(LUẬN án TIẾN sĩ) về dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

Đại số Steenrod

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod trên trường

Năm 1942, Steenrod [35] đưa ra một lớp toán tử đối đồng điều, ngày này mang tên ông, và được ký hiệu

Sq i : H ∗ (X) → H ∗+i (X), với i nguyên không âm.

Năm 1950, Cartan [40] đã chứng minh

Sq i (x)Sq k−i (y), với x, y ∈ H ∗ (X) Công thức này được gọi là công thức Cartan.

Năm 1952, Adem đã chứng minh rằng mọi quan hệ trong đại số Steenrod đều được sinh ra từ một tập hợp các quan hệ đặc biệt, được gọi là các quan hệ Adem.

Trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2.

Đại số Steenrod, ký hiệu A, được định nghĩa là một đại số phân bậc, kết hợp và có đơn vị trên trường F2 Nó được sinh bởi các toán tử Sq i với bậc i (i ≥ 0), và các toán tử này tuân theo các quan hệ Adem, trong đó Sq 0 = 1.

Cho I = (i1, , ik) là một bộ gồm k số nguyên dương Dãy I được coi là chấp nhận được nếu thỏa mãn điều kiện ij ≥ 2ij+1 với 1 ≤ j ≤ k - 1 Một tích của các toán tử Sq i1, , Sq ik được gọi là đơn thức có độ dài k và bậc là i1 + + ik Đơn thức Sq I được xem là đơn thức chấp nhận được khi I là một dãy chấp nhận được.

Mệnh đề I.1.1 (Serre [43]) Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như không gian véctơ trên

Đối đồng điều hệ số F2 của không gian (RP∞) ×s là vành đa thức s biến P s := F2[x1, , xs] với bậc deg xi = 1 Tác động của các toán tử Steenrod trên vành đối đồng điều này được mô tả trong tài liệu tham khảo [36].

(i) Ta có công thức Cartan:

Do đó, ta thu được

Sq k (x n i ) = n k x k+n i Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị Khi đó, A được gọi là một đại số Hopf nếu A được trang bị:

(i) một toàn cấu đại số phân bậc (được gọi là phép bổ sung) : A →F2; (ii) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi làphép đối nhân)ψ : A → A⊗A;

−→ A là các ánh xạ đồng nhất;

(iv) và ψ có tính chất kết hợp: (1 ⊗ ψ) ◦ ψ = (ψ ⊗ 1) ◦ ψ.

Ta nói ψ có tính chất giao hoán nếu

T ◦ ψ = ψ, trong đó T : A ⊗ A → A ⊗ A là đồng cấu hoán vị T (a ⊗ b) = b ⊗ a. Định lý I.1.2 (Milnor [28, Định lý 1]) Đại số Steenrod A là một đại số Hopf, với phép bổ sung : A →F 2 được xác định bởi

0, nếu deg(θ)>0, và phép đối nhân ψ : A → A ⊗ A được cho bởi ψ(Sq k ) = k

Lý thuyết bất biến và đại số lambda

Trong bài viết này, chúng tôi tóm tắt mô tả lý thuyết bất biến của đại số lambda, dựa trên nghiên cứu của W.

P s = F2 [x1, , xs] là một đại số đa thức trên trường F2 với s phần tử sinh, mỗi phần tử có bậc 1 Nhóm tuyến tính tổng quát GL s ≡ GL s (F2) tự nhiên tác động lên không gian véctơ của các phần tử bậc 1 trong P s Tác động này được mở rộng cho toàn bộ vành đa thức bằng cách xem GL s như một nhóm của các tự đẳng cấu đại số.

Gọi T s là nhóm con của GL s, bao gồm tất cả các ma trận tam giác với các phần tử bằng 1 trên đường chéo chính Vành bất biến P s T s đã được Mùi xác định và ông chỉ ra rằng P s T s là một đại số đa thức.

P s T s =F 2 [V 1 , , V s ] trên các phần tử V k có bậc 2 k−1 Bất biến V k được cho bởi công thức

Vành bất biến P s GL s được mô tả bởi Dickson [9] Ông đã chỉ ra rằngP s GL s là một đại số đa thức

P s GL s =F 2 [Q s,0 , , Q s,s−1 ] trên các phần tử sinh Q s,i có bậc 2 s − 2 i Phần tử Q s,0 được cho bởi công thức

Từ cách xác định của V k ta thấy

Các bất biến Dickson, Q s,i, có thể được mô tả quy nạp theo s bằng công thức

Q s,i = V s Q s−1,i + Q 2 s−1,i−1 , với 0 ≤ i < s và quy ước rằng Q s−1,s−1 = 1 (s ≥ 1), Q s,i = 0 nếu i < 0 hoặc i > s.

Tập con nhân tính L(s) ⊂ P s được sinh bởi tất cả các dạng tuyến tính khác 0 trong P s Địa phương hóa Φ s được định nghĩa là Φ s = (P s ) L(s) Nhóm GL s tác động lên Φ s như một nhóm các tự đẳng cấu đại số.

Hơn nữa, đặt v 1 = V 1 , v k = V k /V 1 V 2 V k−1 (k ≥ 2) ta thu được

∆ s = (Φ s ) T s =F 2 [v ±1 1 , , v ±1 s ], với bậc của v i bằng 1 với mọi i.

Với mỗi cặp số nguyên không âm m, n mà m + n = s ta định nghĩa một đẳng cấu đại số ψ m,n : ∆ s → ∆ m ⊗ ∆ n như sau: ψ m,n (v i ) =

Ta quy ước rằng∆ 0 =F2;ψ s,0 (x) = x⊗1;ψ 0,s (x) = 1⊗x Ta đặt∆ = ⊕ s≥0 (∆ s ); lúc này, kết hợp các ánh xạ ψ m,n ta thu được đối tíchψ : ∆ → ∆ ⊗ ∆mà với đối tích này ∆ trở thành một đối đại số.

Tương tự, ta đặt Γ = ⊕ s≥0 (Γ s ) Ta sẽ thấy rằng Γ là một đối đại số con của ∆ qua mệnh đề sau.

Mệnh đề I.2.1 (Singer [32, Mệnh đề 2.1]) ψ m,n (Γ s ) ⊆ Γ m ⊗ Γ n ; do đó, Γ là một đối đại số con của ∆.

Singer định nghĩa Γ + s là một F 2 -không gian con của Γ s = D s [Q −1 s,0 ] sinh bởi tất cả cỏc đơn thức γ = Q i s,0 0 ã ã ã Q i s,s−1 s−1 với i 1 , , i s−1 ≥ 0, i 0 ∈ Z và i 0 + degγ ≥ 0.

Tiếp theo ta sẽ xây dựng phức dây chuyền Γ + M của Singer Cho M là một A-môđun trái bất kỳ.

Singer đã định nghĩa một ánh xạ tuyến tính trên F2, cụ thể là π: ∆2 → A với quy tắc v i 1 v 2 j 7→ Sq i+1 Sq j+1, trong đó Sq k = 0 nếu k < 0 Kết quả thu được từ định nghĩa này là mệnh đề I.2.2, khẳng định rằng Γ2 thuộc vào hạt nhân của π.

Sau đó, Singer định nghĩa ánh xạ tuyến tính ∂ s : ∆ s ⊗ M → ∆ s−1 ⊗ M bởi

Khi đó,∂ s (Γ + s ⊗M ) ⊆ Γ + s−1 ⊗ M Do đó, ông định nghĩa phức dây chuyền Γ + M bằng cách đặt (Γ + M ) s = Γ + s ⊗ M và vi phân là hạn chế của ∂ s tới Γ + s ⊗ M.

Ta chú ý là hợp thành ∂ s−1 ∂ s = 0 suy ra từ Mệnh đề I.2.1 và Mệnh đề I.2.2. Hơn nữa, ông chỉ ra rằng

Cho L là một không gian véctơ phân bậc trên trường F 2 với cơ sở bao gồm các phần tử dạng {λ k | k ∈Z , k ≥ −1}, với deg λ k = k Gọi TensL là đại số kết hợp tự do sinh bởi L, và TensL là đại số song bậc với bideg λ k = (1, k) Trong (TensL) 2 = L ⊗ L, định nghĩa các phần tử thuần nhất λ(m, n) = X j≥0 m j λ 2n+j−1 λ m+n−j−1 (m, n ≥ 0) và Θ là đại số song bậc thu được từ TensL chia thương theo quan hệ λ(m, n) = 0 (m, n ≥ 0) Các quan hệ này có hai loại, trong đó các quan hệ chứa λ −1 xuất hiện trong λ(m, 0) = 0: λ −1 λ −1 = 0, λ −1 λ m−1 + m−1.

X j=−1 m j λ j−1 λ m−j−1 + λ m−1 λ −1 = 0 (m > 0), còn các phần tử sinh {λ k | k ≥ 0} xuất hiện trong λ(m, n), với n > 0.

Λ là đại số con của Θ, được sinh ra từ các phần tử {λ k | k ≥ 0} Nó được xác định bởi quan hệ λ(m, n) = 0 với m ≥ 0 và n > 0 Định nghĩa này tương tự như định nghĩa trong tài liệu gốc [4], nhưng tích trong Λ được viết theo thứ tự ngược lại so với tích trong [4].

Trong [4], với mỗi s ≥ 1, một cơ sở của Λ s là {λ j 1 ã ã ã λ j s | 0 ≤ j 1 , j 1 ≤ 2j 2 , , j s−1 ≤ 2j s }, cơ sở này được gọi là cơ sở chấp nhận được.

Ta định nghĩa một đồng cấu d : Θ → Θ bởi dx = λ −1 x + xλ −1 Ánh xạ d là một đạo hàm và vì λ −1 λ −1 = 0 nên ta có dd = 0.

Giả sử N là một A-môđun trái hữu hạn sinh ở mỗi bậc, và N ∗ là F 2 -đối ngẫu của N N ∗ được xác định là một A-môđun phải thông qua việc chuyển vị A-môđun trái trên N Tích tenxơ Λ ⊗ N ∗ được xác định bởi một quy tắc song bậc.

