Vấn đề biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của ba số có dạng n2 a và giả thuyết của farhi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 n2 a ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 n2 a Mục lục Danh sách ký hiệu Mở đầu Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương 1.1 Tóm tắt kết 1.2 Công thức đệ quy 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương 10 Chương Hai giả thuyết Farhi 16 2.1 Giả thuyết Farhi 16 2.2 Giả thuyết Farhi 22 2.2.1 Giả thuyết Farhi biểu diễn số nguyên thành tổng 2.2.2 n2 (n ∈ N) 22 Một số trường hợp đặc biệt 28 ba số có dạng Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Danh sách ký hiệu ∃ ký hiệu “tồn tại” ∀ ký hiệu “với mọi” N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên a∈A a thuộc tập hợp A a∈ /A a không thuộc tập hợp A #X lực lượng tập hợp X · · ký hiệu Jacobi a phần nguyên số a a phần lẻ số a mod p modulo p a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p a ≡ b (mod p) a không đồng dư với b theo modulo p a|b a ước b m ∏ bi i=1 ∏ P(d) d|n m ∑ bi i=1 ∞ ∑ bn n=1 m (tích hữu hạn) ∏ bi = b1 · b2 · · · bm i=1 tích tất phần tử P(d) với d ước n m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm i=1 ∞ (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 Mở đầu Trong Lý thuyết số, ta biết có nhiều kết việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng bình phương số cố định số nguyên Lagrange chứng minh số tự nhiên biểu diễn thành tổng bốn hạng tử bình phương số nguyên Gauss số tự nhiên N ≡ (mod 8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số lẻ Vấn đề Fermat Cauchy nghiên cứu có nhiều kết Legendre chứng minh số tự nhiên viết thành tổng bình phương số nguyên mà số Legendre chứng minh số tự nhiên khơng có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N viết thành tổng bình phương số nguyên Năm 2013, B Farhi có báo trình bày việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số có dạng n2 a với a = 8, a = đưa hai giả thuyết: GIẢ THUYẾT “Mỗi số tự nhiên viết thành tổng số có dạng n2 a ”, trường hợp tổng quát với giả thuyết sau: GIẢ THUYẾT “Với k 2, tồn số a(k) cho số tự nhiên biểu diễn thành tổng (k + 1) số có dạng n2 a , n ∈ N” Mục tiêu luận văn trình bày kết năm 2013 Farhi [3] việc giải phần hai giả thuyết nêu Farhi thông qua hai báo [5] [6] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau: • Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương Chương trình bày lại kết phân tích số ngun thành tổng bình phương Các phân tích quan tâm biểu diễn số thành số chẵn bình phương • Chương Hai giả thuyết Farhi Mục tiêu Chương trình bày hai hai giả thuyết Farhi Trước hết biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số tự nhiên có dạng n2 a (n ∈ N), a số nguyên dương