Phương trình đạo hàm riêng (phần i) nguyễn mạnh hùng

NGUYEN MANH HUNG cir (PHAN ) NHÀ XUẤT BAN DA na NGUYEN MANH HUNG PHƯƠNG TRINH DAO HAM RIENG (Phan 1) fi cú — TU Ú NHÀ XUẤT BẢN DAI HOC SU PHAM LOI NOI DAU Bộ sách “Phương trình đạo hèm riêng" giảng dạy năm thứ ba hệ đào tạo cử nhân uà năm thứ hệ đèo tạo thạc sĩ khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phgm Hà Nội Để phù hợp uới chương trình hành, giáo trình chia làm hai phần Phần thứ giảng dạy cho sinh viên năm thứ ba, sau họ học xong môn Giải tích cổ điển mơn Phương trình ui phân thường Trong phần biện liên quan đến phương trình Laploce, phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt trình bày Đó phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng: phương trình elliptic, phương trình hyperbolic uà phương trình parabolic Phụ lục giáo trình bao gồm hai phân: Phần thứ chứng tơn nghiệm định ly Kovalepskaia Phan thit hai trình bày uê phân loại phương trình va hệ phương trình đạo hàm riêng, giúp ta có cách nhìn tổng qt uễ phân loại phương trình dạo hàm riêng uà chuyển sang nghiên cứu phần sơu giáo trình thuận tiện Phân thú hai trình bày phương pháp nghiên cứu toán biên tà tốn Cauchy lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Khi tích phân Lebesgue, định lý Giải tích hàm lý thuyết khơng gian hàm sử dụng cách hệ thống Điều phù hợp uới học uiên năm thứ hệ đào tạo thạc sĩ Giáo trình tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành Tốn, Tốn- Tin ứng dụng, Cơng nghệ thơng tin, Kĩ thuật điện tử, Kĩ thuật điện uà ngành kĩ thuật khác trường Đại học thuộc khối kĩ thuật hay khối sư phạm Tac gid bay tỏ lòng biết on đến thành viên môn Giải tích đọc thảo đóng góp ý hiến bổ ích tạo điều biện để giáo trình hồn thiện TÁC GIÁ CAC KY HIEU VA DINH NGHIA CHUNG Ta đưa sách điểm lzÌ = vào ký hiệu định nghĩa dùng #*“ ký hiệu không gian Euclide øœ - chiều với z = (r, ,#u),z; (7-2) € ï? (R tập số thực); Đối với hai điểm z = (z\, ,#n) y = (ứn.- ,a) không gian này, ta xét tích vơ hướng (z,) = Soy; jel khoảng cách chúng lz— ø| = (Ệ)¿ — 9;)?)% j=l Một tập hep mé¢ lién théng khéng gian R” gọi miền ký hiệu Q Miền © gọi b¿ chặn điểm z € © thoả mãn điều kiện |z| < M, AM số Q1aQ Biên miền © ký hiệu ØƠ, cịn bao đóng Nhu vay 0Q = O\Q Ta ky hiéu B,(y) hình cầu mở R” với tâm y va ban kính 7; w, 1a thể tích hình cầu don vi R” Diu = Diw= gon agrrv% = (đc: vốn), la = Ya, j=l œ a dlelu es = # a; la số nguyên không âm Giả sử A tập hợp thuộc ?*° Một hàm ƒ(z) xác định điểm z € A gọi thuộc lớp C*(4), néu f(z) Typeset by 4A4S-TỊX có đạo hàm riêng liên tục đến cấp k tất điểm A đao hàm thác triển liên tục toàn 4, k > Nếu ƒ(z) liên tục tất điểm tập hợp A, thi viét f(x) € C°(A) Ký hiệu Œ(4) lớp hàm f(z) € C™(A),Vm > Dé phan biét cdc biến, ta ký hiệu 7?! không gian Euclide n +1 chiéu, ma mét diém thudc né duge ky hiu 1a (a,t) = (a1, ,2n,t) Gid str AC R&4", ta ndi ham f(z,t) € C"™(A), néu f(z, t) có đạo hàm liên tục theo + đến cấp k theo t dén cap m đạo hàm tai điểm thuộc tập 4, thác triển liên tục toàn tập A, k > 1,m > Miền Q C " gọi thuộc lớp A*,k > 1, điểm z0 € 6O, tồn số nguyên ý,1 < £< øœ, lân cận cho ØQ U(zo, p) nằm siêu mặt (zo, p), ø = const > ẹ = f((đ1; < v6—156+15 1, tồn dãy miền Q„„ cho Q„ € A*, Q„ C2,Am C Amt, VA | Qn dz > 0, OQqn\OQ ds +0 — co, đs phần tử dién tich m&t OQn D6i với miền lớp A*, k > 1, miền lớp B*,k Ð 1, ta có cơng thức Gauss - Ostrogradsky [x dr See 25a Øz; = | u;ds, Sigh 9Q 7-1 mở f & dé uj € C}!