(Luận văn) một số dạng của định lý stolz cesàro

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi z gm @ TS Trần Văn Thắng m co l an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro lu an n va 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Chuỗi số 1.1.3 Hàm số Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 1.2.1 Một số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro 1.2.2 Một số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro 14 Một số dạng định lý Stolz-Cesàro 22 p ie gh tn to 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 oa nl w 1.2.3 26 d Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro lu Tính giới hạn dãy số 26 2.2 Tổng lũy thừa với số mũ nguyên 46 2.3 Bài toán 11174 P P Dalyay 47 lm ul TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 z at nh oi KẾT LUẬN nf va an 2.1 52 z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển nhà toán học Otto Stolz (1842-1905) Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa Định lý đề cập tới an+1 − an an tồn giới hạn lim lim điều kiện n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn để giới hạn Định lý xuất lần lu [11] kể từ đó, xuất lại nhiều tài liệu khác có an chủ đề dãy số chuỗi số Định lý xem phiên rời n va p ie gh tn to rạc quy tắc L’Hopital giới hạn hàm số cho ta ∞ phương pháp hữu hiệu để tính giới hạn có dạng khơng xác định ∞ tốn tính giới hạn, đặc biệt tốn tính giới hạn liên quan tới tổng Gần đây, định lý sử dụng tính hệ số nl w đa thức định nghĩa tổng lũy thừa số nguyên ([7]) d oa nghiên cứu tính chất tuần hoàn hàm số ([5]) Với ứng dụng an lu kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày nhà toán học quan tâm nf va mở rộng, phát biểu dạng khác có thêm ứng dụng mới, điển hình kết C Mortici ([8]), G Nagy ([9]) z at nh oi lm ul S Puspană ([10]) Luận văn tổng hợp trình bày số dạng cổ điển định lý Stolz-Cesàro; số dạng mở rộng G Nagy S Puspană; z số dạng đưa C Mortici Tiếp theo, luận văn trình @ bày số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro việc tính giới hạn gm l dãy số, có tính giới hạn tổng, toán hay m co thường xuất đề thi toán dành cho học sinh sinh viên Một ứng dụng khác định lý Stolz-Cesàro tính tổng hữu hạn an Lu lũy thừa nguyên chúng tơi trình bày luận văn n va ac th si Cuối cùng, sử dụng dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro G Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số tốn 11147 P P Dalyay Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Phần đầu chương trình bày số khái niệm phục vụ cho mục sau luận văn Tiếp theo, chúng tơi trình bày dạng cổ điển, số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro Chương Một số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro Chương tìm hiểu số ứng dụng định lý Stolz-Cesàro lu việc tính giới hạn dãy số, tính tổng lũy thừa số nguyên an n va nghiên cứu tính chất tuần hồn hàm số toán 11147 P P Dalyay tn to Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học gh p ie Thái Nguyên Lời tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Thắng Thầy dành nhiều thời gian hướng oa nl w dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy d lu an Tác giả xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy Khoa Tốn - nf va Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun tận tình hướng hồn thành luận văn z at nh oi lm ul dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian theo học, thực Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp trường THPT Tiên Du số gia đình thân yêu tạo điều kiện thời gian ủng hộ tơi z @ suốt q trình học tập l gm Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Người viết luận văn m co an Lu Nguyễn Thị Nga n va ac th si Chương Một số dạng định lý Stolz-Cesàro Chương trình bày số kiến thức bản, dạng cổ điển lu an số dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro n va 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị tn to Dãy số ie gh 1.1.1 p Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số từ N vào tập hợp số nl w (N, Q, R) Các số hạng dãy số thường ký hiệu un , , xn , yn d oa Dãy số ký hiệu {un }, {vn }, {xn }, {yn } an lu Nhận xét 1.1.2 Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên nf va có tính chất hàm số z at nh oi với n ∈ N∗ lm ul Định nghĩa 1.1.3 (i) Dãy số {xn } gọi dãy giảm xn+1 ≤ xn (ii) Dãy số {xn } gọi dãy tăng xn+1 ≥ xn với n ∈ N∗ (iii) Dãy số {xn } gọi dãy giảm ngặt xn+1 < xn với z @ n ∈ N∗ l gm (vi) Dãy số {xn } gọi dãy tăng ngặt xn+1 > xn với n ∈ N∗ Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy đơn điệu m co an Lu Định nghĩa 1.1.4 Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn số thực M cho xn ≤ M với n Dãy số {xn } gọi bị chặn n va ac th si tồn số thực m cho xn ≥ m với n Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Định nghĩa 1.1.5 (i) Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a n dần đến