hơn hoặc bằng 2
Trong tiết này, chúng tôi sẽ nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ nhất, và thứ hai cho không gian xạ ảnh RP∞. Điều đáng chú ý là đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu tại mọi gốc dương, trong khi đồng cấu Lannes-Zatati thứ nhất cho mọi CW-phứcX có điểm gốc, với đồng điều rút gọn He∗(X) không tầm thường và hữu hạn sinh ở mỗi bậc, thì khác khơng tại mọi gốc dương.
Để có ví dụ về việc đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai khác không tại mọi gốc dương, ta cần xét trường hợp khi X =S0. Kết quả sau đây được chứng minh bởi Lannes và Zarati.
Mệnh đề II.2.1. (Lannes-Zarati [42, Mệnh đề 5.3]) (i) ϕS10 :Ext1A(F2,F2)→(F2⊗AD1)∗ là một đẳng cấu.
(ii) ϕS20 : Ext2A(F2,F2) → (F2 ⊗A D2)∗ là một toàn cấu, với hạt nhân là Span{hihj | |i−j| ≥2}. Trong đó hi ký hiệu là phần tử Adams thứ i.
Nhắc lại rằng, để cho ngắn gọn, ExtA(F2,F2) được ký hiệu bởi ExtA. Trong khi đó, ExtA(He∗(RP∞),F2) được ký hiệu bởi ExtA(Pe), nhóm này có cấu trúc của một ExtA-mơđun.
Giả sử N là một A-mơđun có kiểu hữu hạn. Ánh xạ F2-tuyến tính sau cũng được ký hiệu bởi cùng ký hiệu với đẳng cấu `s : Γ+s → (Λs)∗ (xem [32, trang 689]),
`s : Γ+s ⊗N →(Λs⊗N∗)∗,
vj11 · · ·vsjs⊗z 7→ hz,·ih`s(vj11 · · ·vsjs),·i.
Ánh xạ này là một F2-đẳng cấu với mỗi s ≥0.
Bổ đề sau lần đầu được chứng minh với N = F2 bởi Singer trong [32, trang 689].
Bổ đề II.2.2. Biểu đồ sau
Γ+s ⊗N −−−→`s (Λs ⊗N∗)∗ y∂ yδ∗ Γ+s−1⊗N −−−→`s−1 (Λs−1⊗N∗)∗
giao hoán, với s≥1. Ở đây, N là một A-mơđun có kiểu hữu hạn.
Chứng minh. Sử dụng lập luận tương tự như chứng minh trong [32, Mệnh đề 8.2].
Giả sửN là mộtA-mơđun có kiểu hữu hạn. Gọih·,·ilà ghép cặp đối ngẫu thông thường TorAs (F2, N)⊗ExtsA(N,F2)→ F2. Ta chú ý rằng ghép cặp đối ngẫu này được cảm sinh ở đồng điều bởi ghép cặp đối ngẫu (Γ+s ⊗N)⊗(Λs⊗
N∗) →F2 cái mà cho chúng ta đồng nhất Γs+⊗N với đối ngẫu của Λs⊗N∗
như đã nói trong Bổ đề II.2.2. Ta cũng ký hiệu bởi h·,·i ghép cặp đối ngẫu (F2⊗ARsM)⊗(F2⊗ARsM)∗ →F2 với M là một A-môđun không ổn định.
Gọi{uk}k≥1 làF2-cơ sở củaHe∗(RP∞), và{ek}k≥1 làF2-cơ sở củaHe∗(RP∞) đối ngẫu với {uk}k≥1. Theo Adams [1] và Lin [25], ta định nghĩa những lớp sau trong nhóm Ext.
(i) bhi= [e2i−1]∈Ext0,2A i−1(Pe), i≥1;
(ii) bcj = [λ22j+2−1e2j+1+2j−1]∈Ext2,2A j+3+2j+1+2j−1(Pe), j ≥0; (iii) hi= [λ2i−1 = (Sq0)i(λ0)] ∈Ext1,2A i(F2,F2), i≥0.