Với mọi dãy I = (i₁, , iₛ) các số nguyên không âm, ký hiệu λ I đại diện cho λ i₁ λ iₛ ∈ Λ Đối với m∗ ∈ N∗, ký hiệu λ I m∗ biểu thị λ I ⊗ m∗ ∈ Λ ⊗ N∗ và đặt m∗ = 1m∗ Do đó, Λ ⊗ N∗ là một Λ-môđun trái vi phân song bậc, với tác động của Λ được mô tả bởi λ J (λ I m∗) = λ J λ I m∗, trong đó J là một dãy các số nguyên không âm Hơn nữa, vi phân của Λ ⊗ N∗ được xác định bởi δ(λ I m∗) = δ(λ I)m∗ + Σ j≥0 λ I λ j m∗ Sq j+1.

Khi đó, có thể khẳng định rằng Ext s,s+t A (N,F2) = H s,t (Λ ⊗ N ∗ , δ) Hơn nữa, tác động trái của Λ trên Λ ⊗ N ∗ tạo ra một tác động trái của Ext ∗,∗ A := Ext ∗,∗ A (F 2 , F 2 ) trên Ext ∗,∗ A (N,F 2 ) Điều này dẫn đến việc Ext ∗,∗ A (N,F 2 ) trở thành một Ext ∗,∗ A -môđun trái.

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày mối liên hệ giữa các bất biến của GL s và đối ngẫu của Λ.

Singer định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên F 2 , k s : ∆ s → (L ⊗s ) ∗ bởi hk s (v i 1 1 ã ã ã v s i s ), λ j 1 ⊗ ã ã ã ⊗ λ j s i = δ i 1 ,j 1 ã ã ã δ i s ,j s với mỗi s ≥ 1 và gọi k 0 : ∆ 0 → (L ⊗0 ) ∗ là ánh xạ đồng nhất trên F 2 Từ đây ông thu được hk s (γ), αβi = h(k m ⊗ k n )ψ m,n (γ ), α ⊗ βi với α ∈ L ⊗m , β ∈ L ⊗n , γ ∈ ∆ s và m + n = s.

Bổ đề I.2.3 (Singer [32, Mệnh đề 7.2]) Với mọi γ ∈ Γ 2 và mọi số nguyên m, n ≥ 0, hk 2 (γ ), λ(m, n)i = 0.

Từ Bổ đề I.2.3, ta thu được mệnh đề sau.

Mệnh đề I.2.4 (Singer [32, Mệnh đề 7.3]) Cho β ∈ L ⊗s nằm trong iđêan hai phía củaTensL sinh bởi các phần tử λ(m, n), khi đó hk s (γ), βi = 0 với mọi γ ∈ Γ s

Từ Mệnh đề I.2.4, chúng ta giới hạn k s : ∆ s → (L ⊗s ) ∗ tới Γ s, dẫn đến ánh xạ k s : Γ s → (Θ s ) ∗ Khi kết hợp ánh xạ này với phép chiếu tự nhiên (Θ s ) ∗ → (Λ s ) ∗, ta thu được ánh xạ tuyến tính ` s : Γ + s → (Λ s ) ∗.

Mệnh đề I.2.5 (Singer [32, Mệnh đề 8.1]) ` s là một đẳng cấu với mỗis ≥ 0.

Bằng cách đồng nhất Γ + s với (Γ + F2 ) s ta thu được vi phân ∂ s : Γ + s → Γ + s−1

Rõ ràng vi phân này thu được bằng cách hạn chế tới Γ + s của ánh xạ ∂ s :

Mệnh đề I.2.6 (Singer [32, Mệnh đề 8.2]) Biểu đồ sau giao hoán với mỗi s ≥ 1: Γ + s −−−→ ` s (Λ s ) ∗

Chương II Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ nhất và thứ hai

Chương II được chia thành hai tiết: Tiết II.1 tập trung vào việc xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati, trong khi Tiết II.2 trình bày một số quan sát nhằm giải thích lý do cho giả thuyết tổng quát về các lớp cầu với giả thiết các phần tử có lọc Adams lớn hơn 2 Nội dung của chương II được phát triển dựa trên bài báo [21].

Nhìn lại đồng cấu Lannes-Zarati

Trong tiết này chúng tôi sẽ trình bày lại cách xây dựng của đồng cấu Lannes-Zarati.

Hàm tử treo là một khái niệm trong tôpô học, được định nghĩa như sau: cho không gian tôpô X với điểm gốc x₀, hàm tử treo ΣX của không gian X được xác định là không gian thương ΣX = (X × [0, 1])/(X × {0} ∪ X × {1} ∪ {x₀} × [0, 1]).

Khi đó, H ∗ (ΣX) ∼ = ΣH ∗ (X), ở đó ΣH ∗ (X) được định nghĩa bởi ΣH ∗ (X) =

Tiếp theo, hàm tử treo được định nghĩa một cách đại số như sau Ta dùng

M để kí hiệu phạm trù các A-môđun phân bậc, các cấu xạ là các ánh xạ

A-tuyến tính bậc 0 Ta định nghĩa hàm tử Σ t : M → M, với t ∈Z như sau. Cho M là một A-môđun, (Σ t M ) n = M n−t Tác động của đại số Steenrod lên Σ t M được cho bởi θΣ t m = Σ t θm, với m ∈ M và θ ∈ A.

Cho P 1 =F 2 [x] với |x| = 1, môđun con P ˆ ⊂F 2 [x, x −1 ] được sinh bởi các lũy thừa {x p | p ≥ −1} Tác động chính tắc của A trên P 1 được mở rộng thành một A-tác động trên F 2 [x, x −1 ] Do đó, P ˆ trở thành một A-môđun con của F 2 [x, x −1 ] Chúng ta có một dãy khớp ngắn của các A-môđun.

0 −→ P 1 −→ ι P ˆ −→ π Σ −1 F2 −→ 0, trong đó ι là phép nhúng và π được cho bởi π(x p ) = 0 nếu p 6= −1 và π(x −1 ) = 1 Gọi e 1 là phần tử tương ứng trong Ext 1 A (Σ −1 F2 , P 1 ). Định nghĩa II.1.1 (Singer [33])

(iii) e s (M ) = e s ⊗ M ∈Ext s A (Σ −s M, P s ⊗ M ), vớiM là mộtA-môđun trái và s ≥ 0 Ở đây M cũng có nghĩa là ánh xạ đồng nhất của M.

Theo Lannes-Zarati [42], tái bất ổn định hóa của M được định nghĩa bởi

DM = M/EM, trong đó EM =Span{Sq i z | i > deg z, z ∈ M } Họ chỉ ra rằng hàm tử liên kết

M với DM là một hàm tử khớp phải Gọi D s là hàm tử dẫn xuất thứ s của

D s (M ) = H s (DF ∗ (M )), trong đó F ∗ (M ) là một giải thức A-tự do (hoặc A-xạ ảnh) của M.

Tích cap với e s (M) cho ta đồng cấu e s (M) : D s (Σ −s M) → D 0 (P s ⊗ M) ≡ P s ⊗ M z 7→ e s (M) ∩ z Định lý II.1.2 (Lannes-Zarati) khẳng định rằng, với M là một A-môđun không ổn định và s ≥ 0, thì α ΣM s := e s (ΣM) : D s (Σ 1−s M) → ΣR s M là một đẳng cấu có bậc trong bằng 0.

Theo định nghĩa của hàm tử D, ta có một đồng cấu tự nhiên DM →

F2 ⊗ A M là một cấu trúc được xây dựng từ một A-môđun bất kỳ M Đồng cấu tự nhiên này được tạo ra thông qua việc áp dụng hàm tử D lên phép chiếu từ M đến F2 ⊗ A M, và sau đó kết hợp với phép nhúng chính tắc.

Khi đó, ta có biểu đồ giao hoán

// F 2 ⊗ A F s (M) // F 2 ⊗ A F s−1 (M ) // Ở đây các mũi tên nằm ngang được cảm sinh từ vi phân trong F ∗ (M), và i s [Z ] = [1 ⊗ A Z], với Z ∈ F s (M ) Chuyển qua đồng điều, ta thu được một đồng cấu i s :F 2 ⊗ A D s (M ) →Tor A s (F 2 , M)

Chú ý rằng phép treo Σ :F 2 ⊗ A R s M →F 2 ⊗ A ΣR s M và phép đối treo Σ −1 :Tor A s (F2 , Σ 1−s M ) →Tor A s (F2 , Σ −s M) là các đẳng cấu với bậc trong bằng 1 và −1, tương ứng Điều này dẫn đến Định nghĩa II.1.3 (Lannes-Zarati [42, trang 46]) cho M là một A-môđun không ổn định và s ≥ 0 Đồng cấu ϕ M s với bậc trong bằng 0 là đối ngẫu của.

Nhận xét II.1.4 Trong Định lý III.1.1, ta cũng ký hiệu bởi (ϕ M s ) ∗ hợp thành của(ϕ M s ) ∗ được định nghĩa ở trên với phép treoΣ s :Tor A s,i (F 2 , Σ −s M) → Tor A s,s+i (F 2 , M )

Chúng ta sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa α ΣM s = e s (ΣM ) với các đồng cấu nối với s ≥ 1.

Giả sử f thuộc Ext 1 A (M 3 , M 1 ) và được biểu diễn qua dãy khớp ngắn của các A-môđun trái 0 → M 1 → M 2 → M 3 → 0 Gọi ∆(f) là đồng cấu nối từ D s (M 3 ) đến D s−1 (M 1 ) liên kết với dãy khớp ngắn này Dễ dàng nhận thấy rằng

Do vậy, ta thu được α ΣM s = ∆(e 1 (ΣM ) ⊗ P s−1 ) ◦ ã ã ã ◦ ∆(e 1 (Σ 3−s M ) ⊗ P 1 ) ◦ ∆e 1 (Σ 2−s M ).

Trong bối cảnh A-môđun không ổn định M, khi s = 0, ta có thể định nghĩa P 0 = F 2, R 0 M = M và e 0 = id ∈ Ext 0 A (F2, F2) = Hom A (F2, F2) theo các Định nghĩa II.1.1 và II.1.3 Hơn nữa, ánh xạ α ΣM 0 = id xác định D 0 (ΣM) = ΣM và i 0 = id cho phép chuyển đổi từ F 2 ⊗ A D 0 (M) = F 2 ⊗ A M đến Tor A 0 (F 2, M) = F 2 ⊗ A M.

