luận văn một số dạng bài tập hệ phương trình

luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình ,luận văn một số phương pháp giải dạng bài tập hệ phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM - - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nghành: Sư phạm Toán học Mã nghành: 52140209 Lớp: Sư phạm Toán K44 Người hướng dẫn: Người thực hiện: TS Nguyễn Thanh Hùng Lê Toàn Thắng MSSV: C1800395 Cần Thơ, 06/2021 Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời mở đầu Một số phương pháp giải phương trình chứa 1.1 Phương pháp lũy thừa khử 1.2 Phương pháp nhân lượng liên hợp .8 1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 15 1.4 Phương pháp hàm số 24 1.5 Phương pháp đánh giá 29 1.6 Phương pháp lượng giác hóa 33 Một số hệ phương trình 37 2.1 Hệ phương trình 37 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 37 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng 37 2.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 41 2.1.4 Hệ phương trình hốn vị 44 2.2 Phương pháp 48 2.2.1 Phương pháp 48 2.2.2 Phương pháp cộng đại số 52 Một số phương pháp giải hệ phương trình 55 3.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử 55 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 63 3.3 Phương pháp nhân lượng liên hợp 70 3.4 Phương pháp hàm số 76 3.5 Phương pháp đánh giá 85 3.6 Phương pháp lượng giác hóa 95 Kết luận 99 Tài liệu tham khảo 100 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thanh Hùng, người Thầy truyền cho niềm say mê nghiên cứu Tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào Tạo, Khoa Sư Phạm, Thầy Cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý Thầy Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Lời Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình hệ phương trình nội dung cổ điển quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển phương trình, hệ phương trình đặt dấu ấn quan trọng Tốn học Chúng có sức hút mạnh mẽ người yêu Toán, ln thơi thúc người làm Tốn phải tìm tịi, sáng tạo Bài tốn phương trình, hệ phương trình thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi, Olympic kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phương trình, hệ phương trình đánh giá tốn phân loại học sinh giỏi, địi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh xác Là giáo viên Trung học phổ thông, muốn nghiên cứu sâu phương trình, hệ phương trình nhằm nâng cao chun mơn, phục vụ cho q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Với lý trên, lựa chọn nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dấu hiệu để nhận biết phương trình, hệ phương trình giải phương pháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ, dùng hàm số, nhân lượng liên hơp, đánh giá,… Đưa quy trình giải cho lớp tốn, với ví dụ minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp phân tích thành nhân tử, nhân lượng liên hợp, đặt ẩn phụ, dùng hàm số, đánh giá, lượng giác hóa Phương trình, hệ phương trình thuộc chương trình phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn tài liệu internet Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống tài liệu sưu tầm để thực luận văn Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Luận văn chia làm chương : Chương 1: Một số phương pháp giải phương trình chứa Chương 2: Một số hệ phương trình Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa 1.1 Phương pháp lũy thừa khử Dạng 1: Phương trình  B0 Tổng quát: A=B A = B Dạng 2: Phương trình  A  ( B  0) A= B  A= B  2k  B0 A=B 2k A = B A + B = C ( C  , C số , A  0, B  , bình phương vế Dạng 3: đưa dạng 1)  A0  B0  A+ B = C  C0   A + B + AB = C  Dạng 4: A = B  A = B k +1 Dạng 5: A = B  A = B3 ; Dang 6: A + B = C  A + B + 3 A.B Và ta sử dụng phép thế: k +1 (chuyển dạng 1) ( ) A + B = C (1) A + B = C ta phương trình: A + B + 3 A.B.C = C (2) Chú ý: Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) Phép bình phương vế phương trình mà khơng có điều kiện cho vế không âm phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại * Chú ý: Dạng  B0 A2 = B   A =B Ví dụ 1: Giải phương trình : x − + = x (1) Giải: Phương trình (1)  x − = x − Điều kiện: x −   x  Phương trình (1)  x − = ( x − 3)  x − = x2 − x +  x − x + 12 = x =  x = Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 − x + = x + Giải: Nhận xét : x − x + = ( x − 3) Điều kiện : x +   x = −7  x −3 = x +5  x    x = −1  x − = − ( x + 5) Phương trình  x − = x +   Kết hợp với điều kiện  Phương trình có nghiệm x = −1 Ví dụ 3: Giải phương trình: x − x − = x − (1) Giải: Điều kiện: x −   x  Phương trình (1)  x2 − x − = x −  x2 − x − =  x = −1   x=3 Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x −1 = x2 + 2x − Giải:  x    2x −1   x  x −1 = x2 + x −     x=2   x = −2  x + 2x − = 2x −1  x2 =     x = Vậy nghiệm phương trình cho x = Ví dụ 5: Giải phương trình: x +1 + x + = Giải: x +1   x  −1 x +  Điều kiện :  Phương trình cho tương đương với : ( x +1 + x + ) =  x + + x2 + 5x + =  x2 + 5x + = − x 2− x    x2   x = (thỏa mãn)   x = x + x + = − x ( )   Vậy nghiệm phương trình cho x = x +1 + x + = Ví dụ 6: Giải phương trình: Giải: x +1   x  −1 x +  Điều kiện:  Phương trình cho tương đương với: ( x +1 + x + ) =  x + + x2 + 5x + =  x2 + 5x + = − x 2− x    x2   x = (thỏa mãn)   9 x =  x + x + = ( − x ) Vậy nghiệm phương trình cho x = − x − x + = 3x + Ví dụ 7: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: −1  x  Phương trình cho tương đương với : − x = x + + x +  − x = x + + x + 10 x +  −5 x − = x + 10 x +  x  −1  x +1        x =  x = −1 13 13x + 10 x − =    x = −1 Vậy nghiệm phương trình cho x = −1 Ví dụ 8: Giải phương trình: 3x − = x − Giải: Lập phương vế phương trình ta có : 3x − = ( x − )  x3 − x + x − =  x =1  ( x − 1) ( x − ) =   x = Vậy nghiệm phương trình x = 1; x = Ví dụ 9: Giải phương trình: x − + x − = 3x − ( Cao Đẳng Hải Quan 1997) Giải: Lập phương hai vế ta có : x − + x − + 3 ( x − 1)( x − 1) ( ) x − + x − = 3x −    2x − = x =    3 ( x − 1)( x − 1) 3 x − =   x − =   x = 3 x − =   x =   1 Thử lại: x = ; (1)  − = − (thỏa) 2 x = 1; (1)  = (thỏa) 1 x = ; (1)  + − = (thỏa) 3 Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = 1; x = Ví dụ 10: Giải phương trình: − 12 x + 36 x = Giải:  (1 − x )  − 6x = =5 ( nhận) Th1: − x   x  Th2: − x   x   − x =  x − =  x = (nhận)  x=− Vậy phương trình có nghiệm x = − ; x = 1.2 Phương pháp nhân lượng liên hợp Giải phương trình vơ tỉ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp : + Khi ta gặp tốn giải phương trình dạng : n f ( x) + m g ( x) + h ( x) = Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích giải trực tiếp khó khăn + Nhẩm nghiệm phương trình đó: thủ cơng (hoặc sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp: Đặt điều kiện phương trình (nếu có) Ví dụ: Đối với phương trình: x2 + + = 2x2 + + x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với x  x2 + = x2 + − x2 +  , Để ý rằng: (x + 3) + x +  x + Do phương trình có nghiệm x −   x  • Nếu phương trình có nghiệm x0 : Ta phân tích phương trình sau: Viết lại phương trình thành : n f ( x ) − n f ( x0 ) + m g ( x ) − m g ( x0 ) + h ( x ) − h ( x0 ) = Sau nhân liên hợp cho cặp số hạng với ý : + a−3b= a −b a + ab + b 2 (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh năm 2014) Giải: Điều kiện: xy + 5x +  Khi hệ phương trình có nghiệm x + y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ( 4x +y ) (1 + 1)  ( x + y ) 4x2 + y   ( 2x + y ) = 2x + y Đẳng thức xảy y = x Áp dụng bất đẳng thức AG - GM ta có : x + xy + y = ( x + y ) − xy  ( x + y ) 2  2x + y  −  = ( 2x + y )   2 x + xy + y 2x + y   ( 2x + y ) = 3 Đẳng thức xảy y = x Do x2 + y x + xy + y +  2x + y Dấu xảy y = x , Có y = x  x + y = x  Thay y = x vào phương trình thứ hai hệ ta : x0   x xy + x + = x − x −   4x2 − 5x −  14 x − 45 x − x + 30 x + =   + 73 x  + 73  , 14 x3 − 3x − 11x +  0;  x  ( x − 3) (14 x − 3x − 11x + 3) =   x −3 =  x = 3 y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3;6 ) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình : 89 1  + =  2 + xy  1+ 2x 1+ y   x − x + y − y = ( ) ( )  Giải: Điều kiện :  x; y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :  1  +  + x2 + y2    1    2 + 2    1+ 2x + y   ( ) Dấu xảy  + x = + y  x = y Ta lại có : ( x − y ) ( xy − 1) 1 + − = 0 2 + x + y + xy (1 + x )(1 + y ) (1 + xy )  1 +  2 + x + y + xy ( ) Dấu xảy x = y , từ ( ) ( ) ta suy  1  +  + x2 + y2   1    +  2  + xy + xy 1+ 2x 1+ y  Dấu xảy x = y Khi (1)  x = y xuống phương trình (2) ta : x (1 − x ) + x (1 − x ) =  73  73 x= y= 36 36 Vậy nghiệm hệ phương trình cho Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  x + 32 − x − y + = 4  x + 32 − x + y − 24 = Giải: 90   73  73  ;  36   36 ( x; y ) =  0  x  32 y  Điều kiện:  Cộng hai phương trình vế theo vế ta có : x + 32 − x + x + 32 − x = y − y + 21 ( ) Ta có : y − y + 21 = ( y − 3) + 12  12 Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : (1 + 1)( x + 32 − x ) = x + 32 − x   x + 32 − x + x + 32 − x  12  x = 32 − x   x = 16 Từ suy hệ có nghiệm x, y thỏa mãn:  x = 32 − x    y =3 y −3 =  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (16;3) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 1  + =  2 + xy  1+ 2x 1+ y    x (1 − x ) + y (1 − ) = Giải: Điều kiện:  x, y    Đặt a = x, b = y; a, b  0;  2  Ta có : VT = 1 + a2 +    2 + 2   1+ a 1+ b  + b2 Ta sử dụng bổ đề với a, b  ab  ta có bất đẳng thức : ( a − b ) ( ab − 1)  (đúng) 1 +  2 1+ a 1+ b (1 + ab ) (1 + a )(1 + b2 ) Vậy VT  = VP + ab 91 Đẳng thức xảy x = y Thay vào (2) ta tìm nghiệm phương trình  − 73 − 73  ;  , 36 36   Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =   + 73 + 73  ;   36 36   Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  2 2 x ( x − y ) + x = ( x − y )  76 x − 20 y + = x (8 x + 1)  Giải: Điều kiện : x  y  Phương trình (1) tương đương : x3 + x ( x − y ) − Đặt (x − y ) x − y = u phương trình (1) thành : x3 + xu − 2u3 =  x = u  y = x − x2 Thay vào (2) ta : 96 x − 20 x + = 32 x + x Ta có 96 x − 20 x + = 32 x + x = 1.1( 32 x + x )  32 x + x +  ( 96 x − 20 x + )  32 x + x +  (16 x − )   