(Luận văn) một số định lý hội tụ mạnh giải bài toán không điểm chung tách tổng quát trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ GIANG lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TỐN KHƠNG ĐIỂM CHUNG TÁCH TỔNG QT TRONG KHƠNG GIAN HILBERT d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC ul nf va an lu Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 oi lm TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên – 2020 ac th si ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tuyên, TS Phạm Hồng Trường ln tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy, lu an khoa Tốn–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy n va giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu trường tn to Qua tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt gh p ie suốt trình học tập thực luận văn d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục lu an n va Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 1.2.1 Ánh xạ không giãn 1.2.2 Toán tử đơn điệu 10 p ie gh tn to 1.1 w Phương pháp lặp Halpern phương pháp xấp xỉ mềm tìm điểm oa nl 1.3 bất động chung họ ánh xạ không giãn Phương pháp lặp Halpern an lu 14 Phương pháp xấp xỉ mềm 14 1.4 Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 15 1.5 Một số bổ đề bổ trợ oi lm ul nf va 1.3.2 d 1.3.1 14 17 chung tách tổng quát z at nh Chương Một số định lý hội tụ mạnh cho toán khơng điểm 22 Bài tốn khơng điểm chung tách tổng quát 2.2 Phương pháp lặp kiểu Halpern kết hợp với phương pháp CQ 23 2.3 Phương pháp xấp xỉ mềm kết hợp với phương pháp CQ 28 2.4 Một số ứng dụng 31 2.4.1 Bài tốn khơng điểm chung tách 31 2.4.2 Bài toán điểm cực tiểu tách tổng quát 32 2.4.3 Bài toán chấp nhận tách tổng quát 34 2.4.4 Bài toán cân tách tổng quát 36 z 2.1 22 m co l gm @ an Lu n va ac th si iv 2.4.5 2.5 Bất đẳng thức biến phân tách tổng quát 38 Ví dụ số minh họa 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si v Một số ký hiệu viết tắt lu an n va không gian Hilbert h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A p ie gh tn to H w miền ảnh toán tử A oa nl R(A) A−1 d toán tử ngược toán tử A lu toán tử đồng tập rỗng với x oi lm ∃x ul ∀x nf ∅ va an I tồn x z at nh dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T z xn −→ x0 m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Trong thực tế vật, tượng chuyển đổi từ trạng thái x∗ (thông tin đầu vào, nguyên liệu) sang trạng thái b (kết đầu ra, sản phẩm) phải chuyển qua hay nhiều trình “biến đổi” liên tiếp Người ta mong muốn tìm nguồn hay trạng thái ban đầu x∗ dẫn đến trạng thái b lu an vật tượng sau trình biến đổi f Chẳng hạn, việc tìm nghiệm n va hệ phương trình tuyến tính Ax = b Hoặc người ta muốn tìm nguồn tn to hay trạng thái ban đầu x∗ cho trình biến đổi liên tiếp tối ưu theo nghĩa Đây mơ hình loại tốn tách gh p ie Ta biết toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem), viết tắt (SFP), lần đề xuất nghiên cứu Censor and Elfving [3] với d oa sau: nl w mục đích mơ hình hóa số tốn ngược Bài tốn phát biểu Tìm phần tử x∗ ∈ C cho T (x∗ ) ∈ Q, va an lu (0.1) nf đó, C Q tập lồi, đóng khác rỗng không oi lm ul gian Hilbert thực H1 H2 , T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Ta thấy toán (0.1), số toán liên quan, z at nh trường hợp đặc biệt toán tách tổng quát sau Cho X Y hai không gian Hilbert hay Banach, cho T : X −→ Y ánh xạ từ X vào z Y Giả sử (P1 ) (P2 ) hai