Do đó, đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ không được định nghĩa là ánh xạ đồng nhất ϕ ∗ 0 = id :F 2 ⊗ A M →Tor A 0 (F 2 , M )

Khi đó, đồng cấu Lannes-Zarati thứ không ϕ 0 :Ext 0 A (M,F 2 )

(F 2 ⊗ A M ) ∗ có thể được mô tả như sau: Ext 0 A (M,F 2 ) tương đương với Hom A (M,F 2 ) Đồng thời, (F 2 ⊗ A M ) ∗ cũng được biểu diễn dưới dạng Hom F 2 (F 2 ⊗ A M,F 2 ) = Hom F 2 (M/AM,F 2 ) Dưới những đồng nhất này, đồng cấu Lannes-Zarati thứ không ϕ 0 : Hom A (M,F 2 ) được xác định.

→Hom F 2 (M/AM,F 2 ) gửi một A-đồng cấu h : M →F2 tới F2-đồng cấu h : M/AM → F2, đồng cấu h là sự phân tích của h qua thương M/AM như trong biểu đồ

Đồng cấu Lannes-Zarati ở thứ bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích các đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ nhất và thứ hai cho không gian xạ ảnh RP ∞ Đặc biệt, đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP ∞ triệt tiêu tại mọi gốc dương, trong khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất cho mọi CW-phức X có điểm gốc với đồng điều rút gọn He ∗ (X) không tầm thường và hữu hạn sinh ở mỗi bậc thì lại khác không tại mọi gốc dương Để minh họa cho việc đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai khác không tại mọi gốc dương, chúng tôi sẽ xem xét trường hợp khi X = S 0, như đã được Lannes và Zarati chứng minh.

Mệnh đề II.2.1 (Lannes-Zarati [42, Mệnh đề 5.3])

(i) ϕ S 1 0 :Ext 1 A (F2 ,F2 ) → (F2 ⊗ A D 1 ) ∗ là một đẳng cấu.

(ii) ϕ S 2 0 : Ext 2 A (F2 ,F2 ) → (F2 ⊗ A D 2 ) ∗ là một toàn cấu, với hạt nhân là Span{h i h j | |i − j| ≥ 2} Trong đó h i ký hiệu là phần tử Adams thứ i.

Để tóm gọn, Ext A (F 2 , F 2 ) được ký hiệu là Ext A Đồng thời, Ext A (He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) được ký hiệu là Ext A (Pe), và nhóm này có cấu trúc của một Ext A -môđun.

Giả sử N là một A-môđun có kiểu hữu hạn Ánh xạ F 2 -tuyến tính sau cũng được ký hiệu bởi cùng ký hiệu với đẳng cấu ` s : Γ + s → (Λ s ) ∗ (xem [32, trang 689]),

` s : Γ + s ⊗ N → (Λ s ⊗ N ∗ ) ∗ , v j 1 1 ã ã ã v s j s ⊗ z 7→ hz, ãih` s (v j 1 1 ã ã ã v s j s ), ãi. Ánh xạ này là một F2-đẳng cấu với mỗi s ≥ 0.

Bổ đề sau lần đầu được chứng minh với N = F 2 bởi Singer trong [32, trang 689].

Bổ đề II.2.2 Biểu đồ sau Γ + s ⊗ N −−−→ ` s (Λ s ⊗ N ∗ ) ∗

∗ Γ + s−1 ⊗ N −−−→ ` s−1 (Λ s−1 ⊗ N ∗ ) ∗ giao hoán, với s ≥ 1 Ở đây, N là một A-môđun có kiểu hữu hạn.

Chứng minh Sử dụng lập luận tương tự như chứng minh trong [32, Mệnh đề 8.2].

Giả sử N là một A-môđun có kiểu hữu hạn Gọi hã là ghép cặp đối ngẫu thông thường Tor A (F 2 , N) ⊗ Ext s A (N, F 2 ) → F 2 Cần lưu ý rằng ghép cặp đối ngẫu này được cảm sinh ở đồng điều bởi ghép cặp đối ngẫu (Γ + s ⊗ N) ⊗ (Λ s ⊗).

Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa không gian đồng nhất Γ + s ⊗ N và đối ngẫu của Λ s ⊗ N ∗, như đã trình bày trong Bổ đề II.2.2 Chúng ta ký hiệu hã, ãi để biểu diễn cặp đối ngẫu (F2 ⊗ A R s M) ⊗ (F2 ⊗ A R s M) ∗ → F2, với M là một A-môđun không ổn định Đặt {u k} k≥1 là cơ sở F2 của He ∗ (RP ∞) và {e k} k≥1 là cơ sở F2 của He ∗ (RP ∞) đối ngẫu với {u k} k≥1 Dựa trên nghiên cứu của Adams [1] và Lin [25], chúng ta định nghĩa các lớp trong nhóm Ext.

Định lý II.2.3 (Cohen-Lin-Mahowald) chỉ ra rằng Ext ∗,∗ A -môđun Ext s,∗ A (Pe) với s ≤ 2 được sinh bởi các phần tử bh i với i ≥ 1 và b c j cho j ≥ 0 Các quan hệ quan trọng bao gồm h i−1 bh i = 0 với i ≥ 1, h 2 i bh i+2 = h 2 i+1 bh i+1 với i ≥ 0, và h i h i+2 bh i+2 = 0 với i ≥ 0.

Mệnh đề sau đây, cũng được đánh số như Mệnh đề 3, là một trong những kết quả chính của Chương II.

Mệnh đề II.2.4 (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh, ϕ RP 0 ∞ , là một đẳng cấu trên Ext 0 A ( He ∗ (RP ∞ ), F2 ).

(ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất cho không gian xạ ảnh, ϕ RP 1 ∞ , là một đơn cấu trên Span{h i bh j | i ≥ j} và triệt tiêu trên Span{h i bh j | i < j}.

(iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕ RP 2 ∞ , triệt tiêu tại mọi gốc dương trong Ext 2 A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 )

Chứng minh (i) Từ Nhận xét II.1.5, ta có đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh là một đẳng cấu ϕ RP 0 ∞ :Hom A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 )

→Hom F 2 ( He ∗ (RP ∞ )/A He ∗ (RP ∞ ), F 2 )

Ta biết rằng He ∗ (RP ∞ )/A He ∗ (RP ∞ ) là một F2-không gian sinh bởi u 2 i −1 với i ≥ 1 Đối ngẫu của u 2 i −1 trong Ext 0 A ( He ∗ (RP ∞ ), F2 ) được ký hiệu bởi bh i (xem [25]).

Theo định nghĩa, R 1 He ∗ (RP ∞ ) là một F2-môđun được sinh bởi Q a 1,0 St 1 (z) với a ≥ 0, trong đó z là một phần tử thuần nhất trong He ∗ (RP ∞ ) Chúng ta có h ibh j = [λ 2 i −1 e 2 j −1 ] Do đó, h[Q a 1,0 St 1 (z)], ϕ RP 1 ∞ (h ibh j )i = h(ϕ RP 1 ∞ ) ∗ ([Q a 1,0 St 1 (z)]), [λ 2 i −1 e 2 j −1 ]i.

Ta thấy rằng hz, e 2 j −1 i 6= 0 nếu và chỉ nếu z = u 2 j −1 Khi đó hQ a+|z| 1,0 , λ 2 i −1 i = hQ a+2 1,0 j −1 , λ 2 i −1 i.

Nếu i < j, thì hQ a+2 1,0 j −1 , λ 2 i −1 i = hv 1 a+2 j −1 , λ 2 i −1 i = 0 Do vậy, ϕ RP 1 ∞ triệt tiêu trên Span{h i bh j | i ≤ j − 1}.

Nếu i ≥ j, chọn a = 2 i − 2 j , ta có h[Q a 1,0 St 1 (z)], ϕ RP 1 ∞ (h i bh j )i = hu 2 j −1 , e 2 j −1 ihv 1 2 i −1 , λ 2 i −1 i = 1. Điều này có nghĩa là ϕ RP 1 ∞ (h i bh j ) 6= 0 (i ≥ j ≥ 1).

Bậc trong của các phần tử λ 2 i −1 e 2 j −1 được xác định là 2 i + 2 j − 2, với các chỉ số {(i, j) | i ≥ j} tạo thành một tập hợp phân biệt Điều này dẫn đến kết luận rằng ϕ RP 1 ∞ là một đơn cấu trên Span{h i bh j | i ≥ j}.

Để chứng minh rằng ϕ RP 2 ∞ = 0, chúng ta sẽ chỉ ra rằng ϕ RP 2 ∞ (a) = 0, trong đó a là một phần tử sinh của mô-đun Ext ∗,∗ A -môđun Ext 2,∗ A (Pe) được đề cập trong Định lý II.2.3.

Chứng minh được chia làm 2 trường hợp.

Trường hợp 1: a =b c j (j ≥ 0) Theo Định lý III.3.2, ta có ϕ RP 2 ∞ (b c j ) = ϕ

Vì vậy, để chứng minh rằng ϕ RP 2 ∞ (b c j ) = 0 với bất kỳ j ≥ 0, ta chỉ cần chỉ ra ϕ RP 2 ∞ (b c 0 ) = 0 Ta có h[qSt 2 (u k )], ϕ RP 2 ∞ (b c 0 )i = h[qQ k 2,0 ⊗ u k ],b c 0 i (theo Định lý III.1.1)

Nếu k = 2, thì h[qSt 2 (u 2 )], ϕ RP 2 ∞ (b c 0 )i = hqQ

Vì deg(b c 0 ) = 6 nên ghép cặp đối ngẫu trên sẽ khác không trong trường hợp nếu q = 1, có nghĩa là qQ 2 2,0 = Q 2 2,0 Do đó h[qSt 2 (u 2 )], ϕ RP 2 ∞ (b c 0 )i = hQ

Như vậy trong bất kỳ tình huống nào ta đều có ϕ RP 2 ∞ (b c 0 ) = 0

Trường hợp 2: a = h m h n bh j (6= 0) Ta có h[qSt 2 (u k )],ϕ RP 2 ∞ (h m h n bh j )i = h(ϕ RP 2 ∞ ) ∗ ([qSt 2 (u k )]), h m h n bh j i

= h[qQ k 2,0 ⊗ u k ], h m h n bh j i (theo Định lý III.1.1)

= hu k , e 2 j −1 ih(ϕ F 2 2 ) ∗ [qQ k 2,0 ], [λ 2 m −1 λ 2 n −1 ]i(theo Định lý III.1.1)

= 0, trong đó đẳng thức cuối cùng được suy ra từ sự kiện rằng [qQ k 2,0 ] = 0 ∈

Mệnh đề được chứng minh.

