(Luận văn) định lý bolzano cho ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH lu an n va tn to ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO p ie gh ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Bình Định - Năm 2021 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH lu an n va ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO to p ie gh tn ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH oa nl w Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 d nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z @ m co l gm Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG an Lu n va Bình Định - 2021 ac th si Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức lu Danh mục ký hiệu an n va Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Khái niệm tính chất Các định lý nguyên lý p ie gh tn to 1.1 Một số vấn đề ánh xạ chỉnh hình nhiều biến d oa 1.2 nl w 1.1.2 Khái niệm tính chất 1.2.2 Các định lý nguyên lý nf va an lu 1.2.1 lm ul Chương Định lý Bolzano hàm chỉnh hình 10 12 z at nh oi 2.1 12 2.1.1 Một điều kiện đơn giản cho tồn không điểm 12 2.1.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho tồn không z Sự tồn khơng điểm hàm chỉnh hình l gm @ Các điều kiện Poincaré-Miranda cho tồn không điểm an Lu 2.1.3 15 m co điểm hình trịn hình chữ nhật 18 n va ac th i si 2.2 Tính khơng điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.1 Cấp không điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.2 Điều kiện Hadamard-Shih ngặt biên miền bị chặn 25 2.2.3 Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình 26 29 lu Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình 29 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình 32 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình 34 an 3.1 n va tn to 38 p ie gh Kết luận 39 d oa nl w Tài liệu tham khảo nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU lu K : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực an pq dB rf, Ω, z s n va Jf z : Ma trận Jacobi f z p ie gh tn to : Bậc Brouwer f Ω z d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU r sÑR Định lý Bolzano phát biểu rằng, hàm số liên tục f : a, b r s nhận giá trị trái dấu a b triệt tiêu a, b Khơng tính lu p q Ô Ô f pbq an tng quỏt, ta giả sử f a va r s n Nếu ta xét a, b hình cầu R với tâm c to  b
2 a điều kiện Bolzano viết cách tương đương sau gh tn r  a b bán kính p ie px
cqf pxq ¥ |
c|  r với x (1) w oa nl Một tổng quát n-chiều Định lý Bolzano bao gồm việc xem xét p q Ñ Rn, với B pc, rq hình cầu mở tâm c P Rn, bán d ánh xạ liên tục f : B c, r lu ¡ tổng quát điều kiện (1) dạng nf va an kính r lm ul xx
c, f pxqy ¥ (2) x, y }  } tương ứng ký hiệu tích (vơ hướng) thơng thường chuẩn Euclide Rn z at nh oi }
c}  r, với x z gm @ Trong chứng minh Định lý điểm bất động Brouwer (được giới thiệu vào năm co l 1910 [5]), cách sử dụng mở rộng cho tích phân Kronecker an Lu p q m cho hàm số liên tục, Hadamard chứng tỏ điều kiện (2) kéo theo tồn không điểm f B c, r Điều xem va mở rộng n-chiều Định lý Bolzano n ac th si Một mở rộng khác xem xét khối hộp mở P  pa1, b1q  pa2, b2q      pan, bnq  pf1, , fnq : P Ñ Rn mở rộng điều kiện Bolzano cách yêu cầu rằng, với j  1, , n, ta cú fj Ô x P P v xj  aj ; fj ¥ x P P xj  bj Về mặt hình học, tập Rn , ánh xạ liên tục f mặt đối diện P Khi f có khơng điểm P điều kiện phát biểu chứng minh Poincaré vào năm 1883 lu an [12] sử dụng học thiên thể va n Vì lịch sử phức tạp (xem, chẳng hạn [8]), kết thường gọi to gh tn định lý Poincaré-Miranda, chứng minh gần tìm thấy p ie [6, 10] nl w Một phiên Định lý Bolzano cho hàm biến phức f chỉnh hình d oa lân cận mở, bị chặn phù hợp Ω € C đặt Mau-Hsiang Shih lu an [15] Ơng ta chứng minh f có không điểm Ω nf va r p qs ¡ BΩ Chứng minh ông ta dựa Định lý Rouché áp dụng cho hàm số f g với g pz q  αpz q α  inf z PBΩ Rerzf pz qs{ supz PBΩ |z |2 Re zf z z at nh oi lm ul Với ý  pq Imz Imf z , z r p qs  Rez  Ref pzq Re zf z gm @  dấu co l điều kiện Shih điều kiện Hadamard với c bất đẳng thức nghiêm ngặt m an Lu Mục tiêu Luận văn nghiên cứu phiên Định lý Bolzano đối ¥ 1, n va với ánh xạ chỉnh hình từ miền Cn nhận giá trị Cn , n ac th si vài áp dụng Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu tồn không điểm hàm chỉnh hình hình cầu hình chữ nhật mặt phẳng phức điều kiện dấu biên Áp dụng kết tốn nói liên quan đến định lý điểm bất động Brouwer hàm chỉnh hình lu an n va Mở rộng định lý Bolzano cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình không gh tn to gian phức hữu hạn chiều p ie Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành oa nl w ba chương Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, d lu nf va an số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer lm ul ánh xạ liên tục mà chúng phục vụ cho chương Luận z at nh oi văn Chương 2: Bao gồm kết Định lý Bolzano hàm chỉnh hình, z @ l gm tồn không điểm hàm chỉnh hình, tính nghiệm hàm chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda m co Chương 3: Trình bày Định lý Bolzano ánh xa chỉnh hình, điều an Lu kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình n va ac th si Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 22 giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài lu an Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần n va tn to gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa p ie gh học luận văn w Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, oa nl điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên d cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong an lu nf va nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện z at nh oi lm ul Tôi xin chân thành cảm ơn z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức lu an n va Nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm gh tn to chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục p ie Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến d oa 1.1 nl w mà chúng phục vụ cho chương Luận văn lu Khái niệm tính chất nf va an 1.1.1 lm ul Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu • Phần thực z z at nh oi sau: P C ký hiệu Rez P C ký hiệu Imz z • Một miền Ω C tập mở liên thơng co l gm @ • Phần ảo z q
