i Líi cam �oan Tæi xin cam �oan �¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS TSKH H Huy Kho¡i v TS Vô Ho i An C¡c k¸t qu£ vi¸t chung vîi t¡c gi£ kh¡c �¢ �÷ñc sü nh§t tr½ cõa �çng t¡c g[.]
i Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cõa GS.TSKH H Huy Kho¡i v TS Vô Ho i An CĂc kát quÊ viát chung vợi tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ cừa luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh khoa hồc cừa khĂc TĂc giÊ PhÔm Ngồc Hoa ii Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi khoa ToĂn thuởc trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v nghiảm khưc cừa GS TSKH H Huy Kho¡i v TS Vơ Ho i An C¡c th¦y  truyÃn cho tĂc giÊ kián thực, kinh nghiằm hồc têp v sỹ say mả nghiản cựu khoa hồc Vợi tĐm lỏng tri Ơn sƠu sưc, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt ối vợi hai thƯy TĂc giÊ xin cÊm ỡn Ban GiĂm ốc Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban o tÔo Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm- Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Phỏng Ban chực nông, Phỏng o tÔo, Ban chừ nhiằm khoa ToĂn ton thº gi¡o vi¶n khoa, °c bi»t l tê Gi£i tẵch  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng, Pháng Ban chực nông, Phỏng o tÔo, cĂc giÊng viản Khoa Tỹ Nhiản  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy, cổ, bÔn b cĂc Seminar tÔi Bở mổn ToĂn GiÊi tẵch v ToĂn ựng dửng Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản, Trữớng Ôi hồc Thông Long v Trữớng Cao ng HÊi Dữỡng  luổn giúp ù, ởng viản tĂc giÊ nghiản cùu khoa håc T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ỡn tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh, c biằt l chỗng hai trai, nhỳng ngữới  chu nhiÃu khõ khôn, vĐt vÊ v dnh hát tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản, chia s, khẵch lằ tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn TĂc giÊ PhÔm Ngồc Hoa iii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u Chữỡng Hai nh lỵ cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ 1.2 Hai nh lỵ cừa Ritt ối vợi cĂc a thực kiu Fermat-Waring cừa cĂc hm phƠn hẳnh 14 1.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 20 Chữỡng nh lỵ thự hai cõa Ritt v v§n · nh§t cõa a thực vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 38 2.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ 39 2.2 nh lỵ thù hai cõa Ritt v v§n · nh§t cõa a thực vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 44 2.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn nhiÃu bián trản mởt trữớng khổng-Acsimet 54 Ch÷ìng nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet 67 3.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trđ 67 3.2 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet 79 3.