(Luận văn) giá trị p adic của số schenker và giả thuyết của g mcgarvey

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung lu an n va to VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY p ie gh tn GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồng Nhung lu an n va GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA SỐ SCHENKER to p ie gh tn VÀ GIẢ THUYẾT CỦA G MCGARVEY nl w : 8460104 nf va an lu Mã số d oa Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi Người hướng dẫn khoa học: z @ m co l gm PGS.TS MỴ VINH QUANG an Lu Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” cơng trình nghiên cứu riêng Các nội dung kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả lu an n va Bùi Hồng Nhung p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Tơi xin thành kính gởi lời cảm ơn đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người ln tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu thầy tổ Tốn Trường THPT Nguyễn Trãi – Thị xã Thuận An – Tỉnh Bình Dương nơi tơi cơng tác, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chun viên phịng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin lu an trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho chúng tơi n va khóa học tn to Tơi cảm ơn bạn, anh chị học Khóa 27 tơi gh chia sẻ buồn vui, khó khăn q trình học tập nghiên cứu, p ie đặc biệt bạn Đào Thị Thu Hường lớp Đại số lý thuyết số đồng hành, w động viên suốt trình học tập hồn thành luận văn oa nl Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa vững d tơi Đặc biệt cảm ơn Má chỗ dựa tinh thần cho con, động lực lu nf va an để học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn z at nh oi lm ul Bùi Hồng Nhung z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên lu an 1.1.1 Định lí n va 1.1.2 Bổ đề tn to 1.2 Lý thuyết chia hết gh 1.3 Chuẩn p-adic p ie 1.3.1 Định nghĩa w 1.3.2 Chuẩn p-adic oa nl 1.3.3 Định lí Ostrowski d 1.4 Tính chất 𝑣𝑝 (𝑥 ) lu nf va an 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Hệ lm ul 1.5 Bổ đề Helsel z at nh oi Chương GIÁ TRỊ P-ADIC CỦA TỔNG SCHENKER 2.1 Tổng Schenker 2.1.1 Bổ đề z @ 2.1.2 Mệnh đề 10 l gm 2.2 Giá trị 2-adic tổng Schenker 11 co 2.2.1 Giả thuyết 11 m 2.2.2 Bổ đề 11 an Lu 2.2.3 Bổ đề 11 n va ac th si 2.2.4 Bổ đề 14 2.2.5 Chứng minh giả thuyết 2.2.1 15 2.3 Giá trị p-adic tổng Schenker 15 2.3.1 Định lí 16 2.3.2 Định lí 16 2.3.3 Ví dụ 17 2.3.4 Ví dụ 18 2.3.5 Ví dụ 18 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER 19 lu 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 19 an 3.1.1 Định nghĩa 19 va n 3.1.2 Định lí 19 3.1.4 Định lí 20 ie gh tn to 3.1.3 Ví dụ 19 p 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker 