Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng lưu huy thường

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn tài liệu thầy trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :………………………………………………………………… TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Tồn tài liệu luyện thi đại học mơn tốn thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com PHẦN I ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Vectơ phương đường thẳng

Vectơ u ≠ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆

Nhận xét: – Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng

Vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆

Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT



– Nếu u VTCP n VTPT ∆ u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ qua M (x ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) x = x + tu  (1) ( t tham số)  y = y + tu2  x = x + tu  Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:  y = y + tu2  Phương trình tham số ∆: – Gọi k hệ số góc ∆ thì:  ,α≠ + k = tanα, với α = xAv 90 u + k = , với u1 ≠ u1 Phương trình tắc đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ qua M (x ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) Phương trình tắc ∆: x − x0 u1 = y − y0 u2 (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phương trình tham số đường thẳng PT ax + by + c = với a + b ≠ gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có:


VTPT n = (a;b ) VTCP u = (−b; a ) u = (b; −a )
a(x − x ) + b(y − y0 ) = – Nếu ∆ qua M (x ; y0 ) có VTPT n = (a;b ) phương trình ∆ là: Các trường hợp đặc biệt: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng Các hệ số 0968.393.899 Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆ c=0 ∆ qua gốc toạ độ O a=0 ∆ // Ox ∆ ≡ Ox b=0 ∆ // Oy ∆ ≡ Oy • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + =1 a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M (x ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k(x − x ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2x + b2y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: a x + b y + c =  1 (1)  a2x + b2y + c2 =  a b • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ ≠ (nếu a2, b2, c2 ≠ ) a2 b2 a b c • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔ = ≠ (nếu a2, b2, c2 ≠ ) a2 b2 c2 a b c • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm⇔ = = (nếu a2, b2, c2 ≠ ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1;b1 ) )
∆2: a2x + b2y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ;b2 ) )



(n1, n2 ) ≤ 900 (n1, n2 )  (∆1, ∆2 ) =  1800 − (n
, n
) (n
, n
) > 900 2 

n1.n2 a1a2 + b1b2

  cos(∆
= 1, ∆2 ) = cos(n1, n2 ) =
n1 n2 a12 + b12 a22 + b22 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1x + m1 , ∆2: y = k2x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M (x ; y0 ) d(M , ∆) = ax + by0 + c a + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M (x M ; yM ), N (x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2x + b2y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1x + b1y + c1 =± a2x + b2y + c2 a12 + b12 a22 + b22 BÀI TẬP CƠ BẢN HT Cho đường thẳng d : x − 2y + = Viết phương trình đường thẳng d dạng tắc tham số Giải

Ta có: d có vec-tơ pháp tuyến n(1; −2) Suy ra, d có vec-tơ phương u (2;1) Ta có, d qua M (−1; 0) x = −1 + 2t Vậy, phương trình tham số d :   y = t Phương trình tắc d : x +1 y = x = + t HT Cho đường thẳng d :  Viết phương trình đường thẳng d dạng tắc tổng quát  y = −1 + 2t Giải

Ta có : d qua điểm M (1; −1) có vec-tơ phương u (1;2) Suy d có vec-tơ pháp tuyến n(2; −1) Phương trình tắc d : x −1 y +1 = Phương trình tổng quát d : 2(x − 1) − 1.(y + 1) = ⇔ 2x − y − = HT Cho đường thẳng d : x −2 y +1 Viết phương trình tổng quát tham số d = −1 Giải

Ta có : d qua M (2; −1) nhận vec-tơ u (−1;2) làm vec-tơ phương Suy d có vec-tơ pháp tuyến n (2;1) x = − t Phương trình tham số đường thẳng d :   y = −1 + 2t Phương trình tổng quát d : 2(x − 2) + 1.(y + 1) = ⇔ 2x + y − = HT Viết phương trình tổng quát đường thẳng d biết :
a Qua M (2;1) nhận u (1;2) làm vec-tơ phương
b Qua M (2;1) nhận n (1;2) làm vec-tơ pháp tuyến BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 c Đi qua hai điểm A(1;2), B(−2;1) d Đi qua M (1;2) với hệ số góc k = −2 Giải

a d có vec-tơ phương u (1;2) suy d có vec-tơ pháp tuyến n(2; −1) Phương trình đường thẳng d : 2(x − 1) − 1(y − 2) = ⇔ 2x − y = b Phương trình đường thẳng d : 1(x − 2) + 2(y − 1) = ⇔ x + 2y − = 