toán cho trước X Y , tương ứng Xét @ gm tốn tìm phần tử x∗ thuộc X cho x∗ nghiệm (P1 ) l T (x∗ ) nghiệm (P2 ) Ta ký hiệu toán (P ) m co Năm 2019 Reich Tuyen [14] lần đề xuất nghiên cứu dạng tổng quát Bài toán (P ) sau: Cho X1 , X2 , , XN không gian an Lu Hilbert hay Banach cho Ti : Xi −→ Xi+1 , i = 1, 2, , N − 1, ánh va xạ từ Xi vào Xi+1 Giả sử (Pi ), i = 1, 2, , N , N toán cho trước n Xi , tương ứng Khi dạng tổng qt Bài tốn (P ) tìm phần tử ac th si x∗ X1 cho x∗ nghiệm toán (P1 ), T1 (x∗ ) nghiệm toán (P2 ), , TN −1 (TN −2 ( T2 (T1 (x∗ )))) nghiệm Bài toán (PN ), họ ký hiệu toán (GP ) Cụ thể [14] Reich Tuyen xét toán (GP ) với ánh xạ chuyển Ti tuyến tính, bị chặn (Pi ) tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Ai Bài toán gọi tốn khơng điểm chung tách tổng qt (Generalized Split Common Null Point Problem, viết tắt GSCNPP) lu Mục đích luận văn trình bày lại kết Reich Tuyen an [14] cải tiến phương pháp CQ, kết hợp với phương pháp điểm va n gần kề giải toán GSCNPP Nội dung luận văn chia làm hai chương tn to chính, đó: gh Chương Một số kiến thức chuẩn bị p ie Chương tập trung trình bày lại số tính chất không gian w Hilbert, phép chiếu mêtric, hai phương pháp lặp tìm điểm bất động oa nl ánh xạ không giãn (phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ gắn kết) Tiếp theo, đề cập đến phương pháp CQ để giải toán chấp nhận tách d an lu cuối số bổ đề bổ trợ sử dụng chứng minh định lý va Chương luận văn oi lm tách tổng quát ul nf Chương Một số định lý hội tụ mạnh cho toán không điểm chung Nội dung chương đề cập đến kết [14] hai định lý z at nh hội tụ mạnh giải toán GSCNPP Một số ứng dụng phương pháp lặp cho tốn liên quan khác (bài tốn khơng điểm chung tách, toán z @ điểm cực tiểu tách tổng quát, toán chấp nhận tách tổng quát, toán cân m co l thiệu chương gm tách tổng quát bất đẳng thức biến phân tách tổng quát) giới an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an n va Chương bao gồm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng tn to không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Mục 1.3 trình bày phương pháp gh p ie lặp Halpern phương pháp xấp xỉ mềm cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.4 đề cập đến tốn chấp nhận tách phương nl w pháp CQ để xấp xỉ nghiệm tốn khơng gian Hilbert Mục oa 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng việc trình bày nội dung d Chương Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài Một số đặc trưng không gian Hilbert oi lm ul 1.1 nf va an lu liệu [1, 2, 8, 12] Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí z at nh hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Trước hết, ta nhắc lại đặc trưng hình học quan trọng không gian z gm @ Hilbert m co l Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, an Lu với x, y, z ∈ H n va ac th si Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ lu H λ ∈ [0, 1], ta có an n va kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 − 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 gh tn to Chứng minh Ta có p ie = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 nl w d oa Ta điều phải chứng minh an lu Mệnh đề 1.1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện ul nf va |hx, yi| = kxk.kyk, oi lm tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính z at nh Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất z tích vơ hướng, ta có @ gm < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , m co l với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến hx, yi tính Giả sử y 6= 0, với λ = , bất đẳng thức trở thành kyk2 an Lu |hx, yi| < kxk.kyk, ac th Mệnh đề chứng minh n va điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính si Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, xét không gian P∞ 2 l2 = {{xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞} {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n lu với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất an đẳng thức Bessel, ta có va n ∞ X to |hen , yi|2 ≤ kyk2 < ∞ tn n=1 ie gh Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, p ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, w oa nl tính chất thể mệnh đề đây: d Mệnh đề 1.1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H lu an dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H nf va y 6= x, ta có n→∞ ul lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk (1.2) n→∞ oi lm Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn z at nh Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi z gm @ Vì x 6= y, nên n→∞ n→∞ n→∞ m co = lim inf kxn − xk2 l lim inf kxn − yk2 > lim inf (kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi) n→∞ n ac th Mệnh đề chứng minh n→∞ va lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk an Lu Do đó, ta nhận si 22 Chương lu Một số định lý hội tụ mạnh cho tốn khơng điểm chung tách tổng quát an n va gh tn to p ie Chương bao gồm Mục chính, đó: Mục 2.1 trình bày tốn w khơng điểm chung tách tổng quát Các Mục 2.2 2.3 trình bày oa nl phương pháp lặp Halpern phương pháp xấp xỉ mềm kết hợp với phương pháp CQ giải tốn khơng điểm chung tách không gian Hilbert Mục 2.4 giới d an lu thiệu số ứng dụng kết để giải số toán liên quan khác Mục 2.5 trình bày hai ví dụ số minh họa tính tốn MATLAB va Bài tốn khơng điểm chung tách tổng quát z at nh 2.1 oi lm trình bày từ tài liệu [14] ul nf nhằm minh họa thêm cho kết lý thuyết Nội dung chương z Mục trình bày sơ lược tốn khơng điểm chung tách tổng qt @ không gian Hilbert Cho Hi , i = 1, 2, , N , không gian Hilbert gm thực Ai : Hi −→ 2Hi , i = 1, 2, , N , toán tử đơn điệu cực đại l tính bị chặn cho Ti 6= m co Hi , tương ứng Cho Ti : Hi −→ Hi+1 , i = 1, 2, , N − 1, toán tử tuyến an Lu S := A1−1 (0) ∩ T1−1 (A2−1 (0)) ∩ · · · ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 (A−1 N (0)))) 6= ∅ n va ac th si 23 Bài tốn khơng điểm chung tách tổng qt phát biểu sau: Tìm phần tử x† ∈ S, (GSCNPP) tức là, điểm x† ∈ H1 cho ∈ A1 (x† ), ∈ A2 (T1 x† ), , ∈ AN (TN −1 (TN −2 T1 (x† ))) 2.2 Phương pháp lặp kiểu Halpern kết hợp với phương pháp CQ lu an va Trước hết, ta xét Bài toán (GSCNPP) trường hợp đặc biệt N = n Trường hợp tổng quát chứng minh hoàn toàn tương tự lập luận Các tác giả Reich S Tuyen T.M đề xuất phương pháp lặp đây: ie gh tn to chứng minh Định lý 2.2.1 Định lý 2.3.1 p Với u, x0 ∈ H1 , cho {xn } dãy xác định nl w y1,n = xn − γ1 T1∗ T2∗ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn , d oa y2,n = y1,n − γ2 T1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 y1,n , (2.1) an lu (y2,n ), y3,n = JβA1,n nf va xn+1 = αn u + (1 − αn )y3,n , n ≥ 0, oi lm ul {βi,n }, i = 1, 2, 3, dãy số thực dương {αn } dãy (0, 1) z at nh Họ nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp {xn } dựa điều kiện đây:  z    2 C1) γ1 ∈ 0, , γ2 ∈ 0, ; kT1 k2 kT2 k2 kT1 