Định lý II.2.3.(Cohen-Lin-Mahowald [7, Định lý 1.1]) Ext∗,∗A -môđunExts,∗A (Pe), với s ≤ 2, được sinh bởi bhi với i ≥ 1 và bcj for j ≥ 0, chỉ phụ thuộc vào các quan hệ hi−1bhi = 0 với i ≥ 1, h2ibhi+2 =h2i+1bhi+1 với i ≥ 0, và hihi+2bhi+2 = 0 với i≥0.
Mệnh đề sau đây, cũng được đánh số như Mệnh đề 3, là một trong những kết quả chính của Chương II.
Mệnh đề II.2.4. (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh, ϕRP∞
0 , là một đẳng cấu trên Ext0A(He∗(RP∞),F2). (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất cho không gian xạ ảnh, ϕRP∞
1 , là một đơn cấu trên Span{hibhj |i≥j} và triệt tiêu trên Span{hibhj |i < j}.
(iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP∞
2 , triệt tiêu tại mọi gốc dương trong Ext2A(He∗(RP∞),F2).
Chứng minh. (i) Từ Nhận xét II.1.5, ta có đồng cấu Lannes-Zarati thứ khơng cho không gian xạ ảnh là một đẳng cấu
ϕRP∞
Ta biết rằng He∗(RP∞)/AHe∗(RP∞) là một F2-không gian sinh bởi u2i−1 với
i ≥ 1. Đối ngẫu của u2i−1 trong Ext0A(He∗(RP∞),F2) được ký hiệu bởi bhi
(xem [25]).
(ii) Theo định nghĩa, R1He∗(RP∞) là một F2-môđun sinh bởi Qa1,0St1(z) với a ≥ 0 và z là một phần tử thuần nhất bất kỳ trong He∗(RP∞). Ta có
hibhj = [λ2i−1e2j−1]. Vì vậy
h[Qa1,0St1(z)], ϕRP∞
1 (hibhj)i=h(ϕRP∞
1 )∗([Qa1,0St1(z)]),[λ2i−1e2j−1]i
=h[Qa+|z|1,0 ⊗z],[λ2i−1e2j−1]i (theo Định lý III.1.1) =hz, e2j−1ihQa+|z|1,0 , λ2i−1i.
Ta thấy rằng hz, e2j−1i 6= 0 nếu và chỉ nếu z =u2j−1. Khi đó
hQa+|z|1,0 , λ2i−1i=hQa+21,0 j−1, λ2i−1i.
Nếu i < j, thì hQa+21,0 j−1, λ2i−1i =hv1a+2j−1, λ2i−1i = 0. Do vậy, ϕRP∞
1 triệt tiêu trên Span{hibhj |i≤j−1}.
Nếu i≥j, chọn a= 2i−2j, ta có
h[Qa1,0St1(z)], ϕRP∞
1 (hibhj)i=hu2j−1, e2j−1ihv12i−1, λ2i−1i= 1. Điều này có nghĩa là ϕRP∞
1 (hibhj)6= 0 (i≥j ≥1).
Mặt khác, bậc trong của λ2i−1e2j−1 bằng 2i+ 2j−2. Vì thế, bậc trong của các phần tử λ2i−1e2j−1 là đôi một phân biệt trên tập chỉ số {(i, j) | i ≥ j}.
Điều này suy ra ϕRP∞
1 là một đơn cấu trên Span{hibhj |i≥j}.
(iii) Để chỉ ra rằng ϕRP∞
2 = 0, ta sẽ chứng minh ϕRP∞
2 (a) = 0, ở đây a
là một trong những phần tử sinh của Ext∗,∗A -mơđun Ext2,∗A (Pe) được nói đến trong Định lý II.2.3.
Chứng minh được chia làm 2 trường hợp.
