Luận án tiến sĩ về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG NINH VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái TS Vũ Hồi An THÁI NGUN-NĂM 2017 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn GS TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hồi An Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017 Tác giả Lê Quang Ninh ii Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hoài An Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tồn thể giảng viên khoa, đặc biệt Bộ môn Giải tích Tốn ứng dụng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN, Trường Đại học Thăng Long Trường Cao đẳng Hải Dương giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn PGS TSKH Tạ Thị Hoài An (hai cán phản biện) nhà khoa học Hội đồng bảo vệ luận án cấp sở tác giả dành nhiều thời gian đọc, sửa, góp ý để luận án hồn thiện tốt nhiều Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân gia đình, người chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm u thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành luận án Tác giả Lê Quang Ninh Mục lục Mở đầu Chương Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 13 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 13 1.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring hàm phân hình 17 1.3 Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 26 Chương Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 45 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 45 2.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring đường cong chỉnh hình 47 2.3 Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm 61 Chương Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường khơng Ác-si-mét 66 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 66 3.2 Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến hàm nguyên trường không Ác-si-mét 68 3.3 Xác định hàm phân hình đường cong chỉnh hình trường không Ác-si-mét 73 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học, Định lý đại số khẳng định đa thức biến khác với hệ số phức có nghiệm phức Từ suy đa thức khác với hệ số phức nhận giá trị phức Picard người mở rộng Định lý Đại số cho hàm nguyên phức mà ngày gọi Định lý Picard Định lý Picard phát biểu sau: hàm nguyên biến khác mặt phẳng phức C nhận giá trị phức, trừ giá trị Vào thập niên kỷ XX, Nevanlinna xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình C mà ngày gọi lý thuyết Nevanlinna Kết lý thuyết Nevanlinna hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác C Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Hà Huy Khối người xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p-adic Ơng học trị xây dựng tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số p-adic mà ngày thường gọi lý thuyết Nevanlinna p-adic Họ đưa hai Định lý cho hàm phân hình ánh xạ chỉnh hình p-adic Năm 1926, R.Nevanlinna chứng minh rằng: Với hai hàm phân hình f g mặt phẳng phức C, chúng có ảnh ngược (khơng tính tính bội) điểm phân biệt f = g (Định lý điểm) g có af + b (a, b, c, d số phức thỏa mãn ad − bc 6= 0) f dạng cf + d g có ảnh ngược (kể bội) điểm phân biệt (Định lý điểm) Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p-adic) vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm phân biệt mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna (hoặc tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Có hai hướng mở rộng Định lý điểm Hướng thứ nhất: Xét nghịch ảnh riêng rẽ điểm cho hàm nghịch ảnh siêu phẳng, siêu mặt cho ánh xạ chỉnh hình trường hợp phức p-adic vấn đề xác định hàm ánh xạ chỉnh hình Hướng thứ mở rộng tự nhiên Định lý điểm Vấn đề xác định theo hướng thứ nghiên cứu liên tục mạnh mẽ với kết nhiều tác giả: M.Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Ha Huy Khoai, L.Lahiri, G.Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương Năm 1977, F.Gross đưa ý tưởng không xét ảnh ngược điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược tập hợp điểm C ∪ {∞} Ông đưa hai câu hỏi sau: i) Tồn hay không tập S C ∪ {∞} để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn hay không hai tập Si , i = 1, C ∪ {∞} để với hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, ta có f = g? Các cơng trình trả lời câu hỏi F.Gross hình thành phát triển hướng thứ hai: Xét nghịch ảnh tập hợp điểm cho hàm trường hợp phức p-adic hàm ánh xạ chỉnh hình Hướng thứ hai nhận nhiều kết sâu sắc F.Gross C.C.Yang, H.X.Yi, B.Shiffman, C.C.Yang-X.Hua, E.Mues- M.Reinders, P.Li, H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, Hà Huy Khoái, A.Escassut, Liên quan đến vấn đề hàm phân hình khái niệm đa thức nhất, đa thức mạnh phương trình hàm C.C.Yang X.Hua [37] năm 1997 B.Shiffman năm 2001 nghiên cứu vấn đề khơng tồn cặp hàm phân hình (hoặc hàm nguyên) khác phân biệt f, g thỏa mãn P (f ) = P (g) Năm 2000, H.Fujimoto [12] xây dựng lớp đa thức mạnh mà tập nghiệm tập xác định Năm 2004, Hà Huy Khoái C.C.Yang [18] nghiên cứu vấn đề phương trình hàm P (f ) = Q(g) Năm 2010, F.Pakovich [27] mô tả nghiệm hàm nguyên phương trình P (f ) = Q(g) Năm 2011, Tạ Thị Hoài An [2] xây dựng hai lớp đa thức mạnh mà tập nghiệm chúng tập xác định Từ kết trên, nhận thấy: công việc xây dựng tập xác định gồm hai bước Bước Từ điều kiện ảnh ngược Ef (S) = Eg (S) E f (S) = E g (S) đưa đến phương trình hàm P (f ) = cP (g), S tập nghiệm đa thức P khơng có nghiệm bội, c 6= Bước Dùng hai Định lý kỹ thuật đánh giá để chứng minh c = chứng minh phương trình P (f ) = P (g) có nghiệm f = g dùng tính hyperbolic Brody đường cong để chứng minh phương trình P (f ) = cP (g), c 6= có nghiệm f = g Trong [33], M.Shirosaki xây dựng siêu mặt X xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính Cơng việc xây dựng siêu mặt X gồm bước: Một là, dùng điều kiện bội giao để đưa phương trình hàm nhiều biến hàm nguyên f1 , , fN +1 ; g1 , , gN +1 Hai là, chứng minh nghiệm phương trình có dạng (f1 , , fN +1 , γg1 , , γgN +1 ), γ hàm ngun khơng có khơng điểm Từ đó, chúng tơi có nhận xét rằng: Phương trình hàm P (f ) = P (g) (P (f1 , , fN +1 ) = P (g1 , , gN +1 )) gắn bó mật thiết với vấn đề xác định hàm phân hình (đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính) Có thể nói rằng: tập xác định (theo hướng thứ hai) nảy sinh vấn đề nghiệm phương trình hàm P (f ) = P (g) ngược lại Từ đây, nảy sinh hai câu hỏi Câu hỏi 1: Vấn đề vơ nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm nhất, mơ tả nghiệm, phương trình hàm P (f ) = Q(g) liên quan đến ảnh ngược tập hàm phân nào? Câu hỏi 2: Vấn đề vơ nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm nhất, mơ tả nghiệm, phương trình hàm nhiều biến hàm nguyên P (f1 , , fN +1 ) = Q(g1 , , gN +1 ) liên quan đến ảnh ngược siêu mặt đường cong chỉnh nào? Hai câu hỏi có liên quan đến vấn đề nghiên cứu F.Pakovich [26] Đinh Tiến Cường [10], [11] Trong [26] có nhắc lại câu hỏi sau C C Yang: "Cho f1 , f2 hai đa thức phức, S = {−1, 1} f1−1 (S) = f2−1 (S) Khi f1 = f2 f1 = −f2 ?" Câu hỏi C.C.Yang giải [36] Họ chứng minh rằng: Đối với tập compact K ∩ C chứa hai điểm hai đa thức bậc f1 (z), f2 (z), đẳng thức f1−1 (K) = f2−1 (K) suy f1 (z) = σ(f2 (z)) Ở σ(z) = za + b, a, b ∈ C, cho σ(K) = K Kết mở rộng cho hai đa thức khác có bậc (Xem [11]) Năm 2007, F.Pakovich [26] có ý tưởng xét ảnh ngược hai tập compact hữu hạn vô hạn K1 , K2 ∈ C hai đa thức phức f1 , f2 Ông đưa câu hỏi sau: "Với điều kiện f1 , f2 , K1 , K2 f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 )?" Nhằm góp phần trả lời câu hỏi Gross, Pakovich, câu hỏi 1, làm phong phú thêm nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna, lựa