Việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số fibonacci tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRĂNG VIỆC BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN THÀNH TỔNG CỦA CÁC SỐ FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu Chương Về dãy số Fibonacci 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Các tính chất dãy số Fibonacci 1.3 Về Định lí Zeckendorf 1.4 Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 13 2.1 Biểu diễn số nguyên thành tổng số Fibonacci phân biệt 13 2.2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 23 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Danh sách kí hiệu { .} dãy số nguyên ( .) vector có tọa độ nguyên [ .] ma trận mà phần tử số nguyên V tập hợp bao gồm vector có dạng (i1 , i2 , , id ) với d 1, thành phần iν số nguyên với ≤ i1 ≤ i2 ≤ id Thông thường ta viết I thay cho (i1 , i2 , , id ) n k M m ∑ bi i=1 ∞ ∑ bn n=1 tổ hợp chập k n ma trận [uµ , ν] m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm i=1 ∞ (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 Mở đầu Dãy Fibonacci dãy vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử ln tổng hai phần tử trước Dãy số Fibonacci đơn giản quy tắc thiết lập vẻ đẹp đặc biệt kho tàng Tốn học Dãy số Fibonacci vơ biến hóa với nhiều tính chất lí thú ứng dụng quan trọng Người ta tìm thấy nhiều vấn đề thú vị liên quan đến dãy số Fibonacci, toán học túy đến vấn đề khác tự nhiên Dãy Fibonacci đưa nhà toán học Ý tên Leonardo Pisano Bogollo (tên thường gọi Fibonacci) vào thời gian khoảng năm 1170 đến năm 1250 Dãy số Fibonacci bí ẩn lí thú đến mức, có tạp chí tốn học hồn tồn đăng kết nghiên cứu có liên quan nó, tạp chí The Fibonacci Quarterly Mục tiêu luận văn nghiên cứu kiện thú vị dãy Fibonacci, việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Số Fibonacci Trong chương trình bày định nghĩa tính chất dãy số Fibonacci Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci • Chương Việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Mở rộng định lí Zeckendorf biểu diễn số tự nhiên số Fibinacci phân biệt Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập hồn thành khóa học Thái Ngun, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Trăng Chương Về dãy số Fibonacci 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Dãy số Fibonacci dãy số vô hạn số tự nhiên bắt đầu hai phần tử và 1, phần tử sau thiết lập theo quy tắc phần tử tổng hai phần tử trước nó, un+1 = un + un−1 Ví dụ 1.1.2 Fibonacci lần để ý đến dãy số ơng xét tốn thỏ đẻ sau : Bắt đầu với thỏ đực thỏ cái, hỏi có cặp thỏ sinh năm? Bài toán giả sử với điều kiện sau: Bắt đầu với thỏ đực thỏ vừa chào đời Thỏ đạt tới tuổi thục sinh sản sau tháng Thời gian mang thai thỏ tháng Sau thục sinh sản, thỏ đẻ tháng Một thỏ sinh thỏ đực thỏ Không có thỏ chết Từ giả thiết suy rằng, từ cặp thỏ sơ sinh sau hai tháng có hai cặp thỏ Sau ba tháng, cặp thứ sinh cặp nữa, ta có ba cặp Tháng tiếp theo, cặp thứ hai sinh cặp mới, ta có cặp thỏ Kí hiệu qua u(n) số cặp thỏ sau tháng thứ n kể từ đầu năm Ta thấy sau tháng (n + 1) có u(n) cặp ban đầu, cộng thêm số cặp cặp có sau tháng thứ (n − 1) sinh Số u(n − 1) Vậy u(1) = 1, u(2) = 1, u(3) = 2, (1.1) u(4) = 3, , u(n + 1) = u(n) + u(n − 1) Theo giả thiết, u(1) = 1, u(2) = 1, nên ta có u(3) = 2, u(4) = 3, , u(12) = 144, u(13) = 233 Các số u(n) gọi số Fibonacci Xét dãy Fibonacci xác định u(n + 1) = u(n) + u(n − 1) Phương trình đặc