luận văn lịch sử phát triển số nguyên tố

luận văn lịch sử phát triển số nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NINH VĂN QUÝ

LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2011

Công trình được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Ngày tháng năm 2011

Có thể tìm hiểu tại THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêmkhắc của GS.TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới Thầy và gia đình

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học,Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang,Trường Trung học phổ thông Bố Hạ, đặc biệt là tổ Toán Tin đã giúp đỡtôi về tinh thần và vật chất trong suốt quá trình học tập

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011

Tác giả

Mở đầu

Số nguyên tố là một trong những khái niệm xưa nhất của toán học,

và với mỗi học sinh, khái niệm số nguyên tố cũng là một trong nhữngkhái niệm được biết đến đầu tiên.Tưởng như chúng ta đã biết tất cảnhững điều cần biết về số nguyên tố vậy mà thực tế con người còn biếtquá ít về các số nguyên tố, và việc nghiên cứu các số nguyên tố khó đếnnỗi dường như câu hỏi nào đặt ra cho các số nguyên tố cũng sẽ là câuhỏi vĩnh cửu của toán học Mặc dù vậy, sau hàng thế kỷ chỉ được biếtđến như là vấn đề của toán học lý thuyết, trong khoảng 30 năm trở lạiđây, số nguyên tố tham gia vào những ứng dụng thiết thực nhất của xãhội hiện đại: vấn đề bảo mật thông tin Và cũng chính khi đó, người tamới chợt nhận ra rằng, con người chưa biết gì về các số nguyên tố!Luận văn gồm hai chương Chương 1, chúng tôi trình bày các giaiđoạn phát triển của số nguyên tố Những định lý quan trọng liên quanđến số nguyên tố Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày 1 số ứng dụng của

số nguyên tố trong xã hội hiện đại

Nhận thức được lí thuyết số nguyên tố là nền tảng của số học, chúng

ta đã được học về số nguyên tố từ rất sớm, ngay từ bậc học phổ thông

cơ sở, nhưng rất ít tài liệu viết về số nguyên tố Bản luận văn này sẽcung cấp thêm một tài liệu về lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố

và quá trình tìm ra các số nguyên tố lớn Chúng tôi hy vọng luận vănnày sẽ đáp ứng được phần nào lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tốcủa các bạn đồng nghiệp, của các em học sinh

Sau một thời gian nghiên cứu luận văn được hoàn thành Tuy nhiên

sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong sự góp ý của quý thầy cô,

các bạn đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2011

Tác giả

Mục lục

Lời cảm ơn 3

Mở đầu 4

Mục lục 6

Chương 1 Các giai đoạn phát triển của lý thuyết số nguyên tố 8 1.1 Định nghĩa 8

1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) 8

1.2.1 Định lý 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên) 8 1.2.2 Sàng Eratosthenes 9

1.3 Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17) 10

1.4 Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17) 10

1.4.1 Định lý 2(Fermat bé) 11

1.4.2 Định lý 3(Wilson) 11

1.4.3 Định lý 4(Định lý cơ bản của số học) 13

1.4.4 Định lý 5 14

1.4.5 Sự phân bố các số nguyên tố: 14

1.4.6 Số nguyên tố Mersenne 17

1.4.7 Số nguyên tố Fermat 20

1.4.8 Một số số nguyên tố lớn được biết đến 21

1.4.9 Một số vấn đề chưa được giải quyết 23

1.4.10 Số giả nguyên tố 24

1.4.11 Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố 26

Chương 2 Một số ứng dụng của số nguyên tố trong xã hội

2.1 Lý thuyết mật mã (Mã hóa thông tin) 28

2.1.1 Hệ mã mũ 29

2.1.2 Các hệ mật mã khóa công khai 31

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên)

Số nguyên tố và các tính chất của nó lần đầu tiên được nghiên cứurộng rãi bởi các nhà toán học Hylạp cổ đại Các nhà toán học của trườnghọc của Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) đã quan tâm đến các tínhchất của số nguyên tố Họ đã quan tâm đến sự hoàn hảo và thân thiệncon số

