(Luận văn) việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số fibonacci tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG lu an n va VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG to p ie gh tn CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG lu an VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG n va CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT p ie gh tn to w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC an lu Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp 60 46 01 13 nf va Mã số: z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si i Mục lục ii Mở đầu Chương Về dãy số Fibonacci lu Danh sách kí hiệu an n va Định nghĩa ví dụ 1.2 Các tính chất dãy số Fibonacci 1.3 Về Định lí Zeckendorf 1.4 Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci p ie gh tn to 1.1 nl w Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 13 Biểu diễn số nguyên thành tổng số Fibonacci phân biệt 13 2.2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 23 d oa 2.1 34 nf va 35 z at nh oi lm ul Tài liệu tham khảo an lu Kết luận z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Danh sách kí hiệu lu an { .} dãy số nguyên ( .) vector có tọa độ nguyên [ .] ma trận mà phần tử số nguyên V tập hợp bao gồm vector có dạng (i1 , i2 , , id ) va n với d > 1, thành phần iν số nguyên với to gh tn ≤ i1 ≤ i2 ≤ id Thông thường ta viết I thay cho p ie (i1 , i2 , , id ) n
k i=1 ∞ an lu (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · nf va ∑ bn n=1 m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm d i=1 ∞ ma trận [uµ , ν] oa m ∑ bi nl M w tổ hợp chập k n n=1 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Dãy Fibonacci dãy vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần lu tử tổng hai phần tử trước Dãy số Fibonacci đơn giản an quy tắc thiết lập vẻ đẹp đặc biệt kho va n tàng Toán học Dãy số Fibonacci vơ biến hóa với nhiều tính chất lí gh tn to thú ứng dụng quan trọng Người ta tìm thấy nhiều vấn đề thú vị p ie liên quan đến dãy số Fibonacci, toán học túy đến vấn đề w khác tự nhiên oa nl Dãy Fibonacci đưa nhà toán học Ý tên Leonardo Pisano d Bogollo (tên thường gọi Fibonacci) vào thời gian khoảng năm 1170 đến lu nf va an năm 1250 Dãy số Fibonacci bí ẩn lí thú đến mức, có tạp chí tốn học hồn tồn đăng kết nghiên cứu có liên quan nó, lm ul tạp chí The Fibonacci Quarterly z at nh oi Mục tiêu luận văn nghiên cứu kiện thú vị dãy Fibonacci, việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fi- z bonacci tổng quát @ l gm Nội dung luận văn trình bày hai chương: m co • Chương Số Fibonacci Trong chương trình bày định nghĩa cấp ứng dụng dãy số Fibonacci an Lu tính chất dãy số Fibonacci Một số toán sơ n va ac th si • Chương Việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Mở rộng định lí Zeckendorf biểu diễn số tự nhiên số Fibinacci phân biệt Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc lu an tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn va n Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban gh tn to Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, p ie tạo điều kiện tốt để tác giả học tập hồn thành khóa học w oa nl Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 d Tác giả nf va an lu z at nh oi lm ul Nguyễn Thị Trăng