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn v a thực sai phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 85 K¸t luên v kián ngh 93 Danh mưc cỉng tr¼nh 94 T i li»u tham kh£o 95 M Ưu Lỵ chồn à ti nh lỵ cỡ bÊn cừa lỵ thuyát số phĂt biu rơng mồi số nguyản n Ãu biu diạn nhĐt dữợi dÔng tẵch cĂc số nguyản tố cõ dÔng mk n = pm pk , vỵi k ≥ 1, ð â c¡c thøa sè nguy¶n tè p1 , , pk ỉi mët phƠn biằt v cĂc số mụ tữỡng ựng m1 1, , mk ≥ ÷đc x¡c ành mët c¡ch nhĐt theo n Ritt l ngữới Ưu tiản tữỡng tỹ nh lỵ ny ối vợi cĂc a thực mổ tÊ kát quÊ cừa Ritt, ta kẵ hiằu M(C) (tữỡng ựng, A(C)) l têp cĂc hm phƠn hẳnh (tữỡng ựng, nguyản) trản C v kẵ hiằu L(C) l têp c¡c a thùc bªc °t E, F l c¡c tªp kh¡c réng cõa M(C), â mët h m phƠn hẳnh F (z) ữủc gồi l khổng phƠn tẵch ữủc trản Eì F náu bĐt ký cĂch viát thnh nhƠn tỷ F (z) = f g(z) vợi f (z) ∈ E v g(z) ∈ F ·u k²o theo hoc f l tuyán tẵnh hoc g l tuyán tẵnh Nôm 1922, Ritt [46]  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ A ( nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt) Cho F l tªp kh¡c réng cõa C[z] \ L(C) Náu mởt a thực F (z) cõ hai cĂch phƠn tẵch khĂc thnh cĂc a thực khổng phƠn tẵch ữủc trản Fì F : F = ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , th¼ r = s, v bêc cừa cĂc a thực l bơng vợi bêc cừa cĂc a thực náu khổng tẵnh án thự tỹ xuĐt hiằn cừa chúng Cụng [46], Ritt  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ B ( nh lỵ thù hai cõa Ritt) Gi£ sû r¬ng a, b, c, d ∈ C[x]\ C thäa m¢n a◦b = c◦d v gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = Khi õ tỗn tÔi cĂc hm tuyán tẵnh lj C[x] cho (l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦ l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 ◦ d l3 ) cõ mởt cĂc dÔng (Fn , Fm , Fm , Fn ) ho°c (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), ð â m, n > l nguy¶n tè cịng nhau, s > nguyản tố vợi n, v h ∈ C[x]\xC[x], lj−1 l h m ng÷đc cõa lj , Fn , Fm l c¡c a thùc Chebychev Ð ¥y, php phƠn tẵch F (z) = f g(z) chẵnh l ph²p hñp th nh F (z) = f (g(z)) Do õ, ta thĐy rơng nh lỵ thự hai cừa Ritt mổ tÊ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh a(b) = c(d), ð â a, b, c, d l c¡c a thùc v bêc cừa cĂc a thực l nguyản tố Ró rng phữỡng trẳnh a thực ữủc Ritt nghiản cựu l trữớng hủp riảng cừa phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g), ð â P, Q l c¡c a thực v f, g l cĂc hm phƠn hẳnh Phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g)  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu tĂc giÊ nhữ TÔ Th Hoi An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [3], H.Fujimoto [19], H Huy Kho¡i-C.C.Yang [35], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51], ỵ rơng, phữỡng trẳnh hm liản quan mêt thiát án vĐn à xĂc nh nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh-mởt ựng dửng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr VĐn à xĂc nh nhĐt  ữủc nghiản cựu lƯn Ưu tiản bi R.Nevanlinna Nôm 1926, R.Nevanlinna  chựng minh ữủc rơng: Vợi hai hm phƠn hẳnh f v g trản mt phng phực C, náu chúng cõ chung Ênh ngữủc (khổng tẵnh bởi) cừa im phƠn biằt thẳ f = g ( nh lỵ im) v náu chúng cõ chung Ênh ngữủc (cõ tẵnh bởi) cừa af + b (a, b, c, d l c¡c sè phùc n o â cho cf + d ad − bc 6= 0)( nh lỵ im) Khi nguỗn tứ nh lỵ im v nh lỵ im, vĐn à nhĐt  ữủc nghiản cựu liản tửc vợi hai hữợng nghiản cựu chừ yáu v  cõ rĐt nhiÃu kát qu£ s¥u sc cõa G.Dethloff, é ùc Th¡i, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H Huy Kho¡i, H Huy Kho¡i-Vô Ho i An, H Huy KhoĂi-Vụ Hoi An-Lả Quang Ninh, TÔ Th