(Luận văn) vấn đề biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của ba số có dạng n2 a và giả thuyết của farhi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH lu an n va VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na gh tn to p ie VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH lu VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na an n va p ie gh tn to VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu nf va an Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2017 n va ac th si Mục lục Mở đầu Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương lu Danh sách ký hiệu an n va ie gh tn to 1.1 p 1.2 Tóm tắt kết Công thức đệ quy Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương 10 oa nl w 1.3 16 d Chương Hai giả thuyết Farhi an lu Giả thuyết Farhi 16 2.2 Giả thuyết Farhi 22 nf va 2.1 lm ul 2.2.1 n2 (n ∈ N) 22 Một số trường hợp đặc biệt 28 ba số có dạng 2.2.2 z at nh oi Giả thuyết củajFarhi k biểu diễn số nguyên thành tổng z 33 l gm 34 m co Tài liệu tham khảo @ Kết luận an Lu n va ac th si Danh sách ký hiệu lu an n va ký hiệu “tồn tại” ∀ ký hiệu “với mọi” N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên a∈A a thuộc tập hợp A a không thuộc tập hợp A lực lượng tập hợp X ie a∈ /A p gh tn to ∃ ký hiệu Jacobi phần lẻ số a nf va mod p an lu hai phần nguyên số a d bac oa nl · w #X
· modulo p lm ul a đồng dư với b theo modulo p a 6≡ b (mod p) a không đồng dư với b theo modulo p a|b a ước b m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm m i=1 ∞ co (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 an Lu ∑ bn n=1 m l ∑ bi i=1 ∞ tích tất phần tử P(d) với d ước n gm ∏ P(d) d|n m i=1 @ i=1 m (tích hữu hạn) ∏ bi = b1 · b2 · · · bm z ∏ bi z at nh oi a ≡ b (mod p) n va ac th si Mở đầu Trong Lý thuyết số, ta biết có nhiều kết việc biểu diễn lu số tự nhiên thành tổng bình phương số cố định số nguyên an Lagrange chứng minh số tự nhiên biểu diễn thành tổng va n bốn hạng tử bình phương số nguyên Gauss gh tn to số tự nhiên N ≡ (mod 8) biểu diễn thành tổng bình p ie phương ba số lẻ Vấn đề Fermat Cauchy nghiên cứu w có nhiều kết Legendre chứng minh số tự nhiên oa nl viết thành tổng bình phương số nguyên mà d số Legendre chứng minh số tự nhiên lu nf va an khơng có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N viết thành tổng bình phương số nguyên lm ul thuyết: z at nh oi Năm 2013, B Farhi có báo trình bày việc biểu diễn số tự j 2k nhiên thành tổng ba số có dạng na với a = 8, a = đưa hai giả z @ an Lu trường hợp tổng quát với giả thuyết sau: m co l gm GIẢ THUYẾT “Mỗi số tự nhiên viết thành tổng số có j 2k dạng na ”, n va GIẢ THUYẾT “Với k > 2, tồn số a(k) cho số tự ac th si nhiên biểu diễn thành tổng (k + 1) số có j 2k dạng na , n ∈ N” Mục tiêu luận văn trình bày kết năm 2013 Farhi [3] việc giải phần hai giả thuyết nêu Farhi thông qua hai báo [5] [6] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau: lu an • Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương va n Chương trình bày lại kết phân tích số nguyên to diễn số thành số chẵn bình phương p ie gh tn thành tổng bình phương Các phân tích quan tâm biểu nl w • Chương Hai giả thuyết Farhi Mục tiêu Chương trình oa bày hai hai giả thuyết Farhi Trước hết biểu diễn số d tự nhiên thành tổng ba số tự nhiên có dạng b na c (n ∈ N), an lu nf va a số nguyên dương cố định Phần tham khảo lm ul B Farhi [3] Tiếp theo, trình bày kết việc giải phần hai giả thuyết nêu Farhi (trong Chương z at nh oi 1) thông qua tài liệu [5, 6] z Tác giả hi vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích @ gm lĩnh vực Lý thuyết số ứng dụng Luận văn có ích việc m Lý thuyết số nói chung co l bồi dưỡng giáo viên, sinh viên, học viên có nhu cầu tìm hiểu an Lu Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học n va Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc ac th si Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập hồn thành khóa học lu an Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 va n Tác giả p ie gh tn to w d oa nl Nguyễn Thúy Hạnh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương lu an n va tn to Trong chương tơi nghiên cứu phân tích số ngun thành tổng gh bình phương Tài liệu tham khảo chương Đồn Quang p ie Vụ [1] (xem thêm M.B Nathanson [7]) w Tóm tắt kết d oa nl 1.1 lu nf va an Trong phần ta xét số dạng bậc hai mà số tự nhiên n cho trước biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên lm ul z at nh oi Với số nguyên dương s số nguyên không âm n, ta có Rs (n) biểu thị số số nguyên x1 , x2 , , xs thỏa mãn z n = x12 + x22 + + xs2 @ có m Rs (0) = co l gm số nguyên xi âm, dương Với s > 1, ta an Lu Vì = 02 + + 02 dạng biểu diễn số dạng tổng s hạng tử n va bình phương Ta có đồng thức Liouville rút toán biểu ac th si diễn số nguyên dạng tổng s số bình phương, s = 2, 4, 6, 10 Biểu diễn số nguyên n dạng tổng s số bình phương vấn đề lý thuyết số, cách giải cho giá trị lẻ s liên quan tới tổng số chia n, chủ đề lý thuyết số Ở đây, d δ số nguyên dương ∑d|n ∑n=dδ ta hiểu tổng ước n lu an 1.2 Công thức đệ quy n va ie gh tn to Định lí 1.1 (xem [1, Định lí 1.1]) Với số nguyên dương s n ta có p ∑√   n − (s + 1)u Rs (n − u2 ) = (1.1) w |u|6 n oa nl Định lí 1.2 (xem [1, Định lí 1.2]) Có Φ hàm số xác định tất d số nguyên không âm n cho Φ(0) = an lu z at nh oi Thế (1.2) lm ul |u|6 n với n > nf va ∑√   n − (s + 1)u Φ(n − u2 ) = Φ(n) = Rs (n) z với n > m co l gm @ an Lu n va ac th si 10 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương Tổng số nguyên bình phương Định lí 1.3 (xem [1, Định lí 1.3]) Giả sử n biểu diễn dạng phân tích chuẩn t n = 2r ∏ psi i q jj pi ≡ (mod 4) q j ≡ (mod 4) lu an Điều kiện cần đủ để n biểu diễn thành tổng hai bình phương va n số t j chẵn với j ie gh tn to Ta ký hiệu S(n) họ ba số nguyên (u, d, δ ) thỏa mãn d, δ > p u2 + dδ = n oa nl w Nếu k1 k2 số nguyên lẻ hàm số f (x, y) = x1k1 yk12 hàm lẻ d với biến số x, y biến số lu nf va an Từ đồng thức Liouvill người ta chứng minh hệ sau: Cho hàm số f (x, y) lẻ biến x y Khi với số nguyên ∑ (−1) δ −1 u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) z at nh oi lm ul dương n ta có f (δ − 2u, u + d) = {T0 (l)}n=l z @ ∑ (−1) j+l f (2 j − 1, l) l T0 (l) = gm l j=1 co n o k2 l− j k1 (δ − 2u) (u + d) = l ∑(−1) (2 j − 1) k1 k2 n=l n va