(Luận văn) một số phương pháp tìm không điểm chung của một họ hữu hai toán tử j đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾN lu MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM an n va KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU to p ie gh tn HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU d oa nl w ll u nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN-2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM lu KHƠNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU an n va HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU tn to Mã số: 60 46 01 12 p ie gh Chuyên ngành: Toán ứng dụng oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC va an lu ll u nf NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC oi m TS TRƯƠNG MINH TUYÊN z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN-2015 n va ac th si i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Trương Minh Tun, từ đáy lịng tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lu biết ơn sâu sắc đến thầy an Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, thầy, va khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, n tn to thầy, cô tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức quý báu cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường gh p ie Tôi xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo Ủy ban Nhân dân tỉnh Hưng Yên, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Hưng Yên, Ban giám hiệu trường THPT Trần Hưng nl w Đạo đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên d oa thời gian học tập làm luận văn oi lm ul nf va an lu Tác giả z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Một số ký hiệu viết tắt lu an n va không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X D(A) miền xác định toán tử A p ie gh tn to E miền ảnh toán tử A I toán tử đồng oa nl w R(A) giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ yếu x0 oi lm ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc z at nh J dãy {xn } hội tụ mạnh x0 ul xn * x0 nf xn −→ x0 giới hạn dãy số {xn } va n→∞ an lim inf xn lu n→∞ d lim sup xn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vơ bé bậc cao t z j m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục Lời cảm ơn i lu Một số ký hiệu viết tắt iii an n va Mở đầu 1.1 Không gian Banach lồi không gian Banach có chuẩn khả p ie gh tn to Chương Một số kiến thức chuẩn bị vi Gâteaux 1.2 Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu giới hạn Banach w oa nl 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu d 1.2.2 Toán tử j−đơn điệu 5 an lu 1.2.3 Giới hạn Banach 10 nf va 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 10 oi lm ul Chương Một số phương pháp tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu 13 z at nh 2.1 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 13 2.2 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann 15 z 2.3 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern 17 @ gm 2.4 Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm 20 Tài liệu tham khảo m co l 2.5 Ví dụ số 33 37 an Lu n va ac th si Mở đầu Cho E khơng gian Banach, tốn xác định khơng điểm lớp tốn tử loại đơn điệu có vai trị quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến lu tối ưu hóa số ngành khoa học khác vật lý, kinh tế, y học Chẳng an hạn toán chấp nhận lồi khơng gian Hilbert H, tìm phần tử n va x∗ ∈ ∩N i=1 Ci 6= ∅, đưa tốn tìm khơng điểm chung họ hữu tn to hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai , vi phân hàm tập Ci , hay tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn gh p ie không gian Banach tương đương với tốn xác định khơng điểm hột họ tốn tử j-đơn điệu Do đó, vấn đề nghiên cứu phương pháp giải hệ phương nl w trình với tốn tử loại đơn điệu thu hút quan tâm nghiên cứu oa nhiều người làm toán giới d Khi A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert lu va an H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu đơn điệu trùng nhau), R T Rockafellar [17] đề xuất phương pháp điểm gần kề để xác định dãy oi lm ul nf {xn } sau: cn Axn+1 + xn+1 xn , x0 ∈ H, (0.1) z at nh cn > c0 > Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) thu hội tụ yếu dãy {xn } không điểm A z Năm 2006 tác giả H K Xu [24] năm 2009 tác giả Y Song, C Yang @ gm [19] đề xuất nghiên cứu cải biên phương pháp điểm gần kề cho l tốn xác định khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại A không gian m co Hilbert, ông hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định an Lu xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, (0.2) n va với số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {tn } dãy sai số tính tốn ac th si bước lặp {en }, JrAn = (I + rn A)−1 Việc nghiên cứu mở rộng kết H K Xu cho tốn xác định khơng điểm hay hữu hạn toán tử j-đơn điệu thu hút quan tâm nhiều người làm toán, như: D D Sahu J C Yao [18], T M Tuyen [22, 11] Mục đích đề tài trình bày lại số phương pháp xác định không điểm họ hữu hạn tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach Cụ thể, đề tài tập trung giải vấn đề sau: Trình bày hội tụ yếu phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương lu pháp lặp Mann hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề kết hợp an với phương pháp lặp Halpern cho tốn xác định khơng điểm va họ hữu hạn tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach với tính liên tục n Trình bày phương pháp prox-Tikhonov hiệu chỉnh với phương pháp xấp xỉ ie gh tn to yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy; p mềm dựa tốn tử Mier-Keeler co cho tốn xác định khơng điểm họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu không gian Banach với chuẩn w d oa nl khả vi Gâteaux Luận văn chia làm hai chương Chương chương có tính chất lu va an chuẩn bị, nhằm trình bày số kiến thức không gian Banach lồi đều, khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh xạ đối ngẫu, toán nf oi lm ul tử j-đơn điệu giới hạn Banach Chương luận văn tập chung trình bày lại số phương pháp cải tiến phương pháp điểm gần kề cho toán tìm z at nh khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử j-đơn điệu, với ví dụ số đơn giản tính tốn phần mềm Matlab, nhằm minh họa thêm cho z phương pháp m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach lồi n va khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux Mục 1.2 trình bày ánh xạ tn to đối ngẫu, toán tử j-đơn điệu giới hạn Banach, với số tính chất chúng Mục 1.3, giới thiệu số bổ đề cần sử dụng chứng minh gh p ie định lý chương sau luận văn Không gian Banach lồi khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux d oa nl w 1.1 an lu Trước hết, ta nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ va Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, oi lm phần tử x thuộc E cho ul nf với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn z at nh x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định l gm @ i) E không gian phản xạ z sau tương đương: ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu