(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Vấn Đề Biểu Diễn Một Số Tự Nhiên Thành Tổng Của Ba Số Có Dạng N2-A Và Giả Thuyết Của Farhi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Danh sách ký hiệu Mở đầu Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương 1.1 Tóm tắt kết 1.2 Công thức đệ quy 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương 10 Chương Hai giả thuyết Farhi 16 2.1 Giả thuyết Farhi 16 2.2 Giả thuyết Farhi 22 2.2.1 Giả thuyết củajFarhi k biểu diễn số nguyên thành tổng 2.2.2 n2 (n ∈ N) 22 Một số trường hợp đặc biệt 28 ba số có dạng Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 download by : skknchat@gmail.com Danh sách ký hiệu ∃ ký hiệu “tồn tại” ∀ ký hiệu “với mọi” N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên a∈A a thuộc tập hợp A a∈ /A a không thuộc tập hợp A #X
· lực lượng tập hợp X bac phần nguyên số a hai phần lẻ số a mod p modulo p a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p a 6≡ b (mod p) a không đồng dư với b theo modulo p a|b a ước b ký hiệu Jacobi · m m (tích hữu hạn) ∏ bi = b1 · b2 · · · bm ∏ bi i=1 i=1 ∏ P(d) d|n m m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm ∑ bi i=1 ∞ i=1 ∞ ∑ bn n=1 tích tất phần tử P(d) với d ước n (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Trong Lý thuyết số, ta biết có nhiều kết việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng bình phương số cố định số nguyên Lagrange chứng minh số tự nhiên biểu diễn thành tổng bốn hạng tử bình phương số nguyên Gauss số tự nhiên N ≡ (mod 8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số lẻ Vấn đề Fermat Cauchy nghiên cứu có nhiều kết Legendre chứng minh số tự nhiên viết thành tổng bình phương số nguyên mà số Legendre chứng minh số tự nhiên khơng có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N viết thành tổng bình phương số nguyên Năm 2013, B Farhi có báo trình bày việc biểu diễn số tự j 2k nhiên thành tổng ba số có dạng na với a = 8, a = đưa hai giả thuyết: GIẢ THUYẾT “Mỗi số tự nhiên viết thành tổng số có j 2k dạng na ”, trường hợp tổng quát với giả thuyết sau: GIẢ THUYẾT “Với k > 2, tồn số a(k) cho số tự download by : skknchat@gmail.com nhiên biểu diễn thành tổng (k + 1) số có j 2k dạng na , n ∈ N” Mục tiêu luận văn trình bày kết năm 2013 Farhi [3] việc giải phần hai giả thuyết nêu Farhi thông qua hai báo [5] [6] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau: • Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương Chương trình bày lại kết phân tích số nguyên thành tổng bình phương Các phân tích quan tâm biểu diễn số thành số chẵn bình phương • Chương Hai giả thuyết Farhi Mục tiêu Chương trình bày hai hai giả thuyết Farhi Trước hết biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số tự nhiên có dạng b na c (n ∈ N), a số nguyên dương cố định Phần tham khảo B Farhi [3] Tiếp theo, chúng tơi trình bày kết việc giải phần hai giả thuyết nêu Farhi (trong Chương 1) thông qua tài liệu [5, 6] Tác giả hi vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích lĩnh vực Lý thuyết số ứng dụng Luận văn có ích việc bồi dưỡng giáo viên, sinh viên, học viên có nhu cầu tìm hiểu Lý thuyết số nói chung Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc download by : skknchat@gmail.com Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập hoàn thành khóa học Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thúy Hạnh download by : skknchat@gmail.com Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương Trong chương tơi nghiên cứu phân tích số ngun thành tổng bình phương Tài liệu tham khảo chương Đoàn Quang Vụ [1] (xem thêm M.B Nathanson [7]) 1.1 Tóm tắt kết Trong phần ta xét số dạng bậc hai mà số tự nhiên n cho trước biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên Với số nguyên dương s số ngun khơng âm n, ta có Rs (n) biểu thị số số nguyên x1 , x2 , , xs thỏa mãn n = x12 + x22 + + xs2 số nguyên xi âm, dương Với s > 1, ta có Rs (0) = Vì = 02 + + 02 dạng biểu diễn số dạng tổng s hạng tử bình phương Ta có đồng thức Liouville rút toán biểu download by : skknchat@gmail.com diễn số nguyên dạng tổng s số bình phương, s = 2, 4, 6, 10 Biểu diễn số nguyên n dạng tổng s số bình phương vấn đề lý thuyết số, cách giải cho giá trị lẻ s liên quan tới tổng số