Cho đến thời gian xuất hiện cuốn "Nguyên lý" của Euclid (Khoảng300TCN), một số kết quả quan trọng về số nguyên tố đã được chứngminh Trong sách Nguyên lý IX đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên

tố Đây là một trong những bằng chứng được biết từ rất sớm trong đó

Xét k là tích của tất cả các số nguyên tố cộng thêm 1:

k = 2 · 3 · 5 · · · ·p + 1

Số k không có ước nguyên tố bởi vì khi chia cho số nguyên tố tùy ý tađược phần dư bằng 1 Trong khi đó dễ thấy rằng ước số bé nhất m > 1của số tự nhiên k là số nguyên tố Mâu thuẫn này chứng minh định lí

Euclid cũng đưa ra một bằng chứng của Định lý cơ bản của số học làmỗi số nguyên có thể viết thành tích của các số nguyên tố

Euclid cũng cho thấy nếu 2n− 1 là số nguyên tố thì 2n−1· (2n− 1) làmột số hoàn hảo Nhà toán học Euler(Năm 1747) đã chỉ ra rằng tất cảcác số hoàn hảo đều có dạng trên

Ta lại gạch đi khỏi dãy còn lại những số nào chia hết cho 3 Tiếp tụcnhư thế, ta lại gạch khỏi dãy những số chia hết cho mọi số nguyên tố béhơn √

n Các số còn lại của dãy là tất cả các số nguyên tố không vượtquá n

Sàng Eratosthenes, mặc dù cho ta thuật toán xác định mọi số nguyên

tố không vượt quá một số cho trước, rất ít được sử dụng để xác địnhxem một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không Nguyên nhân là

vì thuật toán có độ phức tạp quá lớn

1.3 Giai đoạn 2(Trước thế kỷ 17)

Sau những kết quả đạt được về việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên

tố của các nhà toán học Hylạp (Trước công nguyên) Thì sau đó mộtkhoảng cách dài trong lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt đượcthành tựu nào đáng kể, thường được gọi là thời kỳ đen tối

1.4 Giai đoạn 3:(Sau thế kỷ 17)

Những phát triển quan trọng tiếp theo được thực hiện bởi Fermatvào đầu thế kỷ 17 Ông chứng minh một sự suy đoán của Albert Giardrằng mỗi số nguyên tố có dạng 4n − 1 có thể được viết theo một cáchduy nhất dưới dạng tổng bình phương

Ông nghĩ ra một phương pháp mới để tìm thừa số của những số lớn

và khai triển số 2027651281 = 44021.46061

Ông lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18/10/1640cho bạn ông là Frénicle de Bessy Như thường lệ Fermat không chứngminh Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào 1736 trong mộtbài báo, nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trongbản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683 Điều màngày nay được biết đến như là Định lý Fermat bé (để phân biệt vớiđịnh lý cuối cùng của Ông)

Định lý Fermat bé là một cơ sở cho nhiều kết quả khác trong lý thuyết

số và là cơ sở cho phương pháp kiểm tra nguyên tố, vẫn đang được sửdụng trên các MTĐT ngày nay

a.2a (p − 1)a ≡ 1.2 (p − 1) ≡ (p − 1)! (mod p)

Tức là: (p − 1)! ≡ 1 (mod p)

Vì ((p − 1)!, p) = 1, nên ta có : ap−1 ≡ 1 (mod p)

Như vậy để tìm ra các số nguyên tố, người ta thường cố gắng tìm cácđặc trưng của chúng thể hiện qua các đồng dư thức dễ kiểm tra NgoàiĐịnh lý Fermat bé đã trình bày ở trên Ta còn một đồng dư thức khác:

(p − 1)! ≡ 1 ≡ −1 (mod 2)

Bây giờ giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 2, với mỗi số nguyên a và