m co Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ an Lu n va E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < ac th si Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.2 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có ktx + (1 − t)yk < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : kxk = 1} Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có lu x + y ≤ − δ(ε) Dễ thấy E khơng gian Banach lồi khơng gian Banach an va n lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại khơng đúng, ví dụ điều tn to Ví dụ 1.1 [1] Xét X = c0 (không gian dãy số hội tụ không) với chuẩn p ie gh k.kβ xác định kxkβ = kxkc0 + β ∞ X |x |2 1/2 , x = (xi ) ∈ c0 nl w i=1 i i2 d lồi oa Khi đó, (X, k.kβ ), β > không gian lồi chặt không không gian lu va an Để đo tính lồi khơng gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: nf Định nghĩa 1.4 Cho E không gian Banach Khi đó, hàm δE (ε) : oi lm ul [0, 2] −→ [0, 1] gọi mô đun lồi E x + y n o δE (ε) = inf − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε Nhận xét 1.1 Mô đun lồi không gian Banach E hàm số xác định, liên tục z at nh tăng đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặt δE (2) = z gm @ Ngồi ra, khơng gian Banach E lồi δE (ε) > 0, ∀ε > Mệnh đề 1.2 [1] Mọi không gian Banach lồi khơng gian phản xạ l m co Định nghĩa 1.5 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn E gọi khả vi Gâteaux điểm x0 ∈ SE với y ∈ SE , tồn giới an Lu hạn (1.1) n va d kx0 + tyk − kx0 k (kx0 + tyk)t=0 = lim t→0 dt t ac th si Định nghĩa 1.6 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: a) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux x ∈ SE b) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn với x ∈ SE Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E gọi thỏa mãn điều kiện Opial với dãy {xn } ⊂ E thỏa mãn xn * x ∈ E, ta có lu an lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk, n→∞ n→∞ va n với y ∈ E mà y 6= x ie gh tn to Ví dụ 1.2 Mọi không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial p 1.2 1.2.1 oa nl w Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu giới hạn Banach Ánh xạ đối ngẫu d lu nf va cỡ ϕ an Dưới đây, giới thiệu khái niệm ánh xạ đối ngẫu tương ứng với hàm oi lm ul Định nghĩa 1.8 Một hàm liên tục, đơn điệu tăng ϕ : R+ −→ R+ gọi hàm cỡ ϕ(0) = limt→∞ ϕ(t) = ∞ z at nh Định nghĩa 1.9 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn ϕ ∗ hàm cỡ Khi đó, ánh xạ Jϕ : E −→ 2E xác định z @ gọi ánh xạ đối ngẫu ứng với hàm cỡ ϕ m co l gm Jϕ (x) = {f ∈ E ∗ : hx, f i = kxk.kf k, kf k = ϕ(kxk)}, x ∈ E Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đối ngẫu Jϕ ứng với hàm cỡ ϕ không gian Banach an Lu E gọi có tính liên tục yếu theo dãy Jϕ đơn trị {xn } ⊂ E n va thỏa mãn xn * x, Jϕ (xn ) hội tụ *yếu Jϕ (x) ac th si 17 Do αn (1 − αn )g N X  βn,i kxn − Jri xn k ≤ kxn − pk2 − kxn+1 − pk2 i=1 Từ điều kiện a) hội tụ dãy {kxn − pk}, ta nhận lim g N X n→∞  βn,i kxn − Jri xn k = 0, i=1 suy lim lu n→∞ N X βn,i kxn − Jri xn k = i=1 an va Từ điều kiện b), suy limn→∞ kxn − Jri xn k = với i ∈ {1, 2, , N } Vì n dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } hội tụ yếu tới x∗ Sử dụng Bổ đề Tiếp theo ta dãy {xn } hội tụ yếu tới x∗ Giả sử tồn dãy gh tn to −1 1.7 ta thu x∗ ∈ F (Jri ), tức x∗ ∈ ∩N i=1 Ai (0) p ie {xnk } dãy {xn } hội tụ yếu đến x¯ ∈ C, với x∗ 6= x¯ Tương tự ta có w −1 x¯ ∈ ∩N i=1 Ai (0) oa nl −1 Ta biết giới hạn limn→∞ kxn − pk tồn với p ∈ ∩N i=1 Ai (0) Do đó, d ta giả sử limn→∞ kxn − x∗ k = d, với