(Luận văn thạc sĩ) định lý giá trị trung bình lagrange một số mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THÚY NGA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THÚY NGA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thúy Nga h LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Huỳnh Minh Hiền người tận tình hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Thống kê, Phòng sau Đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Tốn K21 giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! h Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Hồ Thúy Nga Mục lục Mở đầu Một số định lý giá trị trung bình cổ điển v 1.1 Định lý Rolle 1.2 Định lý giá trị trung bình Lagrange 1.3 Định lý giá trị trung bình Cauchy Một số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange 2.1 Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến 7 h 2.1.1 Định lý giá trị trung bình Flett 2.1.2 Định lý giá trị trung bình Trahan 10 2.2 Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực hai biến 12 2.3 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ biến thực 16 2.4 Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ hai biến thực 18 2.5 Định lý giá trị trung bình cho hàm mặt phẳng phức 23 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange giải tốn phổ thơng 31 3.1 3.2 3.3 Chứng minh bất đẳng thức 31 3.1.1 Cơ sở lý thuyết 31 3.1.2 Áp dụng 32 Chứng minh tồn nghiệm phương trình 34 3.2.1 Cơ sở lý thuyết 34 3.2.2 Áp dụng 35 Giải phương trình 38 iii 3.4 3.5 3.6 3.3.1 Cơ sở lý thuyết 38 3.3.2 Áp dụng 39 Tính giới hạn dãy số 42 3.4.1 Cơ sở lý thuyết 42 3.4.2 Áp dụng 43 Tìm giá trị trung gian 44 3.5.1 Cơ sở lý thuyết 44 3.5.2 Áp dụng 45 Một số toán ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange kỳ thi học sinh giỏi 46 Kết luận 53 h iv Mở đầu Định lý giá trị trung bình định lý quan trọng có nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Trong chương trình tốn học phổ thơng, định lý giá trị trung bình ứng dụng khai thác nhiều kì thi Olympic chọn học sinh giỏi, chẳng hạn chứng minh bất đẳng thức, chứng minh tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, tính giới hạn dãy số, Tuy nhiên chương trình tốn phổ thơng chương trình đại học, giới thiệu định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến, cần tìm hiểu cho hàm tổng quát hàm số thực biến, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm mặt phẳng phức nghiên cứu sâu ứng dụng dạng mở rộng định lý h Với suy nghĩ đó, mục tiêu luận văn nhằm cung cấp thêm cho cho em học sinh, sinh viên, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu u thích mơn tốn, tài liệu, ngồi kiến thức cịn có thêm kiến thức số tập nâng cao, qua thấy rõ dạng toán ứng dụng phong phú Định lý Rolle, Định lý Lagrange số định lý mở rộng khác Hơn nữa, luận văn định hướng phương pháp giải cho dạng toán cụ thể Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương trình bày số định lý giá trị trung bình cổ điển Rolle, Lagrange, Cauchy Chương trình bày số mở rộng Định lý giá trị trung bình Lagrange cho hàm số thực biến, hàm số thực biến, hàm giá trị véctơ biến thực, hàm giá trị véctơ biến thực hàm mặt phẳng phức Chương cuối trình bày số ví dụ toán thi học sinh giỏi ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả v Chương Một số định lý giá trị trung bình cổ điển h Một định lý quan trọng phép tính vi phân Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý lần khám phá Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ý tưởng việc sử dụng Định lý Rolle vào hàm bổ trợ thích hợp đưa Ossian Bonnet (1819-1892) Tuy nhiên, phát biểu định lý đưa báo nhà vật lý tiếng André-Marie Ampére (1775-1836) Định lý Rolle Michel Rolle (1652-1719) đưa năm 1690, chứng minh năm 1691 Sau định lý giá trị trung bình cho hàm số thực biến 1.1 Định lý Rolle Chứng minh Định lý Rolle dựa vào hai kết sau Bổ đề 1.1 ([5]) Nếu hàm f : [a, b] → R, khả vi đạt cực trị điểm c thuộc khoảng mở (a, b), f (c) = Chứng minh Giả sử hàm số f : [a, b] → R đạt giá trị cực đại điểm c ∈ (a, b), tức f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ (a, b) Vì c ∈ (a, b) nên ta chọn hai dãy số {pn }n≥1 ⊂ (a, b) {qn }n≥1 ⊂ (a, b) cho n → ∞ pn → c, qn → c pn ≤ c, qn ≥ c, ∀n ≥ Vì c điểm cực đại hàm số f (a, b) với n, f (pn )−f (c) ≤ f (qn ) − f (c) ≤ Do với n ≥ 1, ta có f (pn ) − f (c) ≥0 pn − c f (qn ) − f (c) ≤ qn − c Theo giả thiết, f khả vi c, tức tồn giới hạn sau f (x) − f (c) = f (c) x→c x−c lim Do ≤ lim n→∞ f (qn ) − f (c) f (pn ) − f (c) = f (c) = lim ≤ n→∞ pn − c qn − c Vậy f (c) = Thực tương tự với trường hợp hàm số f đạt cực tiểu điểm c ∈ (a, b) ta thu f (c) = Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.2 ([5]) Nếu hàm số f : [a, b] → R liên tục f đạt cực trị đoạn [a, b] h Chứng minh Đặt M = sup {f (x), x ∈ [a, b]} Vậy với n ≥ 1, n ∈ N, tồn điểm cn ∈ [a, b] cho |M − f (cn )| < 1/n Vì dãy {cn }n≥1 ⊂ [a, b] nên theo Định lý Bolzano-Weierstrass, tồn dãy {cnk }k≥1 hội tụ, đặt lim cnk = d Vì f hàm liên tục đoạn [a, b], f (cnk ) → f (d) k → ∞ k→∞ Mặt khác, |M − f (cnk )| < 1/nk , ∀k ≥ 1, M = lim f (cnk ) = f (d) k→∞ Vậy hàm số f đạt giá trị cực đại đoạn [a, b] giá trị cực đại M Tương tự, đặt N = inf {f (x), x ∈ [a, b]}, f đạt cực tiểu [a, b] giá trị cực tiểu N Bổ đề chứng minh Định lý 1.1 (Rolle,[5]) Nếu hàm số f liên tục [a, b], khả vi (a, b) f (a) = f (b) tồn điểm η ∈ (a, b) cho f (η) = Chứng minh Vì f liên tục [a, b], theo Bổ đề 1.2 f đạt cực đại cực tiểu [a, b] Nếu hai giá trị đạt điểm a, b giá trị cực đại giá trị cực tiểu Do f hàm Suy f (η) = với η ∈ (a, b) Nếu f đạt cực trị điểm η ∈ (a, b) theo Bổ đề 1.1 f (η) = Ví dụ 1.1 Xét hàm số f (x) = x2 − 4x + liên tục đoạn [1, 3], khả vi khoảng (1, 3) có đạo hàm f (x) = 2x − 4, ∀x ∈ [1, 3] Ta có f (1) = f (3) = Rõ ràng, ∈ (1, 3) f (2) = Ý nghĩa hình học: Định lý Rolle giải thích mặt hình học sau: Nếu có đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm f hai điểm có tiếp tuyến nằm ngang đồ thị điểm nằm hai giao điểm đồ thị đường thẳng cho h Hình 1.1: Biểu diễn hình học Định lý Rolle 1.2 Định lý giá trị trung bình Lagrange Định lý 1.2 (Lagrange,[5]) Nếu f : [a, b] → R hàm số liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b), tồn điểm η ∈ (a, b) cho f (a) − f (b) = f (η) a−b