c Ta có: AB = (−3; −1) Suy đường thẳng AB có vec-tơ pháp tuyến n(1; −3) Vậy, phương trình tổng quát d : 1(x − 1) − 3(y − 2) = ⇔ x − 3y + = d Phương trình đường thẳng d : y = −2(x − 1) + ⇔ y = −2x + HT Viết phương trình đường thẳng d trường hợp: a Đi qua M (1;2) song song với đường thẳng ∆ : x + 2y − = b Đi qua M (1;2) vng góc với đường thẳng ∆ : x + 2y − = Giải a Ta có: d / /∆ nên phương trình đường thẳng d : x + 2y + C = (C ≠ −1) Mặt khác: d qua M nên d có phương trình: d : x + 2y − = (thỏa mãn) b Ta có: d ⊥ ∆ nên d có phương trình: d : 2x − y + C = Mặt khác, d qua M nên d có phương trình: d : 2x − y = BÀI TẬP NÂNG CAO HT Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x − 7y + 17 = , d2 : x + y − = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 Giải Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x − 7y + 17 12 + (−7)2 = x + 3y − 13 = (∆ ) ⇔  x − y − = ( ∆ 2  2) +1 x +y −5 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với ∆1 ∆2 KL: x + 3y − = 3x − y + = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + = d2 : 3x + 6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Giải (Cách đặc biệt “rắc rối” so với HT – Bài giải mang tính chất tham khảo, nên làm theo BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 cách HT 6)

d1 VTCP a1 = (2; −1) ; d2 VTCP a2 = (3; 6) 

Ta có: a1.a2 = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A(x − 2) + B(y + 1) = ⇔ Ax + By − 2A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I ⇔ d tạo với d1 ( d2) góc 450 ⇔ A = 3B = cos 450 ⇔ 3A2 − 8AB − 3B = ⇔  B = −3A A2 + B 22 + (−1)2 2A − B * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x + y − = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x − 3y − = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = ; d : x − 3y − = HT Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d2 : 3x + y + = điểm I (1; −2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I cắt d1, d2 A B cho AB = 2 Giải 

Giả sử A(a; −3a − 5) ∈ d1; B(b; −3b − 1) ∈ d2 ; IA = (a − 1; −3a − 3); IB = (b − 1; −3b + 1) 

b − = k(a − 1) I, A, B thẳng hàng ⇒ IB = kIA ⇔   −3b + = k(−3a − 3) • Nếu a = b = ⇒ AB = (khơng thoả) • Nếu a ≠ −3b + = b −1 (−3a − 3) ⇔ a = 3b − a −1 AB = (b − a )2 +  3(a − b) + 4 = 2 ⇔ t + (3t + 4)2 = (với t = a − b ) ⇔ 5t + 12t + = ⇔ t = −2; t = − + Với t = −2 ⇒ a − b = −2 ⇒ b = 0, a = −2 ⇒ ∆ : x + y + = + Với t = −2 −2 ⇒ a −b = ⇒ b = , a = ⇒ ∆ : 7x − y − = 5 5 HT Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = , d2 : 2x – y – = Lập 


phương trình đường thẳng d qua M(1;–1) cắt d1 d2 tương ứng A B cho 2MA + MB = Giải Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 


Từ điều kiện 2MA + MB = tìm A(1; –2), B(1;1) suy d : x − = HT 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x – 2y + = A, B cho MB = 3MA Giải 
   = (a − 1; −1 − a ) A ∈ (d1 ) ⇔ A(a; −1 − a ) ⇒ MA 
B ∈ (d2 ) B(2b − 2; b) MB = (2b − 3; b)    



Từ A, B, M thẳng hàng MB = 3MA ⇒ MB = 3MA (1) MB = −3MA (2)    A − ; −  (1) ⇒   3  ⇒ (d ) : x − 5y − = (2) ⇒  B(−4; −1)  A (0; −1) ⇒ (d ) : x − y − =  B(4; 3)  HT 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : 3x − y − = 0, d2 : x + y − = A, B cho 2MA – 3MB = Giải Giả sử A(a; 3a − 5) ∈ d1 , B(b; − b) ∈ d2 

