Bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN CHO TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Sinh viên thực hiện: Hoàng Văn Hùng Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Lương Thanh Hoá, tháng 4/2022 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Văn Lương giúp đỡ, hướng dẫn tận tình suốt trình học tập, nghiên cứu khoa học thực khóa luận Em xin cảm ơn thầy ngành Tốn, khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ em 04 năm học Trong q trình làm khóa luận khơng thể tránh sai sót, em mong góp ý từ thầy để hồn thiện khóa luận em Thanh Hóa, ngày 07 tháng 06 năm 2022 Sinh viên Hồng Văn Hùng i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan khóa luận kết q trình làm việc nghiêm túc, cố gắng, nỗ lực từ thân hướng dẫn, bảo tận tình thầy TS Nguyễn Văn Lương Trong trình thực khóa luận, tơi có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu Một số kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề dãy số thực 1.2 Một số vấn đề không gian Euclide Bài toán bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh 13 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 13 2.2 Sự tồn nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân 14 2.3 Chặn sai số cho toán bất đẳng thức biến phân 19 2.4 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân 25 2.4.1 Phương pháp chiếu cho toán tử liên tục Lipschitz 25 2.4.2 Phương pháp chiếu cho toán tử bị chặn 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Mở đầu Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân (tên tiếng Anh: Variational Inequality, viết tắt VI) Hartman Stampacchia giới thiệu vào năm đầu thập niên 60 kỷ trước Bất đẳng thức biến phân mơ hình tốn học bao gồm nhiều khái niệm quan trọng toán học toán cân mạng, hệ phương trình phi tuyến, tốn điểm bất động, toán tối ưu, Ngày nay, bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Các vấn đề quan trọng bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm phương pháp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân Hiện tại, có nhiều báo đề cập tới phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Trong đó, phương pháp để giải tốn bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu Để tìm hiểu tốn bất đẳng thức biến phân tạo điều kiện cho nghiên cứu xa hơn, lựa chon đề tài “Bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh” Mục tiêu nghiên cứu Trình bày số kết bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh bao gồm: tồn nghiệm, chặn sai số phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức cho toán tử giả đơn điệu mạnh Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nghiệm thuật toán giải bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Thu thập, phân loại, tổng hợp tài liệu liên quan tới toán tử giả đơn điệu mạnh, bất đẳng thức biến phân Nội dung nghiên cứu • Các khái niệm kết không gian Euclide • Bài tốn bất đẳng thức biến phân • Sự tồn nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh • Chặn sai số bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh • Phương pháp chiếu xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Cấu trúc khoá luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Khố luận gồm hai chương Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, trình bày số kiến thức liên quan tới dãy số thực, khơng gian Euclide tốn tử khơng gian Euclide Chương Bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm Bất đẳng thức biến phân số kết tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân, chặn sai số phương pháp chiếu xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân cho toán tử giả đơn điệu mạnh Chương Một số kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở liên quan tới dãy số thực không gian Euclide Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 3, 9] 1.1 Một số vấn đề dãy số thực Trong phần chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất liên quan tới dãy số chuỗi số thực Nội dung liên quan tới phần tìm thấy hầu hết tài liệu giải tích cổ điển Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số ánh xạ u : N → R thường kí hiệu {un }n≥1 {un }∞ n=1 đơn giản {un } Định nghĩa 1.1.2 Một σ : N → N gọi hàm trích tăng ngặt Khi đó, với dãy {un } cho trước σ(n) hàm trích , dãy {uσ(n) } gọi dãy dãy {un } Dãy {un } gọi đơn điệu dãy tăng giảm Nhận xét 1.1.3 1) Nếu dãy {un } {vn } tăng (tương ứng, giảm) dãy {un + } tăng (tương ứng giảm) 2) Nếu dãy {un } {vn } tăng (tương ứng, giảm) số hạng thuộc R+ dãy {un } tăng (tương ứng, giảm) Định nghĩa 1.1.4 Cho {un } dãy thực Khi đó, dãy {un } gọi bị chặn tồn số thực M cho un ≤ M với n Dãy {un } gọi bị chặn tồn số thực m cho un ≥ m với n Dãy {un } gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Định nghĩa 1.1.5 Cho {un } dãy số thực Khi đó, số thực ` gọi giới hạn dãy số {un } với số ε > 0, nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên N cho với n > N ta có | un − ` |< ε Ta kí hiệu, lim un = ` un → ` n → ∞, khơng có nhầm n→∞ lẫn, ta kí hiệu un → ` Nếu dãy un có giới hạn `, ta nói un hội tụ ` Nếu dãy un khơng hội tụ, ta nói dãy {un } phân kỳ Chú ý dãy {un } hội tụ đến ` dãy {un − `} hội tụ đến Mệnh đề 1.1.6 Giới hạn dãy số (nếu có) Chú ý rằng, từ định nghĩa hội tụ dãy số, hai dãy số trùng kể từ số hạng đó, hội tụ dãy kéo theo hội tụ dãy Nói cách khác, hội tụ, phân kỳ dãy số không thay đổi ta thay đổi phần tử đến thứ tự cho trước Định nghĩa 1.1.7 Cho {un } dãy thực (i) Ta nói {un } tiến tới +∞ (hoặc nhận +∞ làm giới hạn) với A > 0, tồn N ∈ N cho un ≥ A với n ≥ N Khi ta kí hiệu: un → +∞ n → ∞ hay lim un = +∞ n→∞ (ii) Ta nói {un } tiến tới −∞ (hoặc nhận −∞ làm giới hạn) với B < 0, tồn n ∈ N cho un < B với n ≥ N Khi ta kí hiệu: un → −∞ n → ∞ hay lim un = −∞ n→∞ Nhận xét Tất dãy thực có giới hạn +∞ −∞ phân kỳ Mệnh đề 1.1.8 Mọi dãy hội tụ bị chặn Nhận xét Tồn dãy bị chặn không hội tụ Nếu dãy thực tiến tới +∞, khơng bị chặn trên, điều ngược lại không Mọi dãy không bị chặn phân kỳ Mệnh đề 1.1.9 Cho {un } dãy thực hội tụ có giới hạn ` a, b ∈ R i) Nếu a < ` tồn N1 ∈ N cho a < un với