f pzq , z, z ∆z P Ω n ∆z ∆z va ∆z Ñ0 p f z an Lu lim € C Xét giới hạn m Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền Ω ac th si Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.5 ta có p ¸ j 1 p mj  1,  1, m1   Giống trường hợp điều kiện khơng ngặt, từ Định lý 2.2.6, ta có phiên sau Định lý điểm bất động Brouwer Hệ 2.2.7 Nếu h : Ω Ñ C hàm chỉnh hình hpB∆q € ∆ h có điểm bất động ∆ lu an Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật n va 2.2.3 gh tn to Với ký hiệu P, Pa , Pb , P c , P d đinh nghĩa mục 2.1.3, w tâm p ie hình chữ nhật ρ xây dựng (2.9), ta có  P thỏa mãn nl w Bổ đề 2.2.8 Nếu f hàm chỉnh hình Ω d oa p q   0, với z P Pa, Ref pzq ¡ 0, với z P Pb, (i) Ref z lu nf va an p q   0, với z P P c, Imf pzq ¡ 0, với z P P d, » 1 f pz q  2πi ρ f pz q (ii) Imf z z at nh oi lm ul Chứng minh Ta định nghĩa F : Ω  r0, 1s Ñ C xác định z p q  p1
λqpz
wq pq λf z l gm @ F z, λ Khi F thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.4 với λ p q  p1
λq
λRef z > 0, pq @z P P b , • ReF z, λ b a n va @z P P a , an Lu pq m λRef z < 0, a b co p q  p1
λq
• ReF z, λ P r0, 1s ta có ac th 26 si p q  p1
λq
λImf z < 0, pq @z P P c , p q  p1
λq
λImf z > 0, pq @z P P d c d • ImF z, λ d c • ImF z, λ p q pq  pq  p qPB r s B p q  p q Khi F z, λ với z, λ P 0, , theo Mệnh đề 2.2.4 ta có » » » 1 f z z F z, z F z, dz dz dz 2πi ρ f z 2πi ρ F z, 2πi ρ F z, (2.14) » dz 2πi ρ z w B p q p q
Ngồi ra, theo Mệnh đề 2.1.4, ta có lu 2πi » an n va
w  dz ρ z » dz 2πi Bγw,r z w
 (2.15)  Từ (2.14) (2.15) ta có điều cần chứng minh tn to p q   0, với z P Pa, Ref pzq ¡ 0, với z P Pb, p ie gh Định lý 2.2.9 ([7]) Nếu nl w (i) Ref z oa p q   0, với z P P c, Imf pzq ¡ 0, với z P P d, (ii) Imf z d an lu f có không điểm cấp P nf va  z at nh oi Bổ đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.8 lm ul Chứng minh Việc chứng minh Định lý 2.2.9 tương tự Định lý 2.2.6, thay p q  e
z với z P C Ví dụ 2.2.10 Cho h z z  tz P C : Rez P p0, 1q, Imz P p
1, 1qu m co p q  e
x cos y, Imhpzq 
e
x sin y, Khi Reh z l gm @ P an Lu n va ac th 27 si z P P0 ủ cos Ô Rehpzq Ô 1,
sin Ô Imhpzq Ô sin 1, z P P1 ủ e
1 cos Ô Rehpzq Ô e
1,
e
1 sin ¤ Imhpzq ¤ e
1 sin 1, z P P
1 ủ e
1 cos Ô Rehpzq Ô cos 1, e
1 sin Ô Imhpzq Ô sin 1, P P ủ e
1 cos Ô Rehpzq Ô cos 1,
sin Ô Imhpzq Ô
e
1 sin 1, Do ú hpB P q € P tồn z0 P P cho z0  e
z z Cũng giống trường hợp điều kiện khơng ngặt, từ Định lý 2.2.9 ta lu an có hệ n va Hệ 2.2.11 Nếu h : Ω tn to Đ C hàm chỉnh hình thỏa mãn hpBP q € P h p ie gh có điểm bất động P d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 28 si Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình lu an n va Chương trình bày số kết Định lý Bolzano ánh xạ gh tn to chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình p ie Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình oa nl w 3.1 d Cho Ω tập mở Cn , xét ánh xạ chỉnh hình f : Ω lu an P Ω ta tìm ánh xạ Đ Cn cho }f pzq
f paq
Lpaqpz
aq}  lim z Ña }z
a} z at nh oi lm ul pq nf va phần f1 , f2 , , fn , từ định nghĩa [4], với a tuyến tính L a : Cn Ñ Cn với thành Điều cho ta tương đương f với ánh xạ khác Ω z  pz1, z2, , znq  px1 j j, k  1, 2, , n ¥ 1, khó sử dụng mở rộng n-chiều định lý Cauchy an Lu Khi n j iyn , m j q iy2 , , xn co Bx fk  1i By fk p: Bz fk q, iy1 , x2 l z gm @ cho va Chương cách tiếp cận Chương mở rộng với việc sử dụng n ac th 29 si bậc Brouwer cho ánh xạ chỉnh hình từ Cn vào Cn mà coi ánh xạ từ R2n vào R2n Cho D tập mở, bị chặn Rn , f P C 2pD, Rnq cho R f pBDq số ε0 , µ0 thỏa mãn   ε0   µ0   }f } BD (3.1) Định nghĩa 3.1.1 Bậc Brouwer f D định nghĩa r dB f, D lu an c s » } p q} p q c f x Jf x dx, D P C pr0, 8q, Rq cho suppc € rε0, µ0s n va tn to Mệnh đề 3.1.2 Nếu D1 (3.2) ³ Rn } }  c x dx € D tập mở, bị chặn R f pDzD1q gh r s  dB rf, D1s p ie dB f, D R f pDq dB rf, Ds  oa nl w Đặc biệt, € Rn tập mở, bị chặn, f P C 2pD, Rnq z R f pB Dq, bậc Brouwer f D z, ký hiệu dB rf, D, z s định nghĩa d Định nghĩa 3.1.3 Nếu D nf va an lu r lm ul r Dễ thấy dB f, D s  dB rf p.q