d số thực không âm Theo giả thiết, an lu E thỏa mãn điều kiện Opial nên va d = lim inf kxnj − x∗ k < lim inf kxnj − x¯k j→∞ j→∞ nf k→∞ oi lm ul = lim inf kxnk − x¯k < lim inf kxnk − x∗ k = d z at nh k→∞ Điều mâu thuẫn, x∗ = x¯ Suy {xn } hội tụ yếu x∗ z Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern m co l gm @ 2.3 Dưới đây, giới thiệu kết S Wang, T Li tài liệu [26] an Lu cho tốn xác định khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach lồi chặt có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy, n va kết hợp phương pháp điểm gần kề phương pháp lặp Halpern ac th si 18 Định lí 2.2 [26] Cho E khơng gian Banach lồi chặt phản xạ, có ánh xạ đối ngẫu Jϕ ứng với hàm cỡ ϕ liên tục yếu theo dãy cho Ai , ≤ i ≤ N −1 N toán tử m-j-đơn điệu E với ∩N i=1 D(Ai ) tập lồi ∩i=1 Ai (0) khác rỗng Cho {αn } {βn,i } dãy số thực dương nằm khoảng (0, 1), {ri }N i=1 số thực dương Cho {xn } dãy xác định x, x1 ∈ ∩N i=1 D(Ai ) xn+1 = αn x + (1 − αn ) N X βn,i Jri xn , ∀n ≥ 1, (2.9) i=1 lu Jri = (I + ri Ai )−1 Nếu điều kiện sau thỏa mãn P∞ P∞ a) limn→∞ αn = 0, n=1 αn = ∞ n=1 |αn+1 − αn | < ∞, an n va b) PN i=1 βn,i = 1, limn→∞ βn,i = βi P∞ n=1 |βn+1,i − βn,i | < ∞ −1 N ánh xạ co rút không giãn theo tia từ ∩N i=1 D(Ai ) lên ∩i=1 Ai (0) gh tn to dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ Q∩Ni=1 A−1 x với Q∩Ni=1 A−1 i (0) i (0) p ie −1 Chứng minh Trước tiên, ta dãy {xn } bị chặn Cố định p ∈ ∩N i=1 Ai (0), N X kxn+1 − pk ≤ αn kx − pk + (1 − αn ) βn,i Jri xn − p d oa nl w ta có βn,i kJri xn − pk an lu ≤ αn kx − pk + (1 − αn ) i=1 N X va i=1 Do oi lm ul nf ≤ αn kx − pk + (1 − αn )kxn − pk z at nh kxn+1 − pk ≤ max{kx − pk, kx1 − pk}, z suy dãy {xn } bị chặn PN Đặt yn = i=1 βn,i Jri xn , ta có @ i=1 i=1 l gm N N X X kyn − yn−1 k ≤ βn,i Jri xn − βn,i Jri xn−1 ≤ kxn − xn−1 k + i=1 N X |βn,i − βn−1,i |kJri xn−1 k n va i=1 an Lu i=1 m co N N X X + βn,i Jri xn−1 − βn−1,i Jri xn−1 ac th si 19 Suy kxn+1 − xn k ≤ (1 − αn )kyn − yn−1 k + |αn − αn−1 |kx − yn−1 k ≤ (1 − αn )kxn − xn−1 k + N X |βn,i − βn−1,i |kJri xn−1 k i=1 + |αn − αn−1 |kx − yn−1 k Từ giả thiết a), b) Bổ đề 1.8, ta nhận lim kxn+1 − xn k = (2.10) n→∞ lu an PN Đặt S = n va ∩N i=1 F (Jri ) = i=1 βi Jri Từ Bổ −1 ∩N i=1 Ai (0) Mặt đề 1.5, S ánh xạ không giãn với F (S) = khác to N X ≤ kxn − xn+1 k + αn kx − Sxn k + βn βn,i Jri xn − Sxn p ie gh tn kSxn − xn k ≤ kxn − xn+1 k + kxn+1 − Sxn k i=1 |βn,i − βi |kJri xn k i=1 d oa nl w ≤ kxn − xn+1 k + αn kx − Sxn k + N X an lu Kết hợp điều kiện a), b) (2.10) ta thu va lim kSxn − xn k = (2.11) Tiếp theo, ta chứng minh oi lm ul nf n→∞ lim suphx − QF (S) x, Jϕ (xn − QF (S) xi ≤ (2.12) z at nh n→∞ z Từ Chú ý 1.12, Q∩Ni=1 A−1 ánh xạ co rút không giãn theo tia từ ∩N i=1 D(Ai ) i (0) n→∞ l lim suphx − QF (S) x,Jϕ (xn − QF (S) )xi gm @ −1 lên ∩N i=1 Ai (0) Giả sử {xnk } dãy dãy {xn } cho m co (2.13) = lim hx − QF (S) x, Jϕ (xnk − QF (S) x)i k→∞ an Lu Từ giả thiết không gian Banach E phản xạ C tập lồi, đóng n va E, nên tồn dãy dãy {xnk } hội tụ yếu phần tử thuộc C ac th si 20 Khơng tính tổng qt, ta giả sử xnk * x¯ với x¯ ∈ ∩N i=1 D(Ai ) Từ Mệnh đề 1.4 tính liên tục yếu theo dãy jϕ , suy lim sup Φ(kxnk − yk) = lim sup Φ(kxnk − x¯k + Φ(ky − x¯k), ∀y ∈ E k→∞ k→∞ Đặt g(x) = lim supk→∞ Φ(kxnk − yk), ∀x ∈ E Khi đó, g(x) = f (¯ x) + Φ(kx − x¯k), ∀x ∈ E (2.14) Từ (2.11), ta nhận lu g(S x¯) = lim sup Φ(kxnk − S x¯k) = lim sup Φ(kSxnk − S x¯k) an k→∞ k→∞ (2.15) va ≤ lim sup Φ(kxnk − x¯k) = g(¯ x) n k→∞ tn to Từ (2.14), suy (2.16) ie gh g(S x¯) = g(¯ x) + Φ(kS x¯ − x¯k) p Kết hợp (2.15) (2.16), ta nhận Φ(kS x¯ − x¯k) ≤ Do S x¯ = x¯, hay nl w −1 x¯ ∈ F (S) = ∩N i=1 Ai (0) (2.12) chứng minh d ta có oa Để kết thúc chứng minh, ta xn → QF (S) x n → ∞ Từ Mệnh đề 1.4, an lu oi lm ul nf va Φ(kxn+1 − QF (S) xk) N    X = Φ αn (x − QF (S) x) + (1 − αn ) βn,i Jri xn − QF (S) x i=1 ≤ (1 − αn )Φ(kxn − QF (S) xk) + αn hx − QF (S) x, Jϕ (xn+1 − QF (S) x)i z at nh Từ Bổ đề 1.8 ta thấy Φ(kxn −QF (S) xk) → hay limn→∞ kxn −QF (S) xk = z Định lý chứng minh gm @ 2.4 m co l Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm an Lu Để thu hội tụ mạnh, năm 1996 Lehdili Moudafi [12] đề xuất kết hợp phương pháp điểm gần kề phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov gọi n va phương pháp prox-Tikhonov Năm 2006, Xu [24] năm 2009 Song Yang ac th si 21 [19], mở rộng kết nghiên cứu Lehdili Muodafi cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert, dạng tổng quát Dưới đây, giới thiệu kết nghiên cứu T.M Tuyen tài liệu [22] toán xác định khơng điểm chung tốn tử j-đơn điệu dựa kết hợp phương pháp prox-Tikhonov với phương pháp xấp xỉ mềm Định lí 2.3 [22] Cho E không gian Banach lồi chặt phản xạ, có ánh lu xạ đối ngẫu Jϕ ứng với hàm cỡ ϕ liên tục yếu theo dãy Cho C tập khác Q rỗng, lồi, đóng E f ∈ C ánh xạ co với hệ số co c ∈ (0, 1) Cho an va Ai : C → E, i = 1, 2, , N họ hữu hạn toán tử m-j-đơn điệu thỏa mãn n tn to ∩N i=1 N (Ai ) 6= ∅ Cho {xn } dãy xác định sau: (2.17) p ie gh xn+1 = SN (αn f (xn ) + (1 − αn )(xn )), x0 ∈ C, SN = a0 I + a1 JA1 + a2 JA2 + + aN JAN , JAi = (I + Ai )−1 với {αn } dãy oa nl w số thực dương thuộc khoảng (0, 1) Nếu dãy {αn } thỏa mãn điều kiện d i) limn→∞ αn = 0, lu P∞ = ∞, iii) P∞ − αn−1 | < ∞ |αn − αn−1 | =0 αn oi lm ul iii*) limn→∞ nf n=1 |αn va n=1 αn an ii) z at nh xn hội tụ mạnh đến nghiệm chung phương trình Ai (x) = với z i = 1, 2, , N @ l gm Chứng minh Dễ thấy F (SN ) = ∩ri=1 N (Ai ) 6= ∅ Giả sử p ∈ F (Sr ), ta có kxn+1 − pk = kSr (αn f (xn ) + (1 − αn )xn ) − Sr (p)k m co ≤ kαn (f (xn ) − f (p)) + (1 − αn )(xn − p) + αn (f (p) − p)k kf (p) − pk 1−c an Lu ≤ [1 − αn (1 − c)]kxn − pk + αn (1 − c) n va ac th si 22 ≤ max{kxn − pk, kf (p) − pk } 1−c ≤ max{kx0 − pk, kf (p) − pk } 1−c Suy {xn } {f (xn )} bị chặn Giả sử max{sup kxn k, sup kf (xn )k} ≤ K Khi kxn+1 − Sr (xn )k = kSr (αn f (xn ) + (1 − αn )xn ) − Sr (xn )k (2.18) ≤ αn kf (xn ) − xn k → 0, n → ∞ lu an Từ 2.17, ta có va n kxn+1 − xn k ≤ αn kf (xn ) − f (xn−1 )k + |αn − αn−1 |kf (xn−1 k to tn + (1 − αn )kxn − xn−1 k + |αn − αn−1 |kxn−1 k ie gh ≤ [1 − αn (1 − c)]kxn − xn−1 k + (1 − c)αn βn , p |αn − αn+1 | αn (1 − c) Ta xét trường hợp sau: oa nl w đây, βn = 2K Trường hợp Điều kiện iii) thỏa mãn Khi d lu va an kxn+1 − xn k ≤ [1 − αn (1 − c)]kxn − xn−1 k + σn , P∞ ul nf với σn = 2K|αn − αn−1 | Do n=1 σn < ∞ oi lm Trường hợp Điều kiện iii*) thỏa mãn Khi z at nh kxn+1 − xn k ≤ [1 − αn (1 − c)]kxn − xn−1 k + σn , với σn = (1 − c)αn βn Do σn = o((1 − c)αn ) z @ Trong trường hợp, từ Bổ đề 1.8, suy kxn+1 − xn k → 0, n → ∞ từ l gm (2.18) ta kxn − Sr (xn )k ≤ kxn+1 − xn k + kxn+1 − Sr (xn )k → 0, n → ∞ m co an Lu Tiếp theo, ta (2.20) n va lim suph(I − f )Q(f ), Jϕ (Q(f ) − xn )i ≤ 0, n→∞ (2.19) ac th si 23 đây, Q(f ) xác định Chú ý 1.12 Giả sử {xnk } dãy dãy {xn } cho lim suph(I − f )Q(f ), Jϕ (Q(f ) − xn )i n→∞ (2.21) = lim h(I − f )Q(f ), Jϕ (Q(f ) − xnk )i n→∞ Từ giả thiết không gian Banach E phản xạ C tập lồi, đóng E, nên tồn dãy dãy {xnk } hội tụ yếu phần tử thuộc C Khơng tính tổng quát, ta giả sử xnk * x¯ với