u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) (−1) an Lu ∑ δ −1 m Ứng dụng kết ta nhận ac th si 21 Bây giờ, số b n2 c (n ∈ N) chẵn, ta viết số tự nhiên thành tổng số cố định số vậy, câu hỏi mà ta trả lời sau: Có số tự nhiên chẵn tổng số cố định số có dạng b n2 c? Câu trả lời Định lý sau khẳng định điều này: Định lí 2.5 Mọi số tự nhiên chẵn biểu diễn thành tổng ba số có dạng b n2 c (n ∈ N) lu an Chứng minh Cho N số tự nhiên chẵn Khi 2N + ≡ (mod 4) va n Theo Định lí Legendre (2N + 1) tổng ba bình phương số tự tn to nhiên Tức p ie gh 2N + = a2 + b2 + c2 (a, b, c ∈ N) w Do             a2 b c a b c N= + + + + + − 2 2 2 nl  d oa (2.6) lu 2 2 2 nf va an Do h a2 i, h b2 i, h c2 i thuộc {0, 21 } nên h a2 i+h b2 i+h c2 i− 21 thuộc {− 12 , 0, 12 , 1} 2 2 2 lm ul Nhưng (theo (2.6)) h a2 i + h b2 i + h c2 i − 21 số nguyên chẵn (bởi 2 N, b a2 c, b b2 c, b c2 c số nguyên chẵn) h a2 i + h b2 i + h c2 i − 12 = z at nh oi z Kết hợp với (2.6), ta nhận  2  2  2 a b c + + N= 2 co l gm @ Phép chứng minh định lí hồn thành Hệ 2.6 Mọi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số, m an Lu số có hai dạng k2 (k2 + k) (k ∈ N) n va ac th si 22 Chứng minh Ta có với n ∈ N,   2  2k2 , n = 2k (k ∈ N); n =  2(k2 + k), n = 2k + (k ∈ N) Hệ suy từ Định lí 2.5 2.2 Giả thuyết Farhi lu an Trong phần dựa vào tài liệu [5, 6] để trình bày n va số khía cạnh giả thuyết Farhi Cụ thể, Farhi chứng minh ie gh tn to số tự nhiên N 6≡ (mod 24) biểu diễn thành tổng ba số có j 2k dạng n3 (n ∈ N) Farhi đoán kết p N ≡ (mod 24) Mục tiêu chương chúng tơi trình Giả thuyết Farhi biểu diễn số nguyên thành tổng j 2k ba số có dạng n3 (n ∈ N) nf va an lu 2.2.1 d oa nl w bày phép chứng minh phát biểu lm ul Định lí 2.7 (Định lí Legendre) Mọi số tự nhiên khơng có dạng 4h (8k + 7) z at nh oi với h, k ∈ N biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên z @ gm Nhận xét 4h (8k + 7) đồng dư với 0, modulo 8, m thành tổng ba bình phương số tự nhiên co l số tự nhiên không đồng dư với 0, modulo biểu diễn an Lu Cho R3 (n) số biểu diễn số nguyên dương n thành tổng ba n va bình phương số ngun Định lí sau cung cấp công thức thú ac th si 23 vị cho R3 (n), mà chứng minh cách sử dụng lý thuyết hàm modular Định lí 2.8 (xem [2]) Với số nguyên dương n bất kỳ, ta có R3 (n) = 16 √ nχ2 (n)K(−4n)× π   −2b  −1 ! 1 −p n , × ∏ + + · · · + b−1 + b − p p p p p p |n lu b = b(p) số nguyên lớn cho p2b | n,  ∞  −4n K(−4n) = ∑ , m m m=1 an n va tn to p ie gh 4a lũy thừa cao chia n     0, 4−a n ≡ (mod 8);    χ2 (n) = 1a , 4−a n ≡ (mod 8);       a+1 , 4−a n ≡ 1, 2, 5, (mod 8) d oa nl w an lu nf va Bổ đề 2.9 Với nguyên dương n ≡ (mod 8) bất kỳ, ta có lm ul Chứng minh Ta có z at nh oi R3 (9n) > R3 (n) z 16 √ R3 (9n) = 9nχ2 (9n)K(−36n)× π  1 × ∏ + + · · · + b0 −1 + b0 p p p p2 |9n −9 p p 1− ! !−1  n , p m co l gm @ −2b0 an Lu b0 = b0 (p) ký hiệu số nguyên lớn mà p2b | 9n Do n ≡ n va (mod 8), suy 40 = lũy thừa cao chia n Kết suy ac th si 24 χ2 (n) = 23 Tương tự, ta có 9n ≡ (mod 8) Do đó, 40 = lũy thừa cao chia 9n, mà χ2 (9n) = χ2 (n) = 32 Ngược lại, từ [2, p 84]     −4n K(−36n) = K(−4 × 32 × n) = − K(−4n) 3 Do n ≡ (mod 8), nên từ Định lí Legendre n biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Do R3 (n) 6= Chia cho R3 (n) ta có tương đương với lu R3 (9n) = R3 (n) 1− an

