Các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

Các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phép chiếu trực giao và cơ sở trực chuẩn . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian L 2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Biến đổi Fourier trong L 2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 13 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L 2 (R) . . . . . . . . . 13 2.2 Tính trực chuẩn của sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Tính đầy đủ của sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Đặc trưng một vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.1 Điều kiện cần và đủ của sóng nhỏ với dải tần số bị chặn . . 27 3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong những năm gần đây, lý thuyết về sóng nhỏ (wavelet) được rất nhiều các nhà khoa học đi sâu vào nghiên cứu bởi sự thú vị và tính ứng dụng lớn của nó trong thực tế. Hơn nữa nó còn là cây cầu nối với các ngành khoa học khác như: Sinh học, Vật lý, Tin học, Người ta có thể ứng dụng lý thuyết về phép biến đổi sóng nhỏ trong xử lý ảnh, nén tín hiệu video, hay ứng dụng của sóng nhỏ vào trong kỹ thuật phân tích tín hiệu điện tim, các dịch vụ dữ liệu đa phương tiện di động, và nhiều ứng dụng thực tế khác. Chính vì vậy việc xây dựng sóng nhỏ có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng thực tế, trong đó thì sóng nhỏ có dải tần số bị chặn (band-limited wavelet) là loại được dùng nhiều hơn cả. Một hàm f ∈ L 2 (R) được gọi là có dải tần số bị chặn nếu giá của ˆ f chứa trong một khoảng hữu hạn (biến đổi Fourier của nó có giá compact), trong đó giá của ˆ f là supp ˆ f={ξ; ˆ f(ξ) = 0}. Nội dung chính dựa chủ yếu trên tài liệu [7], luận văn này sẽ trình bày một cách hệ thống các sóng nhỏ có dải tần số bị chặn trong không gian L 2 (R), mô tả đầy đủ các tính chất đặc trưng và phương pháp để xác định chúng. Luận văn gồm có phần Mở đầu, 3 chương tiếp theo và phần kết luận. Chương 1: Trình bày kiến thức bổ xung, hỗ trợ cho nghiên cứu nội dung chính về sóng nhỏ có dải tần số bị chặn trong chương 2 và 3, bao gồm một số khái niệm cơ bản về cơ sở trực chuẩn, phép chiếu trực giao, biến đổi Fourier trong không gian Hilbert, đặc biệt là không gian L 2 (R). Chương 2: Trình bày các định lý về điều kiện cần và đủ cho tính trực 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chuẩn và tính đầy đủ của cơ sở sóng nhỏ mà được sinh ra bởi một hàm sóng mẹ bằng các phép toán dịch chuyển và co dãn. Một tính chất đặc biệt của loại sóng nhỏ này là biến đổi Fourier của nó không những có giá compact mà còn bằng không trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ. Chương 3: Trình bày phương pháp cụ thể để xây dựng một hàm sóng nhỏ có dải tần số bị chặn. Cụ thể là những sóng nhỏ trực chuẩn mà biến đổi Fourier của nó có giá chứa trong [− 8 3 π, 8 3 π] cùng với một số ví dụ điển hình. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian tác giả làm luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng và xêmina, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của các giáo sư trong Viện Toán học thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam cùng các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy các cô. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô, Ban Giám hiệu Nhà trường, Ban chấp hành Đoàn, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn cao học. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn theo sát, động viên tác giả vượt qua những khó khăn để có được điều kiện tốt nhất khi học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các độc giả quan tâm. Xin chân thành cảm ơn! 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011. Tác giả Nguyễn Thị Thu 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường số K (K = R hoặc C). Định nghĩa 1.1. Một dạng song tuyến tính đối xứng dương xác định trong X là một ánh xạ ϕ : X × X → K thoả mãn các điều kiện: a) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) (∀x, y, z ∈ X); b) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K); c) ϕ(y, x) = ϕ(x, y) (∀x, y ∈ X), trong đó ϕ(x, y) là số phức liên hợp của số ϕ(x, y); d) ϕ(x, x) ≥ 0 (∀x ∈ X). Khi đó ta ký hiệu ϕ(x, y) = x, y. Nhận xét 1.1. Từ a) - d) suy ra: a’) x, y + z = x, y + x, z (∀x, y ∈ X); b’) x, λy = ¯ λx, y. Định nghĩa 1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng dương ., . xác định trong không gian tuyến tính X được gọi là một tích vô hướng trong X, nếu nó thoả mãn thêm điều kiện: x, x > 0, khi x = 0. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.2. Tích vô hướng ., . thoả mãn các điều kiện: 1) x, x ≥ 0 (∀x ∈ X), x, x = 0 ⇐⇒ x = 0; 2) x, y = y, x (∀x, y ∈ X); 3) λx + µy, z = λx, z + µy, z (∀x, y, z ∈ X), ∀λ, µ ∈ K. Định nghĩa 1.3. Không gian tuyến tính X cùng với một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Mệnh đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz) |x, y| 2 ≤ x, xy, y (∀x, y ∈ X) . (1.1) Định nghĩa sơ chuẩn Một sơ chuẩn trên không gian tuyến tính X là một ánh xạ p : X → R thỏa mãn: a) p(αx) = αp(x), (∀x ∈ X, ∀α > 0); b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X) Nhận xét: + Nếu p là sơ chuẩn, thì p(0) = 0. Định nghĩa nửa chuẩn Một nửa chuẩn trên không gian tuyến tính X là một ánh xạ p : X → R thỏa mãn: a) p(αx) = |α|p(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K); b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (∀x, y ∈ X) Nhận xét: 1) p là nửa chuẩn ⇒ p là sơ chuẩn. 2) Nếu p là một nửa chuẩn trên X, thì p(x) ≥ 0. Mệnh đề 1.2. Giả sử x, y là một dạng song tuyến tính đối xứng dương trong không gian tuyến tính X. Khi đó p(x) = x, x 1/2 là một nửa chuẩn trong X. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.3. Không gian tiền Hilbert X là một không gian định chuẩn với chuẩn: x = x, x 1/2 (x ∈ X) (1.2) Thật vậy theo Mệnh đề 1.2 x, x 1/2 là một nửa chuẩn. Vì ., . là tích vô hướng nên x, x = 0 ⇔ x = 0. Điều này tương đương với x = 0 ⇔ x = 0. Vì vậy, x = x, x 1/2 là một chuẩn trong X. Do đó, lý thuyết các không gian định chuẩn áp dụng được cho không gian tiền Hilbert. Nhận xét 1.4. a) Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz trở thành: |x, y| ≤ x. y b) Ta có đẳng thức hình bình hành: x + y 2 + x − y 2 = 2(x 2 + y 2 ) Mệnh đề 1.3. Giả sử X là không gian tiền Hilbert, các dãy {x n } và {y n } hội tụ đến x và y trong X. Khi đó, lim n→∞ x n , y n  = x, y . Nhận xét 1.5. Tích vô hướng ., . là một hàm liên tục xác định trên X × X. Định nghĩa 1.4. Không gian tiền Hilbert X đầy đủ được gọi là một không gian Hilbert. Chú ý rằng ở đây ta coi không gian tiền Hilbert như một không gian định chuẩn với chuẩn (1.2) và không gian định chuẩn đó là đầy đủ thì ta nhận được không gian Hilbert X. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1. Trong R n với x = (ξ 1 , , ξ n ), y = (η 1 , η n ), ta đặt x, y = n  i=1 ξ i η i . Khi đó, R n là một không gian Hilbert. Ví dụ 1.2. Trong L 2 [a, b], ta xét tích vô hướng: x, y =  b a x(t)y(t)dt (x(t), y(t) ∈ L 2 [a, b]). Khi đó, x =   b a |x(t)| 2 dt  1/2 (1.3) Không gian L 2 [a, b] với chuẩn (1.3) là đầy đủ, do đó là không gian Hilbert. Ví dụ 1.3. Trong không gian l 2 , ta đưa vào tích vô hướng x, y = ∞  n=1 ξ n ¯η n , (x = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ l 2 , y = (η 1 , η 2 , ) ∈ l 2 ). Khi đó, x =  ∞  n=1 | ξ n | 2  1/2 . Không gian l 2 đầy đủ đối với chuẩn đó. Vậy l 2 là không gian Hilbert. 1.1.2 Phép chiếu trực giao và cơ sở trực chuẩn A: Phép chiếu trực giao Định nghĩa 1.5. Giả sử X là không gian tiền Hilbert, khi đó: a) Hai vectơ x, y ∈ X được gọi là trực giao, nếu x, y = 0; ký hiệu : x⊥y. b) Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực giao, nếu các vectơ của S trực giao với nhau từng đôi một. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 2.4 có thể nhỏ tùy ý Thật vậy, với ε > 0 người ta có thể xây dựng được ˆ ˆ một hàm sóng nhỏ ψ có dải tần số bị chặn sao cho ψ liên tục tại 0, |ψ| và ˆ ˆ ψ không đồng nhất 0 trên (−ε, ε) (tất nhiên ψ là đồng nhất 0 trong một khoảng nhỏ hơn trong Định lý 2.4) 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3 Đặc trưng một vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 3.1 Điều... 1 2π R R |f (x)|2 dx = iii) ˆ g f (ξ)ˆ(ξ)dξ 1 2π R ˆ |f (ξ)|2 dξ R 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(R) Định nghĩa 2.1 Một sóng nhỏ trực chuẩn trong L2 (R) là một hàm ψ(x) ∈ L2 (R) sao cho hệ các hàm số {ψj,k (x) : j, k ∈ Z} là cơ sở trực chuẩn của L2 (R), trong đó j ψj,k... cũng hoàn toàn đặc trưng cho các sóng nhỏ trực chuẩn Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra một số kết quả cần thiết Nếu ψ là một sóng nhỏ có dải tần số bị chặn, ta luôn tìm được một số nguyên J sao cho: ˆ supp (ψ) ⊂ −2J π, 2J π và giả sử quan hệ bao hàm này luôn được thỏa mãn ˆ Bổ đề 2.1 Giả sử f ∈ L2 (R) và f có giá chứa trong I = (a, b), với b − a < 2−J và I ∩ [−π, π] = ∅ Khi đó với mọi j ∈ Z ta có: ˆ ˆ... k∈Z 1 hầu khắp nơi Thật vậy vì nó có hệ số Fourier bằng 1 tại tần số k = 0 và tất cả các hệ số khác bằng không Chiều ngược lại dễ dàng được suy ra 2.2 Tính trực chuẩn của sóng nhỏ Trong mục này thì giả thiết về dải tần số bị chặn của hàm ψ là chưa cần thiết Giả sử ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn Khi đó {ψj,k : j, k ∈ Z} j là một hệ trực chuẩn, với ψj,k (x) = 2 2 ψ(2j x − k) Chúng ta sẽ đi khai thác mối... |ξ| < b chỉ có một số hữu hạn j (|j| M ) cho ta các phần tử khác không trong số hạng thứ hai của công thức trên Khi cố định ˆ một chỉ số j thì sẽ tồn tại một hữu hạn số k sao cho ψ 2−j ξ + 2kπ = 0 Vì vậy tồn tại một số hữu hạn các giá trị dạng v = 2j k xuất hiện trong các số hạng khác không Khi k = 0 thì chúng có dạng duy nhất là v = 2p q với hữu hạn các số p, q ∈ Z, p j và q là số lẻ Vì vậy ˆ ˆ (Qj... đủ Trong phần này chúng ta đi nghiên cứu những điều kiện đảm bảo cho tính đầy đủ của một hệ trực chuẩn của các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn Kết quả chính trong phần này là chứng minh các điều kiện: ˆ |ψ(2j ξ)|2 = 1 với hầu hết ξ trên R \ {0}, (2.7) j∈Z và ∞ ˆ ˆ ψ 2j ξ ψ (2j (ξ + 2kπ)) = 0 với hầu hết ξ trên R, k ∈ 2Z + 1 (2.8) j=0 là hai phương trình đặc trưng cho tính đầy đủ của hệ {ψj,k : j, k... với dải tần số bị chặn 3.1 Điều kiện cần và đủ của sóng nhỏ với dải tần số bị chặn Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu một kết quả đặc trưng cho tất cả các ˆ sóng nhỏ ψ có supp(ψ) chứa trong 2 8 2 8 K = − π, − π ∪ π, π 3 3 3 3 Ta sẽ thấy rằng trên đoạn 2 4 3 π, 3 π ˆ có thể chọn b(ξ) = |ψ(ξ)| là một hàm đo được tùy ý sao cho 0 b (ξ) 1 hầu khắp nơi Đối với những điểm 4 khác của K , thì b được xác định bởi... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 2.5 Nếu ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn sao ˆ cho |ψ| liên tục tại 0, thì với mỗi số nguyên lẻ q ta có ∞ ˆ ˆ ψ 2j ξ ψ (2j (ξ + 2qπ)) = 0 hầu khắp nơi trên R j=0 Chứng minh Tách riêng số hạng ứng với k = 0 trong phần (B) của Định lý 2.2, ta có: ˆ ˆ ˆ (Qj f )∧ (ξ) = |ψ 2−j ξ |2 f (ξ) + ψ 2−j ξ ˆ ˆ... do q0 là một số nguyên lẻ tùy ý Định lí 2.6 Giả sử ψ ∈ L2 (R) là một hàm với dải tần số bị chặn sao ˆ cho ψ bằng không trong một lân cận mở của gốc tọa độ và {ψi,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn thỏa mãn (2.7) và (2.8) Khi đó ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh ˆ (Qj f )∧ (ξ) = f (ξ) hầu khắp nơi trên R với mọi Ta... tại 0, ∃ ε > 0 sao cho ˆ |ψ (µ)| 1 2 1 2J − 1 1 2 với |µ| < ε ˆ Điều này chứng tỏ rằng hầu hết ξ ∈ supp(ψ) đều thỏa mãn ε 2j 0 ξ 2J |ξ| Do đó |ξ| ˆ 2−J ε Vậy ψ (ξ) = 0 với hầu hết ξ ∈ −2−J ε, 2−J ε Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng một hàm sóng nhỏ trực chuẩn có dải ˆ tần số bị chặn bất kì sao cho |ψ| liên tục tại 0 đều thỏa mãn đẳng thức (2.8) 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên . http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L 2 (R) Định nghĩa 2.1. Một sóng nhỏ trực chuẩn trong L 2 (R) là một hàm ψ(x) ∈ L 2 (R) sao cho hệ các hàm số {ψ j,k (x). nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Tính đầy đủ của sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Đặc trưng một vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.1 Điều kiện cần và đủ của sóng. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 13 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L 2 (R) . . . . . . . . . 13 2.2 Tính trực chuẩn của sóng