x¯ ∈ C Từ tính liên tục lu yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu Jϕ Mệnh đề 1.4 ta có an va lim sup Φ(kxnk − xk) = lim sup Φ(kxnk − x¯k) + Φ(kx − x¯k), ∀x ∈ E n→∞ n→∞ n tn to Nếu đặt gh g(x) = lim sup Φ(kxnk − xk), ∀x ∈ E, n→∞ p ie g(x) = g(¯ x) + Φ(kx − x¯k), ∀x ∈ E (2.22) nl w d oa Từ (2.19), suy lu g(Sr (¯ x)) = lim sup Φ(kxnk − Sr (¯ x)k) = lim sup Φ(kSr (xnk ) − Sr (¯ x)k) (2.23) n→∞ ul nf va an n→∞ oi lm ≤ lim sup Φ(kxnk − x¯k) = g(¯ x) n→∞ z at nh Từ (2.22), suy g(Sr (¯ x)) − g(¯ x) = Φ(kSr (¯ x) − x¯k) (2.24) z Kết hợp (2.23) (2.24), ta nhận Φ(kSr (¯ x) − x¯k) ≤ Do Sr (¯ x) = x¯, l gm @ điều có nghĩa x¯ ∈ F (Sr ) Suy lim suph(I − f )Q(f ), Jϕ (Q(f ) − xn )i m co n→∞ = h(I − f )Q(f ), Jϕ (Q(f ) − x¯)i ≤ an Lu Vậy (2.20) chứng minh n va Cuối cùng, ta chứng minh dãy {xn } hội tụ mạnh đến Q(f ) n → ∞ ac th si 24 Từ tính chất hàm Φ Mệnh đề 1.4 ta có Φ(kxn+1 − Q(f )k) = Φ(kSr (αn f (xn ) + (1 − αn )xn ) − Sr (Q(f ))k) ≤ Φ(kαn f (xn ) + (1 − αn )xn − Q(f )k) ≤ Φ(αn kf (xn ) − f (Q(f ))k + αn kf (Q(f )) − Q(f )k + (1 − αn )kxn − Q(f )k ≤ Φ([1 − αn (1 − c)]kxn − Q(f )k + αn kf (Q(f )) − Q(f )k) ≤ Φ([1 − αn (1 − c)]kxn − Q(f )k) + αn hf (Q(f )) − Q(f ), Jϕ (xn+1 − Q(f ))i lu an ≤ [1 − αn (1 − c)]Φ(kxn − Q(f )k) va n + αn hf (Q(f )) − Q(f ), Jϕ (xn+1 − Q(f ))i tn to Từ điều kiện i) (2.20) ta thấy giả thiết Bổ đề 1.8 ie gh thỏa mãn từ suy Φ(kxn+1 − Q(f )k) → 0, n → ∞, hay p xn → Q(f ) nl w Chú ý 2.4 Nếu ta thay r = ta lấy S1 = JA = (I + A)−1 tính d oa lồi chặt E số thực , i = 0, không cần thiết lu an Hệ 2.1 [22] Cho E không gian Banach phản xạ có ánh xạ đối ngẫu Jϕ ul nf va tương ứng với hàm cỡ ϕ liên tục yếu theo dãy, C tập khác rỗng, lồi, đóng Q E cho f ∈ C ánh xạ co với hệ số co c ∈ (0, 1) Cho A : C → E oi lm toán tử m-j-đơn điệu với N (A) 6= ∅ Cho x0 ∈ C {xn } xác định sau xn+1 = JA (αn f (xn ) + (1 − αn )xn ), ∀n ≥ 0, z at nh (2.25) JA = (I + A)−1 {αn } ⊂ (0, 1) Nếu dãy {αn } thỏa mãn điều kiện z iii) P∞ − αn−1 | < ∞ n=1 |αn n va |αn − αn−1 | =0 αn an Lu iii*) limn→∞ m co = ∞, n=1 αn l P∞ gm ii) @ i) limn→∞ αn = 0, ac th si 25 {xn } hội tụ mạnh tới nghiệm phương trình Ai = Chú ý 2.5 Hệ 2.1 tổng quát kết Xu [24] (Định lý 3.3) Tiếp theo, mục này, giới thiệu số kết nghiên cứu J.K Kim T.M Tuyen tài liệu [11] cho tốn xác định khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử j-đơn điệu khơng gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux phương pháp xấp xỉ mềm dựa ánh xạ Meir-Keeler co Ta có định lí sau: lu Định lí 2.4 Cho E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux an C tập lồi đóng E có tính chất điểm bất động va n ánh xạ không giãn Cho T ánh xạ không giãn C Khi đó, với tn to φ ∈ ΣC với t ∈ (0, 1), tồn điểm bất động vt ∈ C ánh xạ gh Meir-Keeler co C v 7−→ tφvt + (1 − t)T vt {vt } hội tụ mạnh t → p ie x∗ ∈ F (T ) nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.26) oa nl w hx∗ − φx∗ , j(x∗ − x)i ≤ với x ∈ F (T ) Chứng minh Từ Bổ đề 1.2, ánh xạ C v 7−→ tφvt + (1 − t)T vt Meir-Keeler d vt = tφvt + (1 − t)T vt ul nf va an lu co C Do đó, tồn phần tử vt ∈ C thỏa mãn Trường hợp kvt − pk ≤ ε oi lm Ta {vt } bị chặn Thật vậy, lấy p ∈ F (T ) ε > Trường hợp kvt − pk ≥ ε z at nh Trong trường hợp này, dễ thấy {xt } bị chặn z Từ Bổ đề 1.1, tồn r ∈ (0, 1) cho kφvt − φpk ≤ rkvt − pk Do đó, ta có l gm @ kvt − pk = ktφvt + (1 − t)T vt − pk m co ≤ tkφvt − φpk + tkφp − pk + (1 − t)kvt − pk ≤ rtkvt − pk + tkφp − pk + (1 − t)kvt − pk kφp − pk 1−r n va kvt − pk ≤ an Lu Suy ra, ac th si 26 Từ đó, ta nhận {vt } bị chặn tập hợp {φvt }, {T vt } bị chặn Từ tính bị chặn {vt }, {φvt } {T vt }, ta có kvt − T vt k = tkφvt − T vt k −→ t → Giả sử tn → Đặt := vtn xác định ánh xạ ϕ : C −→ R+ ϕ(x) = LIMn kvn − xk2 , với x ∈ C đặt lu M = {y ∈ C : ϕ(y) = inf ϕ(x)} x∈C an va Vì E khơng gian phản xạ, ϕ(x) → ∞ kxk → ∞ ϕ hàm lồi liên n tục, nên từ Barbu and Precupanu [2], ta nhận M khác rỗng Từ Takahashi tn to [21], ta có M tập lồi, đóng bị chặn ie gh Với x ∈ M , từ kvn − T k →0 n → ∞, ta có p ϕ(T x) = LIMn kvn − T xk2 nl w ≤ LIMn (kvn − T k + kT − T xk)2 d oa ≤ LIMn kT − T xk2 an lu ≤ LIMn kvn − xk2 = ϕ(x) nf va Do M bất biến T , tức là, T (M ) ⊂ M Từ giả thiết, ta có M ∩F (T ) 6= ∅ Đặc biệt, LIMn hx − x∗ , j(vn − x∗ )i ≤ với x ∈ C (2.27) z at nh oi lm ul Lấy x∗ ∈ M ∩ F (T ) từ Bổ đề 1.3, ta nhận (2.28) LIMn hφx∗ − x∗ , j(vn − x∗ )i ≤ z l đó, tồn dãy {vnk } {vn } cho gm @ Giả sử LIMn kvn − x∗ k2 ≥ ε > Từ (1.4), lim supn→∞ kvn − x∗ k2 ≥ ε Do m co kvnk − x∗ k ≥ ε0 với k ≥ 1, n va kφvnk − φx∗ k ≤ rkvnk − x∗ k an Lu √ ε0 ∈ (0, ε) Từ Bổ đề 1.2, tồn r0 ∈ (0, 1) cho ac th si 27 Từ hT vnk − vnk , j(vnk − x∗ )i ≤ với k ≥ 1, ta có kvnk − x∗ k2 = thφvnk − x∗ , j(vnk − x∗ )i + (1 − t)hT vnk − x∗ , j(vnk − x∗ )i ≤ thφvnk − x∗ , j(vnk − x∗ )i + (1 − t)kvnk − x∗ k2 , điều suy kvnk − x∗ k2 ≤ hφvnk − x∗ , j(vnk − x∗ )i lu ≤ hφvnk − x, j(vnk − x∗ )i + hφx − x∗ , j(vnk − x∗ )i, an n va với x ∈ C Do vậy, từ (2.27), ta nhận tn to LIMn kvnk − x∗ k2 ≤ LIMn hφvnk − x, j(vnk − x∗ )i + LIMn hφx − x∗ , j(vnk − x∗ )i p ie gh ≤ LIMn kφvnk − xk kvnk − x∗ k, với x ∈ C oa nl w Đặc biệt, d LIMn kvnk − x∗ k2 ≤ LIMn kφvnk − φx∗ k kvnk − x∗ k va an lu ≤ r0 LIMn kvnk − x∗ k2 , nf điều vô lý Vì vậy, LIMn kvn − x∗ k = tồn dãy {vnk } oi lm ul {vn } cho vnk → x∗ k → ∞ Giả sử {vnl } dãy khác {vn } cho vnl → y ∗ với y ∗ 6= x∗ Dễ z at nh thấy y ∗ ∈ F (T ) Từ Bổ đề 1.2, tồn r1 ∈ (0, 1) cho kφx∗ − φy ∗ k ≤ r1 kx∗ − y ∗ k (2.29) z ≤ |hvn − φvn , j(vn − y ∗ )i − hx∗ − φx∗ , j(vn − y ∗ )i| an Lu + |hx∗ − φx∗ , j(vn − y ∗ )i − hx∗ − φx∗ , j(x∗ − y ∗ )i m co l |hvn − φvn , j(vn − y ∗ )i − hx∗ − φx∗ , j(x∗ − y ∗ )i| gm @ Chú ý n va ≤ kvn − φvn − (x∗ − φx∗ )k kvn − y ∗ k + |hx∗ − φx∗ , j(vn − y ∗ ) − j(x∗ − y ∗ )i| ac th si 28 với n ∈ N Vì vnk → x∗ j norm-weak* liên tục đều, ta thu hx∗ − φx∗ , j(x∗ − y ∗ )i ≤ Tương tự, ta có hy ∗ − φy ∗ , j(y ∗ − x∗ )i ≤ Cộng hai bất đẳng thức trên, ta nhận hx∗ − y ∗ − (φx∗ − φy ∗ ), j(x∗ − y ∗ )i ≤ 0, kết hợp với (2.29), suy lu an kx∗ − y ∗ k ≤ r1 kx∗ − y ∗ k, n va tn to vô lý Do {vtn } hội tụ mạnh x∗ Bây giờ, ta {vt } hội tụ mạnh x∗ t → Giả sử tồn dãy ie gh {sn }, sn ∈ (0, 1) với n sn → n → ∞ cho vsn → z ∗ p n → ∞ Khi đó, z ∗ ∈ F (T ) nl w Với t z ∈ F (T ), ta có d oa hvt − φvt , j(vt − z)i = 1−t hT vt − vt , j(vt − z)i ≤ t lu an Do đó, ta nhận nf va hvtn − φvtn , j(vtn − z ∗ ) ≤ 0, oi lm ul hvsn − φvsn , j(vsn − x∗ ) ≤ 0, điều suy z at nh hx∗ − φx∗ , j(x∗ − z ∗ ) ≤ and hz ∗ − φz ∗ , j(z ∗ − x∗ ) ≤ z Bởi lập luận tương tự trên, ta thu x∗ = z ∗ Suy {vt } hội tụ mạnh @ gm x∗ dễ thấy x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân Định lí chứng minh m co l hx∗ − φx∗ , j(x∗ − x)i ≤ với x ∈ F (T ) an Lu Chú ý 2.6 Cho Q ánh xạ co rút khơng giãn từ C lên F (T ) Bởi tính n va Q bất đẳng thức (2.26), ta nhận Qφx∗ = x∗ ac th si 29 Định lí 2.5 Cho E khơng gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux cho T ánh xạ không giãn C với F (T ) 6= ∅ giả sử {xn } dãy bị chặn cho xn − T xn → n → ∞ Cho xt = tφxt + (1 − t)T xt với t ∈ (0, 1), φ ∈ ΣC Giả sử x∗ = limt→0 