(Luận văn) một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH lu an n va MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG p ie gh tn to d oa nl w lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH lu MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG an n va gh tn to p ie Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 d oa nl w ll u nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC m oi Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH THỊ DIỆP LINH z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình trình bày theo nhận thức riêng Các kết nêu luận văn trung thực Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Trịnh Thị Diệp Linh Nhân dịp xin cám ơn Cô hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy lu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong, tn to Tỉnh Hoà Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết p ie gh q trình học tập hồn thành luận văn w mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học d oa nl viên để luận văn hoàn chỉnh an lu Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi ll u nf va thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn m oi Thái Nguyên, tháng năm 2015 z at nh Tác giả z m co l gm @ Khiếu Thị Lan Anh an Lu n va ac th si iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị lu an n va 1.2 Phôi điểm kì dị 1.3 Các điểm kì dị đơn giản tn to 1.1 Một số khái niệm gh 1.3.1 Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm p ie yên ngựa w 1.3.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm oa nl 1.3.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) d không ổn định lu nf va an 1.4 Các tính chất phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp 10 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng lm ul hỗn hợp mặt phẳng 12 z at nh oi 2.1 Định lý rút gọn 14 2.2 Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng 23 z 35 l gm 36 m co Tài liệu tham khảo @ Kết luận an Lu n va ac th si Mở đầu Họ đường cong tích phân phương trình đặc trưng đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [7], [13]) lu an Xét phương trình vi phân cấp mặt phẳng (1) n va a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), tn to x, y tọa độ, a, b, c hàm số trơn, F hàm số ie gh p Phương trình đặc trưng tương ứng định nghĩa (2) oa nl w a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = Như vậy, vấn đề nghiên cứu dạng chuẩn địa phương phương trình d an lu đặc trưng dẫn đến thay đổi trơn tọa độ có nghiên cứu nf va tới kỷ XIX Từ xuất phát ban đầu toán cuối kỷ lm ul nhận dạng chuẩn bao gồm phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Cibrario - Tricomi biết z at nh oi Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng dy + dx2 = 0, dy − dx2 = dy − xdx2 = 0, (3) z gm @ (xem [4], [6], [7], [15]) Dạng chuẩn dạng chuẩn thứ lấy gần điểm miền xác định elliptic hyperbolic phương trình l ban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm hai nghiệm thực m co dy : dx điểm tương ứng an Lu Dạng thứ ba dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí điểm điển hình loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) n va ac th si phương trình, biệt thức vi phân khác 0, hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường điểm Sự chứng minh dạng hoàn thành Tricomi F (xem [15]) cịn có chỗ thiếu sót sau chứng minh hoàn chỉnh Cibrario M (xem [6]) Đây dạng chìa khóa công thức vấn đề nghiên cứu Tricomi thay đổi khác Danh sách hoàn thành dạng chuẩn địa phương mạng đặc trưng cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp tổng quát mặt phẳng tìm cuối kỷ XX, dạng chuẩn trơn tìm gần lu điểm đường suy biến, điểm mà hướng đặc trưng tiếp tuyến an tới đường (xem [8], [9], [10], [11]) Nó chứng minh rằng, phương va n trình đặc trưng gần điểm tiếp tuyến rút gọn đến dạng to (4) gh tn dy + (kx2 − y)dx2 = 0, p ie k tham số thực, phép nhân hàm số không triệt tiêu w trơn lựa chọn thích ứng tọa độ trơn với gốc điểm này, oa nl điều kiện tiêu chuẩn đưa vào Chính xác hơn, trường hướng d đặc trưng nâng lên tới trường giá trị đơn mặt phương trình lu an xác định không gian hướng mặt phẳng (với tọa độ nf va địa phương x, y, p, p = dx : dy ) phương trình (2) Tại lm ul điểm bề mặt giá trị trường hướng nâng lên giao mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt mặt phẳng tiếp xúc xác định z at nh oi dạng dy − pdx mặt phẳng khác Nội dung chủ yếu luận văn trình bày lại kết báo z [3], [2] Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn co l gm Chương Kiến thức chuẩn bị @ chia thành hai chương m Trong chương đưa số khái niệm, ví dụ minh họa tính chất an Lu liên quan đến vấn đề nghiên cứu chương Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn n va ac th si hợp mặt phẳng Trong chương trình bày định lý rút gọn sử dụng phương pháp chứng minh định lý rút gọn để nhận kết dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp mặt phẳng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm lu an n va p ie gh tn to Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân ẩn cấp mặt phẳng R2x,y hàm số trơn không gian hướng gọi mặt phương trình Phương trình điển hình hay phương trình tổng quát phương trình từ tập mở trù mật hầu khắp nơi tập hợp khơng gian tơpơ lựa chọn nl w d oa Định nghĩa 1.2 Giới hạn mặt phép chiếu tiêu chuẩn dọc theo trục hướng, nghĩa ánh xạ mặt mặt phẳng pha (thường gọi hướng) gọi gấp phương trình ẩn nf va an lu z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.3 Một ánh xạ gấp phương trình ẩn phép chiếu phương trình mặt mặt phẳng với biến x, y dọc theo trục p Một điểm mặt gọi quy khơng điểm tới hạn gấp phương trình z Định nghĩa 1.4 Đường cong tích phân phương trình ẩn đường cong tích phân trường hướng bề mặt phương trình gm @ m co l Định nghĩa 1.5 Đối với phương trình đặc trưng (2), ánh xạ đến điểm bề mặt phương trình gấp với ảnh tương ứng gọi phép đối hợp gấp phương trình an Lu n va Định nghĩa 1.6 Họ vi phân trường véctơ v (hoặc trường hướng), phôi trường véc tơ (hoặc trường hướng) với tham số ε ∈ Rm , m ≥ ac th si Cvr −tương đương dẫn đến phơi khác họ, phép Cvr − vi đồng phôi với tham số bảo tồn phân lớp tự nhiên khơng gian tham số tới đường cong pha (hoặc đường cong tương ứng) trường (v, ε˙ = 0) (tương ứng (v, 0)) Định nghĩa 1.7 Cvr −tương đương phôi họ gọi mạnh bảo tồn tham số 1.2 Phơi điểm kì dị lu an n va tn to Định nghĩa 1.8 Hai đối tượng có tính chất giống (các tập hợp, trường véctơ, họ đường cong, phép ánh xạ, ) gọi tương đương điểm chúng