Theo Nhận xét II.1.5, đồng cấu Lannes-Zarati thứ không ϕ M 0 :Ext 0 A (M,F2 ) = Hom A (M,F2 ) → ∼ = (F2 ⊗ A M ) ∗ luôn là một đẳng cấu và khác không với mọi A-môđun không ổn định M khác không.

Mệnh đề sau đây cũng được đánh số như Mệnh đề 4.

Mệnh đề II.2.6 khẳng định rằng, với một CW-phức X có điểm gốc và đồng điều rút gọn He ∗ (X) không tầm thường, nếu nó hữu hạn sinh ở mỗi bậc, thì đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất của X sẽ khác không ở mọi gốc dương.

Chứng minh Gọi P He ∗ (X) là môđun con nguyên thủy chứa tất cả những phần tử trong He ∗ (X) bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương

P He ∗ (X) := {w ∈ He ∗ (X) | wSq t = 0 với mọi t > 0}.

Vì He ∗ (X) khác không, nên P He ∗ (X) cũng khác không Thật vậy, P He ∗ (X) bao gồm tất cả các lớp dưới cùng trong He ∗ (X), đó là những phần tử khác không với bậc nhỏ nhất trong He ∗ (X).

Giả sử rằng w 6= 0 là một phần tử thuần nhất có bậc |w| trong P He ∗ (X). Khi đó wSq t = 0 với bất kỳ t > 0 Gọi w ∗ là một phần tử thuần nhất trong

Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự thỏa mãn của He ∗ (X) với wi = 1, trong đó ký hiệu ghộp cặp đối ngẫu giữa đồng điều và đối đồng điều được áp dụng Đặc biệt, chúng ta chỉ ra rằng phần tử λ 2 n −1 ⊗ w tạo thành một chu trình trong phức Λ ⊗ He ∗ (X) cho bất kỳ số nguyên dương n.

Thật vậy, trong đại số Lambda (xem [4]), ta có δ(λ 2 n −1 ) =X j≥0

Khi đó, trong phức Λ ⊗ He ∗ (X), ta có δ(λ 2 n −1 ⊗ w) = δ(λ 2 n −1 ) ⊗ w +X i≥0 λ 2 n −1 λ i ⊗ wSq i+1

= 0, trong đó δ(λ 2 n −1 ) = 0 đã nói ở trên, trong khi đó tổng cuối cùng triệt tiêu bởi vì wSq i+1 = 0 với bất kỳ i ≥ 0.

Hơn nữa, ta chứng minh rằng, nếu 2 n − 1 ≥ |w| thì ϕ X 1 ([λ 2 n −1 ⊗ w]) 6= 0. Áp dụng Định lý III.1.1, ta có các đẳng thức sau của ghép cặp đối ngẫu h[Q 2 1,0 n −1−|w| St 1 (w ∗ )], ϕ X 1 ([λ 2 n −1 ⊗ w])i = h(ϕ X 1 ) ∗ [Q 2 n −1−|w|

= 1. Điều này có nghĩa là ϕ X 1 ([λ 2 n −1 ⊗ w]) 6= 0 Mệnh đề được chứng minh.

Ví dụ II.2.7 Với X = (RP ∞ ) ∧k , ta có

He ∗ ((RP ∞ ) ∧k ) = He ∗ (RP ∞ ) ⊗ ã ã ã ⊗ He ∗ (RP ∞ ) (k lần)

=F 2 [u 1 ] ⊗ ã ã ã ⊗ F 2 [u k ], trong đó u j là phần tử sinh của nhân tử thứ j, He ∗ (RP ∞ ) , với deg(u j ) = 1 cho

1 ≤ j ≤ k, và F2 [u j ] ký hiệu là iđêan bổ sung của F2 [u j ].

Gọia (i 1 1 ) ã ã ã a (i k k ) là phần tử đối ngẫu củau i 1 1 ã ã ã u i k k theo cơ sở củaHe ∗ (RP ∞ )⊗ ã ã ã ⊗ He ∗ (RP ∞ ) gồm tất cả cỏc đơn thức theo u 1 , , u k Vỡa (2 n 1 −1)

1 ã ã ã a (2 k nk −1) là một nhọn, nên nó thuộc P He ∗ ((RP ∞ ) ∧k ) với bất kỳ các số nguyên dương n 1 , , n k

Theo Mệnh đề II.2.6, phần tử λ 2 n −1 ⊗ a (2 n 1 −1)

1 ã ã ã a (2 k nk −1) là một chu trỡnh trong phức Λ ⊗ He ∗ ((RP ∞ ) ∧k ) với bất kỳ các số nguyên dương n, n 1 , , n k Hơn nữa, nếu 2 n − 1 ≥ (2 n 1 − 1) + ã ã ã + (2 n k − 1), thỡ ϕ 1 ([λ 2 n −1 ⊗ a (2 n 1 −1)

1 ã ã ã a (2 k nk −1) ]) 6= 0, trong đó ϕ 1 ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất của (RP ∞ ) ∧k

Giả sử X và Y là các CW-phức với điểm gốc và đồng điều hữu hạn sinh ở mỗi bậc Phép nhúng X vào X × Y, biến phần tử x ∈ X thành (x, ∗) ∈ X × Y, với ∗ là điểm gốc của Y, tạo ra một toàn cấu cho các A-môđun He ∗ (X × Y) → He ∗ (X).

Theo Mệnh đề III.5.2, nếu đồng cấu Lannes-Zarati thứ s của X khác không ở mọi gốc dương, thì đồng cấu Lannes-Zarati thứ s của X × Y cũng khác không ở mọi gốc dương.

Theo Mệnh đề II.2.1, đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai của S 0 × Y không giống nhau ở mọi gốc dương, đối với bất kỳ CW-phức nào có điểm gốc Y mà đồng điều của nó hữu hạn sinh ở mọi bậc.

Chương III Đồng cấu Lannes-Zarati: những kết quả chung

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả chung về đồng cấu Lannes-Zarati Cụ thể, ở Tiết III.1, chúng tôi sẽ đưa ra biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Tiếp theo, trong Tiết III.2, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng đối ngẫu này có thể được phân tích qua A-hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer Γ + M.

Biểu diễn dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati

Mục đích của tiết này là chứng minh Định lý 5, cụ thể là Định lý III.1.1, trong đó M được xác định là một A-môđun không ổn định Định lý này khẳng định rằng, với mọi s ≥ 0, ánh xạ sẽ được xem xét.

( ϕf M s ) ∗ : R s M → Γ + s M, qSt s (z) 7→ qQ |z| s,0 ⊗ z với q ∈ D s , và phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M, là một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati

(ϕ M s ) ∗ : (F2 ⊗ A R s M ) i →Tor A s,s+i (F2 , M ). Ánh xạ này là tự nhiên đối với các A-đồng cấu của các A-môđun không ổn định.

Từ Nhận xét II.1.5, ta thấy định lý đúng với s = 0 Trong phần còn lại của tiết này, ta luôn giả sử s dương.

Giả sử M là một A-môđun trái phân bậc Gọi B ∗ (M) là giải thức bar của

⊗M (s ≥ 0), trong đó I ký hiệu cho iđêan bổ sung của A và các tích tenxơ được lấy trên

F2 Môđun B ∗ (M ) = ⊕ s B s (M ) được song bậc bằng cách ấn định một phần tử a 0 ⊗ a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z với bậc đồng điều s và bậc trong Ps i=0 |a i | + |z|.

Vi phân d s : B s (M ) → B s−1 (M ) được xác định bởi d s (a 0 ⊗ a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z) = a 0 a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z + a 0 ⊗ a 1 a 2 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z

Vì vậy d s bảo toàn bậc trong và giảm bậc đồng điều đi 1.

Tác động của A trên B s (M ) được cho bởi a(a 0 ⊗ a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z) = aa 0 ⊗ a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z, với a ∈ A.

Giả sử thêm rằng N là một A-môđun phải phân bậc Vì giải thức bar là một A-giải thức tự do, nên theo định nghĩa ta có

Vì D s ⊂F2 [v 1 , , v s ], nên mọi phần tử q ∈ D s có duy nhất một khai triển q = X

(j 1 , ,j s ) v j 1 1 ã ã ã v s j s , trong đój 1 , , j s là các số nguyên không âm Ta liên kết với phần tửqSt s (z) ∈

R s M phần tử sau đây. Định nghĩa III.1.2. eq z = X

Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2 0 |z|+j s +1 ⊗ Σ 1−s z ∈ B s−1 (Σ 1−s M ), với bất kỳ phần tử thuần nhất z ∈ M.

Ta định nghĩa một F 2 -ánh xạ tuyến tính π : ∆ 2 → A v 1 i v 2 j 7→ Sq 2 m n+i+1 Sq 2 m−1 n+j+1 , với m ≥ 1, n ≥ 0 Ở đây ta hiểu rằng Sq k = 0 nếu k < 0.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng π(Q r 2,0 Q t 2,1 ) = 0 với mọi r ∈ Z và t ≥ 0 bằng phương pháp quy nạp theo t Khi t = 0, ta nhận thấy rằng Sq 2 m n+2r+1 Sq 2 m−1 n+r+1 = 0 trong đại số Steenrod A, từ đó kết quả được xác nhận trong trường hợp này Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng bước quy nạp để tiếp tục chứng minh π(Q 2,1).

)) = απ(γ) trong đó α : A → A là phép đạo hàm được xác định bởi α(Sq k ) = Sq k−1 (xem [23]) Do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề III.1.4 Nếu q ∈ D s và z là một phần tử thuần nhất trong M, thì qe z ∈ EB s−1 (Σ 1−s M ) = Span{Sq i w | i > deg w, w ∈ B s−1 (Σ 1−s M )}.

Chứng minh Từ định nghĩa của A-tác động lên giải thức bar, ta có

Sq 2 s−1 |z |+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2 0 |z|+j s +1 ⊗ Σ 1−s z = Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 (1 ⊗ Sq 2 s−2 |z|+j 2 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2 0 |z|+j s +1 ⊗ Σ 1−s z). Ở đây, ta cần chỉ ra rằng

2 s−1 |z| + j 1 + 1 > (2 s−2 |z| + j 2 + 1) + ã ã ã + (2 0 |z| + j s + 1) + (1 − s) + |z|, với mọi số hạng trong khai triển của e q z Điều này tương đương với j 1 + 1 > j 2 + ã ã ã + j s

Nhắc lại rằng V i = v 1 2 i−2 v 2 2 i−3 ã ã ã v i−1 v i Vỡ vậy, ta dễ dàng chỉ ra rằng mọi phần tử v ∈ F 2 [V 1 , , V s ] là một tổng của cỏc đơn thức v j 1 1 ã ã ã v s j s , cỏc đơn thức này thỏa mãn điều kiện j 1 ≥ j 2 + ã ã ã + j s

Vì đại số Dickson D s là một đại số con của đại số Mùi M s nên bổ đề được chứng minh.