Hoi An, TÔ Th Hoi An-H TrƯn Phữỡng, L.Lahiri, TrƯn Vôn TĐn, Sắ ực Quang, A.Escassut, H.Fujimoto, im phƠn biằt thẳ g = Tiáp theo, sỹ nghiản cựu ữủc m rởng sang mởt nhĂnh cừa lỵ thuyát xĂc nh nhĐt õ l xem xt têp xĂc nh nhĐt cừa cĂc a thực vi phƠn V ngữới Ưu tiản xữợng cho hữợng nghiản cựu ny l Hayman Nôm 1967, Hayman  chựng minh mởt kát quÊ nời tiáng rơng mởt hm phƠn hẳnh f trản trữớng số phực C khổng nhên giĂ tr v Ôo hm bêc k cừa f , vợi k l số nguyản dữỡng, khổng nhên giĂ tr thẳ f l hm hơng Hayman cụng ữa giÊ thuyát sau GiÊn thuyát Hayman [21] Náu mởt hm nguyản f thọa mÂn iÃu ki»n f (z)f (z) = vỵi n l số nguyản dữỡng v vợi mồi z C thẳ f l hm hơng GiÊ thuyát ny  ữủc chẵnh Hayman kim tra vợi n > v ữủc Clunie kim tra vợi n CĂc kát quÊ ny v cĂc vĐn à liản quan  hẳnh thnh mởt hữợng nghiản cựu ữủc gồi l sỹ lỹa chồn cừa Hayman Cổng trẳnh quan trồng thúc ây hữợng nghiản cựu ny thuởc và Yang-Hua [51], hai  nghiản cựu vĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v ỡn thực vi phƠn cừa nõ cõ dÔng f n f Hai  chựng minh ữủc rơng, vợi f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng, n l số nguyản, n 11 náu f n f v g n g còng nhên giĂ tr phực a tẵnh cÊ thẳ hoc f, g sai khĂc mởt côn bêc n + cừa ỡn v, hoc f, g ữủc tẵnh theo c¡c cỉng thùc cõa h m mơ vỵi c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â Tø â, c¡c kát quÊ tiáp theo  nhên ữủc dỹa trản xem xt cĂc a thực vi phƠn dÔng (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang [18]) v cõ dÔng [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) (xem Zhang v Lin, [54]), v cõ 0 dÔng (f )( ) P (f ),( xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda[11]) Nôm 1997, thay vẳ nghiản cựu cĂc Ôo hm bêc n, I Lahiri [36]  nghiản cựu cĂc trữớng hđp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi ph¥n khổng tuyán tẵnh cừa cĂc hm phƠn hẳnh nhên giĂ tr tẵnh cÊ Theo hữợng nghiản cựu ny, n«m 2002 C Y Fang v M L Fang [17]  chựng minh rơng, náu n 13, v ối vợi hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng f v g, m f (n) (f − 1)2 f v g (n) (g − 1)2 g nhªn gi¡ trà tẵnh cÊ bởi, thẳ f = g Vo cuối nhỳng nôm cừa thêp k ny, vĐn à nhên giĂ tr cụng ữủc xem xt ối vợi a thực sai phƠn cừa cĂc hm nguyản v cĂc hm phƠn hẳnh Laine v Yang [37]  nghiản cựu vĐn à phƠn bố giĂ tr cừa tẵch sai phƠn ối vợi cĂc hm nguy¶n X C.-Qi, L.-Z Yang v K Liu [45] xem xt cĂc tẵch sai phƠn v vi phƠn cõ dÔng f (z)(n) f (z + c), v ¢ ch¿ i·u ki»n º f = tg , vỵi f v g l hai hm nguyản siảu viằt cõ bêc hỳu hÔn Nôm 2007, xuĐt phĂt tứ nh lỵ thự hai cừa Ritt, F.Packovich [43] cõ ỵ tững xt Ênh ngữủc cừa hai têp compact ối vợi hai a thực ặng  tẳm ữủc iÃu kiằn cho hai a thực f1 , f2 v hai tªp compact K1 , K2 thäa mÂn f11 (K1 ) = f21 (K2 ) Kát quÊ cừa F.Packovich ữủc inh Tián Cữớng m rởng [13], [14] Tứ nh lỵ Ritt thự hai v kát quÊ cừa F.Pakovich nõi trản chúng tổi cõ nhên xt Nhên xt nh lỵ Ritt thự hai cõ th ữủc xem l kát quÊ Ưu tiản và vĐn à xĂc nh hm tứ phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g), tứ õ sinh cĂc kát quÊ cho VĐn à x¡c ành a thùc thỉng qua i·u ki»n £nh ng÷đc cõa tªp hđp iºm Tø nhªn x²t n y v c¡c kát quÊ và phữỡng trẳnh