(Luận văn) ánh xạ chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH lu an n va p ie gh tn to ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HẠNH lu an n va ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI TÍCH THỰC ie gh tn to p Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 d oa nl w an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài công bố Tôi xin cam đoan tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên lu an Nguyễn Thị Hạnh n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th i si M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan i Mục lục ii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.2 Đa tạp phức 1.3 Hàm đa điều hòa 10 lu an 1.4 Miền giả lồi 11 n va 1.5 Miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 12 tn to 1.6 Thác triển giải tích 16 gh Chương ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC SIÊU MẶT GIẢI p ie TÍCH THỰC 19 2.1 Sự thác triển dây chuyền ánh xạ chỉnh hình 19 w oa nl 2.1.1 Một số khái niệm liên quan 19 d 2.1.2 Sự tham số hóa dây chuyền 20 lu 2.2 Sự thác triển liên tục va an 25 u nf 2.3 Sự liên tục giải tích 31 ll 2.4 Một vài ứng dụng 40 m oi KẾT UẬN 42 z at nh TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si LỜI MỞ ĐẦU Thác triển chỉnh hình tốn trung tâm Giải tích phức Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn đề khoảng thập kỷ qua có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Cho đến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay cịn gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs lu Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua tập mỏng (tức tập có độ đo Lebegue an 0) Thác triển kiểu gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann va n Một hướng nghiên cứu thác triển chỉnh hình kiểu tn to ie gh Riemann thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt p Thác triển giải tích mầm ánh xạ siêu mặt thực nl w thu hút nhiều ý nhà toán Poincaé ngư i khởi xướng d oa trư ng hợp siêu mặt nguồn siêu mặt đích có số chiều Vào năm 1974, Fefferman [6] chứng tỏ an lu ánh xạ song chỉnh hình thác triển thành ll u nf va miền giả lồi mạnh có biên lớp đồng cấu vi phân bao đóng ̅ ̅ liên tục giải tích lân cận bao đóng ̅ biên oi m Với kết định lý tác giả Fefferman chứng minh [12] z at nh giải tích thực Do vậy, vấn đề tương đương song chỉnh hình miền z siêu mặt giải tích thực giả lồi mạnh l hợp biên gm @ dẫn đến tương đương song chỉnh hình biên chúng Trong trư ng , m co tốn tương đương song chỉnh hình địa phương siêu mặt an Lu nghiên cứu cơng trình nghiên cứu Poincaré [10] Cartan [8] Chern Moser [11] gần hồn chỉnh tốn Pinčuk [12], n va ac th si chứng minh tương đương song chỉnh hình đoạn nhỏ tùy ý kéo theo tương đương toàn cục đương miền và kéo theo tương Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại kết nghiên cứu Pinčuk [12] liên tục giải tích ánh xạ chỉnh hình tương đương song chỉnh hình siêu mặt