(Õ),Q € A* Q € BẺ,w = (à, ,„) pháp véc tơ đơn vị ngồi tới ØƠ, đs phần tử diện tích ØQ Từ cơng thức ta nhận cơng thức tích phân phần sau Nếu u(œ) € C!(Ư) ø() du Cơng thức C!(Õ),Q € *, ô tu —d+z Q OR; =— v— de +f tuu12ds a Ox; an từ công thức nhận đặt u¡ = với ¿ # j uy = uv Ký Gauss- Ostrogratsky hiệu qua A toán tử Laplace, tức "Pu Au= a =- =1 Ox? Trong giáo trình ta nghiên cứu toứn biên tốn Cauchụ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hàm ẩn sau: Au=0_— Ou aa = Phuong = Au — Phuong = Au-— trinh Laplace; : se trinh truyền sóng; Phương trình truyền nhiệt Ta đưa vào định nghĩa tổng quát Phương trình liên hệ hàm ẩn uy, ,un, biến đạo hàm riêng chúng gọi phương trình đạo ham riêng Một phương trình đạo hàm riêng chứa đạo hàm cấp m không chứa đạo hàm cấp cao rn gọi phương trình cấp Cấp hệ phương trình đạo hàm riêng cấp lớn cấp phương trình hệ Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính, tuyến tính tất hàm ẩn đạo hàm chúng Phương trình đạo hàm riêng gọi tựơ tuyến tính, tuyến tính tất đạo hàm bậc cao hàm ẩn Nghiệm phương trình đạo hàm riêng hệ hàm cho thay vào hàm ẩn, phương biến thành đồng thức theo biến số độc lập hệ định nghĩa tương tự trình Nghiệm CHƯƠNG I ‹ PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG §1 Một số tốn vật lý dẫn đến phương Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trình đạo hàm riêng mang hai nét đặc thù Thứ mối liên hệ trực tiếp lý thuyết với tốn vật lý Q trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp vật lý dẫn tới việc hình thành ngành giải tích - phương trình vật lý tốn - vào kỷ XVIIIL Những người đặt móng cho ngành khoa học phải kể đến J D' Alembert (1717 - 1783), L Euler (1707 - 1783), D Bernoulli (1700 - 1782), J Lagrange (1736 P Laplace (1749 - 1827), S Poisson (1781 - 1840), J (1768 - 1830) Các ý tưởng phương pháp nghiên cứu xem xét toán cụ thể vật lý tốn có ảnh - 1813), Fourier họ hưởng lớn đến phát triển lý thuyết tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối kỷ XIX Nét đặc thù thứ hai lý thuyết phương trình đạo hàm riêng mối quan hệ mật thiết với ngành tốn học khác giải tích hàm phức Miột mặt, lý thuyết rộng rãi khái niệm lĩnh vực toán học lý thuyết hàm, tơ pơ, đại số, giải tích phương trình đạo hàm riêng sử dụng bản, tư tưởng phương pháp này; mặt khác ảnh hưởng lại đến vấn đề hướng nghiên cứu chúng Vào năm 1747, J.D’ Alembert đưa phương trình dao động dây nhận công thức biểu diễn nghiệm tổng qt Sau L.Euler cho cơng thức nghiệm tốn Cauchy (1789-1857) phương trình dao động dây (công thức D’Alembert), D.Bernoulli chứng