20 nl w 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker 22 oa 3.2.1 Giả thuyết 22 d 3.2.2 Giả thuyết 22 lu nf va an 3.2.3 Định lí 22 3.2.4 Chứng minh định lí 23 lm ul 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 26 z at nh oi 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 27 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker 27 KẾT LUẬN 28 z m co l gm @ TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 an Lu n va ac th si MỘT SỐ KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên : Tập số tự nhiên khác * : Tập số nguyên : Vành số nguyên p-adic p : Tập số hữu tỉ lu an : Trường số p-adic p va n : Chuẩn trường K : Chuẩn p-adic p ie gh tn to p nl w v p  x  : Giá trị p-adic x d oa s p  n  : Tổng chữ số n khai triển p-adic n an lu nf va n n : Phần nguyên  p p   lm ul z at nh oi : Kết thúc phép chứng minh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Cho 𝑥 số tự nhiên Theo định lí số học 𝑥 viết dạng: 𝑥 = ∏𝑝 𝑝𝑛𝑝 , 𝑝 số nguyên tố 𝑛𝑝 số tự nhiên, 𝑛𝑝 gọi giá trị p-adic 𝑥 kí hiệu 𝑣𝑝 (𝑥 ) Cho trước dãy số nguyên dương 𝑎𝑛 số nguyên tố 𝑝 Việc khảo sát, nghiên cứu giá trị p-adic 𝑣𝑝 (𝑎𝑛 ) toán thú vị Lý thuyết số thu hút quan tâm nhiều nhà Toán học lu Dưới hướng dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, định chọn an n va đề tài luận văn : “Giá trị p-adic số Schenker giả thuyết G McGarvey” tn to Nội dung luận văn gồm có chương: gh Chương Các kiến thức chuẩn bị p ie Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị số học hàm giá w trị trường đặc biệt trường số hữu tỉ ℚ oa nl Chương Giá trị p-adic tổng Schenker d Chương trình bày tổng Schenker, giá trị 2-adic tổng Schenker lu nf va an đặc biệt giá trị p-adic tổng Schenker với p số nguyên tố lẻ Chương Số nguyên tố Schenker lm ul Chương trình bày định nghĩa số nguyên tố Schenker định lí z at nh oi liên quan Đặc biệt quan trọng, chương trình bày số giả thuyết số nguyên tố Schenker G McGarvey, số chứng minh kiểm chứng giả thuyết z gm @ Mặc dù cố gắng nhiều, luận văn không tránh khỏi m co l thiếu sót Rất mong nhận đóng góp từ quý thầy cô đọc giả an Lu n va ac th si Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho  x  , định lí số học x phân tích dạng 𝑥 = ∏𝑝 𝑝𝑛𝑝 tích lấy theo số ngun tố p n p  với hầu hết n p  (trừ số hữu hạn) Với số nguyên tố p , số np công thức lu gọi giá trị p-adic x ký hiệu v p  x  Để tiện lợi ta qui ước an v p  0   va n Bài toán xác định giá trị p-adic số dãy số to gh tn toán quan trọng thú vị Lý thuyết số ta xác định p ie giá trị p-adic số với p ta xác định phân tích số w thành tích số nguyên tố cho phép tính chuẩn p-adic số oa nl Mục đích luận văn nghiên cứu giá trị p-adic tổng d Schenker Từ nghiên cứu