 2MA = 3MB 
Vì A, B, M thẳng hàng 2MA = 3MB nên  
2MA = −3MB  (1) (2)  2(a − 1) = 3(b − 1) a = 5 5  + (1) ⇔  ⇔ ⇒ A  ; , B(2;2) Suy d : x − y = 2(3a − 6) = 3(3 − b)   2   b = 2(a − 1) = −3(b − 1) a = ⇔  ⇒ A(1; −2), B(1; 3) Suy d : x − = + (2) ⇔   2(3a − 6) = −3(3 − b) b =   Vậy có d : x − y = d : x − = HT 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Lập phương trình đường thẳng d qua M (2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S = Giải Gọi A(a; 0), B(0;b) (a, b ≠ 0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 a b  2b + a = ab  + = Theo giả thiết, ta có: a b ⇔   ab =    ab = • Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = ⇒ d1 : x + 2y − = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Khi ab = −8 2b + a = −8 Ta có: b + 4b − = ⇔ b = −2 ± 2 + Với b = −2 + 2 ⇒ d : (1 − ) x + (1 + ) y − = + Với b = −2 − 2 ⇒ d : (1 + ) x + (1 − ) y + = Câu hỏi tương tự: a) M (8; 6), S = 12 ĐS: d : 3x − 2y − 12 = ; d : 3x − 8y + 24 = HT 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình 2x – y + = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A tạo với d góc α có cosα = 10 Giải PT đường thẳng (∆) có dạng: a(x – 2) + b(y + 1) = ⇔ ax + by – 2a + b = (a + b ≠ 0) Ta có: cos α = 2a − b 2 5(a + b ) = ⇔ 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = ⇒ b = 1; b = 10 ⇒ ∆1 : x + y − = ∆2 : x + 7y + = http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : 2x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A tạo với đường thẳng d góc 450 Giải PT đường thẳng (∆) có dạng: a(x – 2) + b(y − 1) = ⇔ ax + by – (2a + b) = (a + b ≠ 0) 2a + 3b Ta có: cos 450 = 13 a + b a = 5b ⇔ 5a − 24ab − 5b2 = ⇔  5a = −b + Với a = 5b Chọn a = 5, b = ⇒ Phương trình ∆ : 5x + y − 11 = + Với 5a = −b Chọn a = 1, b = −5 ⇒ Phương trình ∆ : x − 5y + = HT 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x − y − = điểm I (1;1) Lập phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 450 Giải Giả sử phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c = (a + b ≠ 0) Vì (d , ∆) = 450 nên 2a − b a + b2 = a = 3b ⇔  b = −3a BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Với a = 3b ⇒ ∆: 3x + y + c = Mặt khác d (I ; ∆) = 10 ⇔ • Với b = −3a ⇒ ∆: x − 3y + c = Mặt khác d (I ; ∆) = 10 ⇔ c = = 10 ⇔  10 c = −14 +c −2 + c 10 c = −8 = 10 ⇔  c = 12 Vậy đường thẳng cần tìm: 3x + y + = 0; 3x + y − 14 = ; x − 3y − = 0; x − 3y + 12 = HT 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – = đường tròn (C ) : x + y – 4y = Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1) Giải M ∈ (d) ⇒ M(3b+4; b) ⇒ N(2 – 3b; – b) N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = ⇒ b = 0; b =  38   4 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) N(2;2) M  ; , N − ;   5  5 HT 17 Trong mặ t phan ng tọ a độOxy, cho điep m A(1; 1) và đường thẳng ∆: 2x + 3y + = Tı̀m điểm B thuộc đường thẳng ∆ cho đường thẳng AB ∆ hợp với góc 450 Giải x = − 3t
∆ có PTTS:  VTCP u = (−3;2) Giả sử B(1 − 3t; −2 + 2t ) ∈ ∆  y = −2 + 2t  



AB.u ⇔ ⇔ 169t − 156t − 45 = ⇔ (AB, ∆) = 45 ⇒ cos(AB; u ) =
= AB u 2  t = 15  13 Vậy điểm cần   t = −  13  32   22 32  tìm là: B1 − ; , B2  ; −   13 13   13 13  HT 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − 3y − = điểm N (3; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 Giải 
Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x − 3y = Giả sử M (3m + 6; m ) ∈ d 2S Khi ta có S ∆ONM = d(M ,ON ).ON ⇔ d(M ,ON ) = ∆ONM = ON ⇔ 4.(3m + 6) − 3m = ⇔ 9m + 24 = 15 ⇔ m = −1; m = −13 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + Với m = −1 ⇒ M (3; −1) + Với m =  −13 −13   ⇒ M −7;  3  HT 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x − 2y + = Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC Giải Giả sử B(2b − 2;b),C (2c − 2; c) ∈ d 