k2  C2) inf n {β1,n }, inf n {β2,n }, inf n {β3,n } ≥ β > 0; P∞ n=0 αn = ∞ m co l gm @ C3) limn→∞ αn = 0, an Lu Định lý 2.2.1 Nếu điều kiện C1), C2) C3) đúng, dãy {xn } xác định n va (2.1) hội tụ mạnh PSH1 u n → ∞ ac th si 24 Chứng minh Ta chia chứng minh định lý theo hai bước, gọi Bước Bước Trong đó, Bước thứ hai có bao bồm hai Bước A Bước B Bước Dãy {xn } bị chặn Cố định p ∈ S, ta có kxn+1 − pk = kαn u + (1 − αn )ky3,n − pk ≤ αn ku − pk + (1 − αn )ky3,n − pk (2.2) Sử dụng Bổ đề 1.5.1 iv) quan hệ p ∈ S, ta nhận lu an ky3,n − pk2 ≤ ky2,n − pk2 − ky2,n − JβA1,n (y2,n )k2 (2.3) va n Bây giờ, từ (I H2 − JβA2,n )T1 p = Bổ đề 1.5.1 iii), ta có = ky1,n − pk2 − 2γ2 hy1,n − p, T1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 y1,n i p ie gh tn to )T1 y1,n − pk2 ky2,n − pk2 = ky1,n − γ2 T1∗ (I H2 − JβA2,n ≤ ky1,n − pk2 − 2γ2 hy1,n − p, T1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 y1,n i + γ22 kT1 k2 k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 d oa nl w + γ22 kT1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 lu ≤ ky1,n − pk2 − 2γ2 k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 an (2.4) nf va + γ22 kT1 k2 k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 = ky1,n − pk2 − γ2 (2 − γ2 kT1 k2 )k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 oi lm ul (2.5) z at nh Tiếp theo, từ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 p = Bổ đề 1.5.1 iii) suy ky1,n − pk2 = kxn − γ1 T1∗ T2∗ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn − pk2 z = kxn − pk2 − 2γ1 hxn − p, T1∗ T2∗ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn i l gm @ + γ12 kT1∗ T2∗ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 + γ12 kT1 k2 kT2 k2 k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 va + γ12 kT1 k2 kT2 k2 k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 an Lu ≤ kxn − pk2 − 2γ1 k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 m co )T2 T1 xn i ≤ kxn − pk2 − 2γ1 hT2 T1 xn − T2 T1 p, (I H3 − JβA3,n n = kxn − pk2 − γ1 (2 − γ1 kT1 k2 kT2 k2 )k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 (2.6) ac th si 25 Do đó, sử dụng (2.2)–(2.6), ta nhận kxn+1 − pk ≤ αn ku − pk + (1 − αn )kxn − pk ≤ max{ku − pk, kxn − pk} ≤ max{ku − pk, kx0 − pk} Vì dãy {xn } bị chặn Hơn nữa, từ (2.3)–(2.6) suy dãy {yi,n }, i = 1, 2, bị chặn lu Bước xn → PSH1 u n → ∞ an n va Đặt x† = PSH1 u Vì chuẩn H1 hàm lồi, nên ta có tn to kxn+1 − x† k2 ≤ αn ku − x† k2 + (1 − αn )ky3,n − x† k2 ≤ αn ku − x† k2 + ky3,n − x† k2 kxn+1 − x† k2 ≤ αn ku − x† k2 + ky3,n − x† k2 p ie gh Do đó, từ (2.3)–(2.6), ta nhận nl w ≤ αn ku − x† k2 + ky2,n − x† k2 − ky2,n − JβA1,n (y2,n )k2 d oa ≤ αn ku − x† k2 + ky1,n − pk2 an lu − γ2 (2 − γ2 kT1 k2 )k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 nf va − ky2,n − JβA1,n (y2,n )k2 oi lm ul ≤ αn ku − x† k2 + kxn − x† k2 − γ1 (2 − γ1 kT1 k2 kT2 k2 )k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 z at nh − γ2 (2 − γ2 kT1 k2 )k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 − ky2,n − JβA1,n (y2,n )k2 z gm @ Suy l ky2,n − JβA1,n (y2,n )k2 + γ2 (2 − γ2 kT1 k2 )k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k2 + γ1 (2 − γ1 kT1 k2 kT2 k2 )k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k2 m co (2.7) Tiếp theo, ta có n va ac th kxn+1 − x† k2 = hαn u + (1 − αn )y3,n − x† , xn+1 − x† i an Lu ≤ αn ku − x† k2 + kxn − x† k2 − kxn+1 − x† k2 si 26 = (1 − αn )hy3,n − x† , xn+1 − x† i + αn hu − x† , xn+1 − x† i − αn (kxn+1 − x† k2 + ky3,n − x† k2 ) + αn hu − x† , xn+1 − x† i ≤ Điều suy kxn+1 − x† k2 ≤ (1 − αn )ky3,n − x† k2 + 2αn hu − x† , xn+1 − x† i Từ (2.3)–(2.6) ta suy kxn+1 − x† k2 ≤ (1 − αn )kxn − x† k2 + 2αn hu − x† , xn+1 − x† i (2.8) lu an Đặt sn := kxn − x† k2 cn := 2hu − x† , xn+1 − x† i Khi bất đẳng thức (2.8) n va viết lại dạng sau: (2.9) tn to sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn cn ie gh Bây giờ, ta sn → thông qua việc xét hai trường hợp p Trường hợp A Dãy {sn } giảm, tức là, tồn N0 ≥ cho {sn } giảm từ n ≥ N0 {sn } hội tụ Các điều kiện C1), C3) (2.7) suy nl w oa (y2,n )k → 0, k(I H2 − JβA2,n )T1 y1,n k → 0, k(I H3 − JβA3,n )T2 T1 xn k → ky2,n − JβA1,n d (2.10) lu va an Vì vậy, từ (2.1) suy ky1,n − xn k → 0, ky2,n − y1,n k → 0, ky3,n − y2,n k → 0, oi lm ul nf (2.11) ta có ky3,n − xn k → z at nh (2.12) Mặt khác, từ (2.1), điều kiện C3) tính bị chặn {y3,n } suy z Kết hợp với (2.12), ta nhận (2.13) m co kxn+1 − xn k → l gm @ kxn+1 − y3,n k = αn ku − y3,n k → an Lu Bây giờ, ta lim supn→∞ cn ≤ Thật vậy, giả sử {xnk } dãy dãy {xn } cho ac th k→∞ n n→∞ va lim suphu − x† , xn − x† i = lim hu − x† , xnk − x† i si 27 Vì dãy {xnk } bị chặn, nên tồn dãy {xnkl } {xnk } cho xnkl * x∗ Khơng tính tổng qt, ta giả sử xnk * x∗ Ta x∗ ∈ S Từ (2.11) ta thu yi,nk * x∗ với i = 1, 2, Vì T1 T2 tốn tử tuyến tính bị chặn, nên ta có T1 y1,nk * T1 x∗ T2 T1 xnk * T2 T1 x∗ Từ Bổ đề 1.5.1 i) (2.10) suy ky2,nk − JβA1 (y2,nk )k → 0, k(I H2 − JβA2 )T1 y1,nk k → 0, k(I H3 − JβA3 )T2 T1 xnk k → Do đó, từ y2,nk * x∗ , T1 y1,nk * T x∗ , T2 T1 xnk * T2 T1 x∗ Bổ đề 1.5.3, ta nhận lu x∗ ∈ F (JβA1 ), T1 x∗ ∈ F (JβA2 ) T2 T1 x∗ ∈ F (JβA3 ), tức là, x∗ ∈ S Do vậy, an từ x† = PSH1 u (1.3), ta suy va n lim suphu − x† , xn − x† i = hu − x† , x∗ − x† i ≤ 0, to n→∞ tn gh kết hợp với (2.13), suy lim supn→∞ cn ≤ Do giả thiết Bổ đề p ie 1.5.5 thỏa mãn Suy sn → hay xn → x† = PSH1 u w Trường hợp B Giả sử {sn } không dãy đơn điệu Khi đó, theo Bổ đề 1.5.4, d oa nl ta định dãy số nguyên {τ (n)}, với n ≥ n0 (n0 đủ lớn), an lu τ (n) := max{k ≤ n : sk < sk+1 } va Ngoài ra, {τ } dãy tăng thỏa mãn τ (n) → ∞ n → ∞ sτ (n) < sτ (n+1) oi lm ul nf với n ≥ n0 Từ (2.7), ta suy < sτ (n)+1 − sτ (n) ≤ ατ (n) ku − x† k z at nh Vì ατ (n) → 0, ta nhận lim (sτ (n)+1 − sτ (n) ) = (2.14) z gm @ n→∞ Áp dụng lập luận tương tự Trường hợp A, ta thu l − JβA3,τ )T2 T1 xτ (n) k (n) → Ta nhận n va ac th sτ (n)+1 ≤ (1 − ατ (n) )sτ (n) + ατ (n) cτ (n) , (2.15) an Lu k(I H3 m co )T1 y1,τ (n) k → 0, ky2,τ (n) − JβA1,τ (y2,n )k → 0, k(I H2 − JβA2,τ (n) (n) si 28 lim supn→∞ cτ (n) ≤ Vì sτ (n)+1 > sτ (n) ατ (n) > 0, nên ta có sτ (n) ≤ cτ (n) Do lim supn→∞ cτ (n) ≤ 0, nên ta có limn→∞ sτ (n) = Kết hợp với (2.14), suy limn→∞ sτ (n)+1 = Vì ≤ sn ≤ max{sτ (n) , sn } ≤ sτ (n)+1 → Suy sn → 0, tức là, {xn } hội tụ mạnh x† = PSH1 u lu an Định lý chứng minh va n 2.3 Phương pháp xấp xỉ mềm kết hợp với phương pháp CQ gh tn to Tiếp theo, tác giả Reich S Tuyen T.M đề xuất nghiên cứu p ie hội tụ mạnh dãy lặp {zn } xác định z0 ∈ H1 w t1,n = zn − γ1 T1∗ T2∗ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 zn , d oa nl t2,n = t1,n − γ2 T1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 t1,n , t3,n = (2.16) lu (t2,n ), JβA1,n va an zn+1 = αn f (zn ) + (1 − αn )t3,n , n ≥ 0, oi lm c ∈ [0, 1) ul nf f : H1 −→ H1 ánh xạ co từ H1 vào với hệ số co Sự hội tụ mạnh dãy