tính chất số nguyên tố Schenker lu an Trước hết ta bắt đầu với số kiến thức chuẩn bị nf va 1.1 Khai triển giá trị p-adic số tự nhiên i) x  an  ; m co l gm iii)  an  p n @  z  n ii) an  an1 mod p ; p z at nh oi thỏa: , x p  tồn dãy số tự nhiên an n1 lm ul 1.1.1 Định lí Cho x  an Lu n va ac th si Chứng minh * Chứng minh nhất: Giả sử có dãy 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛′ thỏa i), ii), iii) ta chứng minh 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛′ với n Giả sử ngược lại, tồn 𝑛0 để 𝑎𝑛0 ≠ 𝑎𝑛′ Vì ≤ 𝑎𝑛0 , 𝑎𝑛′ < 𝑝𝑛0 nên 𝑎𝑛0 ≠ 𝑎𝑛′ mod 𝑝𝑛0 Với 𝑛 ≥ 𝑛0 ta có 𝑎𝑛 ≡ 𝑎𝑛0 ≢ 𝑎𝑛′ ≡ 𝑎𝑛′ (mod 𝑝𝑛0 ) Suy ra: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 : 𝑎𝑛 ≢ 𝑎𝑛′ (mod 𝑝𝑛0 ) ⟺ |𝑎𝑛 − 𝑎𝑛′ |𝑝 > 𝑝−𝑛0 , đó: {𝑎𝑛 } ≠ {̅̅̅̅̅̅ lim (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛′ ) ≠ (mâu thuẫn với i)) Do đó: ̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑛′ } 𝑛→∞ * Chứng minh tồn tại: Để chứng minh tồn ta cần bổ đề sau: lu an 1.1.2 Bổ đề Cho 𝑢0 ∈ ℚ, |𝑢0 | ≤ Với số tự nhiên 𝑛 ≥ 1, tồn n va số tự nhiên 𝑟, 𝑟 ∈ {0,1, … , 𝑝𝑛 − 1} thỏa |𝑢0 − 𝑟|𝑝 ≤ 𝑝−𝑛 𝑎 𝑏 với (𝑎, 𝑏) = Vì |𝑢0 |𝑝 ≤ nên gh tn to Chứng minh bổ đề Cho 𝑢0 = p ie (𝑏, 𝑝) = 1, suy ra: (𝑏, 𝑝𝑛 ) = Do đó, tồn 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ để: 𝑏 𝑢 + 𝑝𝑛 𝑣 = Suy ra: an lu đó: d oa nl w 𝑣 = 𝑢 + 𝑝𝑛 𝑏 𝑝 nf va 𝑎 𝑣 |𝑢0 − 𝑎𝑢|𝑝 = | − 𝑎𝑢| = |𝑎| | − 𝑢| = |𝑎| | | |𝑝𝑛 | ≤ 𝑝−𝑛 𝑏 𝑝 𝑝 𝑝 lm ul Gọi r dư phép chia au cho 𝑝𝑛 , ta có: z at nh oi 𝑎𝑢 ≡ 𝑟 (mod 𝑝𝑛 ) 𝑟 ∈ {0,1, … , 𝑝𝑛 − 1} đó: |𝑢0 − 𝑟| = |𝑢0 − 𝑎𝑢 + 𝑎𝑢 − 𝑟| ≤ max{|𝑢0 − 𝑎𝑢|, |𝑎𝑢 − 𝑟|} ≤ 𝑝−𝑛 z nên 𝑟 ′ ∈ {0,1, … , 𝑝𝑛 − 1} thỏa |𝑢0 − 𝑟| ≤ 𝑝−𝑛 @ co l ra: 𝑟 ≡ 𝑟 ′ (mod 𝑝𝑛 ) hay 𝑟 = 𝑟′ gm Do đó: |𝑟 − 𝑟′| = |𝑟 − 𝑢0 + 𝑢0 − 𝑟′| ≤ max{|𝑟 − 𝑢0 |, |𝑢0 − 𝑟′|} ≤ 𝑝−𝑛 , suy m Ta có: 𝑥 ∈ ℚ𝑝 nên 𝑥 = {̅̅̅̅̅̅ 𝑏𝑛 } với {𝑏𝑛 } ⊂ ℚ Vì {𝑏𝑛 } ∈ ℚ dãy Cauchy nên với an Lu 𝑘 ≥ tồn 𝑁𝑘 dãy tăng cho |𝑏𝑛 − 𝑏𝑚 | ≤ 𝑝−𝑘 với 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁𝑘 n va ac th si 15 v p  tm,p  pm    v p  tm, p  pm   2.2.5 Chứng minh giả thuyết 2.2.1 Để chứng minh giả thuyết 2.2.1, ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Giả sử n lẻ, giả sử n  2m  Khi   an    n  x  e x dx   1  x  e x dx   mod n 0 Nếu m chẵn lu  an an   1  x  e x dx   mod n va m lẻ to  tn an     x  e x dx  78  mod gh p ie Điều chứng minh giả thuyết n lẻ  a2 m    2m  x  e x dx    2m   2m 2 mk   x k e x oa nl w Trường hợp 2: Giả sử n chẵn, giả sử n  2m Khi 2m 2m d k 0  k  lu nf va an m 2m   mk    2m  k !  k 0  k  z at nh oi  k  lm ul Đặt tk   2m   2m 2 mk k !, theo bổ đề 2.2.4 với p = ta có v  tk   v  2m  , k  2m z Suy co l 2.3 Giá trị p-adic tổng Schenker gm @ v  a2 m   v  t2 m   v   2m !  