1 ≤ a ≤ p−1, tồn tại nghịch đảo a với 1 ≤ a ≤ p−1 Và a.a ≡ 1 (mod p)

Khi đó trong các số nguyên dương nhỏ hơn p, chỉ có 1 và p − 1 lànghịch đảo với chính nó Như vậy ta có thể nhóm các số nguyên từ 2đến p − 2 thành p−32 cặp số nguyên, tích của mỗi cặp đồng dư với 1modulo p Như vậy ta có:

2.3 (p − 3).(p − 2) ≡ 1 (mod p)Nhân 2 vế với 1 và p − 1 ta được :

(p − 1)! ≡ 1.2.3 (p − 2)(p − 1) ≡ −1 (mod p)Ngược lại giả sử p thỏa mãn đồng dư phát biểu trong định lý và a làmột ước số của p , đồng thời a < p Khi đó a\(p − 1)!

Theo gt, p\(p − 1)! + 1, từ đó suy ra a = 1 vì là ước chung của p và(p − 1)! Vậy p là số nguyên tố Định lý được chứng minh

Định lý này được khám phá lần đầu bởi Bhaskara l, sau được giảithích bởi Alhazen thời trung cổ vào khoảng 1000 năm, nhưng được đặttên theo John Wilson, người đã phát biểu nó vào thế kỷ 18 Lagrange

là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý này năm 1773 Cóbằng chứng cho thấy Leibniz cũng đã biết về định lý này, nhưng ông đã

không công bố Định lý Wilson có thể được dùng để kiểm tra một số cóphải là số nguyên tố hay không Tuy nhiên dễ thấy rằng thuật toán dựatheo định lý Wilson khó có thể sử dụng với những số nguyên tố lớn, bởi

vì số các phép tính bít đòi hỏi quá cao

Định lý sau đây được gọi là định lý cơ bản của số học, vì nó chỉ

ra rằng số nguyên tố là những "Viên gạch" để xây nên lâu đài các sốnguyên và cũng chính là nền tảng của lâu đài số học

1.4.3 Định lý 4(Định lý cơ bản của số học)

Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhấtthành tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tựkhông giảm

Chứng minh (Định lý 4)

Giả sử tồn tại những số không viết được thành tích các số nguyên tố.Gọi n là số bé nhất trong các số đó Như vậy n phải là hợp số, n = a.b với

a, b < n Do định nghĩa của n các số a và b phân tích được thành tích các

số nguyên tố, nghĩa là n cũng phân tích được (mâu thuẫn với giả thuyết)

Còn phải chứng minh phân tích là duy nhất Giả sử có

n = p1.p2 ps = q1.q2 qr, trong đó pi, qj là các số nguyên tố.Giản ước những số nguyên tố bằng nhau có mặt trong hai vế, ta đượcđẳng thức:

pi1.pi2 piu = qj1.qj2 qjvTrong đó không có số nguyên tố nào có mặt cả hai vế, như vậy VTchia hết cho qj1 và do đó phải tồn tại một thừa số của tích chia hết cho

qj1: Điều đó cho thấy vô lý vì đây là tích của các số nguyên tố khác với qj1.

Người ta cho rằng định lý đã được Euclid chứng minh gồm haiphần, phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới dạng tích củamột hay nhiều số nguyên tố, phần hai chứng tỏ rằng biểu diễn đó

là duy nhất.Tuy nhiên nó được trình bày đầy đủ lần đầu tiên trongDisquisitiones Arithmeticae bởi Carl Friedrich Gauss Có thể tìm ranhững thuật toán xác định nhanh một số có phải là số nguyên tố haykhông, ta cần hiểu sâu sắc tính chất các số nguyên tố, định lý sau đâycho ta một thuật toán đơn giản để xác định các số nguyên tố

1.4.4 Định lý 5

Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nhỏ hơn √

n

Chứng minh(Định lý 5)