giải tích thực ( ) dẫn tới liên hệ với song chỉnh hình miền giả lồi mạnh Nội dung luận văn trình bày hai chương lu Chương 1: Trình bày kiến thức sở ánh xạ chỉnh hình, hàm an chỉnh hình, đa tạp phức, tập giải tích, hàm đa điều hịa dưới, ngun lí thác va n triển chỉnh hình to gh tn Chương 2: Trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nghiên cứu p ie thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt giải tích thực Pinčuk [12] nl w Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, em ln nhận oa hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư d phạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến an lu u nf va cô xin gửi l i tri ân em điều cô dành cho em Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào Tạo sau Đại học, ll oi m quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22B (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư z at nh phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học z gm @ Em xin gửi l i cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngư i l động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho em suốt trình học m co tập thực luận văn an Lu n va ac th si Mặc dù cố gắng nhiều luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong có ý kiến đóng góp thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hạnh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1 Hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1: Giả sử M tập mở gọi khả vi phức hàm hàm số, tồn ánh xạ tuyến tính cho | ( ) ( ) | | lu | | an ( ) | | (∑ va n khả vi phức lân gọi chỉnh hình chỉnh hình gh tn to cận ⁄ | | ) gọi chỉnh hình Hàm ( )| điểm thuộc ie p lập nên hai hình cầu đóng ̅ )| {| } nối với đoạn d } Xác định ( )| } { hàm an lu | | ( oa {| nl ̅ w Ví dụ: Giả sử tập va ̅ ( ) ̅ ll u nf { m xây dựng lân z at nh cận , với điểm oi Rõ ràng liên tục thác triển vào hàm chỉnh hình Thật vậy, với / ̅ , lấy lân cận z điểm ̅ kể giao điểm @ gm hình cầu khơng giao với ̅ thác triển Với điểm ̅ , làm tương tự, khác đặt ( ) l ( ) vào cách đặt m co Cuối cùng, điểm , ta lấy hình cầu khơng chứa an Lu đầu mút đoạn đó, đặt n va ac th si 1.1.2 Ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 1.1.2: Một ánh xạ ( viết dạng ) Khi hàm tọa độ gọi chỉnh hình ( ) Định nghĩa 1.1.3: Ánh xạ chỉnh hình với gọi song chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình song ánh, chỉnh hình Định lí 1.1.4: Cho lu ( miền ánh xạ ) ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình an va hàm chỉnh hình trong Khi , n 1.1.3 Siêu mặt thực to M gọi siêu mặt thực với tồn lân cận cho * trị thực w p ie gh tn Cho M tập ̅) + với nhận giá ( ) gọi hàm xác định địa phương d hàm giải tích thực trơn gọi siêu mặt giải tích thực trơn 1.2.1 Định nghĩa ví dụ ll u nf va 1.2 Đa tạp phức an lu Nếu ( hàm khả vi liên tục oa nl Hàm m oi Định nghĩa 1.2.1: Cho M không gian tôpô Hausdorff z at nh  Cặp ( ) gọi đồ địa phương M, V một ánh