v  n!  n  sn m Trong phần 2.2, giá trị 2-adic tồng Schenker tính an Lu cách tường minh cơng thức rõ ràng Một câu hỏi đặt cách tự nhiên n va ac th si 16 p số ngun tố lẻ, có cơng thức tính giá trị p-adic cho tổng Schenker hay khơng? Rất tiếc vấn đề câu hỏi mở mục trình bày số kết trả lời cho phần câu hỏi 2.3.1 Định lí Cho p số nguyên tố lẻ giả sử n = pm với m Khi đó: v p  an   n  sp n p 1 Chứng minh Xét biểu thức tích phân lu pm pm   pm   pm  pm  k pm  k k x a pm    pm x e dx  pm  k!         k 0  k  k 0  k  (2.11) an n va đặt to gh tn  pm  pm k tm , p  k     pm  k !   k  (2.12) p ie số hạng (2.11) Ta có tm, p  mp    pm ! Theo bổ đề 2.2.4, ta có v p  tm, p  k    v p  tm, p  pm    v p  n! oa nl w (2.13) d lu n  sp  n (2.14) p 1 nf va an v p  a pm   v p  n!  lm ul Như vậy, p | n v p  an  tính cơng thức rõ ràng z at nh oi Trường hợp p ∤ n sao? Ta có kết sau đây: 2.3.2 Định lí Cho p số nguyên tố n = pm + r với < r < p z Khi p an p ar @ n  x  r pm x  r r r   x pm  r pm   x  r    x pm  r m   x  r  ; an Lu đó, theo bổ đề 2.1.1 ta có r m  x  n co l gm  pm  Chứng minh Vì p   với  k  pm nên ta có k   n va ac th si 17 an     n  x  n  e x dx  x pm  r m   x  r  e x dx r r  r    r r  j   x pm  r m x j e x dx j 0  j  r r    r r  j  pm  j ! r m j ! j 0  j  r r    r mr  j j ! j 0  j  lu r    r m j  r  j ! j 0  j  an r n va p ie gh tn to r r!  rm  r j j 0 j !  r mar mod p nl w 𝑝|𝑎𝑛 ⇔ 𝑝|𝑎𝑟  r  0,1,2, , p  1 p ∤ an d oa Nhờ định lí 2.3.2, ta có nhận xét rằng, p ∤ ar an lu với n Hay nói cách khác, v p  ar   với r  0,1,2, , p  nf va v p  an   với n Khi vấn đề tính v p  an  giải xong Vấn đề tố nhỏ: z at nh oi lm ul đặt ra: Khi khả xảy Ta xét vài ví dụ p số nguyên 2.3.3 Ví dụ Cho p = Theo định lí 2.3.1 ta có (2.15) gm @ 3n  s3  n  z v3  a3n   l Giả sử n = 3m + r với r = 1, Khi an ar Ta có a1  m co khơng chia hết cho a2  10 Vì khơng chia hết an với an Lu n n va ac th si 18 Tóm lại, 𝑣3 (𝑎3𝑛 ) = { (𝑛 − 𝑠3 (𝑛)) 𝑛 ≡ mod (2.16) 𝑛 ≢ mod 2.3.4 Ví dụ Cho p = Đây vấn đề khó khăn bắt đầu với trường hợp đơn giản Định lí 2.3.1 đảm bảo v5  a5n    n  s5  n  (2.17) Theo định lí 2.3.2 từ số a1  2, a3  78, a4  824 không chia hết cho 5, cố định lu an v5  an   n  1,3,4 mod (2.18) n va Còn lại trường hợp v5  a5n2  ta thảo luận chi tiết phần sau gh tn to 2.3.5 Ví dụ Cho p = Bởi sáu số a1  2, a2  10, a3  78, p ie a4  824, a5  10970 , a6  176112 không chia hết cho 7, oa nl w (𝑛 − 𝑠7 (𝑛)) 𝑣7 (𝑎𝑛 ) = { 𝑛 ≡ mod 𝑛 ≢ mod d Một phép tính trực tiếp giá trị a j mod 11 chứng minh a j không chia lu nf va an hết cho 11 với  j  11 Vì z at nh oi lm ul (𝑛 − 𝑠11 (𝑛)) 𝑛 ≡ mod 11 𝑣11 (𝑎𝑛 ) = { 10 𝑛 ≢ mod 11 Trường hợp p = 13 tương tự trường hợp p = 13 chia hết a3  78 z m co l gm @ an Lu n va ac th si 19 Chương SỐ NGUYÊN TỐ SCHENKER Các kết