Bổ đề III.1.5 Với mỗi phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M, đồng cấu π s,p : ∆ s → A s−1 = A ⊗ ã ã ã ⊗ A ((s − 1) −lần), biến phần tử v 1 j 1 ã ã ã v j p p v j p+1 p+1 ã ã ã v j s s thành phần tử

Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2 s−p |z |+j p +1 Sq 2 s−p−1 |z|+j p+1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq |z|+j s +1 , triệt tiêu trên Γ s ⊂ ∆ s , với 1 ≤ p < s.

Chứng minh Xét ánh xạ đường chéo ψ : ∆ s → ∆ p−1 ⊗ ∆ 2 ⊗ ∆ s−p−1 được xác định bởi ψ(v i ) =

Theo Mệnh đề 2.1 của Singer [32], ta có ψ(Γ s ) ⊂ Γ p−1 ⊗ Γ 2 ⊗ Γ s−p−1

Ta xác định đồng cấu ω t : Γ t → A t bởi ω t (v 1 j 1 ã ã ã v t j t ) = Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2 s−t |z|+j t +1

Theo Bổ đề III.1.3 và các quan hệ Adams, ta có π 2,1 (Γ 2 ) = 0.

Do đó, π s,p (Γ s ) = 0 với 1 ≤ p < s Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề III.1.6 khẳng định rằng phần tử e q z, được xác định theo Định nghĩa III.1.2, là một chu trình trong phức dây chuyền EB ∗ (Σ 1−s M ) Điều này áp dụng cho mọi phần tử q thuộc D s và bất kỳ phần tử thuần nhất z thuộc M.

Chứng minh Trước tiên, ta thấy rằng Sq |z|+j s +1 (Σ 1−s z) = 0 với mọi j s ≥ 0.

Do đó, theo định nghĩa của vi phân trong giải thức bar, ta có d s−1 (e q z ) = s−1

Vì q ∈ D s ⊂ Γ s , nên Bổ đề III.1.5 cho ta π s,p (q) = 0 Vì vậy d s−1 ( q e z ) = 0 Bổ đề được chứng minh.

Với mỗi phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M, ta định nghĩa đồng cấu eπ s,p như sau e π s,p (Sq j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq j s +1 )

= Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2 s−p |z|+j p +1 Sq 2 s−p−1 |z|+j p+1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq |z|+j s +1 , với 1 ≤ p < s.

Với một(s − t)-chỉ số cố định (j t+1 , , j s ), ta định nghĩaJ (j t+1 , , j s )là tập gồm tất cả t-chỉ số (j 1 , , j t ) sao cho (j 1 , , j t , j t+1 , , j s ) xuất hiện như một s-chỉ số trong tổng trên.

Bổ đề sau là một khái quát nhẹ của Bổ đề III.1.5.

Chứng minh Ta xét ánh xạ đường chéo ψ 2 : ∆ s → ∆ t ⊗ ∆ s−t được cho bởi ψ 2 (v i ) =

Theo Mệnh đề 2.1 của Singer [32], ψ(Γ s ) ⊂ Γ t ⊗ Γ s−t Vì q ∈ D s ⊂ Γ s , nên ta suy ra P

J(j t+1 , ,j s ) v 1 j 1 ã ã ã v t j t ∈ Γ t Khi đú theo Bổ đề III.1.5, ta cú eπ t,p ( X

Bổ đề được chứng minh.

Theo định nghĩa của hàm tử tái bất ổn định hóa D, với bất kỳ A-môđun trái M, ta có một dãy khớp ngắn của các phức dây chuyền

0 → EB ∗ M −→ i E B ∗ M −→ DB j D ∗ M → 0, trong đó giải thức barB ∗ M là khớp Do đó, bằng cách sử dụng dãy khớp dài cảm sinh, ta thấy đồng cấu nối là một đẳng cấu

Bổ đề sau có liên quan đến đồng cấu nối:

Gọi [e q z ] là lớp đồng điều của chu trình e q z trong

Bổ đề III.1.8 Nếu q ∈ D s và z là một phần tử thuần nhất trong M, thì

Sq |z|+j s +1 ⊗ Σ 1−s z ∈ B s (Σ 1−s M ) là một nâng qua j D của lớp của nó modulo

EB s (Σ 1−s M ) trong DB s (Σ 1−s M ) Gọi d là vi phân trong B ∗ (Σ 1−s M ), ta có d(X

Mặt khác, Sq |z|+j s +1 Σ 1−s z = 0 với bất kỳ j s ≥ 0 Vì vậy, ta thu được d(X

Theo cách xác định của đồng cấu nối, ta có

ChoM là mộtA-môđun không ổn định Phép nhân của vànhP ˆ ⊗P s trang bị cho P ˆ ⊗ P s ⊗ M một cấu trúc của một P ˆ ⊗ P s -môđun.

Sq a+b+1 (x −1 ⊗ αSt s (z)) = Sq a+1 (x −1 ⊗ α)Sq b+1 (x −1 ⊗ St s (z)), với các phần tử thuần nhất α ∈ P s và z ∈ M với a ≥ |α|, b ≥ 2 s |z|.

Chứng minh Nhắc lại rằng Sq i (x −1 ) = x i−1 với mọi số nguyên không âm i.

Từ tính không ổn định của M và a ≥ |α|, ta có

Ta dễ thấy rằng St 1 (α)St 1 (St s (z)) = St 1 (αSt s (z)).

Bổ đề được chứng minh. Định lý III.1.10 Nếu q ∈ D s và z là một phần tử thuần nhất trong M, thì α ΣM s [ q e z ] = ΣqSt s (z) Ở đây Σ ký hiệu cho phép treo.

Chứng minh Ta tính α ΣM s bằng cách sử dụng công thức sau α ΣM s = ∆(e 1 (ΣM ) ⊗ P s−1 ) ◦ ã ã ã ◦ ∆(e 1 (Σ 3−s M ) ⊗ P 1 ) ◦ ∆e 1 (Σ 2−s M )

Trong đó, để cho gọn ta viết δ k thay cho ∆(e 1 (Σ 1−s+k M ) ⊗ P k−1 ).

Xét dãy khớp ngắn biểu diễn e 1 (Σ 2−s M):

Khi đó đồng cấu nối cảm sinh bởi dãy khớp ngắn này chính là δ 1 : H s−1 (EB ∗ (Σ 1−s M )) → H s−2 (EB ∗ (Σ 2−s P 1 ⊗ M )).

Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq |z|+j s +1 ⊗ Σ 2−s x −1 s ⊗ z ∈ EB ∗ (Σ 2−s P ˆ ⊗ M ), trong đó ta viết P 1 = F 2 [x s ] , P ˆ =Span{x i s | i ≥ −1} Biên của phần tử này trong EB ∗ (Σ 2−s P ˆ ⊗ M ) được kéo ngược dưới ι ⊗ M tới một chu trình trong

EB ∗ (Σ 2−s P 1 ⊗ M ), chu trình này đại diện cho δ 1 [ q e z ] Điều này có nghĩa là δ 1 [e q z ] = [d(

Đẳng thức cuối cùng được suy ra từ Bổ đề III.1.7 và Bổ đề III.1.9, thể hiện mối liên hệ giữa các không gian đồng cấu trong lý thuyết đồng hình Tương tự, δ 2: H s−2 (EB ∗ (Σ 2−s P 1 ⊗ M )) → H s−3 (EB ∗ (Σ 3−s P 2 ⊗ M )) là đồng cấu nối được sinh ra từ dãy khớp ngắn biểu diễn e 1 (Σ 3−s M ) ⊗ P 1.

Trong đó ta viết P 1 = F2 [x s ], P 2 = F2 [x s−1 , x s ], P ˆ = Span{x i s−1 | i ≥ −1}. Một nõng của Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2|z|+j s−1 +1 ⊗ Σ 2−s Sq j s +1 (x −1 s )St 1 (z) qua π ⊗ P 1 ⊗ M làSq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq 2|z|+j s−1 +1 ⊗ Σ 3−s x −1 s−1 ⊗ Sq j s +1 (x −1 s )St 1 (z).

Vì vậy, theo cách làm tương tự như trên, ta có δ 2 δ 1 [e q z ]

⊗ Σ 3−s Sq j s−1 +1 (x −1 s−1 ⊗ Sq j s +1 (x −1 s ))St 2 (z)], trong đó đẳng thức cuối cùng được suy ra từ Bổ đề III.1.9 và Bổ đề III.1.7. Lặp lại phương pháp trên, ta có α ΣM s [e q z ] = δ s ã ã ã δ 1 [ e q z ]

Theo Định lý 3.2 của Hưng [14], ta có

(ΣSq j 1 +1 (x −1 1 Sq j 2 +1 (x −1 2 ã ã ã Sq j s +1 (x −1 s ) ã ã ã )))St s (z)] = [ΣqSt s (z)]

= ΣqSt s (z). Định lý được chứng minh.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh Định lý III.1.1, định lý chính của tiết này.

Chứng minh của Định lý III.1.1 Theo Nhận xét II.1.5, định lý đúng với s =

0 Trong chứng minh này, ta luôn giả sử s nguyên dương.

Theo Bổ đề III.1.8 và Định lý III.1.10, ta có

Từ định nghĩa của i s , ta có i s :F2 ⊗ A H s (DB ∗ (Σ 1−s M )) →Tor A s (F2 , Σ 1−s M )

Xét phép đối treo Σ −1 :Tor A s (F 2 , Σ 1−s M ) → Tor A s (F 2 , Σ −s M ), biến phần tử

1 ⊗ Sq 2 s−1 |z|+j 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq |z|+j s +1 ⊗ Σ −s z]. Đẳng cấu chính tắc Σ s :Tor A s,i (F 2 , Σ −s M ) → Tor A s,s+i (F 2 , M ) được xác định bởi phiên bản cấp độ dây chuyền Σ s (a 0 ⊗ a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ Σ −s z) = a 0 ⊗ a 1 ⊗ ã ã ã ⊗ a s ⊗ z.