xạ, điều kiện sau z tập mở M @ i) ( ) tập mở ( ) đồng phôi m co ii) l gm thỏa mãn: an Lu n va ac th si  Họ   (Vi , i )iI M gọi tập đồ giải tích (atlas) M điều kiện sau thỏa mãn i) Vi iI phủ mở M, ii) Với Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) ánh xạ chỉnh hình gọi tương đương hợp Xét họ atlas X Hai atlas chúng atlas X Dễ thấy tương đương atlas lập thành quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương gọi cấu trúc khả vi phức X X với cấu trúc khả vi lu phức gọi đa tạp phức n chiều an n va Ta biết rằng, lớp tương đương hoàn toàn xác định đại tn to diện Do atlat khả vi hồn tồn xác định cấu trúc khả vi miền Khi đó, D đa tạp phức n chiều với ie gh Ví dụ 1: Cho )+ p đồ địa phương *( ( ) nl w Ví dụ 2: Đa tạp xạ ảnh * + xác định d oa Xét quan hệ tương đương để * + an lu ) * + Rõ ràng * + với tôpô thương }với u nf va ( { Đặt ( ) Ta gọi ( ) ll phủ mở cửa m oi Xét đồng phôi cho ( z at nh ( ) ̂ ) z @ ) ( [( )] ) hai đồ địa phương ) ( ) cho công thức ( ) i < j an Lu ( ) m co Giả sử ( ( l xạ ngược cho gm Ở đó, kí hiệu ^ có nghĩa số hạng mũ bỏ Khi ánh n va ac th si Giả sử định lí 2.2.3 sai Khi đó, tồn số cho | cung độ dài ( ⁄ | ) Giả sử ( ) ảnh , cung có - , ( ) với chuỗi - , - Theo bổ đề 2.1.5, ta có: , ̇ ( )/  - hi Giảm cần thiết, ta giả sử rằng: lu an , va Rõ ràng, max  - ̇ ( )/ hi ta có: n gh tn to | ̃| | | đó, theo (2.10) (2.11) p ie Khơng tính tổng qt, giả sử | ta có d oa Vì | | | tr n nl w | ̃ | , - ̃ Nhưng lu va an ̃ u nf ̃ ∑ ̅ ll ̅ oi m nên Vì tập Nhắc lại )| nên ta có ; điều mâu thuẫn với (2.14) l gm ̃ ( bị chặn ̃ @ |̃ ( ) ̃ z hi hàm ̃ đơn điệu tăng z at nh ̃ m co Do bổ đề chứng minh an Lu Dưới kết thác triển liên tục giải tích nội dung quan trọng luận văn n va ac th 29 si Bổ đề 2.2.4: Cho  miền lồi, siêu mặt giả * tích thực giả lồi chặt (ASPC) khơng có dạng cầu, + đóng tương đối lồi chặt,  compact ( ) ánh xạ chỉnh hình tập: * (∑ Khi đó, ánh xạ +, )  ( ) thác triển liên tục Chứng minh: Xét điểm tùy ý Để đơn giản giả sử lu * an ánh xạ chỉnh hình tập ( ) , + với ( ) n va (| |) lân cận điểm gốc * + Điều tn to thực cách lựa chọn hệ tọa độ thích hợp Đối với toạ độ Г, xét trư ng vectơ: p ie gh địa phương w oa nl Chúng ta xét trư ng vectơ lân cận đủ nhỏ điểm gốc mà chúng khơng tiếp xúc phức Với d ta kí hiệu lu theo hướng va an dây chuyền qua điểm , dây chuyền m - tham số Lấy vi phân oi thừa nhận z at nh , + với cho ll * tương ứng điểm lân cận u nf Chọn theo tham số theo định lý hàm ẩn, giả sử qua điểm + có xác dây chuyền ̃ ( ) dạng @ đư ng cong gẫy tạo thành từ Kí hiệu l gm chuyền ̃ ̃ ( ) dạng tập dây z * ta đưa tham số , - cho ( m co đoạn dây chuyền ̃ ( ) ̃ ̃ ( ) xác định điều kiện Trên ) [ ̃( ) ] ( ) an Lu n va ac th 30 si ̃ ̃ ( ) Khơng khó để kết xây dựng ( ) tức điểm trơn 〈 (trong ̇〉 hàm số xác định mêtric , Ta xét hệ tọa độ ( lu )| ) ( an va n gh tn to ( hội tụ lân cận của điểm ) Cho ̃ bất đẳng thức cho ⁄ hồn tồn Theo bổ đề 2.2.3 