x = 1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =  ;  8  y= 8 7   Ví dụ 9: Giải hệ phương trình xy  = x + y (1) x + x − 2x +   xy y + = y + x (2)  y − 2y + với x, y  Giải: Hiển nhiên x = y = nghiệm hệ Ta xét x  y  Cộng theo vế hai phương trình hệ ta :  xy  +  x −1 + )  (   = x + y Chú ý ( y − 1) +  92 1  ; ( x − 1) + 2  Với xy  ta có xy   x −1 + )  ( ( y − 1) + +8     xy  x + y 2 ( y − 1) +  Dấu đẳng thức xảy x = y = Với xy  Khả xảy Thật vậy, không làm tính tổng quát giả sử x  0, y  rõ ràng đẳng thức (1) khơng thể xảy Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) ( 0;0 ) , (1;1) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  41   9 x +  = + 40 x 2x + y   2  2  x + xy + y = y + x + với x, y  Giải:  Phương trình (1) tương đương 82  x +   + 80 x = 2x + y  Ta có : VT = (1   + 92 )  x +  9x +  9x +   9x + 2x + y  2x + y + 2x + y ( 2x + y )   + 80 x   3x − x − xy + y  2x + y + ( ) Lấy ( ) cộng với phương trình (2) ta : − x + xy − y + 12 y − x −   − ( x − y + 3)   x + = y Để dấu xảy x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Ví dụ 11: Giải hệ phương trình  1 20 x 2  sin x + + sin y + = sin x sin y x+ y    cos x + + cos y + = 20 y  cos x cos y x+ y  93 ( x, y  ) (Trích đề thi HSG QG năm 2013) Giải: Điều kiện : x + y  0; x y k l  0;  0; x  ; y  ; k, l  x+ y x+ y 2 Cộng theo vế hai phương trình hệ ta : sin x + 1 1 + cos x + + sin y + + cos y + 2 sin x cos x sin y cos y = 20 x 20 y + x+ y x+ y (*) Áp dụng bất đẳng thức vectơ ta có : 1 sin x + + cos x +  sin x cos x   (1 + sin x ) 1 +  1  + ( sin x + cos x ) +    sin x cos x  2   sin 2 x  ( sin x − 1) ( sin 2 x − 8sin x − ) sin 2 x + 10  10 Tương tự ta có: sin y + 1 + cos y +  10 , suy VT(*)  10 sin y cos y   x = + k  sin x =  Dấu xảy   sin y =  y =  + l  Mặt khác, (k, l  )  20 x 20 x 20 y 20 y  +  2 +  = 10 x+ y x+ y  x+ y x+ y Dấu xảy x y = x= y x+ y x+ y Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = 94  + k (k  ) 3.6 Phương pháp lượng giác hóa Ta dựa vào dấu hiệu nhận biết sau để sử dụng phương pháp lượng giác hóa Nếu phương trình hệ có dạng ( px − a ) + ( qy − b ) = c ta đặt :  px = a + c sin t  qy = b + c cos t ( t  0; 2 ) Nếu từ hệ suy x   −a; a  ; y   −b; b  đặt :  x = a sin    y = b sin  ( ;   0; 2 ) Dạng thường kèm thức a2 − x2 ; b2 − y Trong đề có chứa biểu thức tương ứng với cơng thức lượng giác Chẳng hạn : + x2 tương ứng với + tan t = , cos t x3 − 3x tương ứng với 4cos3 t − 3cost = cos3t , x2 − tương ứng với 2cos2 t −1 = cos 2t , tan t 2x = tan 2t tương ứng với − tan t 1− x Chú ý: Cần nhớ xác cơng thức nghiệm phương trình lượng giác Nắm vững biến đổi thành thạo công thức biến đổi lượng giác Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x2 + y =   3 ( 3x − x )( y − y ) =  ( x, y ) Giải:  x = sin t  y = cos t Đặt :  ( t  0; 2 ) Khi phương trình thứ hai hệ trở thành : ( 3sint − 4sin t )(3cost − 4cos t ) = 12 3 95  sin 3t.cos3t = −    sin 6t = −1  t = − + k 12 t=−   +k 12  Do t   0;2  nên t = (k  ) 7 11 15 19 ; ; ; 12 12 12 12 ; (k  ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( sin t;cos t ) ; t    4 7 11 15 19  ; ; ;  12 12 12 12  ; Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ) (  + − x2 = y + − y    x − ln ( y + 1) = y − ln ( x + 1)  ( x, y ) Giải: Điều kiện : x  0; y  Phương trình thứ hai hệ tương đương với x + ln ( x + 1) = y + ln ( x + 