Chuyên đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn - Trần Phú Vinh

Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ TỔ TOÁN Giáo Viên : Trần Phú Vinh Năm Học : 2009-2010 Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh A.Lời nói đầu : Bài tốn tìm giá trị lớn (GTLN) , giá trị nhỏ (GTNN) hàm số đoạn toán thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT năm vừa qua Nhưng phần lớn học sinh không giải toán với lý sau : Các em không nắm phương pháp giải , tính đạo hàm sai, tìm nghiệm đạo hàm sai , tính giá trị sai, khơng biết loại nhận nghiệm , kết luận GTLN-GTNN sai vv…vv Vì lý nên tơi định chọn chuyên đề để nêu loại hàm số thường cho tìm GTLNGTNN hàm số đoạn để nhầm giúp học sinh hạn chế sai sót B Nội Dung.: Giả sử tìm GTLN-GTNN hàm số y  f  x  đoạn  a; b  Quy Tắc : / / 1.Tìm điểm x1 ; x2 ; ; xn khoảng  a; b  , f  x  không f  x  khơng xác định 2.Tính : f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  b  Tìm số lớn M số nhỏ m số Khi M max a ;fb  x  ; m min a;fb  x  Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta tóm tắt quy tắc thành phương pháp tìm GTLNGTNN hàm số y  f  x  đoạn  a; b  sau : / Tính đạo hàm f  x  / Giải phương trình : f  x  0 , tìm nghiệm x1 ; x2 ; ; xn   a; b  (nếu có) Tính giá trị : f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  b   x  M max  f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn   Kết luận : maf  a ;b   x  m min  f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn    a ;b  C.Các loại hàm số thường gặp: Ta thường gặp loại hàm số cho tìm GTLNGTNN hàm số y  f  x  đoạn  a; b  sau : 1) Hàm đa thức : 1.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: a ) y  f  x  2 x  x  đoạn   1;1 b) y  f  x   x  x  đoạn  0; 2 c ) y  f  x   x  x  x  đoạn   1;0 Giải a) Ta có :  f /  x  6 x  12 x / x 0  f  x  0  x  12 x 0   x 2 ( x 2 loại )  Tính : f   1  7; f   1; f  1  Trang Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh  Vậy : max  1;1f   x  1 f  x   ; min  1;1  / b) Ta có :  f  x   x  x f /  x  0   x3  x 0   xx01 ( x  loại )  Tính : f   3; f  1 6; f    13  Vậy : max 0;2f   x  6 ; min 0;2f   x   13 / c) Ta có :  f  x   x  x  /  f  x  0   x  x  0 (vô nghiệm) 11 ; f  0 1 11 ; f  Tính : f   1  f  x   Vậy : max   1;0  x 1   1;0 1.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: a ) y  f  x   x  x đoạn  1;3 1 b) y  f  x   x  x  đoạn  0; 2 2 5  c ) y  f  x  2 x  3x  12 x  đoạn   2;  2  d ) y  f  x  x  x  đoạn   1; 4 e) y  f  x  x  x  16 đoạn   1;3  1 g ) y  f  x  x  x  đoạn  0;   2 2) Hàm phân thức : 2.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: x 1 đoạn  2; 4 1 x x 1   b) y  f  x   đoạn   ;1 x   c ) y  f  x   x   đoạn   1; 2 x2 x2  x  d) y  f  x  đoạn  0;3 x2 a) y  f  x   Giải / a) Ta có :  f  x   1 x  0x 1 Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh Trang  Tính : f    5; f     Vậy : max 2;4f   x   / b) Ta có :  f  x    x  2 ; min 2;4f   x    0x 2 1   Tính : f    0; f  1   Vậy :   max f  x  0 / c) Ta có :  f  x    minf  x   ;     ;1     ;1  x  2 /  f  x  0     x  2 0   xx 0 ( x  loại )  Tính : f   1  2; f    1; f     Vậy : max  1;2f   x   / d) Ta có :  f  x   ; minf  x     1;2 x  4x   x  2 /  f  x  0  x  x  0 (Vơ nghiệm )  Tính : f    ; f 12  Vậy : max 0;3f  x    3 ; 12  f  x    0;3 2.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN hàm số sau:  x2 1  đoạn  ;  x2 2  b) y  f  x   đoạn  0;1 2 x c) y  f  x   x   đoạn  3;6 x x  3x d) y  f  x  đoạn  0;3 x 2x e) y  f  x   đoạn  1;3 3x  a) y  f  x   Trang Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh g) y  f  x  1 2x đoạn   2;1 2x  3) Hàm phân thức : 3.