(Luận văn) một số phương pháp tìm cực trị của các hàm phân thức sinh bởi số tự nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN KIM THU lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN KIM THU lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN oa nl w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp d Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) z an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 m co l gm @ GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu ac th si i Mục lục MỞ ĐẦU iii lu an n va p ie gh tn to Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 1.1 Tính chất đa thức với hệ số nguyên 1.2 Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên phân thức nhận giá trị hữu tỉ 1.3 Biểu diễn đơn vị thành tổng phân số Ai Cập với mẫu số nguyên dương đặc biệt w d oa nl Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh số hữu tỷ 12 2.1 Một số phương pháp giải toán cực trị đa thức phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 12 2.1.1 Phương pháp so sánh bậc hai 12 2.1.2 Phương pháp so sánh phân thức dạng bậc hai bậc 15 2.1.3 Phương pháp tìm cực trị với ràng buộc theo tổng số 21 2.2 Sử dụng phân thức quy giải toán cực trị liên quan 27 oi lm ul nf va an lu z at nh z l gm @ m co Một số dạng toán liên quan 32 3.1 Một số dạng toán cực trị tập số nguyên 32 3.2 Một số dạng toán số tự nhiên từ đề thi Olympic 38 an Lu 44 n va KẾT LUẬN ac th si ii 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii MỞ ĐẦU Chuyên đề đa thức phân thức chuyên đề quan trọng lu bậc trung học phổ thông trung học sở Các tính chất đa an thức phân thức liên quan chặt chẽ với tính chất số nguyên va số hữu tỷ Một phương pháp khảo sát đa thức phân thức n sát tính chất số học số tự nhiên số hữu tỷ gh tn to hữu tỷ hữu hiệu việc sử dụng công cụ hữu ích từ việc khảo p ie Trong kì thi học sinh giỏi toán cấp, toán liên quan tới đa thức phân thức với hệ số nguyên (ta gọi chung phân thức nl w sinh số tự nhiên) thường xuyên đề cập Những dạng toán d oa thường xem thuộc loại khó cần kiến thức sâu sắc số học an lu kết hợp với kiến thức đa thức phân thức thường không nằm chương trình thống chương trình tốn bậc trung học ul nf va phổ thông oi lm Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức phân thức với hệ số nguyên hệ số hữu tỷ, z at nh em chọn đề tài luận văn “Một số phương pháp tìm cực trị hàm phân thức sinh số tự nhiên” z @ Mục tiêu luận văn nhằm hệ thống số kiến thức số học gm đa thức với hệ số nguyên cung cấp số phương pháp tìm cực trị m co l hàm phân thức sinh số tự nhiên Tiếp theo, xét tốn cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình số dạng liên an Lu quan Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận ba chương n va Chương Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên ac th Chương Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh si iv số hữu tỷ Chương Một số dạng toán liên quan Tiếp theo, chương trình bày hệ thống tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên lu an n va 1.1 Tính chất đa thức với hệ số nguyên ie gh tn to Trong phần này, trình bày số tính chất đa thức với hệ số nguyên p Định nghĩa 1.1 (xem [1]-[2]) Cho L ⊂ R Đa thức P (x) ∈ L[x] gọi khả quy L[x] tồn đa thức Q(x) T (x) thuộc L[x] với bậc lớn cho P (x) = Q(x).T (x) Trong trường hợp ngược lại gọi bất khả quy L[x] d oa nl w lu ul nf va an Định nghĩa 1.2 (xem [1]-[2]) Tập hợp tất đa thức khả quy L[x] ký hiệu L∗ [x] oi lm Tính chất 1.1 Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] với bậc lớn phân tích thành nhân tử bậc nhân tử bậc hai nên coi P (x) ∈ R∗ [x] z at nh z Định nghĩa 1.3 (xem [1]-[2]) Đa thức thuộc Z[x] gọi đa thức nguyên hệ số