n ≥ N1 (ii) Nếu ` < b tồn N2 ∈ N cho un < b với n ≥ N2 (iii) Nếu a < ` < b tồn N ∈ N cho a < un < b với n ≥ N Ngược lại, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.10 Cho {un } dãy thực hội tụ, ` giới hạn a, b ∈ R (i) Nếu tồn N1 ∈ N cho un ≥ a với n ≥ N1 , l ≥ a (ii) Nếu tồn N2 ∈ N cho un ≤ b với n ≥ N2 , ` ≤ b (iii) Nếu tồn N ∈ N cho a ≤ un ≤ b với n ≥ N , a ≤ ` ≤ b Từ hai mệnh đề trên, ta có kết quan trọng sau Mệnh đề 1.1.11 (Nguyên lý kẹp) Cho {un }, {vn } {wn } ba dãy thực cho tồn N ∈ N thoả mãn un ≤ ≤ wn với n ≥ N dãy {un } {wn } có giới hạn ` Khi đó, {vn } hội tụ đến ` Mệnh đề 1.1.12 Cho hai dãy thực {un } {vn } Giả sử un → +∞ n → ∞ tồn N ∈ N cho un ≤ với n ≥ N Khi đó, → +∞ n → ∞ Mệnh đề 1.1.13 Nếu dãy {un } hội tụ đến `, dãy {un } hội tụ đến ` Định lý 1.1.14 (i) Mọi dãy thực tăng bị chặn hội tụ (ii) Mọi dãy thực giảm bị chặn hội tụ Mệnh đề 1.1.15 i) Mọi dãy thực tăng khơng bị chặn tiến tới +∞ ii) Mọi dãy thực giảm không bị chặn tiến tới −∞ Định lý 1.1.16 (Định lý Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy số bị chặn có dãy hội tụ Bổ đề sau sử dụng phần sau Bổ đề 1.1.17 ([4]) Cho {ηk } dãy số thực dương thoả mãn P∞ k=1 ηk =∞ limk→∞ ηk = 0, {δk } dãy số thoả mãn limk→∞ δk = Giả sử {ak } dãy số không âm thoả mãn ak+1 ≤ (1 − ηk ) ak + ηk δk , ∀k ≥ Khi đó, {ak } hội tụ tới 1.2 Một số vấn đề không gian Euclide Không gian Euclidean n chiều, hay Rn tập tất số x = (x1 , , xn ), với xi , i = 1, , n số thực Phần tử x Rn gọi véc tơ điểm Trong Rn , ta định nghĩa hai phép toán cộng véc tơ phép nhân vô hướng Với x = (x1 , , xn ) y = (y1 , , yn ) véc tơ, tổng x + y xác định x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) Với số thực α ta định nghĩa αx αx = (αx1 , , αxn ) Tích vơ hướng hai véc tơ ký hiệu hx, yi xác định hx, yi = n X xi yi i=1 Tích vơ hướng sinh chuẩn k · k xác định " n #1/2 X kxk = hx, xi1/2 = x2i i=1 kF (u) − F (v)k = u2 − v = |u − vku + v| ≤ 2|u − v| = 2ku − vk
hF (u) − F (v), u − vi = u2 − v (u − v) = (u − v)2 (u + v) ≥ (1/2)(u − v)2 (u + v)2 = (1/2)kF (u) − F (v)k2 Ta dễ dàng kiểm tra F không đơn điệu mạnh Với u ∈ K , ta có ku − u∗ k = |u|, Vì
ku − PK (u − F (u))k = u − u − u2 = u2 |u| ku − u∗ k lim = lim = +∞ u→0 ku − PK (u − F (u))k u→0 u ta tìm C > cho ku − u∗ k ≤ C ku − PK (u − F (u))k , ∀u ∈ K (2.7) Ví dụ chứng tỏ tính liên tục Lipschitz F Định lý 2.3.2 khơng thể bỏ 22 Ví dụ 2.3.5 ([10]) Xét toán VI(K, F ) với  K = (u1 , u2 ) ∈ R2 : u1 ≥ 0, u2 ≥
F (u) = u1 − u22 , u2 + u32 , u = (u1 , u2 ) ∈ K Khi đó, u∗ = (0, 0) nghiệm VI(K, F ) Thật vậy, u∗ = (u∗1 , u∗2 ) nghiệm VI(K, F )    u∗ ≥ 0, u∗2 ≥   u∗1 − (u∗2 )2 ≥ 0, u∗2 + (u∗2 )3 ≥  i h i h    u∗ u∗ − (u∗ )2 + u∗ u∗ + (u∗ )3 = 1 2 2 Hệ tương đương với   u∗ ≥ 0, u∗2 ≥    u∗1 − (u∗2 )2 ≥ 0, u∗2 + (u∗2 )3 ≥  i2 h    u∗1 − (u∗ )2 + (u∗ )2 + (u∗ )2 = 2 Giải ta u∗1 = u∗2 = Ngoài ra, F đơn điệu mạnh với mô đun γ = 1/2 Thật vậy, với u = (u1 , u2 ) v = (v1 , v2 ) thuộc K , ta có hF (u) − F (v), u − vi
= u1 − u22 − v1 + v22 , u2 + u32 − v2 − v23 ; (u1 − v1 , u2 − v2 )