Ta chú ý rằng ánh xạ hợp thành Σ s (ϕ M s ) ∗ cũng được ký hiệu bởi(ϕ M s ) ∗ (xem Nhận xét II.1.4) Do đó,

Theo Priddy [31], đơn cấu Λ ∗ ⊗ M → B ∗ (M ) (λ i 1 ã ã ã λ i s ) ∗ ⊗ z 7→ 1 ⊗ Sq i 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq i s +1 ⊗ z, là một tương đương đồng luân Ở đây, Λ ∗ ký hiệu cho đối ngẫu của Λ, với đối ngẫu ∗ được xác định theo cơ sở gồm các đơn thức chấp nhận được của Λ Khi kết hợp đơn cấu này với đẳng cấu của Singer Γ + → Λ ∗, ta có v 1 i 1 ã ã ã v s i s 7→ (λ i 1 ã ã ã λ i s ) ∗, dẫn đến tương đương đồng luân: Γ + ⊗ M → B ∗ (M ) v 1 i 1 ã ã ã v s i s ⊗ z 7→ 1 ⊗ Sq i 1 +1 ⊗ ã ã ã ⊗ Sq i s +1 ⊗ z.

Do đó, với bất kỳ qSt s (z) ∈ R s M, ta có

Định lý này chứng minh rằng ánh xạ tự nhiên đối với các A-đồng cấu của các A-môđun không ổn định có thể được suy ra trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ và tính tự nhiên của ánh xạ St s.

Thương hóa đồng cấu Lannes-Zarati qua A -hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer

qua A -hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer

Cho M là một A-môđun không ổn định, và ∂ s : Γ + s M → Γ + s−1 M là vi phân của phức Γ + M Theo Định lý III.1.1, ánh xạ từ R s M đến Γ + s M chuyển đổi phần tử qSt s (z) thành phần tử qQ |z| s,0 ⊗ z, với q thuộc D s và z là phần tử thuần nhất bậc |z| trong M, thể hiện một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Do đó, qQ |z| s,0 ⊗ z trở thành một chu trình trong Γ + s M, tức là qQ |z| s,0 ⊗ z ∈ Ker∂ s Gọi i : R s M → Ker∂ s là ánh xạ biến phần tử qSt s (z) thành qQ |z| s,0 ⊗ z thuộc Ker∂ s.

Mục đích của tiết này là chứng minh định lý III.2.1, được chứng minh bởi Nguyễn H V Hưng với M = He ∗ (S 0 ) Giả sử M là một A-môđun không ổn định, thì đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati (ϕ M s ) ∗ phân tích qua F2 ⊗ A Ker∂ s.

66 trong đópđược cảm sinh bởi phép chiếu chính tắcp :Ker∂ s →Tor A s (F 2 , M ) := Ker∂ s /Im∂ s+1

Một chứng minh của định lý này sẽ được đưa ra ở phần cuối của tiết này.

A-tác động trên R s M ⊂ P s ⊗ M được coi là tác động đường chéo, trong khi A-tác động trên Ker∂ s ⊂ Γ + s M lại không phải là tác động đường chéo Để hiểu rõ hơn về tác động không thông thường này trên Γ + s M, nơi M là một A-môđun không ổn định, Singer đã định nghĩa một A-môđun trong tài liệu [32, § 5].

S s M, môđun này đã được ký hiện là R s M trong bài báo của ông ấy [32], và một đồng cấu f s : S s M → P s ⊗ M bằng quy nạp như sau.

Trước hết, A-môđun S s M được định nghĩa bởi

SM =Span{v 1 a ⊗ z | a ≥ |z|, z ∈ M }, với A-tác động được cho bởi

Thứ hai, ánh xạ f s được xác định bởi f 1 (v 1 a 1 ⊗ z) =

Singer đã chứng minh rằng f s là một đơn cấu của các A-môđun, trong đó A tác động lên S s M là tác động không thông thường đã được định nghĩa trước đó, trong khi tác động lên P s ⊗ M là tác động đường chéo.

Bổ đề III.2.2 Cho M là một A-môđun không ổn định Khi đó,

Chứng minh Từ định nghĩa của Singer [32], v 1 = V 1 , , v n = V n /V 1 ã ã ã V n−1 , ta dễ dàng thấy

V n = v 1 2 n−2 v 2 2 n−3 ã ã ã v n−2 2 v n−1 v n , cho bất kỳ số nguyên dương n.

Kết hợp khai triển này và cách xác định quy nạp của bất biến Dickson

Q s,i = Q 2 s−1,i−1 + Q s−1,i V s , trong đó quy ước rằng Q s,s = 1 và Q s,i = 0 với i < 0 (xem Dickson [9], Mùi [29]), ta dễ dàng chỉ ra rằng trong khai triển của bất kỳ một phần tử q = X

(i 1 , ,i s ) v 1 i 1 ã ã ã v i s s của D s =F 2 [Q s,0 , , Q s,s−1 ], ta thu được i k ≥ i k+1 + ã ã ã + i s với 1 ≤ k < s trong mỗi số hạng của tổng Thật vậy, ta dễ dàng thấy rằng

Trong đại số Mùi F2 [V1, , Vs] và đại số Dickson Ds, các phần tử đều thỏa mãn bất đẳng thức Vn = v1^2n−2 v2^2n−3 vn−2^2 vn−1 vn với mọi số nguyên dương n Hơn nữa, nếu q và q0 thỏa mãn các bất đẳng thức này, thì tổng q + q0 và tích qq0 cũng sẽ thỏa mãn.

Ngoài ra, kết hợp khai triển trên của V n theo các số hạng v 1 , , v n và cách xác định quy nạp của các bất biến Dickson, ta có

Do đó, phần tử này thuộc S s M bởi vì những bất đẳng thức sau

Bổ đề III.2.3 Cho M là một A-môđun không ổn định Khi đó, với mỗi phần tử thuần nhất z ∈ M bậc |z|, f s (v a 1 1 ã ã ã v s a s ⊗ z) = V 1 a 1 −a 2 −ããã−a s −|z| V 2 a 2 −ããã−a s −|z| ã ã ã V s a s −|z| St s (z).

Chứng minh Chứng minh được tiến hành bằng quy nạp theo s.

Với s = 1, từ định nghĩa của f s ta có f 1 (v 1 a 1 ⊗ z) = x a 1 1 −|z|

Giả sử quy nạp rằng bổ đề đúng với s − 1 Kết hợp định nghĩa quy nạp của f s và công thức trên với s = 1, ta có f s (v a 1 1 ã ã ã v s a s ⊗ z) = f 1 (v a 1 1 ⊗ f s−1 (v 2 a 2 ã ã ã v a s s ⊗ z))

= V 1 a 1 −a 2 −ããã−a s −|z| St 1 (V 1 ) a 2 −ããã−a s −|z| ã ã ã × St 1 (V s−1 ) a s −|z| St 1 (St s−1 (z)). Đẳng thức cuối cùng có được vì St s bảo toàn tích Ta có

(xem H Mùi [29, 30], và Nguyễn H V Hưng [12, Mệnh đề 2.2]).

Từ định nghĩa St s (z) = St 1 (St s−1 (z)), ta có bổ đề được chứng minh cho s.

Hệ quả III.2.4 Cho M là một A-môđun không ổn định Khi đó f s (qQ |z| s,0 ⊗ z) = qSt s (z), với bất kỳ q ∈ D s và bất kỳ phần tử thuần nhất z ∈ M có bậc |z|.

(i 1 , ,i s ) v 1 i 1 ã ã ã v s i s là một phần tử bất kỳ trong D s Áp dụng Bổ đề III.2.3, ta thu được f s (qQ |z| s,0 ⊗ z) = f s ( X

= qSt s (z), trong đó đẳng thức cuối cùng có được từ định nghĩa v 1 = V 1 , , v k =

Bổ đề III.2.5 Cho M là một A-môđun không ổn định Khi đó, ánh xạ i : R s M →Ker∂ s là một đơn cấu của các A-môđun.

Theo Singer [32, § 5], ánh xạ f s : S s M → P s ⊗ M là một đơn cấu của các A-môđun với tác động đường chéo của A trên P s ⊗ M Do đó, để chứng minh rằng i : R s M → Ker∂ s là một đơn cấu của các A-môđun, chúng ta cần xem xét các tính chất liên quan đến ánh xạ này.

A-môđun, ta cần chỉ ra rằng phép hợp thành f s i : R s M → P s ⊗ M là một đơn cấu.

Kết hợp định nghĩa ánh xạ i với Hệ quả III.2.4, ta có thể suy ra rằng phép hợp thành f s i là nhúng chính tắc của R s M vào P s ⊗ M, cho thấy nó là một đơn cấu của các A-môđun.

Chứng minh Định lý III.2.1 cho phép chiếu chính tắc p : Ker∂ s → Tor A s (F 2 , M ) = Ker∂ s /Im∂ s+1, biến phần tử x thành [x] = x + Im∂ s+1 Theo Định lý 5.15 của Singer, tác động của A trên Ker∂ s tạo ra một tác động tầm thường của A trên Tor A s (F 2 , M ) Do đó, p sinh ra một toàn cấu p : F 2 ⊗ AKer∂ s → Tor A s (F 2 , M ).

Từ Bổ đề III.2.5, ta có ánh xạ i : R s M →Ker∂ s là một đồng cấu của các

A-môđun sinh ra một đồng cấu i: F2 ⊗ A R s M → F2 ⊗ AKer∂ s Theo Định lý III.1.1, ánh xạ R s M → Γ + s M biến qSt s (z) thành qQ |z| s,0 ⊗ z, thể hiện một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Đây cũng là một biểu diễn cấp độ dây chuyền của phộp hợp thành pã i, từ đó ta thu được (ϕ M s ) ∗ = pã i Định lý đã được chứng minh.

Nhận xét III.2.6 Trong trường hợp M =F 2 , ánh xạ i : R sF 2 = D s → Γ + s ⊂

D s [Q −1 s,0 ] là phép nhúng i(q) = q, với bất kỳ q ∈ D s Bổ đề III.2.5 chỉ ra rằng

A-tác động không thông thường trên Γ + s = Γ + s F 2, được Singer định nghĩa trong [32, § 5], tương đương với A-tác động thông thường trên Γ + s ⊂ D s [Q −1 s,0] Điều này được xem như một mở rộng của A-tác động thông thường trên D s = P s GL s.