cố định Phần tham khảo B Farhi [3] Tiếp theo, chúng tơi trình bày kết việc giải phần hai giả thuyết nêu Farhi (trong Chương 1) thông qua tài liệu [5, 6] Tác giả hi vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích lĩnh vực Lý thuyết số ứng dụng Luận văn có ích việc bồi dưỡng giáo viên, sinh viên, học viên có nhu cầu tìm hiểu Lý thuyết số nói chung Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập hồn thành khóa học Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thúy Hạnh Chương Sự phân tích số nguyên thành tổng bình phương Trong chương tơi nghiên cứu phân tích số ngun thành tổng bình phương Tài liệu tham khảo chương Đoàn Quang Vụ [1] (xem thêm M.B Nathanson [7]) 1.1 Tóm tắt kết Trong phần ta xét số dạng bậc hai mà số tự nhiên n cho trước biểu diễn dạng tổng bình phương số nguyên Với số nguyên dương s số nguyên không âm n, ta có Rs (n) biểu thị số số nguyên x1 , x2 , , xs thỏa mãn n = x12 + x22 + + xs2 số nguyên xi âm, dương Với s 1, ta có Rs (0) = Vì = 02 + + 02 dạng biểu diễn số dạng tổng s hạng tử bình phương Ta có đồng thức Liouville rút toán biểu diễn số nguyên dạng tổng s số bình phương, s = 2, 4, 6, 10 Biểu diễn số nguyên n dạng tổng s số bình phương vấn đề lý thuyết số, cách giải cho giá trị lẻ s liên quan tới tổng số chia n, chủ đề lý thuyết số Ở đây, d δ số nguyên dương ∑d|n ∑n=dδ ta hiểu tổng ước n 1.2 Công thức đệ quy Định lí 1.1 (xem [1, Định lí 1.1]) Với số nguyên dương s n ta có ∑√ |u| n − (s + 1)u2 Rs (n − u2 ) = (1.1) n Định lí 1.2 (xem [1, Định lí 1.2]) Có Φ hàm số xác định tất số nguyên không âm n cho Φ(0) = n − (s + 1)u2 Φ(n − u2 ) = ∑√ |u| n Thế Φ(n) = Rs (n) với n với n (1.2) 10 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số chẵn bình phương Tổng số nguyên bình phương Định lí 1.3 (xem [1, Định lí 1.3]) Giả sử n biểu diễn dạng phân tích chuẩn t n = 2r ∏ psi i q jj pi ≡ (mod 4) q j ≡ (mod 4) Điều kiện cần đủ để n biểu diễn thành tổng hai bình phương số t j chẵn với j Ta ký hiệu S(n) họ ba số nguyên (u, d, δ ) thỏa mãn d, δ u2 + dδ = n Nếu k1 k2 số nguyên lẻ hàm số f (x, y) = x1k1 yk12 hàm lẻ với biến số x, y biến số Từ đồng thức Liouvill người ta chứng minh hệ sau: Cho hàm số f (x, y) lẻ biến x y Khi với số nguyên dương n ta có ∑ (−1) δ −1 f (δ − 2u, u + d) = {T0 (l)}n=l u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) l T0 (l) = ∑ (−1) j+l f (2 j − 1, l) j=1 Ứng dụng kết ta nhận ∑ u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) (−1) δ −1 (δ − 2u)k1 (u + d)k2 = l k2 ∑(−1)l− j (2 j − 1)k1 n=l 21 Bây giờ, số n2 (n ∈ N) chẵn, ta viết số tự nhiên thành tổng số cố định số vậy, câu hỏi mà ta trả lời sau: Có số tự nhiên chẵn tổng số cố định số có dạng n2 ? Câu trả lời Định lý sau khẳng định điều này: Định lí 2.5 Mọi số tự nhiên chẵn biểu diễn thành tổng