Bài tập tích phân đường loại 2 , ĐẦY ĐỦ. HAY
Trang 1BÀI TẬP TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI 2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
L
P x y dx+Q x y dy
∫ Nếu ñổi hướng lấy tích phân thì tích phân ñường ñổi dấu
AB
P x y dx+Q x y dy
BA
P x y dx Q x y dy
Nếu ñường cong L chia thành 2 ñường cong L1,L2 không trùng lấp nhau thì:
Pdx+Qdy= Pdx+Qdy+ Pdx+Qdy
Nếu L là ñường cong kín, (là biên của miền D) ñược ñịnh hướng dương thì chiều lấy tích phân là chiều mà 1 ñiểm chuyển ñộng trên biên sao cho miền D luôn nằm bên trái
Cách tính:
1 Chuyển về tích phân 1 biến:
(AB) có pttq: y = f(x) thì :
B
A
x
P x y dx+Q x y dy= P x f x +Q x f x f x dx
(AB) có pttq: x = g(y) thì :
B
A
y
P x y dx+Q x y dy = P g y y g y +Q g y y dy
(AB) có phương trình tham số: x = x(t), y = y(t) Tại A, ứng với tA và tại B, ứng với
tB thì:
B
A
t
P x y dx+Q x y dy= P x t y t x t +Q x t y t y t dt
2 Sử dụng công thức Green:
Nếu L là ñường cong kín lấy theo hướng dương (có thể bổ sung thành ñường cong kín) là biên của miền D Các hàm P(x,y) và Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 liên tục
∀∀(x, y) ∈ D Khi ñó, ta có:
Trang 2L D
Q P Pdx Qdy dxdy
x y
Tích phân ñường không phụ thuộc ñường lấy tích phân (ðịnh lý 4 mệnh ñề tương ñương):
Các hàm P(x,y), Q(x,y) và các hàm ñạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên 1 miền D nào ñó Khi ñó ta có các mệnh ñề sau tương ñương:
x y
2 Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm số:
0
y x
U x y =∫P x y dx+∫Q x y dy, với (x0; y0) bất kỳ thuộc D
L
Pdx+Qdy =
4
AB
Pdx+Qdy
thuộc ñiểm ñầu, ñiểm cuối
BÀI TẬP
L
J = −∫ y dx+x dy
b Tính J khi L gồm 1/8 cung tròn x2 + y2 = 2 ñi từ A ( 2; 0) ñến B(1; 1) và cung
15
+
C
x y dx x y dy
x y
+
AB
J = ∫ e y dx+ +xy dy+xdytrong ñó AB là nửa cung tròn
2
2
2
Trang 34 Tính tích phân:
2
y L
xy x y x y
I dx xe− dy
2e −30
4
x L
J =∫ xe− −y dx+ +x + y dy
a Tính J nếu L là ñoạn thẳng OA nối O (0; 0) với A(2; 2)
b Tính J nếu L là cung OBA trong ñó OB là ñoạn thẳng nối O(0; 0) với B(0; 2)
Còn BA là nửa trên của ñường tròn có phương trình x2 + y2 + 4 = 2x + 4y ñi từ B
2
ln
L
I xdy dx
x
b Tính I, nếu L là chu vi của miền giới hạn bởi các ñường x2 + y2 = 4x, x2 + y2 = 8x,
2
1
1
x L
I xe y y dx x dy
y
+
∫
2
1
L
y arctgx x
x2 + y2 = 2x từ A(2;0) ñến 0(0;0)
9
(2,1)
2 (1,2)
ydx xdy
y
−
10
AB
xdx ydy
x y
+
+
OA
OA là cung y = x3/2, O(0,0), A(2,4)