hm (xem [3], [35], [44]) nảu trản, vĐn à nghiản cựu ữủc t tỹ nhiản nhữ sau Xem xt sỹ tữỡng tỹ hai nh lỵ Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn Xem xt VĐn à xĂc nh hm, VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn dữợi gõc ở cừa cĂc nh lỵ Ritt Tứ õ, chúng tổi chồn à ti: "Mởt số dÔng cừa nh lỵ Ritt v ựng dửng vo vĐn à nhĐt" giÊi quyát cĂc vĐn à nghiản cựu trản Ơy, ỗng thới gõp phƯn lm phong phú thảm cĂc kát quÊ v ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna VĐn à VĐn à 2 Mửc tiảu cừa luên Ăn 2.1 Thiát lêp mởt số nh lỵ tữỡng tỹ hai nh lỵ cừa Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic 2.2 Tiáp cên VĐn à xĂc nh hm, VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh, a thực vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu VĐn à xĂc nh hm phƠn hẳnh v a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt VĐn à nhĐt cừa hm phƠn hẳnh v a thực vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt Phữỡng phĂp v cổng cử nghiản cựu Sỷ dửng hai nh lỵ chẵnh v cĂc tữỡng tỹ cừa chúng vợi cĂc kiu Bờ à Borel cừa Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm CĂc phữỡng trẳnh hm ny tữỡng tỹ nhữ phữỡng trẳnh hm nh lỵ Ritt thự hai Sỷ dửng hai nh lỵ chẵnh chuyn bi toĂn xĂc nh hm, bi toĂn nhĐt và phữỡng trẳnh hm Nhớ õ v cĂc kát quÊ và phữỡng trẳnh hm nõi trản ữa cĂc kát quÊ v· V§n · x¡c ành h m v V§n · nhĐt ị nghắa khoa hồc cừa luên Ăn Luên Ăn  ữa mởt cĂch tiáp cên mợi ối vợi VĐn à xĂc nh, VĐn à nhĐt cõa h m, a thùc vi ph¥n v a thùc sai phƠn õ l, xem xt cĂc vĐn à ny dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt Nhớ õ thiát lêp ữủc cĂc kát quÊ mợi gõp phƯn m rởng thảm cĂc ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna CĐu trúc v kát quÊ cừa luên Ăn Luên Ăn gỗm cõ ba chữỡng vợi phƯn m Ưu, phƯn kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng vợi tỹa Ã: "Hai nh lỵ cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh" Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Nởi dung cừa Chữỡng ữủc viát dỹa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [7], [29] Vi»c nghi¶n cùu bi toĂn ny gỗm cĂc bữợc sau Bữợc Thiát lêp cĂc kát quÊ tữỡng tỹ hai nh lỵ Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh Bữợc Chuyn bi toĂn nhĐt và phữỡng trẳnh hm v dũng kát quÊ Bữợc Nhữ ta  thĐy trản, nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt  chựng tọ rơng: bĐt ký hai sỹ phƠn tẵch cừa mởt a thực cho trữợc thnh cĂc a thực khổng phƠn tẵch ữủc s chựa mởt số a thực nhữ v bêc cừa cĂc a thực mội cĂch phƠn tẵch l nhữ náu khổng tẵnh án thự tỹ cừa chúng cĂch phƠn tẵch Tứ õ, mửc tiảu thự nhĐt cừa Chữỡng l: Thiát lêp kát quÊ tữỡng tỹ nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh Tuy nhiản, ta thĐy rơng, chựng minh cừa hai nh lỵ cừa Ritt [46] dữớng nhữ khổng tữỡng tỹ ữủc cho hm phƠn hẳnh Lỵ l chộ, Ritt  dũng án iÃu kiằn "hỳu hÔn" khổng im cõa a thùc chùng minh cõa ỉng Khc phưc khõ khôn ny, trữợc tiản chúng tổi thiát lêp nh lỵ 1.2.2 nh lỵ 1.2.2 chẵnh l mởt kiu nh lỵ Ritt thự hai ối vợi phữỡng trẳnh hm P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ), ð â P, Q l c¡c a thùc hai bi¸n kiºu Yi v f1 , f2 , g1 , g2 l cĂc hm nguyản Chú ỵ rơng, kát quÊ ny  ÷đc ph¡t biºu v chùng minh [2] v [32], nhiản Ơy chúng tổi nhẳn kát quÊ ny dữợi gõc ở cừa nh lỵ Ritt thự hai v ÷a mët c¡ch chùng minh kh¡c Nhí ¡p dưng nh lỵ 1.2.2 v cĂc hằ quÊ chúng tổi chựng minh ữủc nh lỵ 1.2.5, chẵnh l mởt kát quÊ tữỡng tỹ nh lỵ Ritt thự nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh Trong Chữỡng cỏn trẳnh by cĂc ựng dửng cừa nh lỵ 1.2.2 õ l nh lỵ 1.3.1 v nh lỵ 1.3.2, cĂc nh lỵ ny cho ta cĂc kát quÊ mợi và Bi U RSM cho cĂc hm phƠn hẳnh ỵ rơng, vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn dÔng (P (f ))(k) , ð â P l a thùc v f l hm phƠn hẳnh, l mởt bi toĂn khõ Khõ khôn Ơy l trữớng hủp tờng quĂt hiằn chữa cõ mởt mối liản hằ tốt giỳa hm ám, hm c trững cừa f vợi hm ám v hm c trững cừa (P (f ))(k) Vẳ vêy, cĂc kát quÊ nhên ữủc  xt mởt số trữớng hủp riảng cừa bi toĂn ny õ l cĂc dÔng: [f n (f 1)m ](k) vợi f l hm nguyản (xem [54]), (f n )(k) vợi f l hm phƠn hẳnh (xem [10]) Chúng tổi  giÊm bợt khõ khôn ny ối vợi a thực vi phƠn dÔng (P d (f ))(k) Tø â v dịng c¡c kiºu t÷ìng tỹ cừa nh lỵ chẵnh thự hai (Bờ à 1.1.5) chúng tổi nhên ữủc nh lỵ 1.3.10, õ l mởt kát quÊ và têp xĂc nh nhĐt ối vợi a thực vi phƠn Chữỡng vợi tỹa Ã: " nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn nhiÃu bián trản mởt trữớng khổng-Acsimet" Trong Chữỡng 2, chúng tổi nghiản cựu VĐn à 2: V§n · x¡c ành, V§n · nh§t cõa hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp p-adic dữợi gõc ở cừa nh lỵ Ritt thự hai Nởi dung chẵnh cừa Chữỡng ữủc viát dỹa trản cĂc bi bĂo [4], [5], [7] Nhữ  à cêp án trản, vĐn à xĂc nh hm phƠn hẳnh v v§n · nh§t cõa c¡c a thùc vi phƠn cụng  ữủc nghiản cựu v cõ cĂc kát qu£ thó tr÷íng hđp p-adic Trong [31], Kho¡i, An v Lai  nghiản cựu a thực vi phƠn dÔng (f n )(k) v nhên ữủc kát quÊ: náu (f n )(k) v (g n )(k) nhªn chung gi¡ tr cõ tẵnh vợi f, g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản mởt trữớng khổng-Acsimet v n, k l cĂc số nguyản dữỡng thọa mÂn n ≥ 3k + th¼ f v g sai kh¡c mởt côn bêc n cừa ỡn v Tứ õ, bi toĂn thự nhĐt t Chữỡng l: thay v¼ x²t c¡c h m f, g , chóng tỉi xem xt cĂc toĂn tỷ vi phƠn dÔng (P n (f ))(k) v (Qn (g))(k) nhªn cịng mët gi¡ trà, ð â P, Q l c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring Tứ õ, chúng tổi thiát lêp ữủc nh lỵ 2.2.7, nh lỵ ny l mởt kát quÊ và vĐn à xĂc nh nhĐt hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet v a thực vi phƠn cừa nõ Chú ỵ r¬ng i·u ki»n n ≥ 3k + ành lỵ 2.2.7 l tốt hỡn iÃu kiằn tữỡng ựng n ≥ 3k + k¸t qu£ cõa Kho¡i-An-Lai (xem [31]) Trong [49] Yang  t vĐn à sau: li»u ¯ng thùc f −1 (S) = g −1 (S) vỵi S = {−1, 1} èi vỵi c¡c a thùc cịng bªc f, g s³ k²o theo f = g hay l f = −g ? C¥u häi n y cơng  ữủc giÊi Ăp [42], [43] Tứ õ, cƠu häi thù hai °t Ch÷ìng l : cho S, T l c¡c tªp khỉng iºm cõa c¡c a thực P (z), Q(z) tữỡng ựng thẳ ta cõ th kát luên gẳ và f, g náu Ef (S) = Eg (T )? nh lỵ 2.2.8 cĂc hằ quÊ 2.2.9 v 2.2.10  giÊi Ăp cho cƠu họi t v gõp phƯn trÊ lới CƠu họi cừa C.C.Yang [38], CƠu họi cừa F.Pakovich [44] trữớng hủp p-adic Trong Chữỡng chúng tổi cụng thiát lêp ữủc cĂc kát quÊ l nh lỵ 2.3.2, mởt kiu nh lỵ Ritt thự hai cho mởt