tồn )| ̃ , p ie cho ), mà dây xác định ánh xạ liên tục ( tùy ý, chọn lận cận ̃ ) | | const Mà theo bổ đề 2.2.3 hạn chế hàm điểm gốc Vì | ( ̇ ( )/ có phương trình chuyền ) Hơn nữa, với vài -, ta có Trong lân cận cuả điểm ( ), ta có | ( ) ( )| ( )| ⁄ oa nl w Từ suy | ( ) d Bổ đề chứng minh lu an 2.3 Sự liên tục giải tích u nf va Để chứng minh kết tính liên tục giải tích f trước hết ta -) họ miền bị chặn, z at nh đặt @ phụ thuộc liên tục vào ta có ) ọ ( - tồn an Lu ( m co l gm cho | | ⁄ Giả sử điều kiện đường cong trơn khúc phụ thuộc liên tục vào Các hàm Với ) z sau thỏa mãn: Các biên ( oi hàm chỉnh hình , m ( Bổ đề 2.3.1: Cho ll chứng minh bổ đề sau: n va ac th 31 si (̅ Tồn điểm Khi | | trên ̅ * +) * + Chứng minh: Theo ba điều kiện đầu hàm ( Gọi | | trùng với không điểm xạ bảo giác đĩa Do | biên ( ) lu , không điểm hàm hội tụ tới | ( )| Do đó: an điểm Từ dạng tích Blaschkke ta có lim va n ( )| ánh (nếu chạy qua tích Blaschke) Khi đó, trên | ( ̅ ) hàm mà cho không điểm ) ( ̅ ) | có số khơng điểm với lim| ( )| với lim| ( ) ( )| gh tn to Bổ đề chứng minh ( , -) họ siêu mặt ASPC cho p ie Bổ đề 2.3.2: Cho lân cận điểm gốc phương trình: oa nl w d Trong hàm ( ) ( ) (| | ) ̅ ) phương trình vi phân dây chuyền oi ̅ ) phụ thuộc liên tục vào với cố định z at nh Chứng minh: xác định hướng dây chuyền điểm z Đặt ) ̅ m ( (2.15) ll ( ) ) ̅ u nf Khi ̅ ( va an mặt ( ( phụ thuộc liên tục vào lu ( ) Đặt ( ) | | @ Do đó, cách l gm Khơng tính tổng qt, ta giả sử dùng phép biến đổi phân đoạn tuyến tính ta chọn hệ tọa độ địa m co phương mà giữ nguyên mặt | | , phép biến đổi biến hướng an Lu n va ac th 32 si chọn thành hướng trục thuộc liên tục ( ) Hơn nữa, dạng tổng quát (2.15) phụ ( ) vào không bị ảnh hưởng , S.S Chern J.K Moer [11] chứng tỏ với - lân cận điểm gốc tồn phép đổi tọa độ: ( ) ( ) thỏa mãn điều kiện: e ( ) ( ) o(| |) Mà phép biến đổi tọa độ biến dây chuyền lu đư ng phương trình , an | ∑ n va | thành đoạn theo tọa độ ( ) ̅ ( (2.16) trở thành: ) tn to ( ) ie gh ( ) ( ) phương (Theo tham số hóa dây chuyền đưa dạng chuẩn tắc) p trình nl w Nếu theo tọa độ dây chuyền ) ( d oa theo (2.16) có ( ( xác định bới phương trình ) ), từ đó: an lu ( )( ( ) ( ) u nf va ̅) ⁄ ll S.S Chern J.K Moer [11] chứng tỏ rằng, m oi biểu diễn hợp hệ số khai triển ̅ ( ) ) theo lũy z at nh thừa ( , tổng bậc lũy thừa không lớn z Chú ý: Nếu với , phương trình (2.15) có dạng chuẩn tắc cách ( )( ̅) | , hồn tồn , tồn dây chuyền thỏa mãn điều kiện sau: an Lu Bổ đề 2.3.3: Với điểm thông thường m co không phụ thuộc vào lân cận | l gm @ tính tốn chi tiết cho ta thấy: qua n va ac th 33 si * + mặt giải tích qua ( Nếu ) * + * + Chứng minh : ̃̇ ( ) , chọn dây chuyền ̃( ) ̃( ) Đặt Ta xét hệ tọa độ địa phương lân cận phương trình có dạng chuẩn tắc (2.1) ̃ cho phương trình Theo tọa độ * lu đó: mà ( ) + an thông thư ng hàm xác định ( ) n va qt khơng tuyến tính) với hàm thực (tổng ( ) Theo cách chọn dây tn to chuyền ̃( ), ta có: )( ) p ie gh ( ( ) ( đơn w Qua phép biến đổi tọa độ thích hợp dạng oa nl nguyên), mà giữ nguyên dạng chuẩn tắc , ta giả sử rằng: ( ) với ( ) d ( ) (| | ) an lu u nf va Thực phép biến đổi tọa độ: ( ll √ m Đối với hệ tọa độ phương trình có dạng: oi z at nh | | ∑ xác định điều kiện: √t ̅ (√ ) (2.17) z ) ( ) với (2.18) dây chuyền xác định đủ nhỏ, với điều kiện an Lu phương trình ) m co Ta chứng tỏ lấy (√ l √ gm @ √ n va ac th 34 si ( ) ( ) Do đó, với ( ) ( √ Khai triển ( )/ (√ ( √ ) (| ( ) ) )| ) ) công thức Taylor’s lấy theo giá trị cho ta ( ) | ( )| lu ( an m va n Vì ) ) xác định từ phương trình ( thu được: (v i đủ nhỏ ta có: m ( ( ) ) ( ) m ( ) ta có: tn to nên: (√ ( √ ) )| ( √ ) p ie gh | ( ) ( √ ) d oa nl w m ta thu mặt phụ thuộc liên tục vào qua giới hạn u nf va an lu Các hệ số khai triển vế phải (2.17) theo chuỗi lũy thừa | | Vì vậy, dây chuyền xác định ll m oi Thực ra, dây chuyền giao mặt với đư ng phẳng phức, đặc ( ) với điều kiện ban đầu z at nh ( biệt dây chuyền ) giao mặt ( ) ( ) | | với đư ng thẳng * z ( ) gm @ + Bằng cách tính tốn đơn giản ta có Chúng ta đưa + ( ⁄ )( ) Khi tập * cho + tương ứng với phẳng an Lu * tham số phức m co l Do đó, theo bổ đề 2.3.2, (2.19) thỏa mãn với đủ nhỏ n va ac th 35 si tập * + tham số hóa phương trình lân cận điểm gốc có dạng: ( ) ( ) ( ) vào (2.18) ta thu bất đẳng thức ( Thay xác định Vì điều với đạo hàm theo cận ̃ vế trái * √ , nên tồn lân ( cho bất đẳng thức phẳng ( ) ) ( theo phần trên), √ √ ( ) ) + Bổ đề chứng minh lu dây chuyền thỏa mãn điều kiện 1), 2) bổ đề 2.3.3 an Cho , phương trình n va Giả sử + tn to * * + thì: gh Với đưa dạng chuẩn tắc (1.1), p ie * | | + xác định chỉnh hình * ( ) nl w Do ( ) Bổ đề 2.3.4: Tồn + an Theo Bổ đề 2.2.4, *̃ + ̃ hàm giả tích thực đa điều hòa m oi chặt lân cận  ̃| z at nh Trong lân cận điểm gốc ̃ có chuỗi khai triển thành lũy thừa ( ) cho: ̅ ̅ ( ) m co l ∑ gm ̅) @ ̃( ̅ Ta chọn hệ z tọa độ Giả sử ll  thác triển liên tục tới điểm u nf va Chứng minh: ( ) tập lu *| | thác triển chỉnh hình + d oa cho | | dấu ba chấm biểu thị cho số hạng có bậc cao )  an Lu Vì ( ta có: n va ac th 36 si ̃( ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( )) ( ) Xét trư ng vectơ Г: mà ( Tại điểm ⁄ ) )( ) vectơ ( ) Ứng dụng tuyến tính tạo thành sở ( độc lập vào (2.21), ta thu phương trình: ̃ ∑ )̅ ( ( ) lu Chia phần tử tổng cho ̃⁄ an kí hiệu ̃⁄ ̃ n va ta viết lại phương trình dạng sau: to ̃ ̃ Xét phương trình hệ phương trình tuyến tính p ie gh tn ∑ ( ) Do nl w ̃ ̃ ( )( ) vectơ ) d oa ( ⁄ độc lập tuyến tính điểm gần điểm gốc Vì vậy, an lu u nf va lân cận đủ nhỏ điểm gốc, định thức nghiệm chúng ll trình tuyến tính khơng triệt tiêu đa thức ( ) z @ z at nh oi ̃ ̃ m viết dạng sau: hệ phương ( ) ( ) + l gm * Khi đó, ta giả sử (| |) Giảm số dương cần ta thu tập * | | + * m co ( ) + an Lu n va ac th 37 si với thuộc đoạn , chứa biểu diễn dạng - Biên , đó: *| | * + | | + ⁄ Các hạn chế hàm