lặp {zn } cho định lý đây: z at nh Định lý 2.3.1 Nếu điều kiện C1), C2) C3) đúng, dãy {zn } xác định z (2.16) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng gm @ thức biến phân m co l h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S Chứng minh Vì PSH1 f ánh xạ co, nên theo nguyên lý ánh xạ co PSH1 f an Lu có điểm bất động x∗ , nghiệm bất đẳng thức biến phân n va h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S ac th si 29 Sử dụng Định lý 2.2.1, với f (x∗ ) thay u (2.1), ta nhận dãy {xn } hội tụ mạnh PSH1 f (x∗ ) = x∗ Bây ta kzn − xn k → n → ∞ Ta có
kzn+1 − xn+1 k = kαn f (zn ) − f (x∗ ) + (1 − αn )(t3,n − y3,n )k ≤ αn ckzn − x∗ k + (1 − αn )kt3,n − y3,n k (2.17) Từ Bổ đề 1.5.2 suy lu an n va (2.18) kt2,n − y2,n k ≤ kt1,n − y1,n k, (2.19) kt1,n − y1,n k ≤ kzn − xn k (2.20) gh tn to kt3,n − y3,n k ≤ kt2,n − y2,n k, Từ (2.17)–(2.20) suy p ie w kzn+1 − xn+1 k ≤ αn ckzn − x∗ k + (1 − αn )kzn − xn k oa nl ≤ [1 − (1 − c)αn ]kzn − xn k + αn ckxn − x∗ k d Do đó, áp dụng Bổ đề 1.5.5, ta nhận limn→∞ kzn − xn k = Do vậy, an lu n→∞ n→∞ n→∞ nf va lim kzn − x∗ k ≤ lim kzn − xn k + lim kxn − x∗ k = 0, Định lý chứng minh oi lm ul nên ta thu limn→∞ kzn − x∗ k = z at nh Chú ý 2.3.2 Trong Định lý 2.3.1, dãy {zn } xác định z0 ∈ H1 z t1,n = zn − γ1 T1∗ T2∗ (I H3 − JβA3,n )T2 T1 zn , @ (2.21) l t3,n = JβA1,n (t2,n ), gm t2,n = t1,n − γ2 T1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 t1,n , m co zn+1 = αn f (t3,n ) + (1 − αn )t3,n , n ≥ 0, an Lu điều kiện C1), C2) C3) đúng, dãy {zn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân n va ac th h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S si 30 Thật vậy, đặt {xn } dãy xác định (2.1) với u = f (x∗ ) Ta có kzn+1 − xn+1 k ≤ cαn kt3,n − x∗ k + (1 − αn )kt3,n − y3,n k (2.22) Vì x∗ ∈ S, nên JβA1,n (x∗ ) = x∗ , JβA2,n (T1 x∗ ) = x∗ JβA3,n (T2 T1 x∗ ) = x∗ Do đó, từ Bổ đề 1.5.2 suy lu kt3,n − x∗ k ≤ kt2,n − x∗ k, (2.23) kt2,n − x∗ k ≤ kt1,n − x∗ k, (2.24) kt1,n − x∗ k ≤ kzn − x∗ k (2.25) an n va Từ (2.18)–(2.20) (2.22)–(2.25), suy tn to kzn+1 − xn+1 k ≤ αn ckzn − x∗ k + (1 − αn )kzn − xn k p ie gh ≤ [1 − (1 − c)αn ]kzn − xn k + αn ckxn − x∗ k zn → x∗ oa nl w Áp dụng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.1, ta nhận d Cuối mục này, lập luận tương tự chứng minh an lu Định lý 2.2.1 Định lý 2.3.1, tác giả Reich S Tuyen T.M đưa nf va định lý để giải tốn khơng điểm chung tách tổng qt (GSCNPP) oi lm ul Định lý 2.3.3 Giả sử điều kiện sau đúng:   với i = 1, 2, , N − 1; C1) γi ∈ 0, kT1 k2 kTN −i k2  C2) mini=1,2, ,N inf n {βi,n }} ≥ β > 0; z at nh n=0 αn = ∞ gm @ P∞ z C3) limn→∞ αn = 0, m co l Khi dãy {xn } xác định x0 ∈ H1 N )TN −1 TN −2 T1 xn , y1,n = xn − γ1 T1∗ T2∗ TN∗ −1 (I HN − JβAN,n A (2.26) n va (2.27) ac th yN −1,n = yN −2,n − γN −1 T1∗ (I H2 − JβA2,n )T1 yN −2,n , an Lu −1 y2,n = y1,n − γ2 T1∗ T2∗ TN∗ −2 (I HN −1 − JβNN−1,n )TN −2 TN −3 T1 y1,n si 31 yN,n = JβA1,n (yN −1,n ), xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yN,n , xn+1 = αn f (yN,n ) + (1 − αn )yN,n , n ≥ 0, hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S lu 2.4 Một số ứng dụng an n va 2.4.1 Bài tốn khơng điểm chung tách tn to Cho H1 H2 không gian Hilbert thực, cho T : H1 −→ H2 gh tốn tử tuyến tính bị chặn cho f : H1 −→ H1 ánh xạ co H1 p ie Cho Ai : H1 −→ 2H1 , i = 1, 2, , r, Aj : H2 −→ 2H2 , j = r + 1, r + 2, , N , w toán tử đơn điệu cực đại thỏa mãn d oa nl −1 −1 (∩N