1) (1) Xét hàm số y = f ( t ) = t + ln ( t + 1) [0; +) , ta có : f ' (t ) = t +  0;  t  Do f ( t ) hàm đồng biến [0; +) t +1 Từ (1) suy f ( x ) = f ( y )  x = y Thay y = x vào phương trình thứ hệ ta được: ( + − x2 = x + − x2 )   Đặt x = sin  ;   0;   2 Khi phương trình trở thành : ( + − sin  = sin  + − sin   + cos  = sin  (1 + cos  ) 96  cos  ) = 2sin 3  cos 2  3 2  sin =   =k    cos  =  =  + k 2  (k  )      Do   0;      ;   2 6 2 Với  = Với  =   x= y= (thỏa mãn điều kiện)  x = y = (thỏa mãn điều kiện) 1 1   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) =  ;  ; (1;1) 2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x + y − y =  2 36 x x + y − 27 ( y − y ) + − ( ) ( ) x =1 ( x, y ) (Trích đề thi Olympic 30/4/2013) Giải: Hệ phương trình cho tương đương với ( )  3x + ( y − 1)2 =   36 x x + − x + ( y − 1)3 − ( y − 1) =  ( )  3x = sin t Đặt  3 y − = cos t ( t  0; ) Khi phương trình thứ hai hệ trở thành ( ) 36sin t sin t + −9 + 4cos3 t − 3cos t = 3  sin t − 3 sin t + cos3t = −2sin t  sin 3t − cos3t = 2sin t    sin  3t −  = sin t 6  97      3t − = t + k 2  t = 12 + k    3t − =  − t + k 2 t = 7 + k    24 (k  )   7 19  ; Vì t   0;    t   ;  12 24 24   sin t + cos t    7 19  Suy ( x; y ) =  ; ;  ; t   ; 3 12 24 24     Vậy hệ phương trình có ba nghiệm  sin t + cos t    7 19  x ; y = ; ; ( )   , t   ; 3 12 24 24     98 Kết luận Sau thời gian học tập khoa Sư Phạm, trường Đại học Cần thơ, thầy tận tình giảng dạy hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Hùng, tơi hồn thành luận văn với đề tài “Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình” Luận văn đạt số kết sau : Luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức phương trình, hệ phương trình, đồng thời đưa phương pháp giải thường sử dụng tốn Trung học phổ thơng Xây dựng hệ thống phương pháp với tập minh họa có lời giải chi tiết Luận văn sưu tầm nhiều toán đề thi Đại học, thi học sinh giỏi Vì vậy, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo nhằm nâng cao kiến thức cho học sinh Trung học phổ thông Mặc dù trình làm luận văn, tác giả nghiêm túc có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 99 Tài liệu tham khảo [1] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình khơng mẫu mực, NXB ĐHQGHN [2] Hoàng Kỳ (Chủ biên) – Hoàng Thanh Hà (2000), Đại số sơ cấp thực hành giải toán, NXB ĐHSP [3] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên) - Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB ĐHQGHN [4] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm số giải Toán, NXB ĐHQGHN [5] Mai Xuân Vinh (Chủ biên) – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn (2015), Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [6] Ban tổ chức kì thi, Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần thứ XXII-2016, NXB ĐHQGHN 100 101 102 103 ... Chương 1: Một số phương pháp giải phương trình chứa Chương 2: Một số hệ phương trình Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa 1.1 Phương. .. Vậy phương trình có nghiệm x = 36 Chương Một số hệ phương trình 2.1 Hệ phương trình 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2 Phương. .. 0; Dy  Hệ phương trình vơ nghiệm 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng A Hệ phương trình đối xứng loại Hệ phương trình đối xứng x y hệ mà phương trình không thay đổi ta thay x y thay đổi y x Phương