Đồng cấu Lannes-Zarati và toán tử squaring

Liulevicius có thể là người đầu tiên phát hiện ra các toán tử squaring Sq i :Ext s,t A (F2 ,F2 ) →Ext s+i,2t A (F2 ,F2 ) có nhiều tính chất tương tự như Sq i trên đối đồng điều của các không gian Đặc biệt, Sq i (α) = 0 nếu i > s, Sq s (α) = α 2 với α ∈ Ext s,t A (F 2 , F 2 ), và công thức Cartan áp dụng cho các Sq i Tuy nhiên, toán tử squaring Sq 0 không phải là đồng nhất Điều này có thể được tổng quát như sau: giả sử rằng M là một A-đối đại số và N là một A-đại số, thì đại số Steenrod A là một đại số.

Trong lý thuyết Hopf đối giao hoán, tồn tại các toán tử squaring Sq i : Ext s,t A (M, N) → Ext s+i,2t A (M, N), với nhiều đặc tính tương tự như Sq i trên đối đồng điều của các không gian (Xem May [27].)

Nguyễn H V Hưng đã xây dựng toán tử squaring trên (F2 ⊗ A D s ) ∗ trong

[13] Hơn nữa, ông đã chứng minh định lý sau. Định lý III.3.1 (Hưng [16, Định lý 1.3]) Toán tử squaring trên (F 2 ⊗ A

Trong bài viết này, chúng tôi khám phá sự giao hoán giữa toán tử bình phương cổ điển trên Ext s A (F 2 , F 2 ) và đồng cấu Lannes-Zarati ϕ F s 2 cho mọi giá trị của s Để đơn giản hóa, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu H ∗ (RP ∞ ) và đối đồng điều rút gọn của nó.

Trong bài viết này, chúng tôi ký hiệu He ∗ (RP ∞ ) bằng P và Pe, với mục tiêu xây dựng một toán tử squaring trên (F 2 ⊗ A R s Pe) ∗ Toán tử này giao hoán với toán tử squaring cổ điển trên Ext s A (P, e F 2 ) thông qua đồng cấu Lannes-Zarati Định lý III.3.2, được đánh số như Định lý 9, chứng minh rằng tồn tại một toán tử squaring Sq 0 trên (F2 ⊗ A R s He ∗ (RP ∞ )) ∗, làm biểu đồ.

Ext s A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) −−−→ ϕ s ( F 2 ⊗ A R s He ∗ (RP ∞ ))

Ext s A ( He ∗ (RP ∞ ), F2 ) −−−→ ϕ s (F2 ⊗ A R s He ∗ (RP ∞ ))

∗ giao hoán Trong đó, mũi tên dọc đầu tiên là toán tử squaring cổ điển, trong khi các mũi tên nằm ngang ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati.

Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) ∼ = H ∗ (Λ), với Λ là đại số lambda (xem [4]) Trong luận án này, chúng tôi tuân theo Singer [32] và viết tích của Λ theo thứ tự ngược lại so với cách viết tích cổ điển trong [4] Theo các số hạng của đại số lambda, toán tử squaring cổ điển Sq 0 : Ext ∗ A (F2 ,F2 ) → Ext ∗ A (F 2 , F 2 ) được sinh ra từ ánh xạ Λ → Λ, với λ i 1 ã ã ã λ i s được ánh xạ thành λ 2i 1 +1 ã ã ã λ 2i s +1 Đối ngẫu của ánh xạ này theo xây dựng Gamma của Singer được trình bày như sau.

Gọi e j là phần tử sinh của He j (RP ∞ ) với j > 0 Tồn tại một vi phân δ trên Λ ⊗ He ∗ (RP ∞ ) được định nghĩa như sau: δ(λ i 1 ã ã ã λ i s ⊗ e j ) = δ(λ i 1 ã ã ã λ i s ) ⊗ e j + X i≥0 λ i 1 ã ã ã λ i s λ i ⊗ e j Sq i+1 Đối đồng điều của vi phân này là H ∗ (Λ ⊗ He ∗ (RP ∞ ), δ) ∼ = Ext ∗ A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) (Xem Lin [25, trang 462].)

Sq 0 :Ext ∗ A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) → Ext ∗ A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) được cảm sinh bởi ánh xạ Λ ⊗ He ∗ (RP ∞ ) → Λ ⊗ He ∗ (RP ∞ ), λ i 1 ã ã ã λ i s ⊗ e j 7→ λ 2i 1 +1 ã ã ã λ 2i s +1 ⊗ e 2j+1

(xem Lin [25, trang 469]), mà đối ngẫu của ánh xạ này theo xây dựng Gamma của Singer được cho bởi Định nghĩa III.3.3.

0, trái lại. Ánh xạ này là hợp thành của phép nhúng Γ + Pe⊂ Γ + P 1 , đồng cấu

0, trái lại, và phép chiếu Γ + P 1 → Γ + Pe= Γ + P 1 /Γ + F 2 Ánh xạ sau cũng được ký hiệu bởi Sq 0 ∗ Định nghĩa III.3.4 Đồng cấu Sq ∗ 0 của F 2 [x 1 , , x s ] ⊗ Pe được cho bởi

Có hai quan hệ được biết đến

Sq 0 ∗ Sq 2t+1 = 0, Sq ∗ 0 Sq 2t = Sq t Sq 0 ∗ , với mọi số nguyên không âm t (Xem [13]).

Do đó, Sq ∗ 0 tạo ra một đồng cấu gọi là đồng cấu squaring, được ký hiệu là Sq ∗ 0 trên F 2 ⊗ A R s Pe Đồng cấu Sq ∗ 0 của F 2 [x 1 , , x s ]⊗ Pelà kết quả của phép nhúng F 2 [x 1 , , x s ]⊗.

0, trái lại. và phép chiếuF 2 [x 1 , , x s ]⊗P 1 →F 2 [x 1 , , x s ]⊗ Pe=F 2 [x 1 , , x s ]⊗P 1 /F 2 [x 1 , , x s ]⊗

Hạn chế của Sq 0 ∗ :F2 [x 1 , , x s ] ⊗ P 1 →F2 [x 1 , , x s ] ⊗ P 1 trên môđun con

F2 [x 1 , , x s ] ≡F2 [x 1 , , x s ] ⊗F2 được ký hiệu bởi Sq 0 x và được cho bởi

Bổ đề sau là một trong những lập luận then chốt trong chứng minh của kết quả chính của tiết này.

Bổ đề III.3.5 (Hưng [16, Mệnh đề 3.2])

Sq x 0 trùng với Sq v 0 trên F2 [V 1 , , V s ], với mọi s. Định lý III.3.2 được chứng minh nhờ bổ đề sau.

Bổ đề III.3.6 Các ánh xạ squaring Sq 0 ∗ : R s Pe→ R s Pe và Sq ∗ 0 : Γ + s Pe→ Γ + s Pe giao hoán với nhau qua biểu diễn cấp độ dây chuyền ϕ e

∗ của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati cho Pe Chính xác hơn, với mọi s, ϕe ∗ Sq ∗ 0 = Sq ∗ 0 ϕ e

∗ Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng ϕe ∗ Sq 0 ∗ (qSt s (u j )) = Sq ∗ 0 ϕ e

∗ (qSt s (u j )), với mọi q ∈ D s Ta xét 2 trường hợp sau.

Trường hợp 1: j chẵn Vì St s là một đồng cấu đại số, nên

Vì j chẵn, nên lũy thừa của u trong mỗi số hạng của St s (u) j là chẵn, trong khi q không chứa u Vì vậy, theo định nghĩa của Sq 0 ∗ , ϕe ∗ Sq ∗ 0 (qSt s (u) j )) = ϕ e

∗ (qSt s (u j )) = Sq ∗ 0 (qQ j s,0 u j ) = 0, vì j chẵn, trong khi q và Q s,0 không chứa u.

Trường hợp 2: j lẻ Ta viết j = 2n + 1, với n là một số nguyên không âm. Theo Mùi (xem [29]),

Ta ký hiệu phần tử này bởi V s+1 (u) cho ngắn gọn Khi đó ta có

V s+1 (u) = Q s,0 u + Q s,1 u^2 + + Q s,s−1 u^(2s−1), trong đó tất cả các số hạng ngoại trừ số hạng đầu tiên đều bị triệt tiêu bởi Sq 0 ∗ do các lũy thừa của u trong mỗi số hạng là chẵn Điều này dẫn đến việc áp dụng định nghĩa của Sq 0 ∗.

= Sq x 0 (qQ s,0 )Q n s,0 u n Mặt khác ϕe ∗ (qSt s (u j )) = qQ j s,0 u j

Do đó, theo định nghĩa của Sq 0 ∗ và Sq 0 v , ta thu được

Sử dụng Bổ đề III.3.5, Sq x 0 (qQ s,0 ) = Sq 0 v (qQ s,0 ), ta có ϕe ∗ Sq 0 ∗ (qSt s (u j )) = Sq ∗ 0 ϕ e

Từ Bổ đề III.3.6, Định lý III.3.2 được chứng minh.

Tính hàm tử của đồng cấu Lannes-Zarati

Mệnh đề 10 đề cập đến toàn cấu π : M → M 0 của các A-môđun không ổn định, trong đó nếu ϕ M s triệt tiêu tại mọi gốc dương, thì ϕ M s 0 cũng sẽ triệt tiêu tại mọi gốc dương Ở tiết cuối của Chương III, chúng tôi đã chứng minh Định lý III.6.5 về sự triệt tiêu của đồng cầu Lannes-Zarati trên các phần tử phân tích được Định lý 11 khẳng định rằng với M là một A-môđun không ổn định có kiểu hữu hạn, đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho M, ϕ M s, triệt tiêu trên các phần tử có dạng αβ tại mọi gốc dương i, với các điều kiện cụ thể về α và β Định lý 11 hỗ trợ Giả thuyết 2, và từ đó dẫn đến Định lý 12 của Hưng và Peterson, khẳng định rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ s ϕ F s 2 triệt tiêu trên các phần tử phân tích được tại mọi gốc dương i với s > 2 Hưng và Peterson đã chứng minh định lý này bằng cách chỉ ra rằng ϕ ∗ =.

⊕ s ϕ F s 2 là một đồng cấu của các đại số và, hơn nữa, tích của đại số ⊕ s (F 2 ⊗ A

Định lý 11 được chứng minh bằng một phương pháp khác với phương pháp của Hưng và Peterson, trong đó các yếu tố chính bao gồm việc sử dụng biểu diễn dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati (xem Định lý 5) và Bổ đề III.6.4 Trường hợp đặc biệt (F2 ⊗ A D 1) ∗ ⊗ (F2 ⊗ A D 1) ∗ dẫn đến (F2 ⊗ A D 2) ∗, cho thấy sự khác biệt trong cách tiếp cận.