Trường hợp 1: a=bcj (j ≥0). Theo Định lý III.3.2, ta có
ϕRP∞ 2 (bcj) = ϕRP∞ 2 (Sq0)j(bc0) = (Sq0)j(ϕRP∞ 2 (bc0)). Vì vậy, để chứng minh rằng ϕRP∞ 2 (bcj) = 0 với bất kỳ j ≥0, ta chỉ cần chỉ ra ϕRP∞ 2 (bc0) = 0. Ta có h[qSt2(uk)], ϕRP∞ 2 (bc0)i=h[qQ2,0k ⊗uk],bc0i (theo Định lý III.1.1) =hqQk2,0⊗uk, λ23e2i =huk, e2ihqQk2,0, λ23i.
Nếu k 6= 2, thì h[qSt2(uk)], ϕRP∞ 2 (bc0)i= 0. Nếu k = 2, thì h[qSt2(u2)], ϕRP∞ 2 (bc0)i=hqQ22,0, λ23i.
Vì deg(bc0) = 6 nên ghép cặp đối ngẫu trên sẽ khác không trong trường hợp nếu q= 1, có nghĩa là qQ22,0 =Q22,0. Do đó
h[qSt2(u2)], ϕRP∞
2 (bc0)i=hQ22,0, λ23i=hv14v22, λ23i= 0. Như vậy trong bất kỳ tình huống nào ta đều có ϕRP∞
2 (bc0) = 0. Trường hợp 2: a=hmhnbhj (6= 0). Ta có h[qSt2(uk)],ϕRP∞ 2 (hmhnbhj)i=h(ϕRP∞ 2 )∗([qSt2(uk)]), hmhnbhji =h[qQk2,0⊗uk], hmhnbhji (theo Định lý III.1.1) =huk, e2j−1ihqQ2,0k , λ2m−1λ2n−1i =huk, e2j−1ih[qQk2,0],[λ2m−1λ2n−1]i =huk, e2j−1ih(ϕF2
2 )∗[qQk2,0],[λ2m−1λ2n−1]i(theo Định lý III.1.1) = 0,
trong đó đẳng thức cuối cùng được suy ra từ sự kiện rằng [qQk2,0] = 0 ∈
F2⊗AD2 (xem [11, Hệ quả 4.8]). Mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét II.2.5. Theo Nhận xét II.1.5, đồng cấu Lannes-Zarati thứ không
ϕM0 :Ext0A(M,F2) = HomA(M,F2)→∼= (F2⊗AM)∗
ln là một đẳng cấu, và do đó khác khơng, với bất kỳ A-môđun không ổn
định M 6= 0.
Mệnh đề sau đây cũng được đánh số như Mệnh đề 4.
Mệnh đề II.2.6. Cho X là một CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn He∗(X) không tầm thường và hữu hạn sinh ở mỗi bậc. Khi đó đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất của X khác không ở mọi gốc dương.
Chứng minh. Gọi PHe∗(X) là môđun con nguyên thủy chứa tất cả những phần tử trong He∗(X) bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương
PHe∗(X) :={w∈He∗(X)|wSqt = 0 với mọi t >0}.
VìHe∗(X)khác khơng, nênPHe∗(X)cũng khác khơng. Thật vậy,PHe∗(X)chứa mọi lớp dưới cùng trong He∗(X), đó là những phần tử khác khơng có bậc nhỏ nhất trong He∗(X).
Giả sử rằng w 6= 0 là một phần tử thuần nhất có bậc |w| trong PHe∗(X). Khi đó wSqt = 0 với bất kỳ t >0. Gọi w∗ là một phần tử thuần nhất trong
e
H∗(X) thỏa mãn hw∗, wi = 1, trong đó h·,·i ký hiệu ghép cặp đối ngẫu giữa đồng điều và đối đồng điều. Trước tiên ta chỉ ra rằng, phần tử λ2n−1⊗w là một chu trình trong phức Λ⊗He∗(X) với bất kỳ số nguyên dương n.