chia n, chủ đề lý thuyết số Ở đây, d δ số nguyên dương ∑d|n ∑n=dδ ta hiểu tổng ước n 1.2 Công thức đệ quy Định lí 1.1 (xem [1, Định lí 1.1]) Với số nguyên dương s n ta có ∑√   n − (s + 1)u Rs (n − u2 ) = (1.1) |u|6 n Định lí 1.2 (xem [1, Định lí 1.2]) Có Φ hàm số xác định tất số nguyên không âm n cho Φ(0) = ∑√   n − (s + 1)u Φ(n − u2 ) = với n > |u|6 n Thế Φ(n) = Rs (n) với n > download by : skknchat@gmail.com (1.2) 10 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương Tổng số ngun bình phương Định lí 1.3 (xem [1, Định lí 1.3]) Giả sử n biểu diễn dạng phân tích chuẩn t n = 2r ∏ psi i q jj pi ≡ (mod 4) q j ≡ (mod 4) Điều kiện cần đủ để n biểu diễn thành tổng hai bình phương số t j chẵn với j Ta ký hiệu S(n) họ ba số nguyên (u, d, δ ) thỏa mãn d, δ > u2 + dδ = n Nếu k1 k2 số nguyên lẻ hàm số f (x, y) = x1k1 yk12 hàm lẻ với biến số x, y biến số Từ đồng thức Liouvill người ta chứng minh hệ sau: Cho hàm số f (x, y) lẻ biến x y Khi với số nguyên dương n ta có ∑ (−1) δ −1 f (δ − 2u, u + d) = {T0 (l)}n=l u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) l T0 (l) = ∑ (−1) j+l f (2 j − 1, l) j=1 Ứng dụng kết ta nhận ∑ (−1) u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) δ −1 n o k2 l− j k1 (δ − 2u) (u + d) = l ∑(−1) (2 j − 1) k1 k2 download by : skknchat@gmail.com n=l 21 Bây giờ, số b n2 c (n ∈ N) chẵn, ta viết số tự nhiên thành tổng số cố định số vậy, câu hỏi mà ta trả lời sau: Có số tự nhiên chẵn tổng số cố định số có dạng b n2 c? Câu trả lời Định lý sau khẳng định điều này: Định lí 2.5 Mọi số tự nhiên chẵn biểu diễn thành tổng ba số có dạng b n2 c (n ∈ N) Chứng minh Cho N số tự nhiên chẵn Khi 2N + ≡ (mod 4) Theo Định lí Legendre (2N + 1) tổng ba bình phương số tự nhiên Tức 2N + = a2 + b2 + c2 (a, b, c ∈ N) Do             a2 b c a b c N= + + + + + − 2 2 2  2 2 (2.6) Do h a2 i, h b2 i, h c2 i thuộc {0, 21 } nên h a2 i+h b2 i+h c2 i− 21 thuộc {− 12 , 0, 12 , 1} 2 Nhưng (theo (2.6)) h a2 i + h b2 i + h c2 i − 21 số nguyên chẵn (bởi 2 2 2 N, b a2 c, b b2 c, b c2 c số nguyên chẵn) h a2 i + h b2 i + h c2 i − 12 = Kết hợp với (2.6), ta nhận  2  2  2 a b c + + N= 2 Phép chứng minh định lí hồn thành Hệ 2.6 Mọi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số, số có hai dạng k2 (k2 + k) (k ∈ N) download by : skknchat@gmail.com 22 Chứng minh Ta có với n ∈ N,   2  2k2 , n = 2k (k ∈ N); n =  2(k2 + k), n = 2k + (k ∈ N) Hệ suy từ Định lí 2.5 2.2 Giả thuyết Farhi Trong phần dựa vào tài liệu [5, 6] để trình bày số khía cạnh giả thuyết Farhi Cụ thể, Farhi chứng minh số tự nhiên N 6≡ (mod 24) biểu diễn thành tổng ba số có j 2k dạng n3 (n ∈ N) Farhi đoán kết N ≡ (mod 24) Mục tiêu chương chúng tơi trình bày phép chứng minh phát biểu 2.2.1 Giả thuyết Farhi biểu diễn số nguyên thành tổng j 2k ba số có dạng n3 (n ∈ N) Định lí 2.7 (Định lí Legendre) Mọi số tự nhiên khơng có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Nhận xét 4h (8k + 7) đồng dư với 0, modulo 8, số tự nhiên không đồng dư với 0, modulo biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Cho R3 (n) số biểu diễn số nguyên dương n thành tổng ba bình phương số ngun Định lí sau cung cấp công thức thú download by : skknchat@gmail.com 23 vị cho R3 (n), mà chứng minh cách sử dụng lý thuyết hàm modular Định lí 2.8 (xem [2]) Với số nguyên dương n bất kỳ, ta có R3 (n) = 16 √ nχ2 (n)K(−4n)× π   −2b  −1 ! 1 −p n , × ∏ + + · · · + b−1 + b − p p p p p p |n b = b(p) số nguyên lớn cho p2b | n,  ∞  −4n K(−4n) = ∑ , m m m=1 4a lũy thừa cao chia n     0, 4−a n ≡ (mod 8);    χ2 (n) = 1a , 4−a n ≡ (mod 8);       a+1 , 4−a n ≡ 1, 2, 5, (mod 8) Bổ đề 2.9 Với nguyên dương n ≡ (mod 8) bất kỳ, ta có R3 (9n) > R3 (n) Chứng minh Ta có 16 √ R3 (9n) = 9nχ2 (9n)K(−36n)× π  1 × ∏ + + · · · + b0 −1 + b0 p p p p2 |9n −2b0 1− −9 p p ! !−1  n , p b0 = b0 (p) ký hiệu số nguyên lớn mà p2b | 9n Do n ≡ (mod 8), suy 40 = lũy thừa cao chia n Kết suy download by : skknchat@gmail.com 24 χ2 (n) = 23 Tương tự, ta có 9n ≡ (mod 8) Do đó, 40 = lũy thừa cao chia 9n, mà χ2 (9n) = χ2 (n) = 32 Ngược lại, từ [2, p 84]     −4n K(−36n) = K(−4 × 32 × n) = − K(−4n) 3 Do n ≡ (mod 8), nên từ Định lí Legendre n biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Do R3 (n) 6= Chia cho R3 (n) ta có tương đương với R3 (9n) = R3 (n) 1−