−4n −1 33 × n va     −1 −2b −9 p n ∏ p2 |9n + 1p + · · · + pb10 −1 + p1b0 − p p  ×   −2b  −1  · + p1b − −pp n 1p ∏ p2 |n + 1p + · · · + pb−1 ie gh tn to p Cho p 6= với p2 | n Do b0 = b0 (p) số nguyên lớn mà p2b | n d oa nl w Như vậy, ta có b0 = b0 (p) = b(p) = b Thêm nữa, ta có !   ! !   0 −2b −2b −2b n n n −9 p −p −p −p−2b n = = = · p p p p p an lu nf va Với p 6= với p2 | n, ta có lm ul ! !−1 1 −9 1 + + · · · + b0 −1 + b0 − p p p p p   −2b  −1 −p n 1 = + + · · · + b−1 + b − p p p p p p−2b n z at nh oi z @ × m co

−4n −1 3 l R3 (9n) = R3 (n) 1− gm Như vậy, hai trường hợp, 32 | n + 31b0 an Lu    −1 −9×3−2b n 1− 3 ×   −2b  −1 , 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −33 n 31 + 13 + · · · + 3b10 −1 n va ac th si 25 Trái lại 32 không chia hết n, R3 (9n) = R3 (n) 1− 

−4n −1 3 × 1 + · · · + × + 0 3b −1 3b −9 × 3−2b n 1− ! !−1   Bây ta chứng minh R3 (9n) > 32 R3 (n) • Nếu 32 khơng chia hết n, b0 = b0 (3) = số nguyên lớn mà 32b | lu an 9n Ta có n va p ie gh tn to    −1 ! R3 (9n) −n 1 + = × −

−1 R3 (n) 3 − −4n 3

3 Ta có − −4n 3 = 1, (1−( −4n ) )−1 > , mà cho 3 ta kết R3 (9n) > R3 (n) w oa nl • Nếu 32 chia hết n b (tương ứng b0 ) số nguyên lớn mà 32b | n d (tương ứng 32b | 9n) Do an lu nf va R3 (9n) = R3 (n) 1− lm ul  −1   −9×3−2(b+1) n + 3b+1 − 3   −2b  −1 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −33 n 13 + 13 + · · · + 31b

−4n −1 3 @ 1− z = z at nh oi ×

−4n −1 3 m co l gm   −2b  −1 + 3b+1 − −33 n 13 ×   −2b  −1 · 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −33 n 13 + 13 + · · · + 31b an Lu Ta có n va   −2b   −3 n = 1, 1− 3 3 ac th si 26 Ta thu kết sau tất trường hợp:   −2b  −1   −2b  −1 1 −3 n −3 n 1 + − − > 3 3 3b 3b+1 3b Kết suy   −2b  −1 1 −3 n 1 + + · · · + b + b+1 − 3 3   −2b  −1 1 −3 n > + + · · · + b−1 + b − 3 3 lu Ngược lại, an >

−1 − −4n 3 n va tn to Vậy ta có R3 (n) p ie gh R3 (9n) > w Ta có điều cần chứng minh d oa nl Định lí 2.10 Mọi số tự nhiên N ≡ (mod 24) biểu diễn thành j 2k tổng ba số có dạng n3 (n ∈ N) nf va an lu Chứng minh Ta viết N = + 24k với k ∈ N Vậy, lm ul 3N + = 9(1 + 8k) z at nh oi z Bây ta định nghĩa hai tập hợp S1 S2 sau: n o 2 S1 = (a, b, c) ∈ Z : a + b + c = + 8k , n o 2 S2 = (a, b, c) ∈ Z : a + b + c = 9(1 + 8k) co l gm @ m Theo định nghĩa R3 , ta có #S2 = R3 (9(1 + 8k)) #S1 = R3 (1 + 8k) n R3 (1 + 8k) > R3 (1 + 8k) va R3 (9(1 + 8k)) > an Lu Do + 8k ≡ (mod 8), áp dụng Bổ đề 2.9 ta nhận ac th si 27 Ta thu R3 (9(1 + 8k)) > R3 (1 + 8k), mà tương đương với #S2 > #S1 Ta định nghĩa ánh xạ −→ S2 f : S1 (a, b, c) 7−→ (3a, 3b, 3c) Dễ thấy f hoàn toàn xác định đơn ánh Do #S2 > #S1 , ta tìm (a, b, c) ∈ S2 cho (a, b, c) ∈ / f (S1 ) Thêm nữa, ta có a2 + b2 + c2 = 9(1 + 8k) ≡ (mod 3) lu an n va Khi đó, a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3) a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3) tn to Trường hợp cuối xảy phần tử, a, b ie gh c, không chia ((a, b, c) ∈ / f (S1 )) Như vậy, a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ p (mod 3) ta có nl w N + = 3(1 + 8k) oa a2 b2 c2 + +    