= (u1 − v1 )2 − u22 − v22 (u1 − v1 ) + (u2 − v2 )2 + u32 − v23 (u2 − v2 )

2 ≥ (u1 − v1 )2 − u22 − v22 (u1 − v1 ) + (u2 − v2 )2 + (1/2) u22 − v22 h i 
2 2 ≥(1/2) (u1 − v1 ) + (u2 − v2 ) + (1/2) (u1 − v1 ) − u22 − v22 i h 2 ≥(1/2) (u1 − v1 ) + (u2 − v2 ) =(1/2)ku − vk2 
Lấy uk ⊂ K xác định uk = k , k (k ∈ N) Khi đó, uk − u∗ = √ k + k k



u − PK uk − F uk = k , k − PK k , −k

= k , k − k , = k 23 Từ ta có k √ u − u∗ k4 + k2 lim = lim = +∞ k→+∞ kuk − PK (uk − F (uk ))k k→+∞ k Do đó, ta khơng thể tìm C > cho (2.7) thoả mãn Tiếp theo trình bày kết chặn sai số trường hợp ánh xạ F không liên tục Lipschitz Định lý 2.3.6 ([5]) Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng F : K → Rn ánh xạ giả đơn điệu mạnh với mô đun γ Giả sử VI(K, F ) có nghiệm u∗ Khi đó, với u ∈ Rn , ta có ku∗ − PK (u)k ≤ kFKnor (u)k γ (2.8) Chứng minh Cho u ∈ Rn , đặt r = FKnor (u) Theo Định lý 1.2.11, ta có với v ∈ K, hu − PK (u), PK (u) − vi ≥ Thay PK (u) = F (PK (u)) + u − r v = u∗ vào bất đẳng thức ta hr − F (PK (u)) , PK (u) − u∗ i ≥ Bất đẳng thức tương đương với hr, PK (u) − u∗ i ≥ hF (PK (u)) , PK (u) − u∗ i (2.9) Vì u∗ nghiệm VI(K, F ), ta có hF (u∗ ) , PK (u) − u∗ i ≥ Do tính giả đơn điệu mạnh F , vế phải (2.9) không nhỏ γ ku∗ − PK (u)k2 , vế trái không lớn krk · ku∗ − PK (u)k theo bất đẳng thức CauchySchwarz Do đó, krk · ku∗ − PK (u)k ≥ γ ku∗ − PK (u)k2 Từ ta có (2.8) 24 Nhận xét 2.3.7 Nếu u ∈ K PK (u) = u Do đó, FKnor (u) = F (PK (u)) + u − PK (u) = F (u) Từ (2.8) ta có ku∗ − uk ≤ kF (u)k, γ ∀u ∈ K (2.10) Từ (2.10) ta thấy với u ∈ K , nghiệm u∗ nằm hình cầu đóng tâm u vớ bán kính kF (u)k Trong trường hợp u∗ nằm miền K , γ ∗ F (u ) = Thêm vào đó, F liên tục K , điều kiện (2.10) dùng tiêu chuẩn dừng cho thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 2.4 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Trong phần chúng tơi trình bày phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Các kết phần tham khảo từ tài liệu [5, 6] Thuật toán chiếu phát biểu sau Thuật toán 2.4.1 Dữ liệu: u0 ∈ K {λk } ⊂ (0, +∞) Bước 0: Cho k = Bước 1: Nếu uk = PK uk − λk F uk Bước 2: Tính uk+1 = PK

dừng

uk − λk F uk thay k k + 1; quay Bước Nếu thuật toán dừng bước k đấy, ta đặt uk = uk với k ≥ k + Do đó, với dãy {λk } ⊂ (0, ∞) cho trước với đầu vào u0 , Thuật toán 2.4.1 sinh dãy lặp {uk } 2.4.1 Phương pháp chiếu cho tốn tử liên tục Lipschitz Trước hết chúng tơi trình bày hội tụ thuật toán trường hợp toán tử F liên tục Lipschitz 25 Mệnh đề 2.4.2 Cho K tập lồi, đóng khác rỗng Rn F : K → Rn ánh xạ giả đơn điệu mạnh với mô đun γ liên tục Lipschitz K với  số L Cho uk dãy sinh Thuật toán 2.4.1 Nếu u∗ nghiệm tốn VI(K, F ) 2 
 + λk 2γ − λk L2 uk+1 − u∗ ≤ uk − u∗ ∀k ∈ N (2.11)

