PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Nguyễn Xn Q PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ: TỐN HỌC Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Xuân Quý PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ : TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TSKH Đinh Nho Hào Hà Nội - 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan trình bày luận văn tự tìm tịi, học hỏi, trau dồi kiến thức thân hướng dẫn tận tình thầy Đinh Nho Hào Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác cơng bố, có sử dụng luận văn trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2022 Học viên Nguyễn Xuân Quý ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Nho Hào, người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thời gian tương đối dài thầy Thầy quan tâm, giúp đỡ, khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi, Nguyễn Xuân Quý tài trợ Tập đồn Vingroup-Cơng ty CP hỗ trợ Chương trình học bổng thạc sĩ, tiến sĩ nước Quỹ Đổi sáng tạo Vingroup (VINIF), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn, mã số VINIF.2021.ThS.VTH.05 Xin gửi lời biết ơn đến hỗ trợ đầy ý nghĩa từ quý học bổng hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ vừa qua Tôi xin gửi lời cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu từ quý thầy cơ, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân, người ln hỗ trợ, động viên cổ vũ suốt trình học tập nghiên cứu, đặc biệt thời gian hoàn thành luận văn iii Danh sách hình vẽ 4.1 Lưới miền Ω nghiệm phương trình Burgers 2D giải phương pháp phần tử hữu hạn thời điểm T 78 4.2 Nghiệm phương trình Burgers 2D giải phương pháp phần tử hữu hạn thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 79 4.3 Sự biến thiên giá trị riêng nghiệm phương trình Burgers 2D thơng qua mơ hình giảm số chiều với sở POD H thời điểm T 80 4.4 Nghiệm phương trình Burgers 2D tính mơ hình giảm số chiều với sở POD H thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 80 4.5 Sai số nghiệm phương trình Burgers 2D giải mơ hình giảm số chiều với sở POD H so với snapshot thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 81 4.6 Sự biến thiên giá trị riêng nghiệm phương trình Burgers 2D thơng qua mơ hình giảm số chiều với sở POD V thời điểm T 82 4.7 Nghiệm phương trình Burgers 2D tính mơ hình giảm số chiều với sở POD V thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 83 4.8 Sai số nghiệm phương trình Burgers 2D giải mơ hình giảm số chiều với sở POD V so với snapshot thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 83 4.9 Lưới miền Ω nghiệm phương trình truyền nhiệt giải phương pháp phần tử hữu hạn thời điểm T 86 iv 4.10 Nghiệm phương trình truyền nhiệt phương pháp phần tử hữu hạn thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 86 4.11 Sự biến thiên giá trị riêng nghiệm phương trình truyền nhiệt thơng qua mơ hình giảm số chiều với sở POD H thời điểm T 87 4.12 Nghiệm phương trình truyền nhiệt tính mơ hình giảm số chiều với sở POD H thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 88 4.13 Sai số nghiệm phương trình truyền nhiệt giải mơ hình giảm số chiều với sở POD H so với snapshot thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 88 4.14 Sự biến thiên giá trị riêng nghiệm phương trình truyền nhiệt thơng qua mơ hình giảm số chiều với sở POD V thời điểm T 89 4.15 Nghiệm phương trình truyền nhiệt tính mơ hình giảm số chiều với sở POD V thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 90 4.16 Sai số nghiệm phương trình truyền nhiệt giải mơ hình giảm số chiều với sở POD V so với snapshot thời điểm t ∈ {0, 0.16, 0.32, 0.48, 0.84, T = 0.8} 90 v Danh sách bảng 4.1 Bảng sai số nghiệm phương trình Burgers 2D thơng qua mơ hình giảm số chiều giải phương pháp EulerPOD-Galerkin lùi so với snapshot 84 4.2 Bảng sai số nghiệm phương trình truyền nhiệt thơng qua mơ hình giảm số chiều giải phương pháp EulerPOD-Galerkin lùi so với snapshot 91 vi Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục hình vẽ iii Danh mục bảng v Mục lục vi Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Đại số tuyến tính 0.2 Phương trình đạo hàm riêng 0.3 Giải tích hàm PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TRỰC GIAO CHUẨN (POD) 10 1.1 Phương pháp POD rời rạc 11 1.2 Phương pháp POD liên tục 17 1.3 Mối liên hệ POD rời rạc POD liên tục 23 1.4 Mối liên hệ POD SVD Rn 27 PHƯƠNG PHÁP POD-GALERKIN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TUYẾN TÍNH 32 2.1 Xây dựng sở POD 33 2.2 Phương pháp Euler-POD-Galerkin lùi 36 2.3 Lược đồ Crank-Nicolson-POD-Galerkin 45 vii PHƯƠNG PHÁP POD-GALERKIN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA PHI TUYẾN 51 3.1 Phương pháp Euler-POD-Galerkin lùi 55 3.2 Lược đồ Crank-Nicolson-POD-Galerkin 63 GIẢI SỐ CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP POD 73 4.1 Xây dựng snapshot 73 4.2 Mơ hình giảm số chiều cho hệ động lực 74 4.3 Ứng dụng POD vào số phương trình đạo hàm riêng 76 Kết luận kiến nghị 93 Tài liệu tham khảo 97 Mở đầu Mục đích đối tượng nghiên cứu luận