Thật vậy, trong đại số Lambda (xem [4]), ta có
δ(λ2n−1) =X j≥0 2n−1−(j+ 1) j + 1 λjλ2n−1−(j+1) = 0. Khi đó, trong phức Λ⊗He∗(X), ta có δ(λ2n−1⊗w) =δ(λ2n−1)⊗w+X i≥0 λ2n−1λi⊗wSqi+1 = 0,
trong đó δ(λ2n−1) = 0 đã nói ở trên, trong khi đó tổng cuối cùng triệt tiêu bởi vì wSqi+1= 0 với bất kỳ i≥0.
Hơn nữa, ta chứng minh rằng, nếu 2n−1≥ |w| thì
ϕX1 ([λ2n−1⊗w])6= 0.
Áp dụng Định lý III.1.1, ta có các đẳng thức sau của ghép cặp đối ngẫu
h[Q21,0n−1−|w|St1(w∗)], ϕX1 ([λ2n−1⊗w])i=h(ϕX1 )∗[Q2 n−1−|w| 1,0 St1(w∗)],[λ2n−1⊗w]i =h[Q21,0n−1⊗w∗],[λ2n−1⊗w]i =hv12n−1, λ2n−1ihw∗, wi = 1.
Ví dụ II.2.7. Với X = (RP∞)∧k, ta có
e
H∗((RP∞)∧k) =He∗(RP∞)⊗ · · · ⊗He∗(RP∞) (k lần) =F2[u1]⊗ · · · ⊗F2[uk],
trong đó uj là phần tử sinh của nhân tử thứ j, He∗(RP∞), với deg(uj) = 1 cho 1≤j ≤k, và F2[uj] ký hiệu là iđêan bổ sung của F2[uj].
Gọia(i11 )· · ·a(ik)k là phần tử đối ngẫu củau1i1· · ·uikk theo cơ sở củaHe∗(RP∞)⊗
· · · ⊗He∗(RP∞) gồm tất cả các đơn thức theo u1, . . . , uk. Vìa(2
n1−1)
1 · · ·a(2knk−1)
là một nhọn, nên nó thuộc PHe∗((RP∞)∧k) với bất kỳ các số nguyên dương
n1, . . . , nk.
Theo Mệnh đề II.2.6, phần tử λ2n−1⊗a(2
n1−1)
1 · · ·a(2k nk−1) là một chu trình trong phức Λ⊗He∗((RP∞)∧k) với bất kỳ các số nguyên dương n, n1, . . . , nk. Hơn nữa, nếu 2n −1≥(2n1 −1) +· · ·+ (2nk−1), thì
ϕ1([λ2n−1⊗a(2
n1−1)
1 · · ·a(2k nk−1)])6= 0,
trong đó ϕ1 ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất của (RP∞)∧k. Nhận xét II.2.8. Giả sử rằngX và Y là các CW-phức có điểm gốc mà các đồng điều của chúng là hữu hạn sinh ở mỗi bậc. Phép nhúng X ⊂ X ×Y, biến phần tử x ∈X thành (x,∗)∈X×Y với ∗ là điểm gốc của Y, cảm sinh một tồn cấu của các A-mơđun He∗(X×Y)→He∗(X).
Theo Mệnh đề III.5.2, nếu đồng cấu Lannes-Zarati thứ s của X khác khơng ở mọi gốc dương, thì đồng cấu Lannes-Zarati thứ s của X ×Y cũng khác khơng ở mọi gốc dương.
Vì thế, theo Mệnh đề II.2.1, đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai của S0×Y
khác khơng ở mọi gốc dương, với bất kỳ CW-phức có điểm gốc Y mà đồng điều của nó hữu hạn sinh ở mọi bậc.
