Mô hình toán kinh tế

Phần I : Mô hình toán kinh tế và phương pháp mô hình trong phân tích kinh tế. Câu 1. Trình bày ngắn gọn nội dung của các kiến thức về: a.Hệ số co giãn, hệ số tăng trưởng, hệ số thay thế. b.Mô hình tối thiểu hóa chi phí của doanh nghiệp khi sản lượng cho trước, mô hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước. c.Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp. Câu 2. Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có các nội dung đã trình bày ở Câu 1, sau đó giải chi tiết các bài tập đó. Phần II : Bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT). Câu 3. Trình bày ngắn gọn nội dung của các kiến thức về: a.Bài toán QHTT (Mục đích giải, khái niệm, các dạng của bài toán QHTT, tính chất của bài toán QHTT). b.Bài toán đối ngẫu và ứng dụng của bài toán đối ngẫu vào việc giải bài toán QHTT. Câu 4. Cho 3 ví dụ là bài toán thực tế và thực hiện các yêu cầu sau cho mỗi bài toán: a.Lập mô hình bài toán QHTT cho bài toán thực tế (gọi là bài toán (P)). b.Giải bài toán QHTT (P) bằng phương pháp đơn hình. Viết bài toán đối ngẫu của bài toán (P) và giải bằng định lý đối ngẫu.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ U CẦU Phần I : Mơ hình tốn kinh tế phương pháp mơ hình phân tích kinh tế Câu Trình bày ngăn gon nơi dung cua cac kiên thưc vê: a Hê sô co gian, sô tăng trưởng, sô thay thê b Mô hình tơi thiểu hóa chi phí cua doanh nghiêp sản lượng cho trước, mơ hình tơi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước c Mơ hình tơi đa hóa lợi nhuận cua doanh nghiêp Câu Cho ví dụ tập cụ thể có cac nơi dung đa trình bày Câu 1, sau giải chi tiêt cac tập Phần II : Bài tốn Quy hoạch tuyến tính (QHTT) Câu Trình bày ngăn gon nơi dung cua cac kiên thưc vê: a Bài toan QHTT (Mục đích giải, khai niêm, cac dang cua toan QHTT, tính chât cua toan QHTT) b Bài toan đôi ngẫu ưng dụng cua toan đôi ngẫu vào viêc giải toan QHTT Câu Cho ví dụ toan thưc tê thưc hiên cac yêu câu sau cho mơi toan: a Lập mơ hình toan QHTT cho toan thưc tê (goi toan (P)) b Giải toan QHTT (P) băng phương phap đơn hình c Viêt toan đơi ngẫu cua toan (P) giải băng đinh ly đôi ngẫu BÀI LÀM Phần I : Mơ hình tốn kinh tế phương pháp mơ hình phân tích kinh tế Câu Trình bày ngăn gon nơi dung cua cac kiên thưc vê: a) Hê sô co gian, sô tăng trưởng, sô thay Hê sô co gian:  Hê sơ co gian riêng tồn phân: Để đo tỉ lê cua sư thay đổi tương đôi (tưc thời) cua biên nôi sinh với sư thay đổi tương đôi cua biên ngoai sinh, người ta dùng sô co gian (hê sô co gian riêng) ‐ Hê sô co gian riêng cua y theo x tai �0 : � ��� (�0 ) ��(�0 ) �0� = (� = 1,2, , �) ��� �(�0 ) � Tai �0 , �� tăng 1% cac biên khac khơng đổi y thay đổi xâp xỉ ��� (�0 ) % ‐ ‐ � Nêu sô co gian ��� (�0 ) > (< 0) x y thay đổi (ngược) chiêu