Sử dụng Định lý 5, Định lý 14 và Định lý 15, ta thu được mệnh đề sau. Mệnh đề này cũng sẽ được đánh số như Mệnh đề III.6.7 ở Chương III.

Mệnh đề 13 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5 cho He ∗ (RP ∞ ) ϕ RP 5 ∞ :Ext 5,5+i A ( He ∗ (RP ∞ ), F2 ) → (F2 ⊗ A R 5 He ∗ (RP ∞ )) ∗ i triệt tiêu trên các phần tử phân tích được tại mọi gốc dương i.

Chương IV được chia thành hai phần nghiên cứu về sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati cho mặt cầu S 0 và không gian xạ ảnh Định lý IV.1.1, một trong những kết quả chính của chương này, được công bố bởi Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, và Ngô A Tuấn (xem [22]) Định lý 14 khẳng định rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ năm cho He ∗ (S 0 ) ϕ S 5 0: Ext 5,5+i A (He ∗ (S 0 ), F2) → (F2 ⊗ A R 5 He ∗ (S 0 )) i ∗ triệt tiêu tại mọi gốc dương i.

Theo Định lý 12 của Hưng và Peterson, để chứng minh Định lý 14, cần chứng tỏ ϕ S 5 0 triệt tiêu trên các phần tử không phân tích được Để thực hiện điều này, chúng tôi áp dụng các tính toán tương ứng từ Giambalvo-Peterson (xem [11]) và T W Chen (xem [6]) liên quan đến các nhóm F2 ⊗ A D 5 và Ext 5 A (F 2 , F 2 ).

Phần còn lại của Chương IV tập trung vào việc nghiên cứu Giả thuyết 2 liên quan đến sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4 trong không gian xạ ảnh Định lý IV.2.3 và Định lý IV.3.3 sẽ được trình bày tiếp theo Cụ thể, Định lý 15 chỉ ra rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho He ∗ (RP ∞ ) ϕ RP s ∞ có dạng: Ext s,s+i A (He ∗ (RP ∞ ), F 2) → (F 2 ⊗ A R s He ∗ (RP ∞ )) i.

∗ triệt tiêu tại mọi gốc dương i với s = 3, 4.

Trong chứng minh Định lý 15, chúng tôi sử dụng tính toán của các nhóm Ext 3 A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) và Ext 4 A ( He ∗ (RP ∞ ), F 2 ) tương ứng bởi Lin [25] và Chen [6].

Chương này đề cập đến mối liên hệ giữa đồng cấu Lannes-Zarati của các không gian khác nhau, với ánh xạ g: RP ∞ → S 0 là một ánh xạ bất kỳ của các phổ, sao cho đồng cấu cảm sinh trong nhóm cơ bản π 1 là một đẳng cấu Theo định lý Kahn-Priddy đại số được chứng minh bởi Lin, đồng cấu cảm sinh g ∗: Ext s−1 A (He ∗ (RP ∞), F 2) → Ext s A (He ∗ (S 0), F 2) là một toàn cấu tại mọi gốc dương với s ≥ 1 Điều này dẫn đến mối liên hệ giữa các đồng cấu Lannes-Zarati cho RP ∞ và S 0, được thể hiện qua Mệnh đề IV.4.2.

Mệnh đề 16 Nếu ϕ RP s−1 ∞ triệt tiêu tại mọi gốc dương, thì ϕ S s 0 cũng triệt tiêu tại mọi gốc dương, với s ≥ 1.

Kết hợp Mệnh đề 16 với Định lý 15 và Mệnh đề 3, ta thu được hệ quả sau Trong đó các kết quả lần đầu được chứng minh trong [13], [16] và [22].

Hệ quả 17.(Hưng [13, 16], Hưng-Quỳnh-Tuấn [22])Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho S 0 ϕ S s 0 :Ext s,s+i A (F 2 , F 2 ) → ( F 2 ⊗ A D s ) i ∗ triệt tiêu tại mọi gốc dương i với s = 3, 4, 5.

Tiết cuối trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati cho không gian xạ ảnh hữu hạn chiều Kết hợp Mệnh đề

3, Mệnh đề 10 và Định lý 15, ta thu được mệnh đề sau Mệnh đề này cũng sẽ được đánh số như Mệnh đề IV.5.1.

Mệnh đề 18 Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho He ∗ (RP n ) ϕ s RP n :Ext s A ( He ∗ (RP n ), F2 ) → (F2 ⊗ A R s He ∗ (RP n ))

∗ triệt tiêu ở mọi gốc dương với s = 2, 3, 4 và với mọi số nguyên dương n.

Trong phần Phụ lục của luận án, chúng tôi trình bày chi tiết một số tính toán trong chứng minh của Định lý 14 và Định lý 15 với s = 4.

Trong luận án này, chúng tôi làm việc với vành hệ số là trường F 2 gồm hai phần tử là 0 và 1.

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cần thiết để theo dõi các nội dung chính trong các chương tiếp theo của luận án Cụ thể, Tiết I.1 sẽ trình bày tổng quan về đại số Steenrod, trong khi Tiết I.2 sẽ khám phá lý thuyết bất invariant, đại số lambda và các nghiên cứu của Singer về việc diễn đạt đại số lambda thông qua lý thuyết bất invariant.

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod trên trường

Năm 1942, Steenrod [35] đưa ra một lớp toán tử đối đồng điều, ngày này mang tên ông, và được ký hiệu

Sq i : H ∗ (X) → H ∗+i (X), với i nguyên không âm.

Năm 1950, Cartan [40] đã chứng minh

Sq i (x)Sq k−i (y), với x, y ∈ H ∗ (X) Công thức này được gọi là công thức Cartan.

Năm 1952, Adem đã chứng minh rằng mọi quan hệ trong đại số Steenrod đều có thể được sinh ra từ một tập hợp các quan hệ đặc biệt, được gọi là các quan hệ Adem.

Trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2.

Đại số Steenrod, ký hiệu A, được định nghĩa là một đại số phân bậc, kết hợp và có đơn vị trên trường F2 Nó được sinh bởi các toán tử Sq i với bậc i (i ≥ 0), và các toán tử này tuân theo các quan hệ Adem, trong đó có Sq 0 = 1.

Cho I = (i1, , ik) là một bộ gồm k số nguyên dương Dãy I được coi là chấp nhận được nếu thỏa mãn điều kiện ij ≥ 2ij+1 với 1 ≤ j ≤ k - 1 Tích của các toán tử Sq i1, , Sq ik được gọi là một đơn thức có độ dài k và bậc bằng i1 + + ik Đơn thức Sq I được xem là đơn thức chấp nhận được khi I là một dãy chấp nhận được.

Mệnh đề I.1.1 (Serre [43]) Tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như không gian véctơ trên

Đối đồng điều hệ số F2 của không gian (RP∞) ×s là vành đa thức s biến P s := F2[x1, , xs] với bậc deg xi = 1 Tác động của các toán tử Steenrod trên vành đối đồng điều này được mô tả trong tài liệu [36].

(i) Ta có công thức Cartan:

Do đó, ta thu được

Sq k (x n i ) = n k x k+n i Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị Khi đó, A được gọi là một đại số Hopf nếu A được trang bị:

(i) một toàn cấu đại số phân bậc (được gọi là phép bổ sung) : A →F2; (ii) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi làphép đối nhân)ψ : A → A⊗A;

−→ A là các ánh xạ đồng nhất;

(iv) và ψ có tính chất kết hợp: (1 ⊗ ψ) ◦ ψ = (ψ ⊗ 1) ◦ ψ.

Ta nói ψ có tính chất giao hoán nếu

T ◦ ψ = ψ, trong đó T : A ⊗ A → A ⊗ A là đồng cấu hoán vị T (a ⊗ b) = b ⊗ a. Định lý I.1.2 (Milnor [28, Định lý 1]) Đại số Steenrod A là một đại số Hopf, với phép bổ sung : A →F 2 được xác định bởi

0, nếu deg(θ)>0, và phép đối nhân ψ : A → A ⊗ A được cho bởi ψ(Sq k ) = k

I.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda

Trong bài viết này, chúng tôi tóm tắt lý thuyết bất biến của đại số lambda, dựa trên nghiên cứu của W Nội dung sẽ cung cấp cái nhìn tổng quan về các khái niệm chính và ứng dụng của đại số lambda trong lĩnh vực toán học và khoa học máy tính.

P s = F2 [x1, , xs] là đại số đa thức trên trường F2 với s phần tử sinh, mỗi phần tử sinh có bậc 1 Nhóm tuyến tính tổng quát GL s ≡ GL s (F2) tác động tự nhiên lên không gian véctơ của các phần tử bậc 1 của P s Tác động này được mở rộng cho toàn bộ vành đa thức bằng cách xem GL s như một nhóm của các tự đẳng cấu đại số.

Gọi T s là tập hợp con của GL s, bao gồm tất cả các ma trận tam giác với các phần tử bằng 1 trên đường chéo chính Vành bất biến P s T s đã được xác định bởi Mùi [29], trong đó ông chỉ ra rằng P s T s là một đại số đa thức.

P s T s =F 2 [V 1 , , V s ] trên các phần tử V k có bậc 2 k−1 Bất biến V k được cho bởi công thức

Vành bất biến P s GL s được mô tả bởi Dickson [9] Ông đã chỉ ra rằngP s GL s là một đại số đa thức

P s GL s =F 2 [Q s,0 , , Q s,s−1 ] trên các phần tử sinh Q s,i có bậc 2 s − 2 i Phần tử Q s,0 được cho bởi công thức

Từ cách xác định của V k ta thấy

Các bất biến Dickson, Q s,i, có thể được mô tả quy nạp theo s bằng công thức

Q s,i = V s Q s−1,i + Q 2 s−1,i−1 , với 0 ≤ i < s và quy ước rằng Q s−1,s−1 = 1 (s ≥ 1), Q s,i = 0 nếu i < 0 hoặc i > s.

Tập con L(s) ⊂ P s được định nghĩa là tập hợp các dạng tuyến tính khác 0 trong P s Địa phương hóa Φ s được xác định bởi Φ s = (P s ) L(s) Như vậy, nhóm GL s tác động lên Φ s như một nhóm tự đẳng cấu đại số.