trùng lân cận điểm Lớp tương đương đối tượng điểm gọi phơi điểm x + |x| có phơi chung điểm nửa trục x dương phôi khác điểm khác p ie gh Ví dụ 1.1 Các hàm số hàm biến g1 (x) = x g2 (x) = nl w d oa Định nghĩa 1.9 Hai biến dạng (của phơi) phương trình ẩn gọi tương đương trơn hai biến dạng tạo thành phép vi đồng phôi trơn khác (tương ứng phôi phép vi đồng phôi trơn) nf va an lu z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.10 Sự biến dạng phơi phương trình vi phân ẩn gọi quy nạp từ phôi khác phôi thứ nhận ánh xạ trơn phôi thứ hai z Định nghĩa 1.11 Với r ≥ hai phôi đối tượng có tính chất (chẳng hạn ánh xạ, hàm số, đường cong, ) gọi C r −tương đương dọc theo C −trường véctơ (hoặc trường hướng) v (= Cvr −tương đương) chúng đưa đến phôi khác phép C r − vi đồng phôi đưa đến đường cong pha (tương ứng đường cong tích phân) trường v m co l gm @ an Lu Ví dụ 1.2 Trên mặt phẳng R2x,y , cho trường véctơ v = (x, βy) với β 6= phôi O hai đường thẳng qua O tọa độ ban n va ac th si a11 − k a 12 = a21 a22 − k (1.4) z Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa m 1.3.1 co l gm @ Ta xét tất trường hợp xảy đưa khái niệm điểm kì dị an Lu Các nghiệm (1.4) thực khác Trong trường hợp xảy trường hợp sau: n va ac th si i k1 < 0; k2 < Điểm kì dị ổn định tiệm cận (điểm nút ổn định, Hình 1.3a) Hình 1.3: lu ii k1 > 0; k2 > Điểm cân không ổn định (điểm nút không ổn định, Hình 1.3b) an n va p ie gh tn to oa nl w Hình 1.4: d lu nf va an iii k1 > 0; k2 < Điểm cân khơng ổn định (điểm n ngựa, Hình 1.4a) z at nh oi lm ul z m co l gm @ Hình 1.5: an Lu n va ac th si 1.3.2 Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm Các nghiệm (1.4) phức: k1 = p + qi; k2 = p − qi Ở có trường hợp sau: i p < 0; q 6= Điểm cân ổn định tiệm cận (tiêu điểm ổn định, Hình 1.4b) ii p > 0; q 6= Điểm cân không ổn định (tiêu điểm khơng ổn định, Hình 1.5a) iii p = 0; q 6= Điểm cân ổn định, khơng ổn định tiệm cận (tâm điểm, Hình 1.5b) lu 1.3.3 Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định an n va Phương trình (1.4) có nghiệm kép (k1 = k2 ) Ở có trường hợp: p ie gh tn to oa nl w d Hình 1.6: an lu nf va i k1 = k2 < Điểm cân ổn định tiệm cận (điểm nút (suy biến) ổn định, Hình 1.6a-b) ii k1 = k2 > Điểm cân không ổn định (điểm nút (suy biến) không ổn định, Hình 1.6c) Chú ý Nếu hai nghiệm phương trình đặc trưng (1.4) có phần thực âm điểm cân ổn định tiệm cận Cịn cần nghiệm (1.4) có phần thực dương điểm cân khơng ổn định Các kết luận tương tự với hệ phương trình tuyến tính với hệ số n dxi X = aij xj (i = 1, 2, , n) (1.5) dt j=1 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Để ngắn gọn đơi ta viết x˙ (y, ˙ z, ˙ ) thay cho n va dx dy dz ( , , ) dt dt dt ac th si 10 1.4 Các tính chất phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp Xét phương trình đạo hàm riêng cấp mặt phẳng với biến x, y dạng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.6) a, b, c hàm số khả vi, F hàm số cho, u hàm số chưa biết Các miền hàm số ∆ = b2 − ac âm dương tương ứng gọi miền elliptic hyperbolic Phương trình vi phân ẩn a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = lu an n va p ie gh tn to (trong dạng đối xứng với mối quan hệ dx dy ) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.6) Trong lân