−4n −1 33 ×     −1 −2b −9 p n ∏ p2 |9n + 1p + · · · + pb10 −1 + p1b0 − p p  ×   −2b  −1  · + p1b − −pp n 1p ∏ p2 |n + 1p + · · · + pb−1 Cho p 6= với p2 | n Do b0 = b0 (p) số nguyên lớn mà p2b | n Như vậy, ta có b0 = b0 (p) = b(p) = b Thêm nữa, ta có !   ! !   0 −2b −2b −2b n n n −9 p −p −p −p−2b n = = = · p p p p p Với p 6= với p2 | n, ta có ! !−1 1 −9 1 + + · · · + b0 −1 + b0 − p p p p p   −2b  −1 −p n 1 = + + · · · + b−1 + b − p p p p p p−2b n Như vậy, hai trường hợp, 32 | n R3 (9n) = R3 (n) 1−

−4n −1 3 ×    −1 −9×3−2b n 1− 3 ×   −2b  −1 , 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −33 n 31 + 13 + · · · + 3b10 −1 + 31b0 download by : skknchat@gmail.com 25 Trái lại 32 không chia hết n, R3 (9n) = R3 (n) 1− 

−4n −1 3 × 1 + · · · + × + 0 3b −1 3b 1− −9 × 3−2b n ! !−1   Bây ta chứng minh R3 (9n) > 32 R3 (n) • Nếu 32 không chia hết n, b0 = b0 (3) = số nguyên lớn mà 32b | 9n Ta có    −1 ! R3 (9n) −n 1 + = × −

−1 R3 (n) 3 − −4n 3

3 Ta có − −4n 3 = 1, (1−( −4n ) )−1 > , mà cho 3 ta kết R3 (9n) > R3 (n) • Nếu 32 chia hết n b (tương ứng b0 ) số nguyên lớn mà 32b | n (tương ứng 32b | 9n) Do R3 (9n) = R3 (n) 1− ×

−4n −1 3  −1   −9×3−2(b+1) n + 3b+1 − 3   −2b  −1 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −33 n 13 + 13 + · · · + 31b = 1−

−4n −1 3   −2b  −1 + 3b+1 − −33 n 13 ×   −2b  −1 · 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −33 n 13 + 13 + · · · + 31b Ta có   −2b   −3 n = 1, 1− 3 3 download by : skknchat@gmail.com ... lập giả thuyết sau đây: Giả thuyết Mọi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số có dạng b n3 c (n ∈ N) Tổng quát hơn, Farhi đề xuất giả thuyết sau đây: Giả thuyết Cho k > số nguyên Khi tồn số nguyên... Jacobi Định lí 2.1 Mọi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số có dạng b n8 c (n ∈ N) Chứng minh Theo Định lý số tam giác Gauss, số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số có dạng để ý k2 +k k2 +k... NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13