minh nghiệm phương trình dao động dây biểu diễn chuỗi lượng giác Cuộc tranh luận chất nghiệm phương trình dao động dây ba nhà tốn học có ý nghĩa quan trọng việc phát triển ngành vật lý tốn, giải tích đặc biệt lý thuyết chuỗi lượng giác Tiếp theo vào năm 1822, J.Fourier nghiên cứu vấn đề khai triển hàm thành chuỗi lượng giác xét tốn truyền nhiệt sau L Dirichlet (1805 - 1859) lần điều kiện đủ để hàm khai triển thành chuỗi lượng giác Điều tạo điều kiện hình thành lý thuyết tập hợp lý thuyết hàm đại Khi nghiên cứu phương trình vật lý tốn thường nảy sinh phương pháp, chẳng hạn phương pháp Fourier, phương pháp Riesz, phương pháp Galionkin Tính hữu hiệu việc áp dụng phương pháp vào vấn đề vật lý địi hỏi phải có lập luận tốn học chặt chẽ Từ hình thành lý thuyết tốn học mới, hướng nghiên cứu (lý thuyết tích phân Fourier, lý thuyết khai triển thành hàm riêng) Để nhận phương trình từ tượng vật lý đồi hỏi phải bỏ qua yếu tố thứ yếu tượng, tức phương trình mô tả quy luật vật lý (định luật bảo toàn lượng, động lượng, khối lượng, vv ) Bằng cách đió nhận phương trình mơ tả tượng vật lý điện động lực học, thủy động học, lý thuyết đàn hồi lĩnh vực khác Việc nghiên cứu tượng vật lý: nhờ mơ hình tốn học cho phép nhận biết khơng tính định lượng mà chất tượng vật lý Để làm ví dụ, ta xét số toán cụ thể Phương trình truyền nhiệt Giả sử nhiệt độ vật thể Q điểm # = (i,#a,#a) thời điểm £ xác định haim u(x,t) € C?(Q x [0,T]) Ta coi © vật thể đẳng hướng, tức nhiệt truyền theo phương 10 Gia str Q, miền tuỳ ý Ø với biên ØÖ¡ xét thay đổi nhiệt Ø¡ sau khoảng đến ta Theo định luật Newton, sau khoảng lượng nhiệt truyền qua mặt ØÔ¡ tà [ át [ trơn thời gian từ thời gian từ ¿¡ đến ¿ bằng: Ou ØQy Ta k(z)——ds, le Ề 1.1 id) Ou/Ov 1A dao ham theo hướng pháp tuyến ngồi mặt ØĨ, k(z) hàm dương gọi hệ số truyền nhiệt bên vật thể điểm z Trong vật thể tự sinh nhiệt (chẳng hạn tác động dịng điện hay phản ứng hố học) Khi lượng nhiệt sinh vật thể Q, sau khoảng thời gian từ ¿¡ đến fg là: / dt ty ƒ(z.£) Qy f(z, t)dz, (1.2) mật độ nguồn nhiệt điểm z thời điểm ¿ Mặt khác thay đổi lượng nhiệt bên ©¡ sau khoảng thời gian từ f¡ đến £¿ xác định qua thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi lượng nhiệt bằng: [ Qy_ s(4)p(e)fus,a) - ule t de, p(x) điểm z la mật (1.3) độ c(z) nhiệt dung vật thể Ta giả thiết k(x) € C'(Q), f(z,t) € C°(Q x (0,T]), p(x) € C°(Q) va e(x) € C°(Q) Tir (1.1),(1.2) va (1.3) 163 Phương trình (2.1) gọi phương thuéc loai elliptic) tai diém z, So trình eliptic (hay aa(z)e* #0 (2.3) la|=m với £ € #"\{0} Nếu điều kiện (2.3) thực với tất z € Ơ, phương trình (2.1) gọi elliptic miền Q Chằng hạn phương trình Laplace n la phwong trinh elliptic, vi 77_, €? 40 voi |€| £0 Bây thay hàm vơ hướng àa (z) bang cdc ma tran ham cap N x N, u va f la cdc hàm véctơ X thành phần Khi hệ phương trình (2.1) goi 1a elliptic tai diém x néu det Ð ` a„(z)£“ #0,£c€ R"\{0} laj=m (2.4) va elliptic mién Q néu (2.4) ding véi moi z € Xét hệ phương trình So Au (2) ui J(#)›J = lowe NG ¿mi Au(œ)= 3” la|