z, Ds z at nh oi dB f, D, z s  dB rf, D, 0s z gm @ Kết sau chứng minh [13] Ñ Cn chỉnh hình Ω, D tập mở, bị chặn Ω R f pB Dq, bậc Brouwer dB rf, D, 0s số nguyên dương P f pDq m co l Mệnh đề 3.1.4 Nếu Ω tập mở Cn , ánh xạ f : Ω an Lu n va ac th 30 si Các thuộc tính hệ định nghĩa bậc Brouwer kiện sau: pq trận Jacobi f z P Ω (xét theo đạo hàm riêng Bz fk pz qq, Jfˆpxq ma trân Jacobi fˆ x  px1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn q (xét theo đạo hàm riêng Bx Refk pxq, Bx Imfk pxq, By Refk pxq, By Imfk pxqq, ta có Nếu ký hiệu fˆ : Ω € R2n Ñ R2n ánh xạ liên kết với f , Jf z ma j j j j j Jfˆpxq  |Jf pzq|2 ¥ 0, pzq  với số ε đủ bé, khác Lưu ý rằng, với n  γ C -chu tuyến trơn khúc, ranh giới Jf εI lu an n va D, to r s » γ pq pq f1 z dz, f z ie gh tn dB f, D, 2π p Mệnh đề 2.2.3 nói f có D số hữu hạn không điểm cô lập nl w a1 , a2 , , ap oa r s d dB f, D, an lu j 1 mj ¥ p, (3.3)  1, 2, , p Mở rộng sau kết cho nf va mj cấp aj , j p ¸ z at nh oi lm ul ánh xạ chỉnh hình từ Cn vào Cn chứng minh [13] Mệnh đề 3.1.5 Với điều kiện cho f : Ω r s € Cn Ñ Cn D € Ω tập mở, bị chặn, dB f, D, lớn số lượng không điểm cô lập z gm @ f D € Cn Ñ Cn D € Ω l Mệnh đề 3.1.6 Với điều kiện cho f : Ω co r s  f có không điểm ξ D Jf pξ q  m tập mở, bị chặn, dB f, D, an Lu n va ac th 31 si 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình Các kết phần trước cung cấp chứng minh đơn giản mở rộng định lý Bolzano cho hàm chỉnh hình từ Cn vào Cn đưa Shih [14] Ñ Định lý 3.2.1 ([7]) Cho Ω tập mở Cn , f : Ω chỉnh hình Ω, D tập mở, bị chặn D € C n ánh xạ Ω, giả sử tồn số c1 , c2 , , cn D, cho lu an n ¸ n va j 1 rp
cj qfj pzqs ¡ 0, @z P BD Re zj (3.4) to gh tn Khi f có không điểm D không điểm không suy p ie biến d oa nl w Chứng minh Xét phép đồng luân H : D  r0, 1s Ñ Cn xác định p q  p1
λqpz
cq pq H z, λ λf z an lu nf va Theo giả thiết (3.4), ta có lm ul p q  z
c  0, H z, p q  f pzq  0, @z P BD H z, z at nh oi p q P BD  p0, 1q, Hơn nữa, với z, λ rp
cj qHj pz, λqs  tp1
λq|zj
cj |2 Re zj @ j 1 rp
cj qfj pzqsu ¡ 0, λRe zj gm j 1 n ¸ z n ¸  n va theo Mệnh đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh an Lu s  dB rI, D, 0s  1, m r dB f, D, co l p q  Theo tính chất bất biến đồng luân bậc Brouwer ta có H z, λ ac th 32 si Chúng ta có kết luận tồn khơng điểm Định lý 2.2.6 với giả thiết bất đẳng thức không ngặt Định lý 3.2.2 ([7]) Cho Ω tập mở Cn , f : Ω Ω, D tập mở, bị chặn D Ñ Cn ánh xạ chỉnh hình € Ω, giả tồn số c1, c2, cn D, cho n j 1 rp
cj qfj pzqs Ơ 0, @z P BD Re zj Khi f có không điểm D lu an Chứng minh Với số nguyên dương k, xét ánh xạ fk : Ω va n p q  k1 pz
cq Ñ Cn xác định pq f z gh tn to fk z ie Ta thấy fk thỏa mãn giả thiết Định lý 3.2.1 Do đó, với k ¥ 1, fk có p P D Theo định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy pzk qnPN hội tụ z  P D Cho n Ñ đẳng thức d oa n nl w không điểm zk f zkn nf va an lu  lm ul p q  ta f z  p q  p