23         a b c a b c = + + + + + 3 3 3 d = nf va an lu lm ul z at nh oi Do a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3), nên  2  2  2 a b c 1 + + = + + = 1, 3 3 3 z @ mà   2  2 a2 b c N= + + 3  l gm an Lu muốn Vậy giả thuyết chứng minh m co Thay (a, b, c) ∈ Z3 (|a|, |b|, |c|) ∈ N3 để ta có câu trả lời mong n va ac th si 28 2.2.2 Một số trường hợp đặc biệt Ta chứng minh vài trường hợp giả thuyết Farhi biểu diễn số nguyên dương thành tổng ba số hạng dãy j 2k n a Một kết cổ điển Legendre [?] phát biểu số tự nhiên khơng có dạng 4s (8t +7), s,t ∈ N viết tổng ba bình phương lu Liên quan đến điều này, Farhi đoán rằng: an n va n∈N Giả thuyết chứng minh Farhi [3] Mezroui, Azizi, p ie gh tn to Giả thuyết (Farhi [4]) Cho a > số nguyên Khi số tự j k nhiên biểu diễn thành tổng ba số hạng dãy na nl w Ziane [6] với a ∈ {3, 4, 8} d oa Ta tổng quát hóa phương pháp sử dụng Farhi với a = 4, nf va an lu phần cho a = 3, để chứng minh giả thuyết xảy với a ∈ {4, 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120} lm ul thặng dư toàn phương z at nh oi Phương pháp sử dụng Định lí ba bình phương Legendre tính chất z Ta bắt đầu với việc giới thiệu tập hợp sau đây: gm @ Định nghĩa 2.11 Với a ∈ N khác không, ta định nghĩa co l (mod a)} m Qa = {0 < ϕ < a | ∃x ∈ Z : ϕ ≡ x2 an Lu Vậy Qa tập hợp tất các thặng dư toàn phương modulo a n va ac th si 29 Định nghĩa 2.12 Với a ∈ N khác không ta định nghĩa Aa = {ϕ ∈ N | ∃x, y, z ∈ Qa ∪ {0} : ϕ = x + y + z} Vậy Aa tập tất số nguyên mà biểu diễn thành tổng ba phần tử Qa ∪ {0} Định nghĩa 2.13 Với số a ∈ N khác không bất kỳ, ta định nghĩa Ra = {ϕ ∈ Aa | ∀ψ ∈ Aa : ϕ ≡ ψ (mod a) ⇒ ϕ = ψ} lu an Vậy Ra tập hợp số nguyên mà biểu diễn thành tổng va n ba phần tử của Qa ∪ {0}, cho khơng có số ngun khác ie gh tn to lớp dư lượng modulo a có tính chất p Bây ta sẵn sàng xây dựng kết oa nl w Định lí 2.14 Cho a ∈ N số khác không giả sử với k ∈ N tồn d r ∈ Ra cho ak + r 6= 4s (8t + 7) với s,t ∈ N Khi j k N ∈ N biểu diễn thành tổng ba số hạng dãy na an lu n∈N nf va lm ul Chứng minh Cho N ∈ N số cố định Bởi giả thiết có ta z at nh oi chọn r ∈ Ra cho aN + r 6= 4s (8t + 7) với s,t ∈ N Bởi Định lí Legendre ta có aN + r viết dạng aN + r = A2 + B2 +C2 z (2.7) (mod a), m co l r ≡ A2 + B2 +C2 gm @ với A, B,C ∈ N Bây ta có an Lu (2.8) n va r = (A2 mod a) + (B2 mod a) + (C2 mod a), ac th si 30 r ∈ Ra Chia cho a tách phần nguyên phần lẻ vế phải (2.7), ta nhận  2  2  2  2  2  2 r A B C A B C N+ = + + + + + , a a a a a a a từ (2.8) ta có r = a  A2 a  B2 + a    C2 + , a    2  2 B C A2 + + N= a a a lu  an n va Do ta tìm tập hợp Ra tính tốn, ta áp dụng Định lí p ie gh tn to Phép chứng minh định lí kết thúc w 2.14 để nhận hệ sau d oa nl Hệ 2.15 Giả thuyết thỏa mãn với a ∈ {4, 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120} lu nf va an Chứng minh Xét bảng sau: a Ra lm ul {0, 1, 2, 3} {4, 6} {2, 3, 5, 6} {1, 4, 7, 8} 20 {11, 15, 18, 19} 24 {11, 14, 19, 21, 22} 40 {27, 38} z at nh oi z m an Lu n va 120 {107} co l gm @ 104 {99} ac th si 31 Tính tốn theo mod ta kiểm tra dễ dàng với a ∈ {4, 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120} k ∈ N tồn r ∈ Ra cho ak + r khơng có dạng 4s (8t + 7), s,t ∈ N, số tự nhiên biểu j k diễn thành tổng ba số hạng dãy na n∈N Để chứng minh điều này, trường hợp a = Tất trường hợp khác hoàn thành với phương pháp Với k ≡ 1, 2, 3, (mod 8) ta có 7k + ≡ 3, 2, 1, (mod 8), lu tương ứng, với k ≡ 0, (mod 8) ta có 7k + ≡ 6, (mod 8), an n va tương ứng Do 4s (8t + 7) ≡ 0, (mod 8), s,t ∈ N, ta kết luận với dạng 4s (8t + 7) với s,t ∈ N Trường hợp suy từ Định lí 2.14 ie gh tn to k ∈ N ta viết 7k + r, với r ∈ R7 = {4, 6}, cho khơng có p Nhận xét Cho M tập hợp số nguyên thỏa mãn Giả thuyết Nếu oa nl w a ∈ M, ak2 ∈ M với số nguyên k > d Chứng minh Điều dễ dàng xảy n với bất kỳ, ta cần tìm A, B,C ∈ N nf va an lu cho   2  2 A2 B C n= + + a a a       (Ak)2 (Bk)2 (Ck)2 = + + ak2 ak2 ak2  z at nh oi lm ul z Vậy phép chứng minh kết thúc gm @ l Ta thấy Giả thuyết thỏa mãn với a = 3, 9, 4, 8, phải xảy với m co a = 3k với số nguyên dương k với a = 2k , k > an Lu Cuối cùng, sử dụng Nhận xét 1, Hệ 2.15, [6], Giả thuyết xảy n va ac th si 32 với a = 3, ta nhận giả thuyết xảy cho giá trị đến 120 sau đây:  a ∈ 3, 4, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 24, 27, 28, 32, 36, 40, 48, 63, 64, 72, 75, 80, 81, 96, 100, 104, 108, 112, 120 Có vẻ phương pháp triển khai Định lí 2.14 khơng mở rộng cho trường hợp khác, thành cơng phụ thuộc vào Ra , tổng quát Ra không bao gồm yếu tố cần thiết cho điều kiện định lí thỏa mãn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 Kết luận lu Luận văn “Vấn đề biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số có j 2k dạng na giả thuyết Farhi” đạt kết sau: an va n Trình bày kết biểu diễn số tự nhiên thành tổng to dương cố định theo kết đạt B Farhi [3] p ie gh tn ba số tự nhiên có dạng b na c (n ∈ N), a số nguyên Trình bày phép chứng minh để giải phần hai giả thuyết w d oa nl nêu Farhi thông qua hai báo [5] [6] nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu an [1] Đoàn Quang Vụ (2014), “Vấn đề biểu diễn số tự nhiên dạng tổng va n bình phương”, Luận văn thạc sĩ tốn học, Trường Đại học Khoa to ie gh tn học - Đại học Thái Nguyên p Tiếng Anh oa nl w [2] P T Bateman (1951), “On the representation of a number as the sum d lu 71, pp 70–101 nf va an of three squares”, Transactions of the American Mathematical Society lm ul z at nh oi [3] B Farhi (2013), “On the representation of the natural numbers as j 2k the sum of three terms of the sequence na ”, Journal of Integer Sequences, 16 (article 13.6.4) z m co Integer Sequences, 17, Article 14.7.6 l gm @ [4] B Farhi (2014), “An elementary proof that any natural number can be j 2k written as the sum of three terms of the sequence n3 ”, Journal of an Lu [5] S.T Holdum, F.R Klausen, P.M.R Rasmussen (2015), “On a conjec- n va ture on the representation of the positive integers as the sum of three ac th si 35 j 2k terms of the sequence na ”, Journal of Integer Sequences, 18 (article 15.6.3) [6] S Mezroui, A Azizi, M Ziane (2014), “On a conjecture of Farhi”, Journal of Integer Sequences, 16 (article 14.1.8) [7] M.B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Vol 195, pp 423-454 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si