cận điểm miền hyperbolic, đường cong tích phân đặc trưng hai phương trình cấp mô tả nhánh trơn trường hướng Các đường cong tích phân trường gọi đặc trưng Chúng đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong trường hợp tổng quát, gradient hàm ∆ khác tất điểm mà hàm số tự triệt tiêu Như vậy, đường mức hàm số đường cong trơn (một cách xác hơn, nhúng trơn) mặt phẳng Đây đường cong dạng biến đổi thay cho phương trình (1.6) miền elliptic nằm phía đường, miền hyperbolic phía khác Do đó, (1.6) phương trình hỗn tạp lân cận điểm đường cong Trong trường hợp chung, hàm số a c không triệt tiêu cách đồng thời điểm đường dạng biến đổi khơng gradient hàm số ∆ điểm triệt tiêu Do đó, lân cận điểm phương trình đặc trưng rút gọn phương trình bậc 2, với mối dx dy cách phân chia tương ứng quan hệ đạo hàm dx dy dx2 dy Vì vậy, nhận phương trình ẩn cấp gần giống dạng phương trình đường thay đổi khơng khó tích phân hai d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 11 phương trình cấp trơn không giải với đạo hàm Khi phép xấp xỉ đường hướng đặc trưng tiến đến hướng khác, đường trùng khớp xác định trường trơn đường thẳng Nói chung, trường quay chuyển động dọc theo đường tiếp xúc đường vài điểm cấp tiếp xúc Tại điểm véctơ tiếp xúc (−∆y, ∆x) xác định hướng đặc trưng thỏa mãn đường cong a(x, y)∆2x + 2b(x, y)∆x∆y + c(x, y)∆2y = lu Trong trường hợp chung, họ đặc trưng phương trình (1.6) có điểm kì dị gấp điểm tiếp xúc Tính kì dị n ngựa, điểm nút, hay tiêu điểm Chẳng hạn, cho phương trình an n va gh tn to uxx + (kx2 − y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = p ie số không yên ngựa gấp, nút gấp, hay tiêu điểm gấp tương 1 , < k Mỗi phương trình (1.6) ứng k < 0, < k < 16 16 rút gọn đến dạng (với k đó) lân cận điểm kì dị gấp d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 12 Chương Một số dạng chuẩn tắc phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp lu mặt phẳng an n va a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (2.1) p ie gh tn to Xét phương trình vi phân cấp mặt phẳng d oa nl w x, y tọa độ, a, b, c hàm số trơn, F hàm số Phương trình đặc trưng tương ứng định nghĩa lu a(x, y)dy − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = nf va an (2.2) z at nh oi lm ul Các hướng đặc trưng điểm nghiệm phương trình Tại điểm có hai hướng đặc trưng, có hai hướng ảo tương ứng với giá trị biệt thức D := b2 − ac dương, 0, âm Một điểm trùng khớp mặt phẳng điểm kì dị trường hướng nâng lên được, thích hợp xác tới điểm tiếp tuyến trường hướng đặc trưng với dạng đường suy biến Nó biểu diễn gần điểm kì dị trường nâng lên được, tồn trường véctơ trơn xác định trường hướng điểm Khi điểm kì dị trường véctơ Dạng chuẩn (4) nhận tất trường hợp tồn trường véctơ cho dạng chuẩn, điểm không suy biến trường tuyến tính hóa gần điểm Trong trường hợp tham số z m co l gm @ an Lu n va ac th si 13 lu an n va p ie gh tn to + α2 α(α + 1)−2 yên ngựa hay điểm nút k = k= 16 tiêu điểm, số mũ α định nghĩa tỉ số giá trị riêng với môđun lớn mở rộng trường véctơ điểm đến trường với môđun nhỏ hai trường hợp đầu, môđun tỉ số phần ảo giá trị riêng tới phần thực trường hợp thứ Trong trường hợp tham số nhỏ 0, lớn nhỏ 16 lớn , tương ứng Ở đây, tham số k phương trình đặc trưng có 16 thể