Chương III
Đồng cấu Lannes-Zarati: những kết quả chung
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày những kết quả chung về đồng cấu Lannes-Zarati. Cụ thể, trong Tiết III.1, chúng tôi sẽ đưa ra một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati. Trong Tiết III.2, chúng tôi chỉ ra rằng đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati có thể phân tích qua A-hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer Γ+M. Sự giao hốn của đồng cấu Lannes-Zarati và toán tử squaring sẽ được nghiên cứu ở Tiết III.3. Trong Tiết III.4, chúng tơi trình bày về đạo hàm riêng hình thức và ứng dụng của nó. Tiết III.5 đề cập đến tính hàm tử của đồng cấu Lannes-Zarati. Trong tiết cuối của chương này, chúng tôi nghiên cứu sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati trên các phần tử phân tích được. Chương III được viết dựa trên các bài báo [21] và [37].
III.1 Biểu diễn dây chuyền của đồng cấu
Lannes-Zarati
Mục đích của tiết này là đưa ra một chứng minh cho định lý sau. Đây cũng chính là nội dung của Định lý 5.
s≥0, ánh xạ
(ϕfM
s )∗ :RsM →Γ+s M, qSts(z)7→qQ|z|s,0⊗z
với q∈Ds, và phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M, là một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati
(ϕMs )∗ : (F2⊗ARsM)i →TorAs,s+i(F2, M).
Ánh xạ này là tự nhiên đối với các A-đồng cấu của các A-môđun không ổn
định.
Từ Nhận xét II.1.5, ta thấy định lý đúng với s = 0. Trong phần cịn lại của tiết này, ta ln giả sử s dương.
Giả sử M là một A-môđun trái phân bậc. Gọi B∗(M) là giải thức bar của
M trên A. Nhắc lại rằng
Bs(M) =A ⊗I⊗ · · · ⊗I
| {z }
slần
⊗M (s≥0),
trong đó I ký hiệu cho iđêan bổ sung của A và các tích tenxơ được lấy trên F2. Mơđun B∗(M) = ⊕sBs(M) được song bậc bằng cách ấn định một phần tử a0⊗a1⊗ · · · ⊗as⊗z với bậc đồng điều s và bậc trong Psi=0|ai|+|z|.
Vi phân ds :Bs(M)→Bs−1(M) được xác định bởi
ds(a0⊗a1⊗ · · · ⊗as⊗z) =a0a1⊗ · · · ⊗as⊗z+a0⊗a1a2⊗ · · · ⊗as⊗z
+· · ·+a0⊗a1⊗ · · · ⊗asz.
Vì vậy ds bảo toàn bậc trong và giảm bậc đồng điều đi 1. Tác động của A trên Bs(M) được cho bởi
a(a0⊗a1⊗ · · · ⊗as⊗z) = aa0⊗a1⊗ · · · ⊗as⊗z,
với a ∈ A.
Giả sử thêm rằng N là một A-mơđun phải phân bậc. Vì giải thức bar là
một A-giải thức tự do, nên theo định nghĩa ta có
Vì Ds ⊂F2[v1, . . . , vs], nên mọi phần tử q ∈Ds có duy nhất một khai triển
q= X
(j1,...,js)
vj11 · · ·vsjs,
trong đój1, . . . , js là các số nguyên không âm. Ta liên kết với phần tửqSts(z)∈
RsM phần tử sau đây. Định nghĩa III.1.2. e qz = X (j1,...,js) Sq2s−1|z|+j1+1⊗ · · · ⊗Sq20|z|+js+1⊗Σ1−sz ∈Bs−1(Σ1−sM), với bất kỳ phần tử thuần nhất z ∈M. Ta định nghĩa một F2-ánh xạ tuyến tính π : ∆2 → A v1iv2j 7→Sq2mn+i+1Sq2m−1n+j+1,
với m ≥1, n≥0. Ở đây ta hiểu rằng Sqk = 0 nếu k < 0. Bổ đề III.1.3. Γ2 ⊂kerπ.
Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng π(Qr2,0Qt2,1) = 0 với mọi r ∈ Z và t ≥0 bằng quy nạp theo t. Nếu t= 0 ta thấy rằng Sq2mn+2r+1Sq2m−1n+r+1= 0 trong đại số Steenrod A, vì thế kết quả được chứng minh trong trường hợp này. Bây
giờ ta sẽ sử dụng bước quy nạp, ta có
π(Q2,1 Q2,0γ) =π(γ( 1 v1 + 1 v2)) =απ(γ)
trong đó α : A → A là phép đạo hàm được xác định bởi α(Sqk) = Sqk−1
(xem [23]). Do đó bổ đề được chứng minh.
Bổ đề III.1.4. Nếu q∈Ds và z là một phần tử thuần nhất trong M, thì
e
qz ∈EBs−1(Σ1−sM) = Span{Sqiw|i >degw, w ∈Bs−1(Σ1−sM)}. Chứng minh. Từ định nghĩa của A-tác động lên giải thức bar, ta có
Sq2s−1|z|+j1+1⊗ · · · ⊗Sq20|z|+js+1⊗Σ1−sz =Sq2s−1|z|+j1+1(1⊗Sq2s−2|z|+j2+1⊗ · · · ⊗Sq20|z|+js+1⊗Σ1−sz).
Ở đây, ta cần chỉ ra rằng
2s−1|z|+j1+ 1>(2s−2|z|+j2+ 1) +· · ·+ (20|z|+js+ 1) + (1−s) +|z|,
với mọi số hạng trong khai triển của eqz. Điều này tương đương với
j1+ 1> j2+· · ·+js.
Nhắc lại rằng Vi =v12i−2v22i−3· · ·vi−1vi. Vì vậy, ta dễ dàng chỉ ra rằng mọi phần tử v ∈ F2[V1, . . . , Vs] là một tổng của các đơn thức vj11 · · ·vsjs, các đơn thức này thỏa mãn điều kiện
j1 ≥j2+· · ·+js.
Vì đại số Dickson Ds là một đại số con của đại số Mùi Ms nên bổ đề được chứng minh.
Bổ đề III.1.5. Với mỗi phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M, đồng cấu
πs,p : ∆s → As−1=A ⊗ · · · ⊗ A ((s−1)−lần), biến phần tử v1j1· · ·vjpp vjp+1p+1· · ·vjss thành phần tử
Sq2s−1|z|+j1+1⊗ · · · ⊗Sq2s−p|z|+jp+1Sq2s−p−1|z|+jp+1+1⊗ · · · ⊗Sq|z|+js+1,
triệt tiêu trên Γs ⊂∆s, với 1≤p < s.
Chứng minh. Xét ánh xạ đường chéo ψ : ∆s →∆p−1⊗∆2⊗∆s−p−1 được xác định bởi ψ(vi) = vi⊗1⊗1, i < p, 1⊗vi−p+1⊗1, p≤i≤p+ 1, 1⊗1⊗vi−p−1, p+ 1< i.
Theo Mệnh đề 2.1 của Singer [32], ta có
ψ(Γs)⊂Γp−1⊗Γ2⊗Γs−p−1.
Ta xác định đồng cấu ωt: Γt → At bởi
Khi đó ta có
πs,p = (ωp−1⊗π2,1⊗ωs−p−1)ψ. Theo Bổ đề III.1.3 và các quan hệ Adams, ta có
π2,1(Γ2) = 0.
Do đó, πs,p(Γs) = 0 với 1≤p < s. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề III.1.6. Phần tử eqz được xác định trong Định nghĩa III.1.2 là một chu trình trong phức dây chuyền EB∗(Σ1−sM), với mọi q ∈Ds và với bất kỳ phần tử thuần nhất z ∈M.
Chứng minh. Trước tiên, ta thấy rằng Sq|z|+js+1(Σ1−sz) = 0 với mọi js ≥ 0. Do đó, theo định nghĩa của vi phân trong giải thức bar, ta có