chọn luận án: "Về xác định hàm ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm" Luận án nghiên cứu vấn đề sau: Cho Si , Ti ⊂ C ∪ {∞} , Si 6= ∅, Ti 6= ∅, i = 1, , k; Xi , Yi siêu mặt PN (C), i = 1, , k Vấn đề 1: Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược Si , Ti Vấn đề 2: Xác định đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính qua điều kiện ảnh ngược Xi , Yi Vấn đề 3: Tương tự Vấn đề Vấn đề cho trường hợp p-adic Mục tiêu luận án 2.1 Tìm Si , Ti , i = 1, , k, với điều kiện: Tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) E f (Si ) = E g (Ti ), i = 1, , k Khi đó, mơ tả f, g liên hệ với Vấn đề hàm phân hình 2.2 Tìm Si , Ti , i = 1, , k, với điều kiện: Khơng tồn hai hàm phân hình khác f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) E f (Si ) = E g (Ti ), i = 1, k 2.3 Tìm Xi , Yi , i = 1, , k với điều kiện: Tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, , k Khi đó, mơ tả f, g liên hệ với Vấn đề đường cong chỉnh hình 2.4 Tìm Xi , Yi , i = 1, , k với điều kiện: Khơng tồn hai đường cong chỉnh hình khơng suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, , k Ở đó, νfX hàm bội giao đường cong chỉnh hình f siêu mặt X Luận án tập trung vào nghiên cứu mục tiêu trường hợp i = 2.5 Tìm tập Si để từ E f (Si ) = E g (Si ) xác định f, g với f, g hàm phân hình p-adic 2.6 Tìm siêu mặt X xác định đường cong chỉnh hình p-adic khơng suy biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm phân hình, đường cong chỉnh hình, tính chất nghiệm số phương trình đa thức, ứng dụng Lý thuyết Nevanlinna phân bố giá trị ánh xạ chỉnh hình vào tốn xác định ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược tập hợp Phương pháp công cụ nghiên cứu Công cụ dùng để giải ba vấn đề nêu hai Định lý lý thuyết Nevanlinna tương tự nó, kiểu Bổ đề Borel tương tự trường hợp p-adic Sử dụng công cụ trường hợp tập Si , Ti siêu mặt Xi , Yi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, luận án chúng tơi tìm tập Si , Ti tập − ak bi − bk (C1 ) a − a b − b 6= 0, j k j k với i, j, k phân biệt thuộc {1, 2, , q} Định lý 3.3.1 Giả sử điều kiện (C1 ) thỏa mãn Cho f, g hai hàm phân hình K thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, , q Khi f = g g1 f1 , g = ; f2 g2 cặp hai cặp hàm (f1 , f2 ); (g1 ; g2 ) khơng có khơng điểm chung Từ Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, , q, ta có hệ phương trình hàm Chứng minh Giả sử f không đồng g Viết f = f12 + f1 f2 + bi f22 = li (g12 + g1 g2 + bi g22 ), (3.12) li ∈ K, li 6= 0, i = 1, , q Xét trường hợp sau Trường hợp Tồn j ∈ {1, , q} để f không nhận nghiệm Pj Khơng làm tính tổng qt ta giả sử j = Từ (3.12) ta có
li g12 + g1 g2 + bi g22 f12 + f1 f2 + bi f22 = f12 + f1 f2 + b1 f22 l1 (g12 + g1 g2 + b1 g22 ) 74 Đặt li = hi , i = 2, , q ta có l1

g22 g + g + bi f22 f + f + bi = hi 2 , f22 (f + a1 + b1 ) g2 (g + a1 + b1 ) f + f + b i g + g + bi = hi , f + a1 + b1 g + a1 + b1 (g − ci )(g − di ) (f − ci )(f − di ) = hi (f − c1 )(f − d1 ) (g − c1 )(g − d1 ) (3.13) Gọi A tập hợp phương trình (3.13) có tính chất: Với phương trình thứ i thuộc A tồn i 6= j, j 6= cho f −1 (cj ) ∩ g −1 (cj ) 6= ø f −1 (dj ) ∩ g −1 (dj ) 6= ø (3.14) Trường hợp 1.1 #A ≥ Chú ý rằng, f hàm phân hình khác nên f khơng nhận giá trị Khơng làm tính tổng qt, giả sử hai phương trình ứng với i = 2, i = (3.13) thuộc A Do (3.13) nên h1 = 1, h3 = Khi g + a2 g + b f + a2 f + b2 = , f + a1 f + b1 g + a1 g + b f + a3 f + b3 g + a3 g + b = f + a1 f + b1 g + a1 g + b Rút gọn hai phương trình ta có g= (b1 − b2 )f + (a2 b1 − a1 b2 ) , (a2 − a1 )f + (b2 − b1 ) g= (b1 − b3 )f + (a3 b1 − a1 b3 ) (a3 − a1 )f + (b3 − b1 ) Do (b1 − b2 )f + (a2 b1 − a1 b2 ) (b1 − b3 )f + (a3 b1 − a1 b3 ) = (a2 − a1 )f + (b2 − b1 ) (a3 − a1 )f + (b3 − b1 ) 75 Từ suy a2 − a1 b2 − b1