trưng quan hệ (1.1) r2 − r − = Phương trình có nghiệm √ 1+ r1 = , √ 1− r2 = (1.2) Nghiệm tổng quát quan hệ (1.1) có dạng: u(n) = C1 √ 1+ n +C2 √ 1− n (1.3) Các số Fibonacci u(n) cho (1.3) với điều kiện u(0) = 1, u(1) = Khi số C1 , C2 tính từ hệ phương trình   C +C = √  (C −C ) = Giải ta C1 = √1 C2 = − √1 Vậy nghiệm tổng quát có dạng u(n) = √ n 1+ − √ √ n 1− Công thức gọi công thức Binet Dựa vào công thức Binet, ta có định lí sau cho tính chất thú vị số Fibonacci 1.2 Các tính chất dãy số Fibonacci Định lí 1.2.1 Số Fibonacci un số nguyên gần số √1 √ 1+ tức số hạng an cấp số nhân với từ √ √ 1+ bội √ n 1+ , công Chứng minh Rõ ràng cần chứng minh trị tuyệt đối hiệu hai số un an luôn bé 1/2 Ta có r1n − r2n r1n r1n − r2n − r1n |r2 |n √ |un − an | = √ − √ = = √ 5 5 Do nên |un − an | < 21 √ 1− 3−1 |r2 | = √ < =1 Sau ta chứng minh số tính chất dãy số Fibonacci Trong mệnh đề sau đây, un dùng để kí hiệu số Fibonacci thứ n xác định u1 = 0, u2 = 1, un+1 = un + un−1 Mệnh đề 1.2.2 u1 + u2 + + un = un+2 − Chứng minh Ta có u1 = u3 − u2 , u2 = u4 − u3 , un−1 = un+1 − un , un = un+2 − un+1 Cộng vế đẳng thức này, ta có u1 + u2 + + un = un + − u2 , mà u2 = nên ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2.3 u1 + u3 + u5 + + u2n−1 = u2n Chứng minh Ta có u1 = u2 , u3 = u4 − u2 , u5 = u6 − u4 , (1.4) 22 Biểu diễn Fibonacci số nguyên Q có dạng un−2 un−3 un−4 u2 Q=( a b c ) Cộng un−1 vào số nguyên Q sinh un−2 số nguyên mà tất chúng khoảng Q + un−1 < un−1 + un − un−1 + un−1 Điều tương đương với un+1 − un + un−1 − Q + un−1 < un+1 − 1, un+1 − un−1 − un−2 + un−1 − un+1 − un−2 − un + un−3 − Q + un−1 < un+1 − 1, Q + un−1 < un+1 − 1, Q + un−1 < un+1 − Có un−2 số nguyên Q + un−1 , tất nằm khoảng un−1 P < Q+ un+1 − Vị trí biểu diễn vị trí chúng có dạng un−1 un−2 un−3 un−4 u2 Q + un−1 = ( 1 a c ) b Do biểu diễn un−2 số nguyên P lấy từ có số nguyên Q việc tạo vị trí bổ sung xác định un−1 un−3 số nguyên R có biểu diễn vị trí có dạng un−3 un−4 un−5 u2 R=( d e f ) Bổ sung un−1 vào un−3 số nguyên kết số nguyên khoảng un−1 + un−2 − R + un−1 < un−1 + un−1 − 23 un−1 R + un−1 < un−1 − un−2 − Nghĩa là, un−3 số nguyên nằm khoảng un − P < un+1 − Mỗi phần tử số có biểu diễn dạng un−1 un−2 un−3 un−4 un−5 u2 R + un−1 = ( 1 d e f ) Do biểu diễn un−3 số nguyên P nhận từ biểu diễn R việc bổ sung vào bên trái hai giá trị un−1 un−2 Như khơng có trùng tất nguyên tố P tính hai kỹ thuật tính toán Như ta chứng minh (2.6) Dễ dàng kiểm chứng Vn,m = m n−m−2 (2.7) thỏa mãn quan hệ đệ quy (2.6) Từ (2.7) ta tìm tổng 2(m+1) ∑ Vi,m = i=m+2 m m m m + + + + m Từ(2.5) (2.7) ta suy Vn,m = Un,n−m−1 2.2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Phần trình bày kết việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Đây nội dung luận văn trình bày dựa vào kết D E Daykin (xem [2], [3]) 24 Cặp dãy số tự nhiên (an ), (kn ) gọi thỏa mãn tính chất P thỏa mãn điều kiện sau: Mỗi số tự nhiên N tồn số tự nhiên i1 , i2 , , id cho N = ai1 + ai2 + · · · + aid iv+1 iv + kv , Nếu dãy (kn ) dãy (1, 1, điều kiện iv+1 iv = it với v iv+1 iv +k với v < d (2.10) Ngoài ra, vid N < vid +1 Để chứng minh Định lí 2.2.3 ta xét bổ đề sau: Bổ đề 2.2.4 Giả sử t số nguyên dương Với số tự nhiên N thỏa mãn vt N < vt+1 , N có biểu diễn dạng (2.10) với id = t; biểu diễn Chứng minh Bổ đề:Ta chứng minh quy nạp theo t Vì k số hạng dãy (vn ) 1, 2, , k k < vk+1 < vk+2 < · · · , nên bổ đề với t < k Xét m số nguyên bất kỳ, m k Giả sử bổ đề với t < m Vậy, từ N < vm+1 N khơng thể biểu diễn dạng giả thiết quy nạp, vm (2.10) với id < t Hơn nữa, vm+1 < vm+2 < · · · , nên N biểu diễn dạng (2.10) với id > t Vì đề N có biểu diễn dạng (2.10) cần phải có id = t Vì N = vm < vm+1 − vm vm , nên tồn biểu diễn N − vm Do tồn nhật biểu diễn N Đặt M = N − vm Do m k nên ta có  v m + < h + k m+1−h M < vm+1 − vm = v + k − h m + h + k m+1−k Ta có trường hợp sau Nếu M = N = vm 26 Nếu M > (a) m + < h + k < M < vm+1−h m + − h < k, nên ta có vm+1−h = m + − h Hơn M = vM , N = vM + vm với m − M > m − (m + − h) = h − 1, nghĩa m − M h h + k < M < vm+1−k + k − h ta có k − h = (b) m + = i M = vm+1−k , k − h = 1, N = vm+1−k + vm với m − (m + − k) = k − = h ii M < vm+1−k Khi theo giả thiết quy nạp tồn biểu diễn M dạng (2.10), tức M = vi1 + vi2 + · · · + vid với id < m + − k Vì vậy, từ m id + k ta có N = vi1 + vi2 + · · · + vid + vm Như vậy, = v1 < v2 < nên với số tự nhiên N, tồn t ∈ N cho vt ≤ N ≤ vt+1 N = vi1 + vi2 + + vid biểu diễn nhất, nên định lý chứng minh Định lí 2.2.5 Nếu (an ), (kn ) cặp dãy số tự nhiên với tính chất P, (an ) dãy tăng, k1 k2 k1 + 1, kn = k2 vớin dãy (an ) dãy Fibonacci bậc (h, k) với h = k1 , k = k2 Xét (an ), (kn ) cặp dãy số tự nhiên với tính chất P Giả sử dãy (an ) sau xếp theo thự tự tăng dần ta dãy số (bn ) Trong chứng minh Định lí 2.2.5 sử dụng kết sau: 27 Bổ đề 2.2.6 Với r ta có br = r Nếu r > br số nhỏ khơng có biểu diễn (2.10) với số hạng b1 , b2 , , br−1 Chứng minh Rõ ràng b1 = b2 = suy từ tình biễu diễn Giả sử r > Khi br có biểu diễn dạng (2.10) sử dụng số hạng b1 , , br−1 từ tính biểu diễn br ta suy điều mâu thuẫn Hơn nữa, tồn số tự nhiên N < br biểu diễn số hạng b1 , , br−1 N khơng thể biểu diễn qua tất a1 , , ar Giả sử a1 < a2 < · · · Khi từ Bổ đề 2.2.6 ta có kết sau Bổ đề 2.2.7 Giả sử (kn ) dãy số tự nhiên, tồn nhiều dãy tăng (an ) cho cặp dãy số tự nhiên (an ), (kn ) có tính chất P Tiếp theo, để trình bày biểu diễn số tự nhiên số Fibonacci tổng quát thứ (xem Định lí 2.2.11) ta dùng ký hiệu sau đây: • { .} dãy số nguyên • ( .) vector có tọa độ ngun • [ .] ma trận mà phần tử số nguyên • V tập hợp bao gồm vector có dạng (i1 , i2 , , id ) với d 1, thành phần iν số nguyên với ≤ i1 ≤ i2 ≤ id Thông thường ta viết I thay cho (i1 , i2 , , id ) • M ma trận thay cho [uµν ] Dãy {an } dãy số tự nhiên, tăng thực với số hạng 1, tức là, {an } = a1 , a2 , cho a1 = 1, 28 a1 < a2 < < an < Ký hiệu a(I) a(i1 , i2 , , id ) thay cho số a(I) = a(i1 , i2 , , id ) = ai1 + ai2 + + aid Chú ý: dãy số Fibonacci {un } định nghĩa nhiều cách, chẳng hạn , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, , , −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, Trong Định lí 1.7 kết mở rộng Định lí Zeckendorf thay số Định lí 2.10 dãy (kn ) Kết mở rộng cách thay dãy (kn ) ma trận vô hạn M = [mµv ] với m, v mµv số tự nhiên, mô tả định nghĩa Định nghĩa 2.2.8 Dãy {an } ma trận M gọi biểu diễn số nguyên, với số nguyên dương N tồn vector I ∈ V cho N = a(I) iµ − iν mµ−ν,ν với ν 1, biểu diễn N N + N = a(i1 , i2 , , id ) N + = a( ji , j2 , , je ) a( j1 + 1, j2 + 1, , je + 1) − a(i1 + 1, i2 + 1, , id + 1) q + Chú ý mối quan hệ (2.12) với kết Hơn kết cho phép đưa cận với tốc độ tăng trưởng {an }, cận cần thiết cho phép chứng minh Lấy N = at − N + = at = a(t), ta tìm at+1 − a(i1 + 1, i2 + 1, , id + 1) q + Ta nói nhiều điều trên, ta minh họa cách xây dựng cặp {an }, W theo đường quy nạp Ta có a1 = 1, vector (1) thuộc W Ta có (1, 