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: a ) y  f  x    x đoạn   1;1 1  b) y  f  x   x  x đoạn  ;3 2  c) y  f  x  x   x Giải / a)  Ta có : f  x    Tính : f   1 max f  x  3  Vậy : / f  x  1 ; min  1;1    1;1 / b)  Ta có : f  x   f 5   0x    ;  4  4x  3; f  1 1 2 x 4x  x2  x  0   x 0 0  x 2   ; f   2; f     Tính : f     2  Vậy : max f  x  2 ; 1  ;3   f  x   1   ;3 c) MXĐ : D   2; 2 Ta xét hàm số MXĐ /  Ta có : f  x  1   f / x  x2 x 0   xx      x2     2; f   2 2; f    x  0    Tính : f   2; f  Vậy : max  2;2f   x  2 ;  0 minx f  x     2;2 3.2) Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: a ) y  f  x    x đoạn   1;1 b) y  f  x   x   x  đoạn  0;3 c ) y  f  x  4   x d) y  f  x  x 1 x 1 đoạn   1; 2 Trang Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh e) y  f  x    x  x  đoạn  0; 2 4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit: 4.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: a ) y  f  x  2 x.x đoạn   1; 2 b) y  f  x  x  2 x đoạn   1;0 ln x c) y  f  x   đoạn  1;   x d ) y  f  x  x  ln   x  đoạn   1;0 Giải / x x a)  Ta có : f  x  2  x f /  x  0  x   Tính : f   1  ; f  42  2 2  Vậy : max  1;1f   x  4 ; f  x      1;1 / 2x b)  Ta có : f  x  1  2 f /  x  0   22 x 0   Tính : f   1   f  x    Vậy : m ax   1;0 x  ln 2 1   ; f  ln   ln  ; f  2   ln  f  x   2;   1;0 1   2  ln x x2 c)  Ta có : f /  x   f /  x  0   ln x 0  x    Tính : f  1 0; f    ; f  Vậy : max f2  x   1;    d)  Ta có : f /  x  2 x  f /  ;   f  x 0  1; 2    1 2x  x  0  x   0   x 1 ( 1 2x  x  Trang x 1 loại )  0  Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh 1    Tính : f    4  ln 5; f      ln 2; f   0  2  Vậy : max  2;0f   x  4 ln ; max f  x    ln   2;0 4.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: a ) y  f  x   x.2 x đoạn   2;1 b) y  f  x  x  x đoạn   1; 2 ln x đoạn  1;   x d ) y  f  x   x ln x đoạn  1; c) y  f  x   x đoạn  ln 2;ln 4 ex   g ) y  f  x  x ln x đoạn  1; e) y  f  x   h) y  f  x   x. x đoạn   1; 2 5) Hàm số lượng giác: 5.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau:    a ) y  f  x  sin x  x đoạn   ;   2   b) y  f  x  x  cos x đoạn  0;   2 c ) y  f  x  sin x  cos x  Giải a)  Ta có : f /  x  2cos2x   x 6    /  f  x  0    ( Do x    ;  )  2  x                   ;f    ;f    Tính : f     ; f     6  2  6 6  2  Vậy : max f  x     2;      ; f  x       ;   b)  Ta có : f /  x  1  2sinx f /  x  0     x ( Do x   0;  )  2        Tính : f    2; f     1; f     4 Trang  2 Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh max f  Vậy :  x    0;      1 ; f  x      0;  c) MXĐ : D R  Ta có : f  x   cos x  2co s x   Đặt : t sin x ; t    1;1 ; x  R  Ta xét hàm số : g  t   t  2t  đoạn   1;1 /  Ta có : g  t   2t  g /  t  0  t   Tính : g   1 4; g  1 0  Vậy : max f  x  max g  t  4 R ;   1;1 f  x  max g  t  0 R   1;1 5.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN hàm số sau:  3  a ) y  f  x  2sin x  sin x đoạn  0;     b) y  f  x   cos x  4s inx đoạn  0;   2 c ) y  f  x  2sin x  cos x  4sin x      d ) y  f  x  sin x  x đoạn   ;   2 s inx e) y  f  x   đoạn  0;    cos x g ) y  f  x   3.x  2s inx đoạn  0;   D.Kết Luận: Kính thưa quý thầy cô em học sinh , nêu loại hàm số thường gặp tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số đoạn Do thời gian thực chuyên đề có hạn, nên chắn nhơng tránh thiếu sót , mong q thầy tổ nhiệt tình đóng góp để chuyên đề hoàn chỉnh , nhầm giúp em học sinh ôn tập tốt Xin chân thành cám ơn nhiều !  Trà Cú Ngày 08 tháng12năm 2009 Giáo hiên thực Trần Phú Vinh Trang Chuyên đề: GTLN– GTNN hàm số đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010 GV: Trần Phú Vinh