cq zk kn n z at nh oi Tương tự n = 1, suy từ Định lý 3.2.1 - 3.2.2, phiên tương ứng Định lý điểm bất động Brouwer z l € Ω, Ñ C n ánh xạ chỉnh hình gm Ω, D tập mở, lồi, bị chặn D @ Hệ 3.2.3 Cho Ω tập mở Cn , h : Ω co pB q € D h có điểm bất động D (2) Nếu hpB Dq € D h có điểm bất động D (1) Nếu h D m an Lu n va ac th 33 si 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình Tiếp theo xem xét tổng quát Định lý 2.2.9 Cho aj bj , cj p Ô j Ô nq, ta nh ngha m dj P  tz P Cn : Rezj P paj , bj q, Imzj P pcj , dj q, j  1, 2, , nu € Cn Định lý 3.3.1 ([7]) Cho Ω P tập mở Cn f : Ω chỉnh hình Ω cho với j (3.5) Ñ Cn ánh xạ  1, 2, , n, p q   0, @z P P , Rezj  aj , p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj lu Refj z an n va Refj z to gh tn Imfj z p ie Imfj z (3.6) Khi f có không điểm P không điểm không suy d oa nl w biến b1 p i c1 q d1 , , an tâm P, xét phép đồng luân H : P p q  p1
λqpz
wq p i cn dn qs  r0, 1s  Cn Ñ Cn xác định pq λf z , z z H z, λ bn z at nh oi lm ul  21 ra1 nf va an w lu Chứng minh Đặt P P , λ P r0, 1s m co l gm @ an Lu n va ac th 34 si Từ giả thiết (3.6) cách xây dựng w, với j  1, 2, , n, ta có p q   0, @z P P , Rezj  aj , p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj p q   0, @z P P , Rezj  aj p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj p q   0, @z P P , Rezj  aj , p q ¡ 0, @z P P , Rezj  bj , p q   0, @z P P , Imzj  cj , ReHj z, ReHj z, ImHj z, ImHj z, ReHj z, ReHj z, lu an ImHj z, va n ImHj z, to tn P p0, 1q ta có ie gh với λ p ReHj z, λ w d oa nl ReHj z, λ an lu ImHj z, λ p q ¡ 0, @z P P , Imzj  dj Từ ta thấyH pz, λq  0, @pz, λq P B P  r0, 1s Sự bất biến đồng luân bậc nf va ImHj z, λ r z at nh oi lm ul Brouwer cho ta s  dB rI
w, P, 0s  1, dB f, P, z @  theo Mệnh đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh gm co l Từ Định lý 3.3.1, suy “thuộc tính giá trị trung gian” m cho f P an Lu n va ac th 35 si Cho j  1, 2, , n, Aj  zPP,Rez max a Refj ,  zPP,Imz max c Imfj , j Cj Bj j j  zPP,Rez b j Bj j Refj , j  zPP,Imz d j Imfj , j đặt Q  tw P Cn : Rewj P pAj , Bj q, Imwj P pCj , Dj q, j  1, 2, , nu (3.7) P Q, phương trình f pz q  w có nghiệm P Hơn nữa, f : f
1 pQq Ñ Q Định lý 3.3.2 Với giả thiết Định lý 3.3.1, với w lu an n va phép đồng phôi song chỉnh hình to gh tn Chứng minh Tập mở Q xác định (3.7) rõ ràng tồn theo giả p ie thiết (3.6) ta có     Bj , Cj     Dj @j  1, 2, , n nl w Aj oa p q  f pzq
w thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3.1, tồn khơng điểm ξ g pz q P, suy tồn nghiệm ξ phương trình f pz q  w P Hơn nữa, ta thấy dB rg, P, 0s  1, sử dụng [13, Định lý 3], ta Jg pξ q  Áp dụng định lý hàm ẩn cho ánh xạ chỉnh hình ta có f : f
1 pQq Ñ Q phép đồng cấu d Khi ánh xạ chỉnh hình g z nf va an lu z at nh oi lm ul  z song chỉnh hình gm @ Tương tự phần chứng minh Định lý 3.2.2 với c thay l P tập mở Cn f : Ω Ñ Cn n va Định lý 3.3.3 ([7]) Cho Ω an Lu đẳng thức không ngặt giả thiết m co w, có kết tồn không điểm Định lý 3.3.1 bất ac th 36 si ánh xạ chỉnh hình cho với j  1, 2, , n, p q Ô 0, @z P P , Rezj  aj , p q ¥ 0, @z P P , Rezj  bj , p q Ô 0, @z P P , Imzj  cj , p q ¥ 0, @z P P , Imzj  dj Refj z Refj z Imfj z Imfj z Khi f có không điểm P Định lý 3.3.3, theo cách tương tự Định lý 3.3.2, cho ta thuộc lu an tính giá trị trung gian n va tn to Định lý 3.3.4 