Hê sơ co gian chung (tồn phân) cua y theo �1 , �2 , , �� tai �0 : � � (� ) = � �=1 � ��� (�0 ) Khi cac biên �1 , �2 , , �� thay đổi 1% y thay đổi xâp xỉ băng �� (�0 ) % ‐ Hê sơ co gian cua y (riêng tồn phân) phụ thc điểm tính, tưc phụ thuôc vào cac biên ngoai sinh Tuy nhiên, nêu quan y cac biên α α α ngoai sinh có dang: y = α0 x11 x22 xnn với α0 , α1 , , αn cac tham sô (dang hàm Cobb - Douglas), chưng minh răng: � ��� (�) = �� (� = 1,2, , �) đó: �� = � � �=1 �  Cac tính chât cua sơ co gian ‐ Xét hàm y = f(x) x = g(w) Khi đó: �� = �� × � = �� × ��� ‐ � �� � Xét hàm y = f(�1 , �2 , , �� ) Ta đinh nghĩa: + Hàm cận biên theo �� : Mfi = ∂f ∂�� y (1); + Hàm trung bình theo �� : Afi = �� (2) � �� � � Từ (1) (2) suy ra: ��� = �� � = Hê sô tăng trưởng: � Mfi Afi (� = 1,2, , �) �  Hê sô tăng trưởng: Nêu trường hợp mơ hình có biên ngoai sinh biên thời gian, sư biên đông cua biên nôi sinh theo thời gian đo băng sô tăng trưởng (nhip tăng trưởng) ‐ Yêu câu: Cân đo lường tỉ lê (%) thay đổi cua biên nôi sinh theo đơn vi thời gian ‐ Hê sô tăng trưởng cua y theo thời gian: �� = ‐ Xét hàm y = f(�1 , �2 , , �� , �) khả vi theo t �� �� � Ý nghĩa: Hê sô tăng trưởng ry (%) đo tỉ lê biên đông cua biên nôi sinh theo thời gian  Cac tính chât cua sơ tăng trưởng: ‐ Xét hàm y = f(x1 (t), x2 (t), , xn (t)) Khi đó: ry = Hê sơ thay thê: y n ε r i=1 xi xi Xét hàm sô y = f(�1 , �2 , , �� ) tai �0 Khi �(�0 ) = �0 ‐ Yêu câu: Nêu cho hai biên ngoai sinh thay đổi cô đinh cac biên khac cho biên nôi sinh y không thay đổi, tưc � = �0 Yêu câu xac đinh sư thay đổi cua hai biên ngoai sinh với tỉ lê thay thê ‐ ‐ Tỉ lê (hê sô) thay thê goi sô thay thê biên (lao đơng vơn,…) Ta tính sơ thay thê dưa vào cơng thưc vi phân toàn phân: dy = f1 dx1 + f2 dx2 + + fi dxi + + fj dxj + + fn dxn Cho hai biên xi xj thay đổi, y xk (k ≠ i, j) không đổi nên từ cơng thưc vi phân tồn phân ta có: fi dxi + fj dxj = ⇔ Ta có cac kêt luận sau: ‐ fj dxi =− dxj fi x0 = MRS(i, j) Nêu MRS(i, j) < tai �0 u tơ y thay thê cho yêu tô j với tỉ lê −MRS(i, j).Tỉ lê cho ta biêt giảm (tăng) mưc xj mơt đơn vi phải tăng (giảm) mưc xi đơn vi để giữ nguyên mưc cua y goi sô ‐ thay thê (cận biên) cua xi xj Nêu MRS(i, j) > tai �0 u tơ y u tơ j bổ sung cho với tỉ lê MRS(i, j).Tỉ lê cho ta biêt tăng (giảm) mưc xj môt đơn vi phải tăng (giảm) mưc xi đơn vi để giữ nguyên mưc cua y goi sô ‐ bổ sung (cận biên) cua xi xj Nêu MRS(i, j) = tai �0 yêu tô y yêu tô j thay thê bổ sung cho b) Mô hình tơi thiểu hóa chi phí doanh nghiêp sản lượng cho trước, mơ hình tơi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước Mơ hình tơi thiểu hóa chi phí cua doanh nghiêp sản lượng cho trước: ‐ Nôi dung: Với mưc sản lượng dư kiên (Q) cac yêu tô đâu vào (PK , PL ) cho ‐ Mơ hình: Xac đinh K, L ≥ cho TC = PK K + PL L → thỏa điêu kiên ‐ ‐ trước Doanh nghiêp cân lưa chon mưc sử dụng cac yêu tô đâu vào (K, L) cho chi phí nhỏ nhât f(K, L) = Q Q, K, L biên nôi sinh; TC, PK , PL biên ngoai sinh Phân tích mơ hình cưc tiểu hóa chi phí: Lập hàm Lagrange l(K, L, λ) = PK K + PL L + λ[Q − f(K, L)] Để l đat gia tri nhỏ nhât điêu kiên cân là: f(K, L) = Q f(K, L) = Q �� �� =�−� =0 ⇔ PK ��/�� �� �� = �� �� PL ��/�� =�−� =0 �� �� Hàm chi phí TC(Q, K, L) nêu xét ngăn han ta xem gia yêu tô mua vê không đổi TC ‐ Chi phí trung bình AC = ‐ MC(Q0 ) = λ∗ với Q0 sản lượng ưu λ∗ goi nghiêm ưu cua � ‐ Chi phí biên MC = ∂TC ∂Q Q Mơ hình tơi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước: ‐ Nôi dung: Với mưc sản lượng dư kiên (Q) cac yêu tô đâu vào (PK , PL ) cho trước Doanh nghiêp cân lưa chon mưc sử dụng cac yêu tô đâu vào (K, L) cho mưc sản lượng lớn nhât ‐ Mơ hình: Xac đinh K, L ≥ cho Q = f(K, L) → max thỏa điều kiện PK K + ‐ Phân tích mơ hình cưc tiểu hóa chi phí: Lập hàm Lagrange PL L = TC Q, K, L biên nôi sinh; TC, PK , PL biên ngoai sinh l(K, L, λ) = Q + λ[TC − PK − PL ] ‐ Để l đat gia tri nhỏ nhât điêu kiên cân là: ‐ MC(Q0 ) = 1/λ∗ sản lượng ưu λ∗ nghiêm ưu cua � PK K + PL L = M PK K + PL L = M �� �� = − �PK = PK ��/�� ⇔ �� �� = �� �� PL ��/�� = − �PL = �� �� c) Mơ hình tơi đa hóa lợi nhuận doanh nghiêp ‐ ‐ Kí hiêu TR(Q) doanh thu doanh nghiêp cung ưng tiêu thụ thi trường mưc sản lượng Q Như đa nói, ta có cac đinh nghĩa doanh thu biên MR doanh thu trung bình AR sau đây: MR(Q) = dTR dQ ; AR(Q) = TR Q Goi TC(Q) chi phí tương ưng với Q (có tính tơi ưu vê kinh tê) lợi nhuận là: π(Q) = TR(Q) − TC(Q) → max dTR dTC (MR = MC) ‐ Điêu kiên cân để có tơi ưu là: ‐ Doanh nghiêp người châp nhận gia nên gia ban sản phẩm P biên ngoai sinh dQ Với thi trường canh tranh hoàn hảo = dQ P không đổi theo mưc cung cua doanh nghiêp Doanh nghiêp cư vào hàm sản xuât, hàm chi phí gia P để xac đinh mưc cung đa hóa lợi nhuận Ta có: TR(Q) = P.Q ‐ Điêu kiên ưu: P = MC ‐ Điêu kiên đu: �'' (�) < ⇔ MR' < MC' Nghĩa là, đơi với doanh nghiêp canh tranh hồn hảo, ho chon sản lượng đem cung ưng cho thi trường mưc mà chi phí biên băng gia ban Thi trường đơc qun ‐ Do khơng có sản phẩm canh tranh thay thê nên doanh nghiêp có tồn qun quyêt đinh gia ban mưc cung để đa hóa lợi nhuận, mưc câu cua thi trường băng mưc cung cua doanh nghiêp, tưc là: P = P(Q) Trong trường hợp π(Q) = TR(Q) − TC(Q) → max có hai biên nơi sinh P Q ‐ Thông thường P hàm nghich biên cua Q nên tồn tai hàm ngược Q = Q(P) Thưc chât, hai hàm P = P(Q) Q = Q(P) đêu thể hiên mơt mơi quan hê, quan gia mưc câu cua thi trường + Nêu biểu diễn quan băng hàm Q = Q(P) hàm goi hàm câu (xi) Ý nghĩa: Nêu doanh nghiêp đôc quyên quyêt đinh gia P mưc câu cua thi trường (cũng mưc