nguyên tố (có thể khơng đơi ngun tố nhau) l gm @ m co Tính chất 1.2 Nếu f (x) ∈ Z[x] tồn đa thức a nguyên phân số tối giản , a ∈ Z, b ∈ N∗ cho f (x) = b a f1 (x) b an Lu va n Bổ đề 1.1 (Bổ đề Gauss) Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên ac th si Chứng minh Cho hai đa thức nguyên P (x) = an xn an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 lu P (x).Q(x) = cm+n xm+n + cm+n−1 xm+n−1 + · · · + c1 x + c0 Giả sử tích khơng ngun tồn số ngun tố p ước chung hệ số c0 , c1 , , cm+n Vì P nguyên nêu gọi i số nhỏ mà không chia hết cho p j số nhỏ cho bj không chia hết cho p Khi đó, xét cj+i ta thấy hệ số tương ứng khơng chia hết cho p, vơ lý Vậy tích nguyên an n va p ie gh tn to Tính chất 1.3 Nếu đa thức P (x) ∈ Z[x], deg P > mà không thuộc Z∗ [x] khơng thuộc Q∗ [x] d oa nl w Định lý 1.1 (xem [1]-[2]) Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x], an 6= 0, a, b hai số nguyên khác Khi đó, f (a) − f (b) (a − b) oi lm ul nf va an lu Bổ đề 1.2 (Khai triển Newton) Cho n m số nguyên dương Với x = (x1 , x2 , · · · , xn ) Rn , ta có X m! m (x1 + x2 + · · · + xn ) = xα , (1.1) α! |α|=m z at nh α! = α1 !α2 ! · · · αn ! với α = (α1 , α2 , · · · , αn ) Nn , xα = xα1 xα2 xαnn tổng chạy qua tất α có Nn thỏa mãn |α| = α1 + α2 + · · · + αn = m z @ |α|=m m co l gm Chứng minh Với n = theo nhị thức Newton, ta có m m X X m! α1 α2 m! j m−j m (x1 +x2 ) = x1 x2 = x1 x2 , α1 = j, α2 = m−j j!(m − j)! α !.α ! j=0 an Lu Giả sử đẳng thức (1.18) n − Đặt X = x1 + x2 + + xn−1 , α0 = (α1 , α2 , , αn ) Khi ta có αn m! X m−αn xαnn (m − αn )!.αn ! =0 ac th (x1 + x2 + · · · + xn ) = (X + xn ) = m X n m va m si m X m! xαnn (x1 + x2 + · · · + xn−1 )m−αn (m − αn )!.αn ! =0 = = αn m X αn m! xαnn (m − αn )!.αn ! =0 X = |α|=m X |α0 =m−αn (m − αn )! xα α1 !α2 ! αn−1 ! m! xα1 xα2 xαnn α1 !α2 ! αn ! Bổ đề chứng minh lu Định lý 1.2 (Khai triển Taylor, xem [1]-[2]) Cho đa thức an va n f (x) = n X aj xj (1.2) Khi đó, hệ số thứ j f (x) biểu diễn p ie gh tn to j=0 (j) f (0), j! (1.3) nl w aj = d oa f (j) (0) ứng với đạo hàm cấp j va an lu Bổ đề 1.3 Cho n số nguyên dương Ta đặt  n n g(x) = x + x + · · · + x n oi lm Khi g (n) (0) = n! ul nf (1.4) z at nh Chứng minh Ta có n  n−1 n = xn h(x), g(x) = x + x + · · · + x n (1.5) z  n (1.6) an Lu Áp dụng công thức Leibniz 1 + x + · · · + xn−1 n m co h(x) = l gm @ n va ac th si g (n) n X n! (n − j)!j!  d dx n−j  d (x) = x dx j=0  j n X d n!n! = xj h(x) (n − j)!j!j! dx j=0 n j h(x) (1.7) Do đó, ta thu g (n) (0) = n!h(0) = n! (1.8) Bổ đề chứng minh lu an 1.2 n va Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên phân thức nhận giá trị hữu tỉ p ie gh tn to Tiếp theo, ta nhắc lại số tính chất phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên dạng phân thức nhận giá trị hữu tỉ tập số tự nhiên d oa nl w Định nghĩa 1.4 Hàm số f : R → R gọi phân thức hữu tỉ P (x) (1) Khi P (x) tồn đa thức P (x), Q(x) cho f (x) = Q (x) Q(x) đa thức nguyên tố (1) gọi phân thức hữu tỉ tắc va an lu oi lm ul nf Nếu đa thức P (x) Q(x) đa thức có hệ số hữu tỉ P (x) việc quy đồng mẫu số ta đưa f (x) dạng f (x) = , Q (x) P (x) Q0 (x) đa thức có hệ số nguyên Do phân thức hữu P (x) tỉ f (x) = gọi phân thức hữu tỉ có hệ số nguyên Q (x) P (x), Q(x) ∈ Q[x] z at nh z @ ∈ Q với x ∈ Z ax + b l gm Bài toán 1.1 Cho phân thức hữu tỉ f (x) = m co Chứng minh a, b ∈ Q 1 Lời giải Vì f (x) = ∈ Q với x ∈ Z nên ax + b = với ax + b f (x) x ∈ Z Vậy ax + b ∈ Q[x] hay a, b ∈ Q an Lu n va ac th si x − q j−(k−1) q j−(k−1) − x x + q j−(k−1) = x + q j−(k−1) d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Ta lại có z
q j−(k−1) − x q j−(k−1) − x − q k   ≤0 − = x + q j−(k−1) + q k (1 + q k ) x + q j−(k−1) gm @ j j Y x − qk Y − qk