văn Chúng ta sống thời đại internet, WiFi, ứng dụng di động, Facebook, Twitters, Instagram, , tất chúng có điểm chung xử lý liệu kỹ thuật số máy tính tạo Có tên phố biến dành cho không gian ảo tất thứ liệu lớn (big data) Các kích thước khơng gian liệu lớn ngày tăng với tốc độ cấp số nhân Vấn đề lớn chẳng hạn phân tích, xử lý hiệu quả, lưu trữ, khai thác, dự đốn, mơ phỏng, nén mã hóa giải mã liệu lớn trở thành vấn đề quan tâm lớn đến công nghệ đương đại Phân tích trực giao chuẩn (Proper Orthogonal Decomposition, thường gọi ngắn gọn POD) phương pháp số cho phép giảm độ phức tạp mô máy tính động lực học chất lỏng tính tốn phân tích cấu trúc (như mơ va chạm) Điển hình phân tích Động lực học chất lỏng tua bin, sử dụng để thay phương trình Navier-Stokes mơ hình đơn giản để giải [1] POD lớp thuật tốn gọi giảm thứ tự mơ hình (hay nói ngắn gọn giảm mơ hình) Về bản, thực xây dựng mơ hình dựa liệu mơ với số chiều hơn, hay nói ngắn gọn đơn giản Trên phương diện này, liên kết với lĩnh vực học máy [2] Thực tế, POD phương pháp tìm hệ trực chuẩn gồm ℓ phần tử (ta gọi sở POD hạng ℓ), sau POD kết hợp với phương pháp Galerkin (ta gọi phương pháp POD-Galerkin) để xây dựng giải mô hình giảm số chiều dựa sở POD có yj , u, ψi∞ X ψi∞ X dt T Z P∞ =λ∞ i δik ∞ λ∞ i |⟨u, ψi ⟩X | ≤ ∞ X λ∞ ℓ+1 i=ℓ+1 ∞ |⟨u, ψi∞ ⟩X |2 = λ∞ ℓ+1 ∥u∥X = λℓ+1 i=ℓ+1 Từ định nghĩa R dẫn đến ∞ λ∞ i ψi = Rψi∞ Z T = ⟨y(t), ψi∞ ⟩X y(t)dt Do λ∞ i = ∞ ∞ ⟨λ∞ i ψi , ψi ⟩X Z = T |⟨y(t), ψi∞ ⟩X |2 dt (1.12) 22 ∞ ∞ Vậy nên ψℓ+1 nghiệm toán (1.11) Suy (ψ1∞ , , ψℓ∞ , ψℓ+1 ) nghiệm toán (Pˆ ℓ+1 ) max  Với i ∈ j ∈ N : λ∞ > ta đặt j vi∞ = p ∞ Y ∗ ψi∞ ∈ L2 (0, T ; R), λi nên vi∞ (t) = p ∞ ⟨ψi∞ , y(t)⟩X với t ∈ [0, T ] λi
Từ định nghĩa Y Y ∗ (1.8) (1.9), đặt K = Y ∗ Y ∈ L L2 (0, T ; R) Khi Kφ = Z T ⟨y(s), y(t)⟩X φ(s)ds với φ ∈ L2 (0, T ; R) (1.13) Suy (Kvi∞ ) (t) Z T ⟨y(s), y(t)⟩X vi∞ (s)ds Z T  ∞ =p ∞ ⟨ψi , y(s)⟩X y(s)ds, y(t) λi X 1 ∞ = p ∞ ⟨Rψi∞ , y(t)⟩X = p ∞ ⟨Rψi∞ , y(t)⟩X = λ∞ i vi (t), λi λi = với t ∈ [0, T ] Điều dẫn đến vi∞ giá trị riêng K với i ∈ N cho λ∞ i > Tổng quát hóa ta có hệ sau Hệ 1.6 Xét tốn tử tuyến tính tương quan K = K định nghĩa (1.13) với hàm y(t) ∈ C([0, T ]; X) Khi tốn tử K nửa xác định dương, tự liên hợp, compact Đặt V = span{y(t) | t ∈ [0, T ]} không gian sinh giá trị y(t), t ∈ [0, T ] Giả sử vk∞ vector riêng tương ứng với giá trị riêng λ∞ k > K , ∞ ∞ ∞ λ∞ ≥ λ2 ≥ ≥ λk ≥ λk+1 ≥ 23 ℓ Khi đó, sở POD hạng ℓ ứng với toán (Pˆmin ) cho ψk∞ = p ∞ Yvk∞ λk Hơn nữa, ta có cơng thức sai số Z T ℓ ∞ X X ∞ ∞ y(t) − y(t), ψi X ψi X dt = λ∞ i i=1 i=ℓ+1 Chứng minh Lập luận hoàn toàn tương tự Hệ 1.3 1.3 Mối liên hệ POD rời rạc POD liên tục Từ định nghĩa Rn R (1.4) (1.10), ta thấy Rn R tốn tử tuyến tính bị chặn, tự liên hiệp compact Giả thiết Rn ψin = λni ψin , λn1 ≥ λnℓ ≥ λnd(n) > λnd(n)+1 = = 0, (1.14) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Rψi∞ = λ∞ i ψi , λ1 ≥ λℓ ≥ λd ≥ λd+1 ≥ ≥ (1.15) Bổ đề 1.7 Cho X khơng gian Hilbert thực, u ∈ X cho ∥u∥X = Giả sử hàm y ∈ C ([0, T ]; X) có đạo hàm yếu y˙ ∈ L2 (0, T, X) Khi     T n 1/2 2 Ru− Rn u ≤ ∆t T ∥y∥C([0,T ];X) |y∥ ˙ L2 (0,T,X) + ∥y∥C([0,T ];X) n−1 X Chứng minh Với u ∈ X cho ∥u∥X = 1, ta xét hàm số Fu : [0, T ] → X cho Fu (t) = ⟨y(t), u⟩X y(t) với t ∈ [0, T ] Từ định nghĩa R Rn dẫn đến Ru = Z T Fu (t)dt = n−1 Z X j=1 tj+1 tj Fu (t)dt 24 n X Tn Rn u = ∆t Fu (tj ) n−1 j=1 n−1 ∆t ∆t X (Fu (tj ) + Fu (tj+1 )) + (Fu (t1 ) + Fu (tn )) = j=1 Ngồi ta có ∥Fu (t)∥X ≤ |⟨y(t), u⟩X | ∥y(t)∥X ≤ ∥y(t)∥2X Từ suy ∥Fu ∥L2 (0,T,X) ≤ 1/2 T Z ∥Fu (t)∥2X dt ≤ √ T ∥y∥2C([0,T ];X) Mặt khác, F˙ u (t) = ⟨y(t), ˙ u⟩X y(t) + ⟨y(t), u⟩X y(t) ˙ với t ∈ [0, T ] nên ∥Fu ∥2L2 (0,T,X) ≤4 T Z 2 (∥y(t)∥X ∥y(t)∥ ˙ ˙ 2L2 (0,T,X) X ) dt ≤ 4∥y∥C([0,T ];X) ∥y∥ Ta có Z tj+1 tj Fu (t)dt = Z tj+1 Z t Fu (tj ) + tj
F˙ u (s)ds dt tj Z t
Fu (tj ) + F˙ u (s)ds dt + tj+1 tj+1 ∆t = (Fu (tj ) + Fu (tj+1 )) Z Z t Z t
tj+1 + F˙ u (s)ds + F˙ u (s)ds dt tj tj tj+1 Z tj+1 Điều dẫn đến Z t n−1 Z tj+1 Z t X
T n ˙ u (s)ds + ˙ u (s)ds dt Ru − ≤ R u F F n X n−1 j=1 tj tj tj+1 X + ∆t ∥Fu (t1 ) + Fu (tn )∥X 25 n−1 1X ≤ j=1 Z tj+1 tj Z t ∥F˙ u (s)∥X ds + Z tj tj+1
∥F˙ u (s)∥X ds dt t ∆t (∥Fu (t1 )∥X + ∥Fu (tn )∥X ) Z T
1/2 ∆t 1/2 + ∆t∥y∥2C([0,T ];X) T ∥F˙ u (s)∥2X ds ≤ 1/2 T ≤ ∆t ∥F˙ u ∥L2 (0,T,X) + ∆t∥y∥2C([0,T ];X)   1/2 2 ≤ ∆t T ∥y∥C([0,T ];X) ∥y∥ ˙ L (0,T,X) + ∥y∥C([0,T ];X) + Từ bổ đề chứng minh Hệ 1.8 Giả sử hàm số y ∈ C ([0, T ]; X) cho đạo hàm yếu y˙ ∈ L2 (0, T, X) Khi lim ∥R − T Rn ∥L(X) = n→∞ Chứng minh Điều dễ đạt thông qua Bổ đề 1.7 ∥T Rn − R∥L(X) = sup ∥(T Rn )u − Ru∥X ∥u∥X =1  
(n − 1) nT ≤ sup Rn u − Ru X + ∥Ru∥X n n − n ∥u∥X =1 ∆t→0 ≤ ∆tCˆ + ∥R∥L(X) −→ 0, n Cˆ = T 1/2 ∥y∥C([0,T ];X) ∥y∥ ˙ L2 (0,T,X) + ∥y∥2C([0,T ];X) Định lý 1.9 Giả sử Rn R định nghĩa (1.4) (1.10) Cho ∞ ∞ ∞ {(ψin , λni )}∞ i=1 {(ψi , λi )}i=1 cặp vector riêng giá trị riêng cho (1.14) (1.15) Giả sử ℓ số tự nhiên thỏa mãn λℓ ̸= λℓ+1 Khi ta có ∞  ∞ X n λ∞ λ lim λ − i = 0, ∀1 ≤ i ≤ ℓ lim λni − i =0 n→∞ n→∞ i T T i=ℓ+1 ∞ Hơn nữa, λ∞ i ̸= λi+1 với i = 1, , ℓ lim ∥ψin ± ψi∞ ∥X = 0, với ≤ i ≤ ℓ n→∞