mục trước v p  an  hồn tồn tính cơng thức p số nguyên tố không thỏa điều kiện sau: “Tồn  r  p  để p | ar ” Số nguyên tố thỏa điều kiện gọi số nguyên tố Schenker cụ thể sau: 3.1 Định nghĩa số nguyên tố Schenker 3.1.1 Định nghĩa Số nguyên tố p gọi số nguyên tố Schenker tồn  r  p  để p | ar lu an Từ định lí 2.3.1, 2.3.2 ta có kết sau: va n 3.1.2 Định lí Nếu p số ngun tố khơng Schenker to p ie gh tn 𝑛 − 𝑠𝑛 𝑣𝑝 (𝑎𝑛 ) = { 𝑝 − 𝑝|𝑛 𝑝 ∤ 𝑛 w Chứng minh Suy từ định lí 2.3.1 oa nl 3.1.3 Ví dụ Số nguyên tố số nguyên tố Schenker chia hết d a2  2.5 Số nguyên tố 17 số nguyên tố Schenker Kết phân lu a5  2.5.1097 a4  23.103 a6  24.32.1223 a8  27.556403 z a7  2.5.7.41.1153 a2  2.5 z at nh oi a  2.3.13 lm ul a1  nf va an tích thành thừa số nguyên tố số ar với  r  16 @ a10  28.52.7281587 a11  2.11.9431.6672571 a12  210.35.53.1443613 a13  2.13.179.339211523363 a14  211.72.595953719897 a15  2.36.53.317.13103 a16  215.13.179.116371.11858447 m co l gm a9  2.34.149.163.439 an Lu n va ac th si 20 Số nguyên tố 17 không xuất phân tích thành thừa số ngun tố nên khơng phải số nguyên tố Schenker Danh sách tất số nguyên tố Schenker 200 {5,13,23,31,37,41,43,47,53,59,61,71,79,101,103, 107,109,127,137,149,157,163,173,179,181,191,197,199} Một vấn đề đặt tập số nguyên tố Schenker nào, hữu hạn hay vơ hạn Định lí sau trả lời cho câu hỏi trên: 3.1.4 Định lí Có vơ hạn số ngun tố Schenker lu Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố Schenker, đặt p1 , , ps an tất số nguyên tố lẻ theo thứ tự tăng dần Vì a1  nên theo định lí 2.3.2 n va suy p1 , , ps ∤ a p p 1 Đặt t : p1 ps  , rõ ràng số chẵn s Ta có gh tn to 𝑡 p ie 𝑡𝑗 2𝑡! ≤ 𝑡! ∑ = 𝑎𝑡 = ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) 𝑗! 𝑝 nl w 𝑗=0 oa * d = ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 )  ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) = ∏ 𝑝𝑣𝑝 (𝑡!) ≤ 𝑡! 𝑝 𝑝∤𝑡 𝑝 𝑝|𝑡 𝑝|𝑡 nf va an lu 𝑝 𝑝|𝑡 (*): 𝑝 ∤ 𝑡 suy 𝑝 = 𝑝𝑖 số nguyên tố Schenker 𝑝 ∤ 𝑎𝑡 nên ta có 𝑝 ∤ 𝑎𝑡 , 𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) = z at nh oi lm ul 𝑣𝑝 (𝑎𝑡 ) = 0, 𝑝 ≠ 𝑝𝑖 𝑝 khơng số ngun tố Schenker, theo định nghĩa 3.1.5 Giá trị 5-adic số Schenker z Cho n số tự nhiên, giả sử khai triển 5-adic n là: gm  xn 5n  @ n  x0  x15  x2 52  co l Khi tính tốn trực tiếp, tác giả Tewodros Amdeberhan, David m Callan, and Victor H Moll báo [1] đưa kết sau: an Lu n va ac th si 21 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = (𝑛 − 𝑠5 (𝑛)) 𝑥0 = {1,3,4 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥1 Các bước 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥2 ≠2 𝑥0 = 𝑥1 = { 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥3 ≠0 𝑥0 = 2, 𝑥1 = 𝑥2 = { lu an 𝑣5 (𝑎𝑛 ) = phụ thuộc vào 𝑥4 n va ≠4 𝑥0 = 2, 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 𝑥3 = { tn to Kết biểu diễn dạng sau: p ie gh n x0  x0  0, 2 v5  an   ?? d oa nl nf va an lu  n  s5  n  w x0  x1  x1  v5  an   ?? z at nh oi lm ul x2  v5  an   ?? z x2  v5  an   ?? m an Lu Cây giá trị với p = x3  co l gm @ x3  n va ac th si 22 3.2 Một số giả thuyết số nguyên tố Schenker Đầu tiên ta xét p = số nguyên tố Schenker, giá trị 5-adic số nguyên tố Schenker Từ kết 3.1.5, tác giả đưa giả thuyết sau giá trị 5-adic số nguyên tố Schenker 3.2.1 Giả thuyết Giả sử tồn số nguyên dương nk nhỏ k 5k cho | am.5k n , m  Khi đó, tồn số k nk 1 nk ,5k  nk ,2.5k  nk ,3.5k  nk ,4.5k  nk  cho 5k 1 | am.5k 1 n 1, m  k lu Nói cách khác, với k  , bất đẳng thức v5  an   k có nghiệm n an Sau đó, tổng quát giả thuyết cho số nguyên tố Schenker bất kỳ, n va (mod 5k ) với ∤ n to gh tn tác giả đưa giả thuyết sau: ie 3.2.2 Giả thuyết Cho p số nguyên tố Schenker lẻ Khi với p k tồn nghiệm mod pk bất đẳng thức v p  an   k cho không w oa nl đồng dư với mod p d Trong phần luận văn này, chúng tơi trình bày kết lu nf va an Piotr Miska báo [5] nhằm đưa lời giải giả thuyết 3.2.1 3.2.2 Trước hết, ta có định lí sau: lm ul 3.2.3 Định lí Cho p số nguyên tố, với nk  z at nh oi p k | ank đặt cho p ∤ nk , qnk , p : ank  p  ank  nk  p  k nkpnk 2 n 2 z tồn số nk 1 mod p k 1 thỏa k m  mod p  ; co p k 1 | ank 1 nk 1  nk  l k gm   Nếu qn , p ≢ mod p @ đó: an Lu n va ac th si 23    Nếu qn , p  mod p p k 1 | an p k 1 | an k  k k 1 với nk 1 thỏa  k mãn nk 1  nk mod p ;    Nếu qn , p  mod p p k 1 ∤ an p k 1 ∤ an 1 với nk 1 thỏa k  k k  k mãn nk 1  nk mod p   Hơn nữa, p ∤ n1 , p | an qn , p ≢ mod p với k  1 * , bất đẳng thức v p  an   k có nghiệm nk (mod p k ) thỏa mãn lu nk  n1  mod p  an n va 3.2.4 Chứng minh định lí tn to Đầu tiên, ta chứng minh với cặp số nguyên dương d, n nguyên tố p d ie gh Sự chia hết an cho d tương đương với chia hết an mod p cho n! j n n j j 1 Ta có: an   n   n   n  i  j 0 j ! j 0 i 0 n n j n  i  n d 1 n j 0 nf va i 0 nd  an j 0 j 1 lu  n d oa nl w * d 1 d  j 2 j 1   n  i   mod d  (3.1) i 0 cho d với d  * lm ul đó, tương đương (*) suy từ kết tích d số nguyên liên tiếp chia hết ta định nghĩa j 1 j 0 i 0 z at nh oi d 1 f d  X  :  X d  j 2   X  i  z Với kí hiệu (3.1) viết lại sau: gm @ an  nnd 2 f d  n   mod d  (3.2) l m co Cho r  n  mod d  Nếu d , n nguyên tố an Lu an  nnd 2 f d  n    mod d   f d  n    mod d  n va ac th si 24  f d  r    mod d   ar  r r d 2 f d  r    mod d  Nếu d  p k với p số nguyên tố k số nguyên dương (3.2) trở thành an  n n p k f pk  n   mod p k  2 (3.3)   Vì vậy, 𝑝 ∤ 𝑛, v p  an   k v p f pk  n   k Ngoài ra, với k1 , k2  n n p mà k1  k2 k1 2 lu f p k1  n   n n p k2 2 f pk2  