đư ng cong giải tích thực, ta giả sử chúng thác triển chỉnh hình qua *| | + , (v{ c|c hạn chế ̅ với thác triển chỉnh hình qua lu (Ta kí hiệu thác triển chỉnh hình an n va ), trên v{ ) * + với v{ tương , với có số hữu hạn - khơng điểm mà không phụ thuộc vào gh tn to ( , ̅ ứng ) Thay đổi nhỏ đi, ta thu được: Nhưng tập - Vì vậy, hạn chế hàm tr n hàm số có khơng nhiều m khơng điểm p ie Vì vậy, chí với Giảm lần nữa, ta giả sừ w ⁄ ⁄ d Theo bổ đề 2.3.1, hàm bị chặn lu thác triển liên tục tới ̅ ta giảm Vì vậy, hàm cho | ⁄ | va an cho trước Theo (2.20) áp dụng định lí hàm ẩn để giải (2.21) (2.22) ̅ ll u nf ̅ với theo oa nl (2.20) (2.22) ta có: oi m ( ) z at nh ̅ ( ) z ⁄ ) l | ( gm | (Ở m co lân cận | | @ ̅ chỉnh hình) hàm an Lu n va ac th 38 si Theo chứng minh vế phải (2.23) hàm chỉnh hình liên tục ̅ ; vế bên trái phản chỉnh hình bổ đề 2.3.1 S I Pinčuk [12] với , , , liên tục ̅ Theo thác triển chỉnh hình theo lân cận điểm Định lí 2.3.5: Cho ,  siêu mặt ASPC khơng có dạng cầu lân cận điểm  ,, tập liên thông  compact Giả sử tồn ánh xạ chỉnh hình khác ( ) cho Khi liên tục giải tích dọc đường ánh xạ lu song chỉnh hình địa phương an va Chứng minh: n to gh tn Ta sử dụng kí hiệu bổ đề Xét hợp thành ̃ p ie Vì lân cận , nên ̃ Ta có đánh giá sau w hàm điều hịa dưới: tồn , ta có ̃ d oa nl cho với ) khoảng cách từ điểm tới ) u nf (̃ va ( ( ( ( )| an lu |̃ ( ) ll ∑̃ ) ) Từ đó: ( ) ( ) thức ̃ ( ) với * )( ) ⁄ + lân cận gm @ dây chuyền ta thu ( z Vì vậy, ảnh )( ) tồn theo bổ đề 2.3.4 Ta tính tốn đẳng z at nh ⁄ oi m đạo hàm ( đư ng cong không suy biến nơi transversal với phẳng tiếp xúc phức tới lân cận điểm gốc Ta đưa mặt nên dây chuyền m co dây chuyền ngồi điểm l Bởi dạng chuẩn tắc ( đưa dạng an Lu n va ac th 39 si chuẩn tắc), cho phương trình hệ tọa độ ánh xạ hữu tỷ có dạng: √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( Theo [11], ( ) ) chứng minh bổ đề 2.3.4, hạn chế hàm đơn nguyên Theo *| | tới + chỉnh hình Vì vậy, khơng có khơng kì dị điểm gốc, chỉnh hình lân cận điểm Định lí chứng minh 2.4 Một vài ứng dụng Ở trên, ta chứng minh định lí 2.3.5 Nếu biên khơng có dạng hình cầu theo định lí 2.3.5, f liên tục dọc đư ng Theo lu an n va hình thác triển thành ánh xạ chỉnh ̅ Ánh xạ song chỉnh hình, nghịch ảnh có từ ̅ tn to định lí Osgood- Brown, liên thơng gh Trong trư ng hợp có dạng cầu ta có định p ie kết liên tục w lí sau từ [12] Định lý 2.4.1: Cho lân cận liên thông điểm d thông đơn, oa nl giải tích thực giả lồi chặt có biên liên lu ) va an ánh xạ chỉnh hình khơng liên tục cho ( giải tích thực giả lồi chặt có biên liên thơng m ánh xạ chỉnh hình Khi song chỉnh hình địa oi z at nh phương z Chứng minh: @ cho ̅ Theo [7] thác triển chỉnh { an Lu hệ định lí 2.3.5 khơng có dạng cầu định lí 2.4.2 m co ̅ biên thác l triển ánh xạ tới lớp điểm gm Theo Alexander [9], tồn lân cận hình vào thác triển ll Định lí 2.4.2: Cho Khi u nf thành ánh xạ song chỉnh hình n va ac th 40 si { Giả