S := ∩ri=1 A−1 j=r+1 Aj 0) 6= ∅ i 0∩T lu Từ Định lý 2.3.3, ta có định lý hội tụ mạnh để tìm phần tử va an x∗ ∈ S  với i = 1, 2, , N − r, γj ∈ (0, 2) kT k2 j = N − r + 1, , N − 1, {αn }, {βi,n }, i = 1, 2, , N , dãy số dương oi lm ul nf  Định lý 2.4.1 Nếu γi ∈ 0, thỏa mãn điều kiện C2) C3) Định lý 2.3.3, dãy {xn } xác định z at nh x0 ∈ H1 z N )T xn , y1,n = xn − γ1 T ∗ (I H2 − JβAN,n @ A m co l gm −1 y2,n = y1,n − γ2 T ∗ (I H2 − JβNN−1,n )T y1,n r+1 yN −r,n = yN −r−1,n − γN −r T ∗ (I H2 − JβAr+1,n )T yN −r−1,n n va ac th yN −1,n = yN −2,n − γN −1 (I H1 − JβA2,n )yN −2,n , an Lu r yN −r+1,n = yN −r,n − γN −r+1 (I H1 − JβAr,n )yN −r,n si 32 yN,n = JβA1,n (yN −1,n ), xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yN,n , xn+1 = αn f (yN,n ) + (1 − αn )yN,n , n ≥ 0, hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3.3 với Hi = H1 với i = 1, , r, Hj = H2 , lu j = r + 1, , N , Ti = I H1 , i = 1, 2, , r − 1, Tr = T Tj = I H2 với an j = r + 1, , N − 1, ta nhận điều phải chứng minh n va họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại gh tn to Từ Định lý 2.4.1, ta có hệ cho tốn tìm không điểm chung p ie Hệ 2.4.2 Cho H không gian Hilbert thực, f : H −→ H ánh xạ co H cho Ai : H −→ 2H , i = 1, 2, , N , toán tử đơn điệu nl w −1 cực đại thỏa mãn S := ∩N i=1 Ai 6= ∅ Nếu γi ∈ (0, 2) với i = 1, 2, , N − 1, d oa γN = {αn }, {βi,n }, i = 1, 2, , N , dãy số dương thỏa mãn an lu điều kiện C2) C3) Định lý 2.3.3, dãy {xn } xác định x0 ∈ H nf va yn = VN Vn−1 V1 xn , oi lm ul xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yn , xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )yn , n ≥ 0, A z at nh N −i+1 Vi := I H − γi (I H − Jβi,n ) với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân z gm @ h(I H − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S Bài toán điểm cực tiểu tách tổng quát an Lu 2.4.2 m co H T = I H l Chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.4.1 H1 = H2 = n va Cho H không gian Hilbert thực g : H −→ (−∞, ∞] ac th hàm lồi thường, nửa liên tục Dưới vi phân g ánh xạ đa trị si 33 ∂g : H −→ 2H xác định ∂g(x) := {z ∈ H : g(y) − g(x) ≥ hy − x, zi ∀y ∈ H} với x ∈ H Ta biết ∂g toán tử đơn điệu cực đại [11] x0 ∈ arg minx∈H g(x) ∂g(x0 ) Một ứng dụng Định lý 2.3.3 để giải toán điểm cực tiểu tách tổng quát không gian Hilbert cho định lý Định lý 2.4.3 Cho Hi , i = 1, 2, , N , không gian Hilbert thực Cho lu an fi : Hi −→ (−∞, ∞], i = 1, 2, , N , hàm lồi, thường, nửa liên tục va dưới, cho Ti : Hi −→ Hi+1 , i = 1, 2, , N − 1, toán tử tuyến tính bị n chặn cho tn to S := arg f1 (x) ∩ T1−1 (arg f2 (x)) x∈H2 ∩ ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 (arg fN (x)))) 6= ∅ p ie gh x∈H1 x∈HN nl w Nếu điều kiện C1), C2) C3) Định lý 2.3.3 đúng, dãy {xn } xác d oa định x0 ∈ H1 lu x∈HN  kx − TN −1 TN −2 T1 xn k , 2βN,n va an z1,n  = arg fN (x) + oi lm ul nf y1,n = xn − γ1 T1∗ T2∗ TN∗ −1 (TN −1 TN −2 T1 xn − z1,n ),   kx − TN −2 TN −3 T1 y1,n k z2,n = arg fN −1 (x) + x∈HN −1 2βN −1,n z at nh y2,n = y1,n − γ2 T1∗ T2∗ TN∗ −2 (TN −2 TN −3 T1 y1,n − z2,n )   zN −1,n = arg f2 (x) + kx − T1 yN −2,n k x∈H2 2β2,n z gm @ n ac th xn+1 = αn f (yN,n ) + (1 − αn )yN,n , n ≥ 0, va xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yN,n , an Lu yN,n = zN,n , m co l yN −1,n = yN −2,n − γN −1 T1∗ (T1 yN −2,n − zN −1,n ),   zN,n = arg f1 (x) + kx − yN −1,n k x∈H1 2β1,n si 34 hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S