cung cua doanh nghiêp Q(P) + Nêu biểu diễn quan băng hàm P = P(Q) hàm goi hàm câu (ngược) Ý nghĩa: Nêu doanh nghiêp đôc quyên cung ưng cho thi trường mưc Q phải đinh gia P cân băng mưc câu cua thi trường ‐ Doanh thu: TR = P(Q).Q ‐ Điêu kiên đu: �'' (�) < ⇔ MR' < MC' ‐ dP Điêu kiên ưu: P(Q) + Q dQ = MC(Q) Hàm hai biên thi trường canh tranh hoàn hảo ‐ Giả sử doanh nghiêp có hàm sản xuât Q = f(K, L) K vơn L lao ‐ Đơi với doanh nghiêp canh tranh hồn hảo ta có toan: ‐ Điêu kiên cân để hàm hai biên ưu ta phải có: P MPK = PK P MPL = PL đông; gia vôn PK , gia lao đông PL ; gia ban sản phẩm cua doanh nghiêp P Hay xac đinh mưc sử dụng vôn lao đông để đat lợi nhuận cao nhât π = PQ − (PK K + PL L) = P f(Q, L) − (PK K + PL L) → max Hàm hai biên thi trường canh tranh đơc qun ‐ Giả sử doanh nghiêp có hàm sản xt Q = f(K, L) K vơn L lao ‐ Đôi với doanh nghiêp đôc qun, toan có dang: đơng; gia vơn PK , gia lao đông PL ; gia ban sản phẩm cua doanh nghiêp P Hay xac đinh mưc sử dụng vôn lao đông để đat lợi nhuận cao nhât π = PQ − (PK K + PL L) = P(f(K, L)) f(K, L) − (PK K + PL L) → max ‐ Điêu kiên cân để hàm hai biên tơi ưu ta phải có: ‐ Đơi với hai doanh nghiêp ta ln có: ‐ Đơi với doanh nghiêp canh tranh hồn hảo ta có: P(f(K, L)) MPK = PK P(f(K, L)) MPL = PL Phân tích so sanh tĩnh ��∗ ��∗ ∗ =− � �à =− �∗ �PK �PL ��∗ �� = �∗ Câu Cho ví dụ tập cụ thể có cac nơi dung đa trình bày Câu 1, sau giải chi tiêt cac tập Ví dụ 1: Mơt doanh nghiêp đơc qun có hàm chi phí biên MC = 3Q2 − 2Q − 700 hàm doanh thu trung bình AR = 2000 – Q Q mưc sản lượng cua hang a) Hay xac đinh hàm tổng chi phí TC nêu chi phí đinh FC = 30; hàm doanh thu biên MR b) Hay xac đinh mưc cung gia ban cua hang c) Phân tích tac đông cua FC đên sản lượng ưu mưc lợi nhuận đa cua doanh nghiêp d) Tai FC = 30, nêu FC giảm 2% sản lượng tơi ưu mưc lợi nhuận đa cua hang biên đông thê nào? Bài làm a) TC = MCdQ = Q3 − Q2 − 700Q + 30 TR = AR Q = (2000 − Q) Q = 2000Q − Q2 suy MR = b) Điêu kiên cân để lợi nhuận đat đa: dTR dQ = 2000 − 2Q MR = MC hay 2000 − 2Q = 3Q2 − 2Q − 700 Giải phương trình ta Q = 30 tương ưng với gia ban P = 1970 Lợi nhuận tơi ưu: �∗ = 53970 c) Vì FC khơng có phương trình MR = MC nên FC không tac đông đên sản lượng ưu �∗ Lợi nhuận ưu: �∗ = (2000�∗ − �∗ ) − (�∗ − �∗ − 700�∗ + ��) Vì ��∗ =− < nên FC tac đông ngược chiêu đên lợi nhuận đa �� d) Chi phí đinh khơng tac đơng đên sản lượng ưu ∗ ���� = ��∗ �� 30 ∗ = ( − 1) ≈− 0,0005 ��� � 53970 Như vậy, tai FC = 30, nêu FC giảm 2% lợi nhuận tơi đa tăng 0,001% Ví dụ 2: Cho hàm sản xuât Y(t) = 0,2K0,4 L0,8 Trong K = 120 + 0,1t; L = 300 + 0,3t a) Tính sơ co gian cua Y theo K L b) Tính sơ tăng trưởng cua vôn K, lao đông L Y c) Hay cho biêt hiêu cua viêc tăng qui mô sản xuât trường hợp Bài làm a) Ta có: Y = 0,2K0,4 L0,8 �(�∣�) = �(�∣�) �� � 0,2.0,4 K−0,6 L0,8 K = = 0,4 �� � 0,2K0,4 L0,8 �� � 0,2.0,8 K0,4 L−0,2 L = = = 0,8 �� � 0,2K0,4 L0,8 b) Hê sô tăng trưởng cua vôn K: �� = �� 0,1 = �� � 120 + 0,1� Hê sô tăng trưởng cua lao đông L: �� = �� 0,3 0,1 = = �� � 300 + 0,3� 100 + 0,1� Hê sô tăng trưởng cua Y: �� 0,2[0,4.0,1(120 + 0,1�)−0,6 + 0,8.0,3(300 + 0,3�)−0,2 ] �� = = �� � 0,2(120 + 0,1�)0,4 (300 + 0,3�)0,8 = = 0,04(120 + 0,1�)−0,6 + 0,24(300 + 0,3�)−0,2 (120 + 0,1�)0,4 (300 + 0,3�)0,8 0,04 0,24 0,04 0,08 + + = 120 + 0,1� 300 + 0,3� 120 + 0,1� 100 + 0,1� c) Ta có: �� = ��/� + ��/� = 0,4 + 0,8 = 1,2 Vậy: Trong điêu kiên cac yêu tô khac không đổi, nêu K L tăng lên 1% Y tăng lên 1,2% Ví dụ 3: Mơt doanh nghiêp đơc qun có hàm câu P = 70 – 3Q hàm tổng chi phí TC = Q3 − Q AD, Q sản lượng AD chi phí quảng cao a) Với AD = 4, hay xac đinh mưc sản lượng mưc gia ban ưu cua doanh nghiêp b) Phân tích tac đơng cua chi phí quảng cao đên sản lượng mưc gia ban ưu c) Tai mưc AD = nêu chi phí quảng cao tăng 2% mưc sản lượng tơi ưu mưc gia ban ưu thay đổi thê nào? Bài làm a) Với AD = 4, TC = Q3 − 2Q Điêu kiên cân để lợi nhuận đat đa: P'(Q)Q + P(Q) = MC hay ( − 3)Q + 70 − 3Q = 3Q2 − Giải phương trình ta Q = Thử điêu kiên đu ta thây điêu kiên đu cua mô hình tơi ưu b) Goi sản lượng gia ban ưu lân lượt �∗ �∗ �∗ nghiêm cua phương trình: ( − 3)Q + 70 − 3Q = 3Q2 − AD hay 3Q2 + 6Q − AD − 70 = Đặt F = 3Q2 + 6Q − AD − 70 Theo công thưc đao hàm riêng cua hàm ẩn, ta có: ��∗ =− ��� �� ��� �� ��∗ = − AD 6�∗ + >0 Theo công thưc đao hàm cua hàm hợp, ta có: ��∗ ��∗ ��∗ = nên K = 25, L = 100 −0,015 nghiêm cua mơ hình ưu b) Nêu gia vôn gia lao đông đêu tăng tỉ lê điêu kiên (*) (**) khơng đổi nghiêm tơi ưu khơng đổi � � � � �� c) �� = �� × �� = �' × �� Thay sơ liêu giả thiêt ta được: ��� � = � 10 ��� d) Ta có: �� = �∗ , � ��� ��� = �∗ Nên gia vôn, gia lao đông tac đơng chiêu đên tổng chi phí Ví dụ 5: Môt doanh nghiêp sản xuât hai mặt hàng với sản lượng Q1 , Q2 , ban thi trường canh tranh hồn hảo có hàm tổng chi phí TC = 2Q21 + 3Q1 Q2 + 3Q22 Gia cac mặt hàng P1 = 20 P2 = 30 a) Tìm cac mưc sản lượng để lợi nhuận doanh nghiêp đat đa b) Tai cac mưc sản lượng câu a), nêu tăng sản lượng hai mặt hàng thêm 5% chi phí biên đơng thê nào? c) Giả sử nhà nước đanh thuê tổng doanh thu cua công ty với thuê suât t (0 < t < 1) Khi nêu doanh nghiêp trì mục tiêu lợi nhuận tơi đa sản lượng cua cac mặt hàng bao nhiêu? Bài làm a) Ta có hàm lợi nhuận: π Q1 , Q2 = 20Q1 + 30Q2 − (2Q21 + 3Q1 Q2 + 3Q22 ) Điêu kiên cân để lợi nhuận đat cưc đai: π'Q1 = 20 − 4Q1 + 3Q2 = Q =2 ⇔ ⇔ ' Q2 = 30 − 3Q1 + 6Q2 = πQ2 = Ta có: A = π''Q1Q1 =− 4, B = π''Q1 Q2 =− 3, C = π''Q2 Q2 =− ⇒ ∆ = AC − B2 = 15 > Q1 = ∆>0 Vì nên tai lợi nhuận cua doanh nghiêp đat cưc đai Q2 = A