vô với  > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } ) cho với n > N0 ta có |xn − a| nhỏ  Ta viết lim xn = a ⇔  > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| <  n→∞ (ii) Dãy số {xn } dần đến dương vô n dần đến vô với lu số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào an n va dãy số {xn } M ) cho với n > N0 ta có |xn | lớn M Ta viết to lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M gh tn n→∞ ie (iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có p giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ w oa nl Giả sử {xn } dãy bị chặn Với n ta đặt d un = sup{xn+1 , xn+2 , } = sup xn+k , lu an k=1,2, nf va = inf{xn+1 , xn+2 , } = inf xn+k k=1,2, lm ul Dễ thấy un đơn điệu giảm bị chặn dưới, nên tồn giới hạn Giới z at nh oi hạn gọi giới hạn dãy {xn } ký hiệu lim sup xn n→∞ Tương tự, dãy {vn } dãy tăng bị chặn trên, nên tồn giới hạn Giới hạn gọi giới hạn dãy {xn } ký hiệu lim inf xn z n→∞ @ m co Định lý 1.1.7 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) l giới hạn dãy gm Định lý 1.1.6 Điều kiện cần đủ để dãy hội tụ giới hạn hội tụ an Lu Dãy số tăng bị chặn hội tụ Dãy số giảm bị chặn n va ac th si Định lý 1.1.8 Nếu {xn }, {yn } dãy hội tụ cógiớihạn tương xn ứng a, b dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, hội yn a tụ có giới hạn tương ứng a + b, a − b, ab (trong trường hợp b dãy số thương, ta giả sử yn b khác không) Định lý 1.1.9 Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N lim an = a, n→∞ lim bn = b Khi đó, ta có a ≤ b n→∞ Định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp) Giả sử lim an = lim bn = a n→∞ n→∞ an ≤ zn ≤ bn với n ∈ N Khi đó, ta có lim zn = a n→∞ lu an 1.1.2 Chuỗi số n va tn to Định nghĩa 1.1.11 Cho dãy số u1 ; u2 ; ; un ; Khi gọi tổng vơ hạn gh p ie u1 + u2 + + un + ∞ P un un số hạng tổng quát; sn = u1 + u2 + chuỗi số ký hiệu w n=1 oa nl + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số; rn = un+1 + un+2 + d gọi phần dư thứ n Nếu lim sn = s (hữu hạn) chuỗi gọi lu n→∞ nf va an hội tụ s tổng chuỗi Nếu sn không dần tới giá trị hữu hạn chuỗi gọi phân kỳ ∞ P lm ul Định lý 1.1.12 Chuỗi số Chuỗi số ∞ P un hội tụ lim un = n→∞ z at nh oi n=1 un gọi chuỗi số dương un > với n ∈ N n=1 z ∞ P un ≤ với ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N ) từ hội tụ l ∞ P gm @ Định lý 1.1.13 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho chuỗi số dương ∞ P n=1 un suy phân kỳ n va n=1 n=1 un từ phân kỳ an Lu ∞ P ∞ P m hội tụ suy n=1 co n=1 un n=1 ∞ P ac th si Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương ∞ ∞ P P un lim un = k Khi đó, ta có: n→∞ n=1 n=1 Nếu (0 < k < +∞) hai chuỗi cho hội tụ phân kỳ Nếu k = từ hội tụ ∞ P suy hội tụ n=1 Nếu k = +∞ từ phân kỳ ∞ P un n=1 ∞ P , ta suy phân kỳ n=1 ∞ P un n=1 lu an Hàm số n va 1.1.3 gh tn to Cho hàm số thực f (x) xác định miền R p ie Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D (a; b) (a; b) nl w khoảng D Hàm số gọi hàm số đồng biến khoảng d oa x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) nf va an lu Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) lm ul Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) gọi đơn điệu z at nh oi khoảng (a; b) Định nghĩa 1.1.16 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận z l gm hàm số f (x) x → a nếu: @ a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn gọi giới hạn m co ∀ > 0, ∃δ > : < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| <  an Lu Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn gọi giới hạn trái n va ac th si (phải) hàm số f (x) x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| <  Định nghĩa 1.1.18 Cho hàm số y = f (x) xác định lân cận x0 Khi hàm f (x) gọi liên tục x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.19 Hàm số y = f (x) gọi liên tục trái (phải) x0 hàm f (x) xác định lân cận trái (phải) x0 (kể x0 ) lim f (x) = f (x0 )( lim+ f (x) = f (x0 )) x→x− x→x0 lu Định nghĩa 1.1.20 Hàm f (x) gọi liên tục khoảng (a; b) an f (x) liên tục x thuộc khoảng (a; b) Hàm f (x) gọi n va liên tục [a; b] f (x) liên tục khoảng (a; b), liên tục phải to gh tn x = a liên tục trái x = b p ie Định nghĩa 1.1.21 Hàm f (x) gọi liên tục D với ε > tồn δ > cho với x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ oa nl w ta có |f (x) − f (y)| < ε d Định lý 1.1.22 Hàm f (x) liên tục tập compact D liên tục nf va an lu tập D Một hệ suy từ định lý lm ul z at nh oi Hệ 1.1.23 Mọi hàm liên tục tuần hoàn R liên tục Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian) Cho f (x) hàm số liên tục [a; b], f (a) 6= f (b) Khi f (x) đạt giá trị trung gian z gm @ f (a) f (b) [a; b] m co miền D x ± T ∈ D với x ∈ D l Định nghĩa 1.1.25 Hàm f (x) gọi tuần hoàn với chu kỳ T > an Lu f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D n va ac th si   an am − lbm a − a b − b n m n m − l = + − l b b b − b b n n m n n