2 6 5 Vì ∆ABC vng B nên AB ⊥ d ⇔ AB.ud = ⇔ B  ;  ⇒ AB = ⇒ BC = 5 5 5 c = ⇒ C (0;1)    ⇔  BC = 125c − 300c + 180 = c = ⇒ C  ;  5    5   HT 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y − = , d2 : x + y − = điểm A(1; 4) Tìm điểm B ∈ d1,C ∈ d2 cho tam giác ABC vuông cân A Giải 

Gọi B(b; − b) ∈ d1, C (c; − c) ∈ d2 ⇒ AB = (b − 1; −1 − b ) , AC = (c − 1; − c) 

 (b − 1)(c − 1) − (b + 1)(5 − c) =  AB.AC = ⇔ (*) ∆ABC vuông cân A ⇔   (b − 1)2 + (b + 1)2 = (c − 1)2 + (5 − c)2 AB = AC   Vì c = khơng nghiệm (*) nên  b − = (b + 1)(5 − c)  c −1 (*) ⇔   (5 − c) ( b + 1) + (b + 1)2 = (c − 1)2 + (5 − c)2  (c − 1)  (1) (2) b = c − Từ (2) ⇔ (b + 1)2 = (c − 1)2 ⇔  b = −c + Với b = c − , thay vào (1) ta c = 4, b = ⇒ B(2;1), C (4;5) + Với b = −c , thay vào (1) ta c = 2, b = −2 ⇒ B(−2; 5), C (2; 7) Vậy: B(2;1), C (4;5) B(−2; 5), C (2; 7) CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HT 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA + 3OB ) nhỏ Giải PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): x y + = (a,b>0) a b BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV Lưu Huy Thưởng b) MF1 = 3MF2 ⇔ + 0968.393.899 4x 4x 25 Thay vào phương trình (E) ta : = 3(5 − ) ⇔ x = 5 625 64 + y = ⇔ y = 351 ⇔ y = ± 39 25 64  25 39      M  25 ; − 39  Vậy, điểm M cần tìm : M1  ;     8   HT 197.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 9x + 25y = 225 Tìm điểm M thuộc (E) cho M nhìn tiêu điểm góc vng Giải Ta có: (E ) : x y2 + =1 25 Suy ra: a = 5, b = 3, c = MF1 = a + cx 4x cx 4x =5+ ; MF2 = a − = 5− a a M nhìn hai tiêu điểm góc vng ⇔ MF1 ⊥ MF2 ⇔ MF12 + MF22 = F1F22 2   4x  4x  175 32x ⇔x =± ⇔ 5 +  + 5 −  = 64 ⇔ 50 + = 64 ⇔ x =     25 16 175 81 Với, x = ⇒ y2 = ⇔y =± 16 16   5          ;  ; M  ; −  ; M − ;  ; M − ; −  Vậy, có điểm thỏa mãn yêu cầu toán: M1   4   4  4     HT 198.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 9x + 25y = 225 Tìm điểm M thuộc (E) cho M nhìn tiêu điểm góc 600 Giải Ta có: (E ) : x y2 + =1 25 Suy ra: a = 5, b = 3, c = MF1 = a + cx 4x cx 4x =5+ ; MF2 = a − = 5− a a
M nhìn tiêu điểm góc 600 ⇔ F 1MF2 = 60 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 86 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2  2 5 + 4x  + 5 − 4x  − 64 32x 2 2   50 + − 64   MF1 + MF2 − F1F2   25 ⇔ cos 600 = = = =     2MF1.MF2 x x 4 32x 5 +  5 −  50 −     25 ⇔ −28 + 64x 32x 325 13 = 50 − ⇔ x2 = ⇔x =± 25 25 16 325 27 3 Với, x = ⇒ y2 = ⇔y =± 16 16  13 3         , M  13 ; − 3 , M − 13 ; 3 , M − 13 ; − 3  Vậy, có điểm M thỏa mãn: M1  ;      4   4   4   http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 199.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 + = A, B điểm (E) cho: 25 16 AF1+BF2 = , với F1, F2 tiêu điểm Tính AF2 + BF1 Giải AF1+AF2 = 2a BF1+BF2 = 2a ⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 20 Mà AF1 + BF2 = ⇒ AF2 + BF1 = 12 HT 200.