rút gọn khoảng tương ứng, ví dụ tương ứng −1, , 20 (xem [12], [13], [8], [9]) thay đổi liên tiếp tọa độ Định lý rút gọn định lý quan trọng, chìa khóa chứng minh dạng chuẩn (xem [8], [9]) Định lý quy vấn đề dạng chuẩn cho phương trình (2.2) gần điểm tiếp tuyến trường đặc trưng với đường suy biến theo lý thuyết dạng chuẩn cặp đối hợp gấp hoán vị phương trình bề mặt, điểm với tọa độ x, y giống trường véctơ bề mặt xác định trường hướng nâng lên gần điểm kì dị trường Ở kết chứng minh định lý rút gọn cho trường hợp họ phương trình (2.2) hệ số phương trình trơn phụ thuộc tham số ε với số chiều hữu hạn Sau đó, sử dụng định lý kết biết cho dạng chuẩn với biến dạng trơn phơi phương trình đặc trưng điểm tiếp tuyến hướng đặc trưng với đường suy biến, điểm kì dị trường véctơ nâng khơng suy biến thêm vào số mũ α số vô tỉ trường hợp yên ngựa không số tự nhiên cho trường hợp điểm nút Khi nhận dạng chuẩn cho họ, gần điểm mà phép nhân hàm số không triệt tiêu lựa chọn tọa độ x, y thích hợp phụ thuộc tham số họ hàm số trơn cho trước đó, giống (4) với k hàm số biết tham số Chú ý rằng, tập hợp cho họ phương trình(2.2) dạng chuẩn phương trình Laplace, phương trình sóng, phương trình Cibrario - Tricomi d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 14 Đây phân nhánh địa phương nhận họ đường cong tích phân phương trình (2.2) trường hợp tham số chiều hay tham số hai chiều 2.1 Định lý rút gọn lu Cho họ trơn phương trình (2.1) với tham số ε hữu hạn chiều, phân tích dáng điệu họ tương ứng lưới đặc trưng gần điểm P đường suy biến, khác biệt thức khác hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường, cho vài dạng chuẩn họ đặc trưng gần điểm tọa độ trơn hay đủ trơn Trong chương ln giả thiết phương trình địa phương gần điểm nghiên cứu an va Mệnh đề 2.1 Một họ trơn phương trình n to (2.3) gh tn a(x, y, ε)dy − 2b(x, y, ε)dxdy + c(x, y, ε)dx2 = 0, p ie với tham số ε hữu hạn chiều gần điểm P đường cong biệt thức, D(P ) = 0, dD(P ) 6= hướng đặc trưng tiếp tuyến tới đường cong Khi nhận dạng nl w (2.4) d oa dy + c(x, y, ε)dx2 = lu nf va an với c hàm số trơn đó, c(O) = = cx (O) 6= cy (O), sau nhân hàm số trơn không triệt tiêu với lựa chọn thích hợp tọa độ trơn với gốc O điểm lm ul z at nh oi Chứng minh Lựa chọn điểm P với ε = ε0 hệ tọa độ địa phương trơn cho hướng đặc trưng tọa độ ban đầu trùng với hướng trục hoành Các tọa độ địa phương không gian hướng mặt phẳng dy họ phương trình (2.3) gần điểm gốc lấy x, y , p = dx viết dạng z co l gm @ m a(x, y, ε)p2 − 2b(x, y, ε)p + c(x, y, ε) = 0, an Lu n va có a(O) 6= = b(O) = c(O), cy (O) 6= 0, theo điều kiện D(O) = |Dx (O)| + |Dy (O)| = hướng đặc trưng tiếp xúc đường suy biến Nếu ac th si 15 khử hệ số b b = 0, chia phương trình cuối cho a địa phương gần điểm gốc nhận dạng cần tìm họ Triệt tiêu hệ số b, lựa chọn tọa độ tham số y˜ sau y = Y (x, y˜, ε), Y hàm số trơn Khi nhận d˜ y dy = Yx (x, y˜, ε) + Yy˜(x, y˜, ε) dx dx Tiếp theo, đặt tọa độ họ phương trình, nhận phương trình     d˜ y d˜ y Yx + Yy˜ − 2b(x, Y, ε) Yx + Yy˜ + c(x, Y, ε) = 0, dx dx lu an n va p ie gh tn to biến đổi phương trình ta nhận  2 d˜ y d˜ y + 2Yy˜[Yx − b(x, Y, ε)] + c(x, Y, ε) + Yx2 − 2b(x, Y, ε)Yx = Yy˜2 dx dx (2.5) d˜ y đủ để biểu thức ngoặc Do đó, triệt tiêu số hạng