(Luận văn thạc sĩ) định lý bolzano cho ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN TRUNG CHÁNH ĐỊNH LÝ BOLZANO CHO ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH h Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2021 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức 1.1 1.1.1 Khái niệm tính chất 1.1.2 Các định lý nguyên lý Một số vấn đề ánh xạ chỉnh hình nhiều biến 1.2.1 Khái niệm tính chất 1.2.2 Các định lý nguyên lý 10 h 1.2 Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến Chương Định lý Bolzano hàm chỉnh hình 2.1 12 Sự tồn khơng điểm hàm chỉnh hình 12 2.1.1 Một điều kiện đơn giản cho tồn không điểm 12 2.1.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho tồn khơng điểm hình trịn 2.1.3 15 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho tồn không điểm hình chữ nhật i 18 2.2 Tính khơng điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.1 Cấp không điểm hàm chỉnh hình 23 2.2.2 Điều kiện Hadamard-Shih ngặt biên miền bị chặn 25 2.2.3 Điều kiện Poincaré-Miranda ngặt biên hình chữ nhật Chương Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình 26 29 3.1 Bậc Brouwer số ứng dụng cho ánh xạ chỉnh hình 29 3.2 Các điều kiện Hadamard-Shih cho ánh xạ chỉnh hình 32 3.3 Các điều kiện Poincaré-Miranda cho ánh xạ chỉnh hình 34 38 Tài liệu tham khảo 39 h Kết luận ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU K : Trường số thực R số phức C C : Mặt phẳng phức R : Trường số thực pq dB rf, Ω, z s Jf z : Ma trận Jacobi f z : Bậc Brouwer f Ω z h MỞ ĐẦU r sÑR Định lý Bolzano phát biểu rằng, hàm số liên tục f : a, b r s nhận giá trị trái dấu a b triệt tiêu a, b Khụng mt tớnh p q Ô Ô f pbq tổng quát, ta giả sử f a r s Nếu ta xét a, b hình cầu R với tâm c r  a b bán kính  b
2 a điều kiện Bolzano viết cách tương đương sau px
cqf pxq ¥ |
c|  r với x (1) h Một tổng quát n-chiều Định lý Bolzano bao gồm việc xem xét p q Ñ Rn, với B pc, rq hình cầu mở tâm c P Rn, bán ánh xạ liên tục f : B c, r kính r ¡ tổng quát điều kiện (1) dạng xx
c, f pxqy ¥ }
c}  r, với x (2) x, y }  } tương ứng ký hiệu tích (vô hướng) thông thường chuẩn Euclide Rn Trong chứng minh Định lý điểm bất động Brouwer (được giới thiệu vào năm 1910 [5]), cách sử dụng mở rộng cho tích phân Kronecker cho hàm số liên tục, Hadamard chứng tỏ điều kiện (2) kéo theo p q tồn không điểm f B c, r Điều xem mở rộng n-chiều Định lý Bolzano Một mở rộng khác xem xét khối hộp mở P  pa1, b1q  pa2, b2q      pan, bnq  pf1, , fnq : P Ñ Rn mở rộng điều kiện Bolzano cách yêu cầu rằng, với j  1, , n, ta có fj ¤ x P P xj  aj ; fj ¥ x P P xj  bj Về mặt hình học, tập Rn , ánh xạ liên tục f mặt đối diện P Khi f có khơng điểm P điều kiện phát biểu chứng minh Poincaré vào năm 1883 [12] sử dụng học thiên thể Vì lịch sử phức tạp (xem, chẳng hạn [8]), kết thường gọi định lý Poincaré-Miranda, chứng minh gần tìm thấy [6, 10] h Một phiên Định lý Bolzano cho hàm biến phức f chỉnh hình lân cận mở, bị chặn phù hợp Ω € C đặt Mau-Hsiang Shih [15] Ông ta chứng minh f có khơng điểm Ω r p qs ¡ BΩ Chứng minh ông ta dựa Định lý Rouché áp dụng cho hàm số f g với g pz q  αpz q α  inf z PBΩ Rerzf pz qs{ supz PBΩ |z |2 Re zf z Với ý r p qs  Rez  Ref pzq Re zf z  pq Imz Imf z , điều kiện Shih điều kiện Hadamard với c  dấu bất đẳng thức nghiêm ngặt Mục tiêu Luận văn nghiên cứu phiên Định lý Bolzano ánh xạ chỉnh hình từ miền Cn nhận giá trị Cn , n ¥ 1, vài áp dụng Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu tồn không điểm hàm chỉnh hình hình cầu hình chữ nhật mặt phẳng phức điều kiện dấu biên Áp dụng kết tốn nói liên quan đến định lý điểm bất động Brouwer hàm chỉnh hình Mở rộng định lý Bolzano cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức hữu hạn chiều Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành h ba chương Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục mà chúng phục vụ cho chương Luận văn Chương 2: Bao gồm kết Định lý Bolzano hàm chỉnh hình, tồn khơng điểm hàm chỉnh hình, tính nghiệm hàm chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda Chương 3: Trình bày Định lý Bolzano ánh xa chỉnh hình, điều kiện Hadamard-Shih, điều kiện Poincaré-Miranda ánh xạ chỉnh hình Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Thống kê, quý thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 22 giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn h Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương Một số kiến thức sở Giải tích phức Nhắc lại số kiến thức sở giải tích phức, số vấn đề hàm chỉnh hình biến ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, nhắc lại khái niệm phép đồng luân, số kết điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục h mà chúng phục vụ cho chương Luận văn 1.1 1.1.1 Một số vấn đề hàm chỉnh hình biến Khái niệm tính chất Ký hiệu K trường số thực R phức C Chúng sử dụng ký hiệu sau: • Phần thực z • Phần ảo z P C ký hiệu Rez P C ký hiệu Imz • Một miền Ω C tập mở liên thông Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền Ω lim ∆z Ñ0 p f z q
f pzq , ∆z ∆z z, z ∆z € C Xét giới hạn P Ω