Thật vậy vì n là hợp số nên ta có thể viết n = a.b , trong đó a và b

là các số nguyên với 1 < a ≤ b < n Rõ ràng ta phải có a hoặc b khôngvượt quá √

n Giả sử đó là a Ước nguyên tố của a cũng đồng thời làước nguyên tố của n

Định lý trên chính là cơ sở cho thuật toán để tìm ra các số nguyên

tố nhỏ hơn hoặc bằng số n cho trước (Sàng Eratosthenes)

tố Legendre và Gauss đã tính toán đến mật độ của các số nguyên tố.Gauss nói với một người bạn rằng, bất cứ khi nào ông có 15 phút rảnhrỗi ông sẽ dành nó trong tính số nguyên tố Đến cuối đời, ông ước tínhrằng ông đã tính tất cả các số nguyên tố lên đến khoảng 3000000 CảLegendre và Gauss kết luận rằng, đối với n đủ lớn, mật độ các số nguyên

tố nhỏ hơn n là 1/log(n) Legendre đã cho một ước tính cho π(n) sốnguyên tố ≤ n của π(n) = n/(log(n) − 1, 08366)

Mệnh đề nói rằng mật độ của các số nguyên tố là 1/log(n) được gọi làđịnh lí số nguyên tố Người ta đã cố gắng để chứng minh điều này trongsuốt thế kỉ 19, và đạt tiến bộ đáng chú ý bởi Chebyshev và Riemann.Kết quả cuối cùng đã được chứng minh (sử dụng phương pháp mạnh

mẽ của giải tích phức) bởi Hadamard và Dela Vallee Poussin vào năm1896

= 1

Ta bỏ qua chứng minh định lý này, nhưng sẽ minh họa tính đúngđắn của định lý này qua bảng sau:

Trong dãy n số nguyên liên tiếp k + 1, k + 2, , k + n, với k nhỏ thì

có nhiều số nguyên tố, nhưng với k khá lớn thì lại hiếm số nguyên tố.Đến số hàng tỉ thì cứ khoảng 20 số nguyên mới có một số nguyên tố

Khám phá của A Goldston và Cem Y Yildirim còn quan trọng hơnnhiều : Cho một phân số ab , dù nhỏ đến đâu cũng tồn tại vô hạn cặp

số nguyên tố liên tiếp pk, pk+1 có một khoảng cách nhỏ hơn tích abvớikhoảng cách trung bình của chúng, tức là ab.lnx với pk < x < pk+1

Những kết quả này phá tan cả một chuỗi kỷ lục trước đó Ý tưởngđổi mới của hai nhà toán học trên là không hạn chế ở sự phân bố

các cặp số nguyên tố, mà còn nghiên cứu chúng theo dãy ba, bốnhoặc hơn nữa Mở rộng phạm vi nghiên cứu như vậy đã cho phép họđơn giản hóa các công thức ước lượng khoảng cách giữa các số nguyên tố.

Sự phân bố các số nguyên tố có liên hệ chặt chẽ với một trong nhữngvấn đề nổi tiếng nhất về toán học "Giả thuyết Riemann" liên quan đếnmột tổng vô hạn gọi là hàm de-ta s = P∞

n=1

1

n s.Viện toán học Clay ở Cambridge, Massachusetts đã trao giải thưởngmột triệu đôla cho người chứng minh được giả thuyết Riemann TheoDaniel A Goldston, kết quả nói trên sẽ cho phép cung cấp những lờigiải thích rõ ràng hơn về hàm dê-ta

1.4.6 Số nguyên tố Mersenne

Định nghĩa:

Giả sử m là một số nguyên dương, khi đó Mm = 2m − 1 được gọi là

số Mersenne thứ m Nếu p là số nguyên tố và Mp cũng là số nguyên tố,thì Mp được gọi là số nguyên tố Mersenne

Ví dụ: M2, M3, M5, M7 là các số nguyên tố Mersenne, trong khi M11

là hợp số Có nhiều định lý khác nhau dùng để xác định số nguyên tốMersenne Chẳng hạn nhờ định lý sau đây, ta có thể kiểm tra nhanhchóng dựa vào dạng của các ước nguyên tố của số Mersenne