n   mod p k1  an p k1 | f pk2  n   p k1 | f pk1  n  n va Do đó, 𝑝 ∤ 𝑛 k1  k2 tn to   k p ie gh p Giả sử 𝑘 > 1, theo định lí nhỏ Fermat n  n  mod p  kết w tích p số nguyên liên tiếp chia hết cho 𝑝, ta có j 1 j 1 j 1   k k f ' pk  n     p k  j   n p  j 3   n  i   n p  j 2    n  i  j 0  h0 i 0,i  h i 0  d oa nl p k 1 lu j 1 j 1 j 1    j 2  j 1     j   n   n  i   n    n  i   mod p  j 0  h 0 i 0,i  h i 0  nf va an p 1  n  f ' pk2  n   mod p  với 𝑘1 , 𝑘2 > 𝑝 ∤ 𝑛  X  với x0  z at nh oi Nếu f  k1 lm ul Suy ra: f ' p , tồn g  (3.4)  X  cho f  X   f  x0    X  x0  f '  x0    X  x0  g  X  z an n n p   f p2  n  p   f p2  n   pf p'  n   mod p  m p   mod p  ta có an Lu Nếu 𝑝 ∤ 𝑥, theo định lí Euler x p (3.5) co  l n  p n p  p  2 gm an p @ Từ (3.3), áp dụng đẳng thức với f  f p , x0  n X  n  p ta có n va ac th si 25 an p n  p n  an n n p   pf p'  n   mod p  Do  an p an      f p'  n   mod p  n2 n  p   p   n  p  n  Từ kết ta có  an  p an  f  n    mod p        mod p  p   n  p n n n p   ' p2 lu an n va  an p n  p n  a n n n p 2 to p ie gh tn a n  p  an p  n n p  n nl w  an p  an  n  p  oa Bây giả sử p k | an với nk  k n2 n (3.6)   mod p    mod p  n pn2   mod p  không chia hết cho 𝑝 d n 2 an lu ank  p  ank  nk  p  k nkpnk 2   mod p  nf va ' ' Khi 𝑝 ∤ f p2  nk  , theo (2.5) 𝑝 ∤ f pk 1  nk  Theo bổ đề với f  f p , tồn lm ul (mod p k 1 ) thỏa mãn p k 1 | an k 1 z at nh oi nk 1  k 1 nk 1  nk  mod p k  Bằng cách qui nạp theo 𝑘, chứng minh nhận xét: Nếu 𝑝 ∤ 𝑛1 𝑝|𝑎𝑛1 đồng thời z n 2 gm @ an1  p  an1  n1  p  n1pn1 2   mod p  co l tồn 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) cho 𝑝𝑘 |𝑎𝑛𝑘 , 𝑛𝑘 ≡ 𝑛1 (mod 𝑝) m ank  p ank   an1  p an1  1         mod p  p   nk  p nk  nknk  p   p   n1  p n1  n1n1  p   an Lu n va ac th si 26 Thật vậy, nhận xét với 𝑘 = Nếu tồn 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) thỏa mãn điều kiện tồn 𝑛𝑘+1 (mod 𝑝𝑘+1 ) cho 𝑝𝑘+1 |𝑎𝑛𝑘+1 , 𝑛𝑘+1 ≡ 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) Kết hợp (3.6) ta ank 1  p ank 1  1     f p' k 1  nk 1   f p' k 1  nk  nk 1  nk  p   p   nk 1  p  nk 1  lu ank  p ank   an1  p an1  1         mod p  p   nk  p nk  nknk  p   p   n1  p n1  n1n1  p   an Tóm lại, thấy trường hợp phát biểu định lí n va chứng minh Bây chứng minh phần lại n 2 k gh tn to   k Cho 𝑝 ∤ 𝑛𝑘 , p k | an ank  p  ank  nk  p  nkp nk 2  mod p Áp p ie dụng bổ đề Helsel (1.5) ta có: w +Nếu 𝑝𝑘+1 |𝑎𝑛𝑘 𝑝𝑘+1 |𝑎𝑛 với 𝑛 ≡ 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ); oa nl +Nếu 𝑝𝑘+1 ∤ 𝑎𝑛𝑘 𝑝𝑘+1 ∤ 𝑎𝑛 với 𝑛 ≡ 𝑛𝑘 (mod 𝑝𝑘 ) d Do đó, định lí chứng minh hồn tồn an lu G McGarvey Thật vậy, nf va Chú ý Từ định lí 3.2.3, ta dễ dàng chứng minh giả thuyết lm ul 𝑞1,2 = 𝑎3 − 𝑎1 31+2 12−1−2 = 78 − 2.27 = 24 ≡ (mod 4) z at