Chứng minh Trước hết, ta thấy S = (∂f1 )−1 (0) ∩ T1−1 ((∂f2 )−1 (0)) ∩ ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 ((∂fN )−1 (0)))) Ta có  z1,n = arg lu x∈HN kx − TN −1 TN −2 T1 xn k2 fN (x) + 2βN,n  an n va βN,n (z1,n − TN −1 TN −2 T1 xn ) 0, gh tn to ∂fN (z1,n ) + điều suy ie p N z1,n = JβAN,n (TN −1 TN −2 T1 xn ), nl w AN = ∂fN d oa Tương tự, ta có A va an lu −i+1 zi,n = JβNN−i+1,n (TN −i TN −i−1 T1 yi−1,n ) nf với AN −i+1 = ∂fN −i+1 với i = 2, 3, , N Do đó, áp dụng Định lý 2.3.3, ta Bài toán chấp nhận tách tổng quát z at nh 2.4.3 oi lm ul nhận điều phải chứng minh Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực z m co l gm @ H Ký hiệu iC hàm C, tức là,  0, x ∈ C, iC (x) := ∞, x ∈ / C vi phân ∂iC đơn điệu cực đại Ta biết an Lu Dễ thấy iC hàm lồi, thường nửa liên tục Do đó, tốn tử n va ac th ∂iC (u) = N (u, C) = {v ∈ H : hu − y, f i ≥ ∀y ∈ C}, si 35 N (u, C) nón pháp tuyến C u Ta ký hiệu toán tử giải ∂iC Jr , với r > Giả sử u = Jr x với x ∈ H, tức là, x−u ∈ ∂iC (u) = N (u, C) r Khi ta có hx − u, u − yi ≥ với y ∈ C Từ đặc trưng phép chiếu mêtric (Mệnh đề 1.1.10), suy u = PCH x lu an Định lý 2.3.3 suy ta kết cho toán chấp nhận tách tổng n va quát tn to Định lý 2.4.4 Cho Hi , i = 1, 2, , N , không gian Hilbert thực, cho Ci , gh i = 1, 2, , N , tập lồi, đóng Hi , tương ứng Cho Ti : Hi −→ Hi+1 , p ie i = 1, 2, , N − 1, tốn tử tuyến tính bị chặn cho nl w S := C1 ∩ T1−1 (C2 ) ∩ ∩ T1−1 (T2−1 (TN−1−1 (CN ))) 6= ∅ an lu x0 ∈ H1 d oa Nếu điều kiện C1) C3) Định lý 2.3.3 đúng, dãy {xn } xác định va y1,n = x1,n − γ1 T1∗ T2∗ TN∗ −1 (I HN − PCHNN )TN −1 TN −2 T1 xn , H oi lm ul nf −1 y2,n = y1,n − γ2 T1∗ T2∗ TN∗ −2 (I HN −1 − PCNN−1 )TN −2 TN −3 T1 y1,n , yN,n = PCH11 yN −1,n , z at nh yN −1,n = yN −2,n − γN −1 T1∗ (I H2 − PCH22 )T1 yN −2,n , z xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yN,n , @ l gm xn+1 = αn f (yN,n ) + (1 − αn )yN,n , n ≥ 0, m co hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân an Lu h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S ac th cho toán chấp nhận tách n va Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.4.1 ta nhận hệ si 36 Hệ 2.4.5 Cho H1 H2 hai không gian Hilbert thực, cho T : H1 −→ H2 toán tử tuyến tính bị chặn f : H1 −→ H1 ánh xạ co H1 Cho Ci , i = 1, 2, , r, Qj , j = r + 1, r + 2, , N , tập lồi, đóng H1 H2 , tương ứng, cho S := ∩ri=1 Ci ∩ T −1 (∩N j=r+1 Qj ) 6= ∅   Nếu γi ∈ 0, với i = 1, 2, , N −r, γj ∈ (0, 2), j = N −r+1, , N − kT k2 1, {αn }, {βi,n }, i = 1, 2, , N , dãy số dương thỏa mãn điều kiện lu an C2) C3) Định lý 2.3.3, dãy {xn } xác định x0 ∈ H1 va n y1,n = xn − γ1 T ∗ (I H2 − PQHN2 )T xn , to p ie gh tn y2,n = y1,n − γ2 T ∗ (I H2 − PQHN2 −1 ))T y1,n , yN −r+1,n = yN −r,n − γN −r+1 (I H1 − PCHr1 )yN −r,n , d oa nl w yN −r,n = yN −r−1,n − γN −r T ∗ (I H2 − PQHr+1 ))T yN −r−1,n , an lu yN −1,n = yN −2,n − γN −1 (I H1 − PCH21 )yN −2,n , nf va yN,n = PCH11 (yN −1,n ), oi lm ul xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yN,n , xn+1 = αn f (yN,n ) + (1 − αn )yN,n , n ≥ 0, z at nh hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S, nghiệm bất đẳng thức biến phân z h(I H1 − f )x∗ , y − x∗ i ≥ ∀y ∈ S m co l Bài toán cân tách tổng quát gm @ 2.4.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực biểu sau: an Lu H Cho F song hàm C × C vào R Bài toán cân phát n va (2.28) ac th Tìm phần tử x ∈ C cho F (x, y) ≥ ∀y ∈ C si