sử biên triển chỉnh hình ̅ thác triển liên tục trê ̅ điểm ( ) cận có dạng cầu Ta cần chứng minh có dạng cầu lân tồn taị ánh xạ song chỉnh hình thành mảnh hình cầu *| | biến đổi thác Theo định đề 2.1.4, ánh xạ + liên tục dọc hướng biên đồng th i song chỉnh hình địa phương , Giả sử đư ng ( ) tới điểm Do đó, lân cận - ( ) liên tục tới điểm ( ) chỉnh hình ánh xạ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 41 si KẾT UẬN Thơng qua luận văn này, tơi tìm hiểu số vấn đề thác triển chỉnh hình siêu mặt thực cụ thể luận văn đạt kết sau:  Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu  Phần trọng tâm luận văn trình bày kết thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt giải tích thực Bài tốn nghiên cứu thác triển chỉnh hình siêu mặt giải tích thực ln tốn mở ngư i nghiên cứu Một số vấn đề mà lu luận văn chưa trình bày tiếp tục nghiên cứu an n va Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, tn to th i gian khả có hạn chế nên có nhiều cố gắng luận gh văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến p ie quan tâm để luận văn hoàn thiện d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 42 si TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt [1] Trần Anh Bảo (1976), Lý thuyết hàm số biến số phức, Nxb Giáo Dục [2] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nxb Đại Học Sư Phạm [3] Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2000), Hàm biến phức, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Khuê – Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nxb Giáo Dục [5] B V Sabat, Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khối dịch (1979), Nhập mơn lu giải tích phức, tập 2, Nxb Đại Học Trung Học Chuyên Nghiệp an n va Tài liệu tiếng anh gh tn to [6] Charles Fefferman, The bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent Math 26 (1974), – 65 p ie [7] D Burns, Jr and S Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, w Invent Math 33 (1976), 223 – 246 oa nl [8] Élie Cartan, Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de d l’éspace de deux variables complexes I, II, Ann Math Pura Appl (4) 11 an lu (1932/33), 17 – 90; Ann Scuola Norm Sup Pisa (2) (1932), 333 – 354 u nf va [9] Herbert Alexander, Holomorphic mappings from the ball and polydisc, Math Ann 209 (1974), 249 – 256 ll oi m [10] Henri Poincaré, Les fonctions analytiques de deux variables et la z at nh representation conforme, Rend Circ Mat Palermo 23 (1907), 185 – 220 [11] S S Chern and J K Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, z Acta Math 133 (1974), 219 – 271 @ gm [12] S I Pinčuk, On the analytic continuation of holomorphic mappings, Mat m co l Sb 98 (140) (1975), 416 – 435; English transl in Math USSR Sb 27 (1975) an Lu [13] S I Pinčuk, On proper holomorphic mappings of strictly pseudoconvex domains, Sibirsk Mat Ž 15 (1974), 644 – 649; English transl in Siberian Math J 15 (1974) n va ac th 43 si