Định lý 7:

Nếu p là một số nguyên tố lẻ , thì mọi ước nguyên tố của số Mersenne

Mp đều có dạng 2kp + 1 , trong đó k là số nguyên dương

Chứng minh: Giả sử q là một ước nguyên tố của Mp Theo Định

lý Fermat bé q\(2q−1) Theo hệ quả (Nếu a và b là các số nguyên

dương, thì ước chung lớn nhất của 2a − 1 và 2b − 1 là 2(a, b) − 1),(2p− 1, 2q− 1) = 2(p,q−1)−1 Ước chung này lớn hơn 1, vì nó là bội của q.

Do đó (p, q − 1) = p, vì p nguyên tố Ta có q = mp + 1 và vì q lẻ, nên

m = 2k Định lý được chứng minh

Sau đây là ví dụ cho thấy ứng dụng của định lý trên:

Ví dụ: Để xét xem M13 = 213 − 1 = 8191 có phải là số nguyên tố haykhông, ta cần xem các phép chia cho những số nguyên tố không vượtquá √

8191 ' 90 Mặt khác, theo Định lý trên, mọi ước nguyên tố đềuphải có dạng 26k + 1 Như vậy chỉ cần thử với hai số 53 và 79 : Ta thấy

M13 là số nguyên tố

Có nhiều thuật toán đặc biệt để kiểm tra nguyên tố các số Mersenne.nhờ đó, người ta phát hiện được những số nguyên tố rất lớn Mỗi lần

có một số nguyên tố Mersenne ta lại được một số hoàn hảo, số nguyên

tố Mersenne tìm được gần đây nhất (năm 2009) là số Mersenne thứ

47 là M42643801 gồm 12837064 chữ số Được tìm thấy bởi Old MagnarStrindmo từ Melhus, Norway Ông là một giáo sư công nghệ thông tin,máy tính của ông đã làm việc với GIMPS (Great Internet MersennePrime Search) từ 1986

Giả thuyết sau đây vẫn còn chưa được chứng minh

GIẢ THUYẾT : Tồn tại vô hạn số nguyên tố Mersenne

Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 =

127 đã được biết từ cổ xưa Số thứ năm là M13 = 8191 được tìm thấy vàotrước năm 1461, hai số tiếp theo M17 và M19 được tìm thấy bởi Cataldivào năm 1588 Sau hơn một thế kỷ M31 được kiểm tra bởi Euler vàonăm 1750 Số tiếp theo là M127, do Lucas tìm thấy vào năm 1876 , sau

đó M61 do Pervushin tìm thấy vào năm 1883 Hai số nữa M89 và M207được tìm thấy vào thế kỷ 20, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.

Từ thế kỷ 17 các số này được mang tên nhà toán học Pháp MarinMersenne, người đã chứng minh một loạt các số nguyên tố Mersenne với

số mũ lên đến 257 Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như baogồm cả M67, M257, và bỏ quên M61, M89 và M107

Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersennedựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởiLucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930 Hiệnnay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số nguyên tố Mersenne.Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với n > 2) Mn = 2n − 1 là sốnguyên tố nếu và chỉ nếu Mn chia hết cho Sn − 2 trong đó S0 = 4 với

tố Mersenne tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo M607 đã được tìm thấybởi máy tính này sau gần hai giờ chạy máy Ba số tiếp theo M1279, M2203,

M2281 đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa

M4253 là số nguyên tố Mersenne đầu tiên siêu lớn, trên 1000 chữ số thậpphân (titanic), và M44497 là số nguyên tố đầu tiên có trên 10.000 chữ sốthập phân (gigantic)

Đến tháng 9 năm 2008, chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne; số lớnnhất đã biết là số có dạng 243112609 − 1 Cũng như nhiều số nguyên tốMersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án máy tính phân tán trên