Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN KIM THU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN KIM THU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 c i Mục lục MỞ ĐẦU iii Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 1.1 Tính chất đa thức với hệ số nguyên 1.2 Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên phân thức nhận giá trị hữu tỉ 1.3 Biểu diễn đơn vị thành tổng phân số Ai Cập với mẫu số nguyên dương đặc biệt Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh số hữu tỷ 12 2.1 Một số phương pháp giải toán cực trị đa thức phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 12 2.1.1 Phương pháp so sánh bậc hai 12 2.1.2 Phương pháp so sánh phân thức dạng bậc hai bậc 15 2.1.3 Phương pháp tìm cực trị với ràng buộc theo tổng số 21 2.2 Sử dụng phân thức quy giải toán cực trị liên quan 27 Một số dạng toán liên quan 32 3.1 Một số dạng toán cực trị tập số nguyên 32 3.2 Một số dạng toán số tự nhiên từ đề thi Olympic 38 KẾT LUẬN 44 c ii TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 c iii MỞ ĐẦU Chuyên đề đa thức phân thức chuyên đề quan trọng bậc trung học phổ thông trung học sở Các tính chất đa thức phân thức liên quan chặt chẽ với tính chất số nguyên số hữu tỷ Một phương pháp khảo sát đa thức phân thức hữu tỷ hữu hiệu việc sử dụng cơng cụ hữu ích từ việc khảo sát tính chất số học số tự nhiên số hữu tỷ Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp, toán liên quan tới đa thức phân thức với hệ số nguyên (ta gọi chung phân thức sinh số tự nhiên) thường xuyên đề cập Những dạng tốn thường xem thuộc loại khó cần kiến thức sâu sắc số học kết hợp với kiến thức đa thức phân thức thường khơng nằm chương trình thống chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức phân thức với hệ số nguyên hệ số hữu tỷ, em chọn đề tài luận văn “Một số phương pháp tìm cực trị hàm phân thức sinh số tự nhiên” Mục tiêu luận văn nhằm hệ thống số kiến thức số học đa thức với hệ số nguyên cung cấp số phương pháp tìm cực trị hàm phân thức sinh số tự nhiên Tiếp theo, xét tốn cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình số dạng liên quan Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận ba chương Chương Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên Chương Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh c iv số hữu tỷ Chương Một số dạng toán liên quan Tiếp theo, chương trình bày hệ thống tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan c Chương Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 1.1 Tính chất đa thức với hệ số nguyên Trong phần này, trình bày số tính chất đa thức với hệ số nguyên Định nghĩa 1.1 (xem [1]-[2]) Cho L ⊂ R Đa thức P (x) ∈ L[x] gọi khả quy L[x] tồn đa thức Q(x) T (x) thuộc L[x] với bậc lớn cho P (x) = Q(x).T (x) Trong trường hợp ngược lại gọi bất khả quy L[x] Định nghĩa 1.2 (xem [1]-[2]) Tập hợp tất đa thức khả quy L[x] ký hiệu L∗ [x] Tính chất 1.1 Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] với bậc lớn phân tích thành nhân tử bậc nhân tử bậc hai nên coi P (x) ∈ R∗ [x] Định nghĩa 1.3 (xem [1]-[2]) Đa thức thuộc Z[x] gọi đa thức nguyên hệ số nguyên tố (có thể khơng đơi ngun tố nhau) Tính chất 1.2 Nếu f (x) ∈ Z[x] tồn đa thức a nguyên phân số tối giản , a ∈ Z, b ∈ N∗ cho f (x) = b a f1 (x) b Bổ đề 1.1 (Bổ đề Gauss) Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên c Chứng minh Cho hai đa thức nguyên P (x) = an xn an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Q(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 