Chứng minh Vì uk+1 = PK uk − λk F uk , theo Định lý 1.2.11, ta có
uk − λk F uk − uk+1 , u − uk+1 ≤ ∀u ∈ K Cho u = u∗ ∈ K bất đẳng thức ta
uk − λk F uk − uk+1 , u∗ − uk+1 ≤ 0, hay,
uk − uk+1 , u∗ − uk+1 ≤ 2λk F uk , u∗ − uk+1 (2.12) Vì u∗ ∈ Sol(K, F ), với u ∈ K ta có hF (u∗ ) , u − u∗ i ≥ Do tính giả đơn điệu mạnh F ta có hF (u), u − u∗ i ≥ γ ku − u∗ k2 với u ∈ K Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tính liên tục Lipschitz F , ta có
2λk F uk , u∗ − uk+1


= −2λk F uk+1 , uk+1 − u∗ + 2λk F uk − F uk+1 , u∗ − uk+1

≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + 2λk F uk − F uk+1 uk+1 − u∗ ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + 2λk L uk − uk+1 uk+1 − u∗ Do 2 2λk L uk − uk+1 uk+1 − u∗ ≤ uk − uk+1 + (λk L)2 uk+1 − u∗ , ta có 2
2λk F uk , u∗ − uk+1 ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + uk − uk+1 + (λk L)2 uk+1 − u∗ (2.13) 26 Mặt khác, 2 uk − uk+1 , u∗ − uk+1 = uk − uk+1 + u∗ − uk+1

2 − uk − uk+1 − u∗ − uk+1 2 = uk − uk+1 + uk+1 − u∗ − uk − u∗ (2.14) Kết hợp (2.12) với (2.13) (2.14), ta k u − uk+1 + uk+1 − u∗ − uk − u∗ 2 ≤ −2λk γ uk+1 − u∗ + uk − uk+1 + (λk L)2 uk+1 − u∗ Từ ta có (2.11) Định lý sau hội tụ Thuật toán 2.4.1 trường hợp dãy {λk } bị chặn Định lý 2.4.3 Cho K tập lồi, đóng khác rỗng Rn F : K → Rn ánh xạ giả đơn điệu mạnh với mô đun γ liên tục Lipschitz K với số L Giả sử < a ≤ λk ≤ b < 2γ L2 ∀k ∈ N, (2.15)  a, b số dương Cho uk dãy sinh Thuật toán 2.4.1  Nếu u∗ nghiệm VI(K, F ), dãy uk hội tụ tuyến tính tới u∗ Ngồi ra, ta có ước lượng k+1 µk+1 ∗ u u1 − u0 −u ≤ 1−µ (2.16) k+1 u − u∗ ≤ µ uk+1 − uk 1−µ (2.17) với k ∈ N Trong đó, µ=p ∈ (0, 1) + a (2γ − bL2 ) 27 (2.18) Chứng minh Từ (2.15), ta có 
 