z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Về dãy số Fibonacci 1.1 Định nghĩa ví dụ lu an Định nghĩa 1.1.1 Dãy số Fibonacci dãy số vô hạn số tự nhiên bắt va n đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập ie gh tn to theo quy tắc phần tử tổng hai phần tử trước nó, p un+1 = un + un−1 w oa nl Ví dụ 1.1.2 Fibonacci lần để ý đến dãy số ông xét d toán thỏ đẻ sau : Bắt đầu với thỏ đực thỏ cái, hỏi có lu nf va an cặp thỏ sinh năm? Bài toán giả sử với điều kiện sau: lm ul z at nh oi Bắt đầu với thỏ đực thỏ vừa chào đời Thỏ đạt tới tuổi thục sinh sản sau tháng z gm @ Thời gian mang thai thỏ tháng Một thỏ sinh thỏ đực thỏ an Lu n va Khơng có thỏ chết m co l Sau thục sinh sản, thỏ đẻ tháng ac th si Từ giả thiết suy rằng, từ cặp thỏ sơ sinh sau hai tháng có hai cặp thỏ Sau ba tháng, cặp thứ sinh cặp nữa, ta có ba cặp Tháng tiếp theo, cặp thứ hai sinh cặp mới, ta có cặp thỏ Kí hiệu qua u(n) số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm Ta thấy sau tháng (n + 1) có u(n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp cặp có sau tháng thứ (n − 1) sinh Số u(n − 1) Vậy u(1) = 1, u(2) = 1, lu an u(3) = 2, va (1.1) n u(4) = 3, tn to , gh p ie u(n + 1) = u(n) + u(n − 1) oa nl w Theo giả thiết, u(1) = 1, u(2) = 1, nên ta có d u(3) = 2, u(4) = 3, , u(12) = 144, u(13) = 233 an lu nf va Các số u(n) gọi số Fibonacci z at nh oi lm ul Xét dãy Fibonacci xác định u(n + 1) = u(n) + u(n − 1) (1.2) Phương trình đặc trưng quan hệ (1.1) z an Lu √ 1− r2 = m Phương trình có nghiệm √ 1+ r1 = , co l gm @ r2 − r − = n va ac th si Nghiệm tổng quát quan hệ (1.1) có dạng: √ !n √ !n 1+ 1− u(n) = C1 +C2 2 (1.3) Các số Fibonacci u(n) cho (1.3) với điều kiện u(0) = 1, u(1) = Khi số C1 , C2 tính từ hệ phương trình   C +C = √  (C −C ) = 1 lu an Giải ta C1 = √1 C2 = − √1 Vậy nghiệm tổng quát có dạng va n  to √ gh tn u(n) = √ n  √ n 1+ − 1−2 p ie Công thức gọi công thức Binet Dựa vào cơng thức Binet, ta có định lí sau cho tính chất thú vị số Fibonacci nl w Các tính chất dãy số Fibonacci d oa 1.2 nf va an lu  √ n Định lí 1.2.1 Số Fibonacci un số nguyên gần số √ 1+2 ,  √  1+ tức số hạng an cấp số nhân với từ √ công √ bội 1+2 z at nh oi lm ul Chứng minh Rõ ràng cần chứng minh trị tuyệt đối hiệu z hai số un an ln bé 1/2 Ta có n − √5 − |r2 | = √ < =1 co n va nên |un − an | < 21 l gm @ Do ac th si Sau ta chứng minh số tính chất dãy số Fibonacci Trong mệnh đề sau đây, un dùng để kí hiệu số Fibonacci thứ n xác định u1 = 0, u2 = 1, (1.4) un+1 = un + un−1 Mệnh đề 1.2.2 u1 + u2 + + un = un+2 − Chứng minh Ta có lu an n va u1 = u3 − u2 , tn to u2 = u4 − u3 , ie gh p un−1 = un+1 − un , oa nl w un = un+2 − un+1 d Cộng vế đẳng thức này, ta có an lu nf va u1 + u2 + + un = un + − u2 , lm ul mà u2 = nên ta có điều phải chứng minh z at nh oi Mệnh đề 1.2.3 u1 + u3 + u5 + + u2n−1 = u2n z Chứng minh Ta có m an Lu n va co u5 = u6 − u4 , l u3 = u4 − u2 , gm @ u1 = u2 , ac th si u2n−3 = u2n−2 − u2n−1 , u2n−1 = u2n − u2n−2 Cộng vế bất đẳng thức, ta u1 + u3 + u5 + + u2n−1 = u2n Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.4 u2 + u4 + + u2n = u2n+1 − lu an Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có va n u1 + u2 + u3 + + u2n = u2n+2 − tn to ie gh Từ Mệnh đề 1.2.3 ta có p u1 + u3 + u5 + + u2n−1 = u2n w d oa nl Trừ vế đẳng thức ta nf va an lu u2 + u4 + + u2n = u2n+2 − − u2n = u2n+1 − Điều phải chứng minh lm ul Mệnh đề 1.2.5 u1 − u2 + u3 − u4 + + (−1)n+1 un = (−1)n+1 un−1 + z at nh oi Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.3 Mệnh đề 1.2.4 ta u1 − u2 + u3 − u4 + + u2n−1 − u2n = u2n − u2n−1 + z (1.5) co l gm @ Cộng thêm vào hai vế u2n+1 ta có u1 − u2 + u3 − u4 + − u2n + u2n+1 = u2n + m (1.6) an Lu Công thức Mệnh đề 1.2.5 kết hợp hai cơng thức (1.5) n va (1.6) (tương ứng với n lẻ n chẵn) ac th si Mệnh đề 1.2.6 u21 + u22 + + u2n = un un+1 Chứng minh Ta có uk uk+1 − uk−1 uk = uk (uk+1 − uk−1 ) = u2k Do đó, u21 = u1 u2 , u22 = u2 u3 − u1 u2 , lu u23 = u3 u4 = u2 u3 , an va ., n u2n = un un+1 − un−1 un tn to p ie gh Cộng vế đẳng thức này, ta d oa nl w u21 + u22 + + u2n = un un+1 lu Về Định lí Zeckendorf nf va an 1.3 lm ul Bổ đề 1.3.1 Giả sử dãy số (ci )i=0,1, ,k dãy tăng, thỏa mãn ci > ci+1 > ci + với i = 0, 1, Khi ta có z at nh oi k ∑ uc i < uck +1 i=1 z gm @ Định lí 1.3.2 (Zeckendorf) Xét N số nguyên dương Khi tồn dãy số (ik )i=1,2, ,d tăng, thỏa mãn ik > ik+1 > ik + với m co l k = 1, 2, , d − có biểu diễn sau (1.7) an Lu N = ui1 + ui2 + · · · + uid n va Đẳng thức (1.7) gọi biểu diễn Zeckendorf cho số nguyên dương n ac th si 1.4 Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci Mục trình bày số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci Bài toán 1.4.1 Giả sử uk số hạng thứ k dãy Fibonacci Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 3, số An = 4un−2 un un+2 un+4 + số phương lu Lời giải Trước hết ta có nhận xét sau đây: Với số an va n Vn = |un+4 un−2 − un+2 un | = (1.8) ie gh tn to Thật p Vn = |(un+2 + un+3 )un−2 − un+2 | nl w = |un+3 + un−2 + un+2 (un−2 un )| = |un+3 + un−2 + un+2 + un−1 | d oa = |un+3 + un−2 + un+2 (un−2 un )| = |un+3 + un−2 + un+2 + un−1 | lu nf va an = |un+3 (un−1 − un−3 ) − un+2 un−1 | = |un+3 + un+1 (un+2 − un+3 )| = |un+3 un−3 − un+1 un−1 | = Vn−1 lm ul Từ Vn = Vn−1 , trình lặp lại, ta đến z at nh oi Vn = V3 , với n ≥ (1.9) z Ta có V3 = |u7 u1 − u5 u3 | = |13 · − 15 · 2| = nhận xét (1.8) Từ (1.8) suy an Lu hay m un+4 un−2 = un un+2 ± co l gm @ chứng minh n va An = 4un un+2 (un un+2 ± 3) + = (2un un+2 ± 3)2 ac th si 10 Do un nguyên với n ∈ N suy An số phương với n ≥ ngun Ta có điều cần chứng minh Bài tốn 1.4.2 Chứng minh số tự nhiên số Fibonacci, biểu diễn thành dạng tổng vài số Fibonacci phân biệt, ta hiểu số Fibonacci phần tử dãy Fibonacci Lời giải Kí hiệu uk số Fibonacci thứ k với k ∈ N Xét dãy Fibonacci 1, 1, 2, 3, 4, 8, 13, Ta chứng minh điều khẳng định lu toán nguyên lí quy nạp tốn học an Với n = 1, 2, 3, (và để ý = + 1, ta thấy điều khẳng định va n toán với số tự nhiên nhỏ u5 = 5) to gh tn Giả sử điều khẳng định toán với số tự nhiên n nhỏ p ie uk Khi dĩ nhiên khẳng định tốn n = uk nl w Xét số tự nhiên n mà (1.10) uk+1 = uk + uk−1 (1.11) d oa uk < n < uk+1 nf va an lu Chú ý ta có lm ul Từ (1.10) (1.11) sy số n thoả mãn (1.10) biểu diễn z at nh oi dạng: n = uk + m, < m < uk−1 (1.12) z Từ (1.12) giả thiết quy nạp suy số tự nhiên m nhỏ uk − có gm @ thể biểu diễn thành tổng vài số Fibonacci khác nhau, số l co số nhỏ k − Vì số n = uk + m biểu diễn m thành tổng số Fibonacci (trong số đó, số lớn uk an Lu cịn sơ khác có chữ số nhỏ k − 1) Vậy điều khẳng định n va toán với số tự nhiên n nhỏ uk + ac th si