Với Q xác định (3.7), với giả thiết Định lý 3.3.3, P Q, phương trình f pzq  w có nghiệm P p ie gh với w  1, suy từ Định w Tương tự trường hợp n d oa nl lý 3.3.1 3.3.3 phiên tương ứng định lý điểm bất động Brouwer an lu Hệ 3.3.5 Cho tập P xác định (3.5), Ω P tập mở nf va Ñ Cn ánh xạ chỉnh hình (1) Nếu hpB P q € P h có điểm bất động P (2) Nếu hpB P q € P h có điểm bất động P Cn h : Ω z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 37 si KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu tồn không điểm, điểm bất động hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình Luận văn tìm hiểu, hệ lu an thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến vấn đề nói Cụ thể n va là: tn to p ie gh • Hệ thống số kiến thức giải tích phức nl w • Trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, ánh xạ chỉnh hình d oa • Nghiên cứu số tốn sự tồn không điểm, điểm bất động lu nf va an hàm chỉnh hình • Vận dụng kết điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda lm ul kết hợp với việc sử dụng bậc Brouwer để xét tồn điểm bất động z at nh oi Brouwer ánh xạ chỉnh hình z m co l gm @ an Lu n va ac th 38 si TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐHQG Hà Nội, (In lần năm 2009) lu an n va [2] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở Lý thuyết hàm biến phức, NXB ĐH TH tn to chuyên nghiệp, Hà Nội, (1985) p ie gh Tiếng Anh: nl w [3] B Bolzano, Rein Analytisches Beweis des Lehrsatzes Dass Zwischen je d oa Zwey Werthen, Die ein Entgegenge-setzetes Resultat Gewăahren, Wenigsten an lu Eine Reelle Wurzel der Gleichung Liege, Abhandl K Gesellschaft Wis- nf va senschaften, Prag, (1817) lm ul [4] B V Chabat, Introduction l’analyse Complexe, Vol 2, Mir, Moscow, z at nh oi (1990); English transl Vol II, Amer Math Soc., Providence, RI, (1992) z [5] J Hadamard, Sur quelques applications de l’indice de Kronecker, in J Tan- @ m co Vol 2, Hermann, Paris, (1910), 437-477 l gm nery, Introduction la Théorie des Fonctions Dúne Variable, 2nd edition, an Lu [6] W Kulpa, The Poincaré-Miranda theorem, Amer Math Monthly, 104 n va (1997), 545-550 ac th 39 si [7] J Mawhin, Bolzano’s Theorems for Holomorphic Mappings, Chin Ann Math 38B(2) (2017), 563-578 [8] J Mawhin, A simple approach to Brouwer degree based on differential forms, Advanced Nonlinear Studies, (2004), 535-548 [9] J Mawhin, Le théorème du point fixe de Brouwer: Un siécle de métamorphoses, Sciences et Techniques en Perspective, Blanchard, Paris, 10(1-2) (2006), 175-220 lu an [10] J Mawhin, Variations on Poincaré-Miranda’s theorem, Advanced Nonlin- va n ear Studies, 13 (2013), 209-217 tn to ie gh [11] G Dinca, J Mawhin, Brouwer Degree and Applications, January 17, 2009, p 17-20 w d oa nl [12] H Poincaré, Sur certaines solutions particulières du probléme des trois nf va an lu corps, Comptes Rendus Acad Sci Paris, 97 (1883), 251-252 [13] P H Rabinowitz, A note on topological degree theory for holomorphic maps, lm ul Israel J Math., 16 (1973), 46-52 z at nh oi [14] Mau-Hsiang Shih, Bolzano’s theorem in several complex variables, Proc Amer Math Soc., 79 (1980), 32-34 z gm @ [15] Mau-Hsiang Shih, An analog of Bolzano’s theorem for functions of a com- l m co plex variable, Amer Math Monthly, 89 (1982), 210-211 an Lu n va ac th 40 si