 + λk 2γ − λk L2 ≥ + a 2γ − bL2 > với k ∈ N Theo (2.11) bất đẳng thức trên, ta có 2 
 + a 2γ − bL2 uk+1 − u∗ ≤ uk − u∗ ∀k ∈ N Do đó, k+1 u − u∗ ≤ µ uk − u∗ ∀k ∈ N (2.19) với µ xác định định lý Ta có µ ∈ (0, 1) Tính chất (2.19)  dãy uk hội tụ tuyến tính tới u∗ Theo (2.19), ta có k+1 u − u∗ ≤ µ uk − u∗ ≤ µ2 uk−1 − u∗ ≤ · · · ≤ µk+1 u0 − u∗ Dễ thấy k u − u∗ ≤ uk − uk+1 + uk+1 − u∗ ≤ uk − uk+1 + µ uk − u∗ , uk − u∗ ≤ uk − uk+1 với k ∈ N Do đó, 1−µ k+1 µk+1 u u0 − u1 , − u∗ ≤ µk+1 u0 − u∗ ≤ 1−µ k+1 µ u uk − uk+1 − u∗ ≤ µ uk − u∗ ≤ 1−µ Định lý chứng minh Nhận xét 2.4.4 Khi a = b = λ, dãy {λk } dãy hằng, µ trở thành µ=p + λ (2γ − λL2 )  (2.20)  2γ Theo (2.15), ta có λ ∈ 0, Các đánh giá (2.16) (2.17) chặt µ L   2γ nhỏ Xét µ (2.20) hàm số λ ∈ 0, , ta thấy giá trị nhỏ L L γ µ µ∗ := p , đạt λ = λ∗ := L L2 + γ 28 Nhận xét 2.4.5 Giá trị µ (2.18) xem hàm µ = µ(a, b) (a, b) miền   2γ (a, b) ∈ R : < a ≤ b < L Cho b = ta, với t ∈ [1, +∞) cố định Khi đó, hàm µ(a, b) = µ(a, ta) đạt giá trị γ a = Vì nhỏ q tL 1+ γ tL2    q   1+ γ2 tL2    L , : ≤ t < +∞ = p + γ2  L  ta có  2γ µ(a, b) : < a ≤ b < L  =p L L2 + γ L Ngoài ra, giá trị Do đó, giá trị tốt µ (2.18) µ∗ := p + γ2 L γ γ đạt (a∗ , b∗ ) := , L2 L2 Hệ 2.4.6 Với ký hiệu Định lý 2.4.3, F đơn điệu mạnh  liên tục Lipschitz K , dãy uk sinh Thuật tốn 2.4.1 hội tụ tuyến tính tới nghiệm VI(K, F ) ước lượng (2.16) (2.18) Định lý 2.4.7 Cho K tập lồi đóng khác rỗng Rn F : K → Rn toán tử giả đơn điệu mạnh K với mô đun γ liên tục Lipschitz K với số L Giả sử {λk } dãy số thực dương thoả mãn ∞ X λk = +∞, k=0 lim λk = k→∞ (2.21)  Gọi uk dãy sinh Thuật tốn 2.4.1 Nếu VI(K, F ) có nghiệm u∗ ,  dãy uk hội tụ tới u∗ Ngoài ra, tồn k0 ∈ N cho với k ≥ k0 ta có
λk 2γ − λk L2 > 0, k+1 u − u∗ ≤ qQ k i=k0 [1 + λi (2γ − λi 29 k u − u∗ L2 )] (2.22) Chứng minh Vì λk → 0, tồn k0 ∈ N cho λk L2 < λ với k ≥ k0 Vì vậy,
λk 2γ − λk L2 > λk (2γ − γ) = γλk > với k ≥ k0 Do đó, từ (2.11), ta có k u − u∗ + λk (2γ − λk L2 ) k−1 1 ∗ u ≤ − u [1 + λk (2γ − λk L2 )] [1 + λk−1 (2γ − λk−1 L2 )] k+1 u − u∗ ≤ ≤ Qk i=k0 [1 + λi (2γ − λi L2 )] k u − u∗ Ta thu (2.22)  Tiếp theo ta chứng minh uk hội tụ tới u∗ Với k ∈ N, đặt αk = λk 2γ − λk L2
viết lại (2.22) sau k k+1 u − u∗ u − u∗ ≤ qQ k i=k0 (1 + αi ) (2.23)
P Vì αk = λk 2γ − λk L2 > γλk với k ≥ k0 , từ (2.21) ta có ∞ k=k0 αk = +∞ Do đó, ≤ Pk −→ + i=k0 αi  k → ∞ Như vậy, (2.23) suy dãy uk hội tụ tới u∗ Ta có điều phải chứng Qk i=k0 (1 + αi ) minh Tiếp theo, ta phân tích điều kiện (2.15) (2.21) Định lý 2.4.3 2.4.7 Ví dụ 2.4.8 Cho K = R F (u) = u Khi đó, F liên tục Lipschitz đơn điệu mạnh K Sol(K, F ) = {0} Lấy u0 = ∈ K λk = (k + 2)2 30 ∀k ∈ N (2.24)