với đạo hàm dx vuông Yx ≡ b(x, Y, ε) nl w d oa Phương trình với đạo hàm riêng cấp họ trơn phương trình đặc trưng xác định trường véctơ (1, 0, 0) không tiếp xúc mặt phẳng tọa độ x = Vì địa phương gần gốc có nghiệm trơn trơn tùy ý ban đầu mặt phẳng x = Lấy nghiệm phương trình Y (0, y˜, ε) = y˜ bề mặt phương trình Do bổ đề Hadamard [4] nên nghiệm viết dạng nf va an lu z at nh oi lm ul Y (x, y˜, ε) = y˜ + xB(x, y˜, ε), z B hàm số trơn Thế biểu thức vào phương trình (15) nhận phương trình gần O hàm số trơn m co l gm @ Yy˜2 = (1 + xB(x, y˜, ε))2 , an Lu nhận dạng cần tìm phương trình với hàm số C với C = C(x, y, ε) Mệnh đề chứng minh n va ac th si 16 Gần gốc cho giá trị tham số, đối hợp gấp σ phương trình có dạng (x, p) 7→ (x, −p) (2.6) dy phương trình mặt Trường hướng phương tọa độ x p = dx trình tọa độ tính tốn vi phân vế trái phương trình p2 + c(x, y, ε) = thay pdx dy Khi trường hướng phương trình có dạng (−2p : cx + pcy ) xác định bề mặt phương trình trường véctơ v := (−2p, cx + pcy ) lu an n va p ie gh tn to Gốc điểm kì dị trường véctơ này, thêm vào đường điểm cố định phép đối hợp gấp (đối hợp gấp với p = 0) trường có hướng thẳng đứng, với hướng thẳng đứng hướng trục p Tại điểm (x, p) bề mặt phương trình, ảnh trường v đối hợp gấp σ∗ v(x, p) = (2p, −cx + pcy ) d oa nl w Như vậy, định thức ma trận với cột v σ∗ v có điểm (x, p) giá trị 4p2 cy Do cy (O) 6= định thức cấp đường điểm cố định đối hợp gấp Đặc biệt trường v σ∗ v cộng tuyến đường Sự tính tốn đưa đến giới thiệu số khái niệm tính tương thích nf va an lu z at nh oi lm ul Định nghĩa 2.1 Trong mặt phẳng, trường véctơ đối hợp vi phân với đường điểm cố định gọi tương thích điểm đường gần điểm định thức ma trận xác định trường ảnh phép đối hợp có định thức cấp z Định nghĩa 2.2 Trong mặt phẳng, trường hướng đối hợp vi phân với đường điểm cố định gọi tương thích điểm đường trường xác định trường véctơ cho tương thích với đối hợp điểm Tương thích phơi xác định tương tự Hai đối tượng (các hàm số hay phôi hàm số, ánh xạ, ) gọi C r −tương đương dọc theo trường véctơ vi phân v (= Cvr −tương m co l gm @ an Lu n va ac th si 17 đương) chúng biến đổi vào ánh xạ C r −đồng phơi đường cong tích phân trường vào Cho họ đối tượng Cvr −tương đương C r −đồng phơi bảo tồn cấu trúc tự nhiên lên tham số ε họ ánh xạ đường cong trường (v, ε˙ = 0) vào nó; Cvr −tương đương mạnh, bảo tồn tham số Định nghĩa 2.3 Trường véctơ v liên tục phép đối hợp vi phân σ với điểm cố định tuyến tính gọi tương thích điểm tuyến tính gần điểm xác định định thức cấp hai ma trận cột v σ∗ v O lu an n va p ie gh tn to oa nl w Hình 2.1: d Định nghĩa 2.4 Trường hướng phép đối hợp tương thích điểm tuyến tính trường cho trường véctơ liên tục thích hợp với phép đối hợp điểm Định nghĩa tương tự họ cặp trường liên tục phép đối hợp vi phân nf va an lu z at nh oi lm ul z Ví dụ 2.1 Trên mặt phẳng R2x,y trường véctơ (x, αy), α > phép đối hợp   (α + 1)x − 2αy 2x − (α + 1)y (x, y) 7→ , α−1 α−1 gm @ tương ứng hầu khắp điểm cố định tuyến tính phép đối hợp l m co Định lý 2.1 (Định lý rút gọn) Nếu với giá trị tham số cố định cho đủ đóng tới O, hai phôi gốc họ trơn (v, σ1 ) (v, σ2 ) cặp tương thích trường hướng phép đối hợp với cặp tham số chiều hữu hạn nhau, bề an Lu n va ac th si