xt tồn Khi lim suph(φ − I)x∗ , j(xn − x∗ )i ≤ (2.30) n→∞ Chứng minh Đặt M = sup{kxn − xt k : t ∈ (0, 1), n ≥ 0} Khi đó, ta có kxt − xn k2 = thφxt − xn , j(xt − xn )i + (1 − t)hT xt − xn , j(xt − xn )i lu = thφxt − xt , j(xt − xn )i + tkxt − xn k2 an + (1 − t)hT xt − T xn , j(xt − xn )i + (1 − t)hT xn − xn , j(xt − xn )i va n ≤ hφxt − xt , j(xt − xn )i + tkxt − xn k2 to gh tn + (1 − t)kxt − xn k2 + M kxn − T xn k p ie điều suy M kxn − T xn k t nl w hφxt − xt , j(xn − xt )i ≤ d oa Cố định t cho n → ∞ ta nhận n→∞ an lu lim suph(φ − I)x∗ , j(xn − x∗ )i ≤ ul nf va Định lí chứng minh oi lm Tiếp theo, cho E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux cho C tập lồi đóng E có tính chất điểm bất động z at nh ánh xạ không giãn Cho Ai : E −→ 2E toán tử j-đơn điệu, −1 = 1, 2, , N cho S = ∩N i=1 Ai 6= ∅ D(Ai ) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rAi ) với z i = 1, 2, , N @ z0 ∈ C, l gm Với φ ∈ ΣC , ta nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp {zn } xác định zn+1 = SN (αn φzn + (1 − αn )zn ) với n ≥ 0, m co (2.31) an Lu SN := a0 I + a1 J A1 + a2 J A2 + + aN J AN với a0 , a1 , , aN số PN thực nằm khoảng (0, 1) cho i=0 = {αn } ⊂ (0, 1) dãy số n va thực dương, điều kiện: ac th si 30 (C1) limn→∞ αn = 0, (C2) P∞ n=1 |αn P∞ n=1 αn = ∞, − αn−1 | < ∞ limn→∞ |αn − αn−1 | = 0, αn Trước hết, ta có định lí sau: Định lí 2.6 Nếu dãy {αn } thỏa mãn điều kiện (C1)-(C2), dãy {xn } xác định xn+1 = SN (αn u + (1 − αn )xn ) với n ≥ 0, (2.32) hội tụ mạnh Qu, u ∈ C Q ánh xạ co rút không giãn theo lu an tia từ C lên S n va −1 Chứng minh Từ Bổ đề 1.5, ta có F (SN ) = ∩N 6= ∅ Với p ∈ F (SN ), i=1 Ai tn to ta có ie gh kxn+1 − pk = kSN (αn u + (1 − αn )xn ) − SN (p)k p ≤ (1 − αn )kxn − pk + αn ku − pk w ≤ max{kxn − pk, ku − pk} (2.33) oa nl d ≤ max{kx0 − pk, ku − pk} an lu nf va Do {xn } bị chặn giả sử max{sup kxn k, kuk} ≤ K Suy ul kxn+1 − SN (xn )k = kSN (αn u + (1 − αn )xn ) − SN (xn )k oi lm (2.34) ≤ αn kf (xn ) − xn k → 0, n → ∞ z at nh Từ (2.32), ta thu z kxn+1 − xn k = kSN (αn u + (1 − αn )xn ) − SN (αn−1 u + (1 − αn−1 )xn−1 )k @ l gm ≤ (1 − αn )kxn − xn−1 k + αn βn , m co |αn − αn−1 | Ta xét hai trường hợp sau: αn P ∞ Trường hợp Điều kiện n=1 |αn − αn−1 | < ∞ thỏa mãn Khi đó, βn = 2K an Lu kxn+1 − xn k ≤ (1 − αn )kxn − xn−1 k + σn , n va ac th si 31 với σn = 2K|αn − αn−1 | Trường hợp Điều kiện P∞ n=1 σn < ∞ |αn − αn−1 | limn→∞ αn = thỏa mãn Khi đó, kxn+1 − xn k ≤ (1 − αn )kxn − xn−1 k + σn , vớiσn = αn βn σn = o(αn ) Từ trường hợp Bổ đề 1.8 suy kxn+1 − xn k → n → ∞ từ (2.34) ta nhận kxn − SN xn k ≤ kxn+1 − xn k + kxn+1 − SN xn k → n → ∞ (2.35) lu an Đặt yn = αn u + (1 − αn )xn , ta có va n kyn − xn k = αn ku − xn k −→ n −→ ∞, gh tn to điều suy p ie kyn − SN yn k ≤ kyn − xn k + kxn − SN xn k + kSN xn − SN yn k nl w ≤ 2kyn − xn k + kxn − SN xn k −→ n −→ ∞ oa Với t ∈ (0, 1), đặt xt = tu + (1 − t)SN xt Áp dụng Định lí 2.4 với φx = u d c ∈ C, ta có {xt } hội tụ mạnh x∗ ∈ F (SN ) thỏa mãn Qu = x∗ Từ Định lu va an lí 2.5 suy lim supn→∞ hu − x∗ , j(yn − x∗ )i ≤ Chú ý ul nf kyn − x∗ k2 = hαn u + (1 − αn )xn ) − x∗ , j(yn − x∗ )i oi lm ≤ (1 − αn )kxn − x∗ k kyn − x∗ k + αn hu − x∗ , j(yn − x∗ )i − αn (kxn − x∗ k2 + kyn − x∗ k2 ) + αn hu − x∗ , j(yn − x∗ )i z at nh Do z m co l Tiếp theo, ta có gm @ kyn − x∗ k2 ≤ (1 − αn )kxn − x∗ k2 + 2αn hu − x∗ , j(yn − x∗ )i kxn+1 − x∗ k2 ≤ (1 − αn )kxn − x∗ k2 + 2αn hu − x∗ , j(yn − x∗ )i (2.36) an Lu Do vậy, áp dụng Bổ đề 1.8 vào (2.36) ta nhận điều phải chứng minh n va Định lí chứng minh ac th si