ba n2 số có dạng (n ∈ N) Chứng minh Cho N số tự nhiên chẵn Khi 2N + ≡ (mod 4) Theo Định lí Legendre (2N + 1) tổng ba bình phương số tự nhiên Tức 2N + = a2 + b2 + c2 (a, b, c ∈ N) Do a2 b2 c2 N= + + + 2 Do a2 b2 , , c2 Nhưng (theo (2.6)) N, a2 , b2 , c2 a2 thuộc {0, 21 } nên a2 + b2 + c2 b2 + a2 + b2 c2 + + c2 − (2.6) − 21 thuộc {− 12 , 0, 12 , 1} − 21 số nguyên chẵn (bởi số ngun chẵn) a2 + b2 + c2 − 12 = Kết hợp với (2.6), ta nhận a2 b2 c2 + + N= 2 Phép chứng minh định lí hồn thành Hệ 2.6 Mọi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số, số có hai dạng k2 (k2 + k) (k ∈ N) 22 Chứng minh Ta có với n ∈ N,   2k2 , n = 2k (k ∈ N); n2 =  2(k2 + k), n = 2k + (k ∈ N) Hệ suy từ Định lí 2.5 2.2 Giả thuyết Farhi Trong phần dựa vào tài liệu [5, 6] để trình bày số khía cạnh giả thuyết Farhi Cụ thể, Farhi chứng minh số tự nhiên N ≡ (mod 24) biểu diễn thành tổng ba số có dạng n2 (n ∈ N) Farhi đoán kết N ≡ (mod 24) Mục tiêu chương chúng tơi trình bày phép chứng minh phát biểu 2.2.1 Giả thuyết Farhi biểu diễn số nguyên thành tổng ba số có dạng n2 (n ∈ N) Định lí 2.7 (Định lí Legendre) Mọi số tự nhiên khơng có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Nhận xét 4h (8k + 7) đồng dư với 0, modulo 8, số tự nhiên không đồng dư với 0, modulo biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Cho R3 (n) số biểu diễn số nguyên dương n thành tổng ba bình phương số ngun Định lí sau cung cấp công thức thú 23 vị cho R3 (n), mà chứng minh cách sử dụng lý thuyết hàm modular Định lí 2.8 (xem [2]) Với số nguyên dương n bất kỳ, ta có R3 (n) = 16 √ nχ2 (n)K(−4n)× π 1 −p−2b n × ∏ + + · · · + b−1 + b − p p p p p2 |n p −1 , b = b(p) số nguyên lớn cho p2b | n, ∞ K(−4n) = ∑ m=1 −4n m , m 4a lũy thừa cao chia n     0, 4−a n ≡ (mod 8);    χ2 (n) = 1a , 4−a n ≡ (mod 8);       a+1 , 4−a n ≡ 1, 2, 5, (mod 8) Bổ đề 2.9 Với nguyên dương n ≡ (mod 8) bất kỳ, ta có R3 (9n) > R3 (n) Chứng minh Ta có 16 √ R3 (9n) = 9nχ2 (9n)K(−36n)× π × ∏ p2 |9n 1+ 1 + · · · + b −1 + b p p p 1− −9 p−2b n p p −1  , b = b (p) ký hiệu số nguyên lớn mà p2b | 9n Do n ≡ (mod 8), suy 40 = lũy thừa cao chia n Kết suy 24 χ2 (n) = 23 Tương tự, ta có 9n ≡ (mod 8) Do đó, 40 = lũy thừa cao chia 9n, mà χ2 (9n) = χ2 (n) = 32 Ngược lại, từ [2, p 84] −4n K(−36n) = K(−4 × 32 × n) = − K(−4n) Do n ≡ (mod 8), nên từ Định lí Legendre n biểu diễn thành tổng ba bình phương số tự nhiên Do R3 (n) = Chia cho R3 (n) ta có tương đương với R3 (9n) = R3 (n) 1− −4n −1 3 ∏ p2 |9n + × × 1 p + · · · + pb −1 + pb 1− + p1b − ∏ p2 |n + 1p + · · · + pb−1 −9 p−2b n p −p−2b n p p p −1 −1 · Cho p = với p2 | n Do b = b (p) số nguyên lớn mà p2b | n Như vậy, ta có b = b (p) = b(p) = b Thêm nữa, ta có −9 p−2b n p = −p−2b n p 32 p = −p−2b n p −p−2b n · p = Với p = với p2 | n, ta có −9 p−2b n p p −p−2b n 1 = + + · · · + b−1 + b − p p p p p 1 1 + + · · · + b −1 + b p p p 1− −1 −1 Như vậy, hai trường hợp, 32 | n R3 (9n) = R3 (n) 1− × −4n −1 3 × + 13 + · · · + 3b1−1 + 31b 1− 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −9×3−2b n −3−2b n 3 −1 , −1 25 Trái lại 32 không chia hết n, R3 (9n) = R3 (n) 1−  −4n −1 3 × 1 + · · · + × + 3b −1 3b 1− −9 × 3−2b n −1 3   Bây ta chứng minh R3 (9n) > 32 R3 (n) • Nếu 32 khơng chia hết n, b = b (3) = số nguyên lớn mà 32b | 9n Ta có R3 (9n) = R3 (n) 1− Ta có − −4n 3 −4n 3 −n 1 + × − −1 3 = 1, 32 (1−( −1 −4n −1 3 ) ) > 32 , mà cho ta kết R3 (9n) > R3 (n) • Nếu 32 chia hết n b (tương ứng b ) số nguyên lớn mà 32b | n (tương ứng 32b | 9n) Do R3 (9n) = R3 (n) 1− × −4n −1 3 1 + 13 + · · · + 31b + 3b+1 1− −9×3−2(b+1) n 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − 3 = 1− × Ta có −3−2b n 3 −1 −4n −1 3 1− + 13 + · · · + 31b + 3b+1 −3−2b n 1 + 13 + · · · + 3b−1 + 31b − −3−2b n −3−2b n 1− 3 = 1, 3 3 −1 −1 · −1 26 Ta thu kết sau tất trường hợp: 1 −3−2b n + − 3b 3b+1 −1 −3−2b n 1 − 3b −1 Kết suy 1 −3−2b n + + · · · + b + b+1 − 3 3 1 −3−2b n + + · · · + b−1 + b − 3 3 −1 −1 Ngược lại, 1− −4n −1 3 > Vậy ta có R3 (9n) > R3 (n) Ta có điều cần chứng minh Định lí 2.10 Mọi số tự nhiên N ≡ (mod 24) biểu diễn thành tổng ba số có dạng n2 (n ∈ N) Chứng minh Ta viết N = + 24k với k ∈ N Vậy, 3N + = 9(1 + 8k) Bây ta định nghĩa hai tập hợp S1 S2 sau: S1 = (a, b, c) ∈ Z3 : a2 + b2 + c2 = + 8k , S2 = (a, b, c) ∈ Z3 : a2 + b2 + c2 = 9(1 + 8k) Theo định nghĩa R3 , ta có #S2 = R3 (9(1 + 8k)) #S1 = R3 (1 + 8k) Do + 8k ≡ (mod 8), áp dụng Bổ đề 2.9 ta nhận R3 (9(1 + 8k)) > R3 (1 + 8k) R3 (1 + 8k) 27 Ta thu R3 (9(1 + 8k)) > R3 (1 + 8k), mà tương đương với #S2 > #S1 Ta định nghĩa ánh xạ −→ S2 f : S1 (a, b, c) −→ (3a, 3b, 3c) Dễ thấy f hoàn toàn xác định đơn ánh Do #S2 > #S1 , ta tìm (a, b, c) ∈ S2 cho (a, b, c) ∈ / f (S1 ) Thêm nữa, ta có a2 + b2 + c2 = 9(1 + 8k) ≡ (mod 3) Khi đó, a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3) a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3) Trường hợp cuối xảy phần tử, a, b c, không chia ((a, b, c) ∈ / f (S1 )) Như vậy, a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3) ta có N + = 3(1 + 8k) a2 b2 c2 + + 3 2 a b c2 a2 = + + + 3 3 = + b2 + c2 Do a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ (mod 3), nên a2 mà b2 + c2 + = 1 + + = 1, 3 a2 b2 c2 N= + + 3 Thay (a, b, c) ∈ Z3 (|a|, |b|, |c|) ∈ N3 để ta có câu trả lời mong muốn Vậy giả thuyết chứng minh 28 2.2.2 Một số trường hợp đặc biệt Ta chứng minh vài trường hợp giả thuyết Farhi biểu diễn số nguyên dương thành tổng ba số hạng dãy n2 a Một kết cổ điển Legendre [?] phát biểu số tự nhiên khơng có dạng 4s (8t +7), s,t ∈ N viết tổng ba bình phương Liên quan đến điều này, Farhi đoán