P (x).Q(x) = cm+n xm+n + cm+n−1 xm+n−1 + · · · + c1 x + c0 Giả sử tích khơng nguyên tồn số nguyên tố p ước chung hệ số c0 , c1 , , cm+n Vì P nguyên nêu gọi i số nhỏ mà không chia hết cho p j số nhỏ cho bj không chia hết cho p Khi đó, xét cj+i ta thấy hệ số tương ứng khơng chia hết cho p, vơ lý Vậy tích ngun Tính chất 1.3 Nếu đa thức P (x) ∈ Z[x], deg P > mà không thuộc Z∗ [x] khơng thuộc Q∗ [x] Định lý 1.1 (xem [1]-[2]) Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x], an 6= 0, a, b hai số nguyên khác Khi đó, f (a) − f (b) (a − b) Bổ đề 1.2 (Khai triển Newton) Cho n m số nguyên dương Với x = (x1 , x2 , · · · , xn ) Rn , ta có X m! m (x1 + x2 + · · · + xn ) = xα , (1.1) α! |α|=m α! = α1 !α2 ! · · · αn ! với α = (α1 , α2 , · · · , αn ) Nn , xα = xα1 xα2 xαnn tổng chạy qua tất α có Nn thỏa mãn |α| = α1 + α2 + · · · + αn = m Chứng minh Với n = theo nhị thức Newton, ta có m m X X m! α1 α2 m! j m−j m (x1 +x2 ) = x1 x2 = x1 x2 , α1 = j, α2 = m−j j!(m − j)! α !.α ! j=0 |α|=m Giả sử đẳng thức (1.18) n − Đặt X = x1 + x2 + + xn−1 , α0 = (α1 , α2 , , αn ) Khi ta có m m (x1 + x2 + · · · + xn ) = (X + xn ) = m X αn c m! X m−αn xαnn (m − αn )!.αn ! =0 m X m! xαnn (x1 + x2 + · · · + xn−1 )m−αn (m − αn )!.αn ! =0 = = αn m X αn m! xαnn (m − αn )!.αn ! =0 X = |α|=m X |α0 =m−αn (m − αn )! xα α1 !α2 ! αn−1 ! m! xα1 xα2 xαnn α1 !α2 ! αn ! Bổ đề chứng minh Định lý 1.2 (Khai triển Taylor, xem [1]-[2]) Cho đa thức f (x) = n X aj xj (1.2) j=0 Khi đó, hệ số thứ j f (x) biểu diễn aj = (j) f (0), j! (1.3) f (j) (0) ứng với đạo hàm cấp j Bổ đề 1.3 Cho n số nguyên dương Ta đặt n n g(x) = x + x + · · · + x n (1.4) Khi g (n) (0) = n! Chứng minh Ta có n n−1 n = xn h(x), g(x) = x + x + · · · + x n (1.5) h(x) = 1 + x + · · · + xn−1 n Áp dụng công thức Leibniz c n (1.6) g (n) n X n! (n − j)!j! d dx n−j d (x) = x dx j=0 j n X d n!n! = xj h(x) (n − j)!j!j! dx j=0 n j h(x) (1.7) Do đó, ta thu g (n) (0) = n!h(0) = n! (1.8) Bổ đề chứng minh 1.2 Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên phân thức nhận giá trị hữu tỉ Tiếp theo, ta nhắc lại số tính chất phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên dạng phân thức nhận giá trị hữu tỉ tập số tự nhiên Định nghĩa 1.4 Hàm số f : R → R gọi phân thức hữu tỉ P (x) (1) Khi P (x) tồn đa thức P (x), Q(x) cho f (x) = Q (x) Q(x) đa thức nguyên tố (1) gọi phân thức hữu tỉ tắc Nếu đa thức P (x) Q(x) đa thức có hệ số hữu tỉ P (x) việc quy đồng mẫu số ta đưa f (x) dạng f (x) = , Q (x) P (x) Q0 (x) đa thức có hệ số nguyên Do phân thức hữu P (x) tỉ f (x) = gọi phân thức hữu tỉ có hệ số nguyên Q (x) P (x), Q(x) ∈ Q[x] Bài toán 1.1 Cho phân thức hữu tỉ f (x) = ∈ Q với x ∈ Z ax + b Chứng minh a, b ∈ Q 1 Lời giải Vì f (x) = ∈ Q với x ∈ Z nên ax + b = với ax + b f (x) x ∈ Z Vậy ax + b ∈ Q[x] hay a, b ∈ Q c x − q j−(k−1) q j−(k−1) − x x + q j−(k−1) = x + q j−(k−1) Ta lại có q j−(k−1) − x q j−(k−1) − x − q k ≤0 − = x + q j−(k−1) + q k (1 + q k ) x + q j−(k−1) nên j j Y x − qk Y − qk ... đa thức phân thức với hệ số nguyên hệ số hữu tỷ, em chọn đề tài luận văn ? ?Một số phương pháp tìm cực trị hàm phân thức sinh số tự nhiên? ?? Mục tiêu luận văn nhằm hệ thống số kiến thức số học đa thức. .. - NGUYỄN KIM THU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... tổng phân số Ai Cập với mẫu số nguyên dương đặc biệt Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh số hữu tỷ 12 2.1 Một số phương pháp giải toán cực trị đa thức phân thức