuật tốn sau Algorithm Lặp trượt nghịch đảo Arnoldi Require: σ , η, dự đoán x, số bước lặp tối đa m, đặt λ0 = σ ; Ensure: Một cặp riêng (µ, u) lớn theo modul 1: 2: 3: 4: for l = 1, 2, · · · , đến hội tụ M = Q(λ0 ), C = 2λ0 M +C, K = M, x q1 = ||x||2 for j = 1, 2, · · · , m 5: q = M −1Cq; 6: for i = 1, · · · , j 7: hi j = qTi q; q1 = q − qi hi j ; 8: gi j = qTi (M −1 Kq j ); g ji = qTi (M −1 Kqi ); 9: end for 10: h j+1, j = ||q||2 ; 11: if h j+1, j > 0, then q ; q j+1 = h j+1, j else 12: 13: 14: break 15: end if 16: Tính cặp riêng lớn (µ0 , u) Iµ + H j µ + G j = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 λ1 = λ0 + µ0−1 ; |λ12 − λ02 | h j+1, j |u j |||Mq j+1 ||; γ1 = 2|λ0 | |λ12 − λ02 | γ2 = (CQ j − MQ j (H j − 2λ0 G j ))|u|; 2|λ0 | if γ1 ≤ 0.1γ2 then 17: 18: 19: 20: break 21: end if 22: 23: end for 24: x = Qk u; 25: if |λ1 − σ | < η then λ0 = λ1 ; 26: end if 27: end for 28: 2.3 Ví dụ số Trong mục này, sử dụng phương pháp Newton để tính cặp riêng tốn giá trị riêng bậc hai Để thực hiện, sử dụng phần mềm MATLAB Để tiện so sánh, chúng tơi sử dụng lại tốn ví dụ 1.3.1, tiểu mục 1.3.3 Chúng chọn x0 = [1 − 1]T , λ0 = −10, vs = [1 0]T với s Chúng sử dụng tiêu chuẩn dừng |λs+1 − λs | < tol = 10−6 Và cuối ma trận C chọn ma trận đơn vị Sau bước lặp, thu giá trị riêng λ = −4.758617077184492 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34 So với giá trị riêng tính trực tiếp phần mềm MATLAP λ1 = −4.758617077184495 kết xác Cũng với chương trình này, ta thu véc tơ riêng tương ứng có giá trị lớn (khoảng 1021 ) Tuy nhiên, MATLAB, kiểm tra véc tơ véc tơ cột thứ X ví dụ 1.3.1 tiểu mục 1.3.3 phụ thuộc tuyến tính Điều tức chương trình xác định khơng gian riêng tương ứng Để giảm giá trị véc tơ, ta sử dụng ma trận C với chuẩn khoảng 10−3 Khi đó, sau bước lặp, chuẩn véc tơ thu giảm 10−24 lần làm cho giá trị thành phần véc tơ thuận mắt Cũng cần nói thêm thuật tốn hội tụ đến giá trị riêng có trị tuyệt đối lớn gần giá trị khởi động λ0 = −10 Khi chọn λ0 = −10−3 , thuật toán hội tụ đến −0.026425971910232 xấp xỉ λ6 = −0.026425971912474 sau bước lặp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi tập trung vào trình bày khía cạnh lý thuyết gồm khái niệm tính chất khía cạnh tính tốn bao gồm số phương pháp số giải toán giá trị riêng bậc hai Lý thuyết toán giá trị riêng bậc hệ thống hóa cách cẩn thận LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Tần (2015), Về số thuật tốn tính giá trị riêng ma trận cỡ lớn, Luận văn thạc sĩ Toán học, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên Tiếng Anh [2] J.W Demmel (1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia [3] G.H Golub and C.F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins Universsity Press, Baltimore, Maryland [4] A Ruhe (1973), “Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem”, SIAM Journal on Numerical Analysis, 10(4), pp 674-689 [5] F Tiseur and K Meerbergen (2001), “The quadratic eigenvalue problem", SIAM Review, 43(2), pp 235- 286 [6] Q Ye (2006), “An iterated shift-and-invert Arnoldi algorithm for quadratic matrix eigenvalue problems", Applied Mathathematics and Computations 172, pp 818- 827 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... niệm tốn giá trị riêng bậc hai, tính chất ứng dụng toán giá trị riêng bậc hai Chương 2: Giải số toán giá trị riêng bậc hai Chương trình bày vài phương pháp giải tốn giá trị riêng bậc hai Chúng... cứu độc lập Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày "Bài tốn giá trị riêng bậc hai" Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương 1: Bài toán giá trị riêng bậc hai Chương chúng... chuẩn toán giá trị riêng suy rộng Lí ta chuyển toán giá trị riêng bậc hai toán giá trị riêng bậc để giải Thêm vào đó, nhiều phương pháp giải số tốn bậc hai xuất phát từ ý tưởng tương tự cho toán bậc