rằng: Giả thuyết (Farhi [4]) Cho a số nguyên Khi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số hạng dãy n2 a n∈N Giả thuyết chứng minh Farhi [3] Mezroui, Azizi, Ziane [6] với a ∈ {3, 4, 8} Ta tổng quát hóa phương pháp sử dụng Farhi với a = 4, phần cho a = 3, để chứng minh giả thuyết xảy với a ∈ {4, 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120} Phương pháp sử dụng Định lí ba bình phương Legendre tính chất thặng dư tồn phương Ta bắt đầu với việc giới thiệu tập hợp sau đây: Định nghĩa 2.11 Với a ∈ N khác không, ta định nghĩa Qa = {0 < ϕ < a | ∃x ∈ Z : ϕ ≡ x2 (mod a)} Vậy Qa tập hợp tất các thặng dư toàn phương modulo a 29 Định nghĩa 2.12 Với a ∈ N khác không ta định nghĩa Aa = {ϕ ∈ N | ∃x, y, z ∈ Qa ∪ {0} : ϕ = x + y + z} Vậy Aa tập tất số nguyên mà biểu diễn thành tổng ba phần tử Qa ∪ {0} Định nghĩa 2.13 Với số a ∈ N khác không bất kỳ, ta định nghĩa Ra = {ϕ ∈ Aa | ∀ψ ∈ Aa : ϕ ≡ ψ (mod a) ⇒ ϕ = ψ} Vậy Ra tập hợp số nguyên mà biểu diễn thành tổng ba phần tử của Qa ∪ {0}, cho khơng có số ngun khác lớp dư lượng modulo a có tính chất Bây ta sẵn sàng xây dựng kết Định lí 2.14 Cho a ∈ N số khác không giả sử với k ∈ N tồn r ∈ Ra cho ak + r = 4s (8t + 7) với s,t ∈ N Khi N ∈ N biểu diễn thành tổng ba số hạng dãy n2 a n∈N Chứng minh Cho N ∈ N số cố định Bởi giả thiết có ta chọn r ∈ Ra cho aN + r = 4s (8t + 7) với s,t ∈ N Bởi Định lí Legendre ta có aN + r viết dạng aN + r = A2 + B2 +C2 (2.7) với A, B,C ∈ N Bây ta có r ≡ A2 + B2 +C2 (mod a), r = (A2 mod a) + (B2 mod a) + (C2 mod a), (2.8) 30 r ∈ Ra Chia cho a tách phần nguyên phần lẻ vế phải (2.7), ta nhận N+ r A2 B2 C2 A2 = + + + a a a a a + B2 a + C2 , a từ (2.8) ta có A2 a r = a + B2 a + C2 , a B2 C2 A2 + + N= a a a Phép chứng minh định lí kết thúc Do ta tìm tập hợp Ra tính tốn, ta áp dụng Định lí 2.14 để nhận hệ sau Hệ 2.15 Giả thuyết thỏa mãn với a ∈ {4, 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120} Chứng minh Xét bảng sau: a Ra {0, 1, 2, 3} {4, 6} {2, 3, 5, 6} {1, 4, 7, 8} 20 {11, 15, 18, 19} 24 {11, 14, 19, 21, 22} 40 {27, 38} 104 {99} 120 {107} 31 Tính tốn theo mod ta kiểm tra dễ dàng với a ∈ {4, 7, 8, 9, 20, 24, 40, 104, 120} k ∈ N tồn r ∈ Ra cho ak + r khơng có dạng 4s (8t + 7), s,t ∈ N, số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số hạng dãy n2 a n∈N Để chứng minh điều này, trường hợp a = Tất trường hợp khác hoàn thành với phương pháp Với k ≡ 1, 2, 3, (mod 8) ta có 7k + ≡ 3, 2, 1, (mod 8), tương ứng, với k ≡ 0, (mod 8) ta có 7k + ≡ 6, (mod 8), tương ứng Do 4s (8t + 7) ≡ 0, (mod 8), s,t ∈ N, ta kết luận với k ∈ N ta viết 7k + r, với r ∈ R7 = {4, 6}, cho khơng có dạng 4s (8t + 7) với s,t ∈ N Trường hợp suy từ Định lí 2.14 Nhận xét Cho M tập hợp số nguyên thỏa mãn Giả thuyết Nếu a ∈ M, ak2 ∈ M với số nguyên k > Chứng minh