1) thuộc W khơng Giả sử ta chọn khơng có Khi ta có (1, 2) thuộc W khơng Giả sử khơng Khi ta có (1, 3) thuộc W khơng Giả sử có Phép xây dựng ta tiến hành hình minh họa sau đây: 31 Hình 2.1: Xây dựng cặp {an }, W q = Trong Hình 2.2, biểu diễn xoay vòng cơng đoạn thích hợp, ta thừa nhận từ chối Một biểu diễn bị gạch chéo khơng thừa nhận Một biểu diễn đầu mũi tên phải thừa nhận trường hợp được, (2.12) Tiên đề 1, biểu diễn mũi tên chấp nhận không Chú ý ta không lấy tự giá trị a5 a8 Cũng vậy, biểu diễn 1+3+12 phải thừa nhận khơng bị kiểm sốt (2.12) Nếu + + 12 bị từ chối, a7 = 16 ta có 17 = a(1, 7) = a(4, 6) mâu thuẫn với tính biểu diễn Tổng quát, với p > 1, ta lấy tùy ý giá trị at ta chọn giá trị at , ta chọn tùy ý giá trị at+1 Mặt khác, ta chọn giá trị at lớn, ta không chọn tùy ý giá trị at+1 , at+2 , , at+p−2 Một kiểu xây dựng điển hình với q > xây dựng Hình 2.2 sau đây: Dù cặp {an }, W phát sinh có dãy số {mn } số nguyên, 32 Hình 2.2: Xây dựng cặp {an }, W q = < m1 < m2 < m3 < , hữu hạn vơ hạn, cho ta đặt an = với n (2.13) 0, ta có đồng thức an+1 = + an + an−m1 + an−m2 + với n (2.14) Sau cách trừ phương trình (2.14) cặp mà số hạng cao {an } thỏa mãn quan hệ truy hồi Ví dụ, tiếp tục xây dựng sơ đồ Hình 2.2, ta sử dụng cách chọn tùy ý cột 3, 4, theo mẫu : chấp nhận, không chọn, từ chối, chấp nhận, không chọn, từ chối, Khi {mn } = 2, 5, 8, 11, 14, cấp số cộng số học với công sai 3, 33 dãy (an ) cho     an = với n 0,    a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3,      an+1 = an + an−2 + an−2 − an−3 với n ≥ (2.15) 34 Kết luận Luận văn “Việc biểu diễn số tự nhiện thành tổng số Fibonacci tổng quát” tập trung trình bày kết tài liệu tác giả Daykin, Fern số tác giả khác (xem [2]-[8]) Cụ thể luận văn trình bày kết sau: Trình bày số kiện sơ cấp dãy số Fibonacci số toán liên quan; Trình bày kết việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci phân biệt tổng quát Mở rộng kết Zeckendorf 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái (2004), Số học - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] D E Daykin (1960), “Representation of natural numbers as sums of generalized Fibonacci numbers”, Journal of the London Mathematical Society, 35, pp 143–161 [3] D E Daykin (1969), “Representation of natural numbers as sum of generalized Fibonacci numbers - II”, The Fibonacci Quarterly, 7, pp 494–510 [4] H H Ferns (1965), “On the representation of integers as sums of distinct Fibonacci numbers”, The Fibonacci Quarterly, 3, pp 21–30 [5] P Lafer (1964), “Exploring the Fibonacci representation of integers”, The Fibonacci Quarterly, p 114 [6] Nivolai N Vorobiev (1992), Fibonacci Numbers, Springer [7] J L Brown, JR (1961), ”Zeckendorf’s Theorem and Some applications", New York, pp 163–168 36 [8] V E Hoggatt, JR (1961), ”Generalized Zeckendorf Theorem", New York, pp 89–92 ... dãy số Fibonacci Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát 13 2.1 Biểu diễn số nguyên thành tổng số Fibonacci phân biệt 13 2.2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng. .. số Fibonacci Một số toán sơ cấp ứng dụng dãy số Fibonacci • Chương Việc biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Mở rộng định lí Zeckendorf biểu diễn số tự nhiên số Fibinacci phân... viết thành N = un + us + u p + + ur , n, s, p, , r số số không liên tiếp 13 Chương Biểu diễn số tự nhiên thành tổng số Fibonacci tổng quát Chương trình bày biểu diễn số tự nhiên số Fibonacci