nh oi 𝑎1 = nên ∤ 𝑛 𝑣2 (𝑎𝑛 ) = Từ định lí 3.2.3 ta dễ dàng kiểm tra tính đắn giả thuyết 3.2.1 z 3.2.5 Chứng minh giả thuyết 3.2.1 @ gm Áp dụng định lí 3.2.3 để chứng minh giả thuyết 3.2.1 ta cần kiểm tra co l 𝑞2,5 ≢ (mod 52 ) Bằng tính tốn trực tiếp ta có 𝑎7 = 3309110 nên m 𝑞2,5 = 3261090 ≡ 15 ≢ (mod 52 ) Do đó, giả thuyết 3.2.1 chứng an Lu minh n va ac th si 27 3.2.6 Kiểm tra giả thuyết 3.2.2 Giả thuyết 3.2.2 với số nguyên tố Schenker p = (chứng minh giả thuyết 3.2.1) Tương tự, giả thuyết 3.2.2 với p = 13 Để chứng minh, theo định lí 3.2.3 ta cần kiểm tra 𝑞3,13 ≢ (mod 132 ) Thật vậy, tính tốn trực tiếp ta 𝑞3,13 = 52 (mod 132 ) Vậy giả thuyết 3.2.2 với p = 13 lu Áp dụng định lí 2.3.2 tính tốn trực tiếp ta có: 37 ∤ 𝑛, an n va 37|𝑎𝑛 ⇔ 𝑛 ≡ 25 (mod 37) Mặt khác, to p ie gh tn 𝑞25,37 = 𝑎62 − 𝑎25 6227 2510 ≡ (mod 372 ) w 𝑎25 ≡ 851 = 23.37 (mod 372 ) oa nl nên theo định lí 3.2.3 trường hợp 3) ta có d 𝑣37 (𝑎𝑛 ) = với 𝑛 ≡ 25 (mod 37) lu an Suy giả thuyết 3.2.2 không nf va 3.2.7 Một số câu hỏi mở tổng Schenker * mà 𝑝 ∤ 𝑛, 𝑝|𝑎𝑛 𝑞𝑛,𝑝 ≡ (mod 𝑝2 )? z at nh oi cho có số n lm ul Câu hỏi 1: Tồn hay không số nguyên tố Schenker 𝑝 lớn 37 Câu hỏi 2: Có vơ số số nguyên tố mà số nguyên tố Schenker z không? m co l gm @ an Lu n va ac th si 28 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số kết giá trị p-adic tổng Schenker số nguyên tố Schenker Luận văn tính giá trị 2-adic tổng Schenker công thức tường minh Luận văn nêu số giả thuyết G McGarvey số nguyên tố Schenker, giả thuyết 2.2.1, giả thuyết 3.2.1 giả thuyết 3.2.2 Luận văn chứng minh giả thuyết 2.2.1 giả thuyết 3.2.1 Tuy nhiên, kiểm chứng giả thuyết 3.2.2 ta thấy giả thuyết không p  37 lu Luận văn nêu tất số nguyên tố Schenker 200 Luận an n va văn chứng minh có vơ số số ngun tố Schenker Vì vậy, đọc giả có to thể dựa định nghĩa số nguyên tố Schenker mà tìm thêm nhiều số p ie gh tn nguyên tố Schenker lớn 200 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tewodros Amdeberhan, David Callan, and Victor H Moll, P-adic analysis and combinatorics of truncated exponential sums, Mathematics Subject Classification, June 9, 2012 [2] T Amdeberhan, D Manna, and V Moll, The 2-adic valuation of Stirling numbers, Experimental Mathematics, 17:69-82, 2008 [3] A Berribeztia, L Medina, A Moll, V Moll, and L Noble, The p-adic lu valuation of Stirling numbers, Journal for Algebra and Number Theory an Academia, 1:1-30, 2010 n va [4] K Ireland and M Rosen (1982), A Classical Introduction to Modern gh tn to Theory, Springer, New York p ie [5] Piotr Miska (Kraków), A note on p-adic valuations of Schenker sum, d oa nl w Mathematics Subject Classification, 2010 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si