Điều dễ dàng xảy n với bất kỳ, ta cần tìm A, B,C ∈ N cho A2 B2 C2 n= + + a a a (Ak)2 (Bk)2 (Ck)2 = + + ak2 ak2 ak2 Vậy phép chứng minh kết thúc Ta thấy Giả thuyết thỏa mãn với a = 3, 9, 4, 8, phải xảy với a = 3k với số nguyên dương k với a = 2k , k > Cuối cùng, sử dụng Nhận xét 1, Hệ 2.15, [6], Giả thuyết xảy 32 với a = 3, ta nhận giả thuyết xảy cho giá trị đến 120 sau đây: a ∈ 3, 4, 7, 8, 9, 12, 16, 20, 24, 27, 28, 32, 36, 40, 48, 63, 64, 72, 75, 80, 81, 96, 100, 104, 108, 112, 120 Có vẻ phương pháp triển khai Định lí 2.14 khơng mở rộng cho trường hợp khác, thành cơng phụ thuộc vào Ra , tổng quát Ra không bao gồm yếu tố cần thiết cho điều kiện định lí thỏa mãn 33 Kết luận Luận văn “Vấn đề biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số có dạng n2 a giả thuyết Farhi” đạt kết sau: Trình bày kết biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số tự nhiên có dạng n2 a (n ∈ N), a số nguyên dương cố định theo kết đạt B Farhi [3] Trình bày phép chứng minh để giải phần hai giả thuyết nêu Farhi thông qua hai báo [5] [6] 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đoàn Quang Vụ (2014), “Vấn đề biểu diễn số tự nhiên dạng tổng bình phương”, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] P T Bateman (1951), “On the representation of a number as the sum of three squares”, Transactions of the American Mathematical Society 71, pp 70–101 [3] B Farhi (2013), “On the representation of the natural numbers as the sum of three terms of the sequence n2 a ”, Journal of Integer Se- quences, 16 (article 13.6.4) [4] B Farhi (2014), “An elementary proof that any natural number can be written as the sum of three terms of the sequence n2 ”, Journal of Integer Sequences, 17, Article 14.7.6 [5] S.T Holdum, F.R Klausen, P.M.R Rasmussen (2015), “On a conjecture on the representation of the positive integers as the sum of three 35 terms of the sequence n2 a ”, Journal of Integer Sequences, 18 (article 15.6.3) [6] S Mezroui, A Azizi, M Ziane (2014), “On a conjecture of Farhi”, Journal of Integer Sequences, 16 (article 14.1.8) [7] M.B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Vol 195, pp 423-454 ... số có dạng n2 a với a = 8, a = đ? ?a hai giả thuyết: GIẢ THUYẾT “Mỗi số tự nhiên viết thành tổng số có dạng n2 a ”, trường hợp tổng quát với giả thuyết sau: GIẢ THUYẾT “Với k 2, tồn số a( k) cho số. .. số thành số chẵn bình phương • Chương Hai giả thuyết Farhi Mục tiêu Chương trình bày hai hai giả thuyết Farhi Trước hết biểu diễn số tự nhiên thành tổng ba số tự nhiên có dạng n2 a (n ∈ N), a. .. hiệu Jacobi Định lí 2.1 Mọi số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số có dạng n2 (n ∈ N) Chứng minh Theo Định lý số tam giác Gauss, số tự nhiên biểu diễn thành tổng ba số có dạng để ý k2 +k = n2 với