vec-tỡ cĂc hm nguyản p-adic nh lỵ 2.3.7 l kát quÊ cho VĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn nhiÃu bián p-adic Chữỡng cõ tản gồi: " nh lỵ thù hai cõa Ritt v v§n · nh§t èi vợi tẵch q-sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet" Trong Chữỡng chúng tổi nghiản cựu VĐn à dữợi gõc ở nh lỵ thự hai cừa Ritt Nởi dung cừa Chữỡng ữủc viát dỹa trản cĂc bi bĂo [6], [22] Trong trữớng hủp phực, chừ à ny ữủc nghiản cựu gƯn Ơy v ang ữủc tiáp tửc bi C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang ([37]), Liu-Cao ([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]), H.X.Yi ([52]), Tuy nhiản, cĂc kát quÊ mợi ch à cêp án lợp hm phƠn hẳnh cõ bêc hỳu hÔn ối vợi tẵch sai phƠn hoc bêc khổng ối vợi tẵch q -sai phƠn RĐt nhiÃu kát quÊ thú v cụng  nhên ữủc ối vợi cĂc hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]) K.Boussaf, A Escassut, J Ojeda ([11])  nghiản cùu v§n · nh§t 0 0 èi vợi cĂc hm phƠn hẳnh p-adic m f P (f ), g P (g) cịng nhªn mët h m nhä Trong [9], J.-P Bezivin, K Boussaf v A Escassut,  nghiản cựu cĂc khổng im cừa Ôo hm mởt hm phƠn hẳnh p-adic Mửc ẵch cừa Chữỡng l thiát lêp cĂc kát quÊ ối vợi VĐn à nhĐt cừa tẵch q -sai phƠn dÔng f n f m (qz + c), cõa a thùc vi ph¥n v q -sai phƠn dÔng (f nm (z)f nd (qz + c))(k) Vụ Hoi An-PhÔm Ngồc Hoa [4], Vụ Hoi An-PhÔm Ngồc Hoa-H Huy Kho¡i [6], Vô Ho i An-H Huy Kho¡i [28]  cõ cĂc kát quÊ theo hữợng nghiản cựu ny Chú ỵ rơng, tẵch q -sai phƠn v a thực vi phƠn nảu trản chữa ữủc à cêp trữớng hủp phực Lỵ l chộ, mối liản hằ giỳa hm c trững cừa hm phƠn hẳnh f v hm c trững cừa hm phƠn hẳnh f (qz + c) cõ th khổng thiát lêp ữủc trữớng hủp phực Nõ ch thiát lêp ữủc trữớng hủp p-adic tẵnh chĐt c biằt cừa chuân p-adic Dũng Bờ à 3.1.2, 3.1.6 (cĂc kiu cừa nh lỵ chẵnh thự hai cho hm phƠn hẳnh p-adic) v cĂc Bờ à k thuêt khĂc chúng tổi thu ữủc nh lỵ 3.2.7, nh lỵ 3.3.4 cho VĐn à nh lỵ 3.2.7 l mởt kát quÊ cho VĐn à nhĐt cừa tẵch q -sai phƠn cừa hm phƠn hẳnh p-adic nh lỵ 3.3.4 l mởt kát quÊ cho VĐn à nhĐt cừa tẵch q -sai phƠn, a thực vi phƠn trữớng hủp p-adic CĂc kát quÊ luên Ăn ữủc bĂo cĂo tÔi Hởi thÊo quốc tá và giÊi tẵch phực v ựng dửng lƯn thự 20 tÔi H Nëi ng y 29/07-3/08/2012; Hëi nghà To¡n håc phèi hñp Vi»t-Ph¡p, Huá 20-24/08/2012; Ôi hởi ToĂn hồc Viằt Nam lƯn thự 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Hởi ngh Ôi số- Hẳnh hồcTopo, Buæn Ma Thuët ng y 26-30/10/2016; C¡c Seminar cõa Bë mæn GiÊi tẵch, khoa ToĂn - trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản; CĂc ... (z) ∈ E v g(z) ∈ F ·u k²o theo ho°c f l tuyán tẵnh hoc g l tuyán tẵnh Nôm 1922, Ritt [46]  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ A ( nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt) Cho F l têp khĂc rộng cừa C[z] \ L(C) Náu... lỵ thự nhĐt cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh Tuy nhiản, ta thĐy rơng, chựng minh cừa hai nh lỵ cừa Ritt [46] d÷íng nh÷ khỉng t÷ìng tü ÷đc cho hm phƠn hẳnh Lỵ l chộ, Ritt  dũng án iÃu kiằn "hỳu... hai cõa Ritt v v§n · nh§t cõa a thùc vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 44 2.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn nhiÃu bián trản