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình hypebol (H) biết: a) Độ dài trục thực 8, trục ảo b) Độ dài trục thực 8, tiêu cự 10 c) Tiêu cự 10, tiệm cận y = x d) Độ dài trục thực 8, tâm sai e) Độ dài trục ảo 6, tâm sai Giải Phương trình (H ) : x2 a2 − y2 b2 =1 a) Độ dài trục thực ⇔ 2a = ⇔ a = Độ dài trục ảo ⇔ 2b = ⇔ b = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 87 GV Lưu Huy Thưởng Vậy, phương trình (H ) : 0968.393.899 x y2 − =1 16 b) Độ dài trục thực ⇔ 2a = ⇔ a = Tiêu cự 10 ⇔ 2c = 10 ⇔ c = Ta có: b = c − a = 25 − 16 = Vậy, phương trình (H ) : x y2 − =1 16 c) Tiêu cự 10 ⇔ 2c = 10 ⇔ c = ⇔ a + b = 25 (1) Một tiệm cận y = a2 + b 3a Thay vào (1) ta được: x ⇒ = ⇔ b = a 4 9a = 25 ⇔ a = 16 ⇒ b = 16 Vậy, phương trình (H ) : x y2 − =1 16 d) Độ dài trục thực ⇔ 2a = ⇔ a = Tâm sai e = c = ⇒ c = ⇒ b2 = c2 − a = a Vậy, phương trình (H ) : x y2 − =1 16 e) Độ dài trục ảo ⇔ 2b = ⇔ b = ⇔ c = a + b = a + (1) Tâm sai e = c 5 = ⇒ c = a thay vào (1) ta được: a 4 25 a = a + ⇔ a = 16 16 Vậy, phương trình (H ) : x y2 − =1 16 HT 201.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Lập phương trình hypebol biết: a) Một đỉnh A(12; 0), tiêu điểm F(13; 0) b) Một tiêu điểm F(–13; 0), tâm sai e = 13 12 12 29      12 26 ;2, N − ; −1 c) (H) qua hai điểm M      BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 88 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  25  d) Độ dài trục thực 24 qua điểm A 13;   12   15  e) Tiêu cự 26 qua điểm A 15;    f) Có tiêu điểm với elip (E): 31x + 200y = 6200 , tâm sai 13 12 Giải Phương trình hypebol có dạng : (H ) : x2 a2 − y2 b2 =1 a) Một đỉnh A(12; 0) ⇒ a = 12 Một tiêu điểm F(13; 0) ⇒ c = 13 ⇒ b = c − a = 169 − 144 = 25 Vậy, phương trình (H ) : x2 y2 − =1 144 25 b) Một tiêu điểm F(–13; 0) ⇒ c = 13 Tâm sai e = 13 c 13 12c ⇒ = ⇒a = = 12 12 a 12 13 Ta có : b = c − a = 169 − 144 = 25 Vậy, phương trình (H ) : x2 y2 − =1 144 25 12 29   12 26    ;2, N − ; −1 c) (H) qua hai điểm M       4176   25  2 2  − = 4176b − 100a = 25a b (1)  a  b ⇔  3744 3744b − 25a = 25a 2b (2)    25 − =1  b2  a Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta : 432b − 75a = ⇔ a = 4176b − 100 144 b Thay vào (1) ta : 25 144 144 b = 25 b ⇔ b = 25 ⇒ a = 144 25 25 Vậy, phương trình (H ) : x2 y2 − =1 144 25 d) Độ dài trục thực 24 ⇒ 2a = 24 ⇔ a = 12 625  25  169 169 625 (H) qua điểm A 13;  ⇒ − 144 = ⇔ − = ⇔ b = 25 2  12  144 144b a b BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 89 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Vậy, phương trình (H ) : x2 y2 − =1 144 25 e) Tiêu cự 26 ⇒ 2c = 26 ⇔ c = 13 ⇒ a + b = c = 169 (1) ⇔ a = 169 − b 225  15  225 (H) qua điểm A 15;  ⇒ − 16 = ⇔ 3600b − 225a = 16a 2b (2)   a b2 Thay (1) vào (2) ta được: 3600b − 225(169 − b ) = 16(169 − b )b  b = 25 2 ⇔ 16b + 1121b − 38025 = ⇔  −1521 ⇒ b = 25 ⇒ a = 144 b =  16 Vậy, phương trình (H ) : f) x2 y2 − =1 144 25 Có tiêu điểm với elip (E): 31x + 200y = 6200 , Ta có: (E ) : x2 y2 + = ⇒ cE = aE2 − bE2 = 200 − 31 = 169 200 31 Vậy, elip (E) có tiêu điểm: F1 (−13; 0), F2 (13; 0) 2 (H) có tiêu điểm với (E) suy cH = 13 ⇔ aH + bH = 169 c 13 Tâm sai (H): e = H = ⇒ aH = 12 ⇒ b = 25 aH 12 Vậy, phương trình (H ) : x2 y2 − =1 144 25 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 202.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình hypebol trường hợp sau: a) Một đỉnh A(−5; 0) tiệm cận d: 3x − 5y = b) Một đường tiệm cận d: 3x + 5y = khoảng cách hai đường chuẩn 50 34 c) Tiêu cự hai tiệm cận vng góc với d) Hai tiệm cận d: 3x ± 4y = hai đường chuẩn ∆: 5x ± 16 = e) Đi qua điểm E(4; 6) hai tiệm cận d: 3x ± y = Giải a) Một đỉnh A(−5; 0) ⇒ a = Một tiệm cận d: 3x − 5y = ⇔ y = Vậy, phương trình (H ) : b x ⇒ = ⇒b = a x y2 − =1 25 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 90 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 b 3a b) Một đường tiệm cận d: 3x + 5y = ⇔ y = − x ⇒ = ⇔ b = (1) a 5 (H) có đường chuẩn: x = ± a a2 2a ⇒ khoảng cách hai đường chuẩn: =± e c c 50 Theo đề bài, khoảng cách hai đường chuẩn ⇒ 34 2 2a 50 = ⇔c = c 34 34a (2) 25 Ta có: c = a + b (3) Thay (1), (2) vào (3) ta được: Vậy, phương trình (H ) : 34a 9a ⇔ a = 25 ⇒ b = = a2 + 625 25 x y2 − =1 25 c) Tiêu cự ⇒ 2c = ⇔ c = ⇒ a + b = 16 (1) b Hai tiệm cận (H): y = ± x a Hai đường tiệm cận vng góc với ⇔ b −b = −1 ⇔ a = b (2) Thay vào (1) ta được: a a 2a = 16 ⇔ a = ⇒ b = Vậy, phương trình (H ) : x y2 − =1 8 b 3a d) Hai tiệm cận d: 3x ± 4y = ⇔ y = ± x ⇒ = ⇔ b = (1) a 4 Hai đường chuẩn ∆: 5x ± 16 = ⇔ x = ± 16 a2 16 5a (2) ⇒ = ⇔c = c 16 Ta có : c = a + b (3) Thay (1), (2) vào (3) ta được: 25a 9a = a2 + ⇔ a = 16 ⇒ b = 256 16 x y2 − =1 8 16 36 e) Đi qua điểm E(4; 6) ⇒ − = ⇔ 16b − 36a = a 2b (1) 2 a b Vậy, phương trình (H ) : Và hai tiệm cận d: 3x ± y = ⇔ y = ± 3x ⇒ b = ⇔ b = 3a (2) a Thay (2) vào (1) ta : 16.3a − 36a = a 3a ⇔ a = ⇒ b = 12 Vậy, phương trình (H ) : x y2 − =1 12 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 91 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 203.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (H): cho: a) MF1 = MF2 x y2 − = Tìm điểm M thuộc (H) 16 b) MF1 = 2MF2 Giải Ta có: a = 3, b = ⇒ c = MF1 = a + cx 5x cx 5x = 3+ ; MF2 = a − = 3− a a 3   + 5x = − 5x 5x 5x  3 ⇔x =0 a) MF1 = MF2 ⇔ + = 3− ⇔ 5x 5x 3  = −3 + 3 +  3 Thay vào phương trình (H) ta được: y = −16 vô nghiệm Vậy, điểm M thỏa mãn   3 + 5x = − 10x x = 5x 5x   3 = 3− ⇔ ⇔ b) MF1 = 2MF2 ⇔ + 10 27 x x 3   = −6 + 3 + x =  3  Với x = 384 thay vào phương trình (H) ta được: y = − vô nghiệm 25 Với x = 27 896 14 thay vào phương trình (H) ta được: y = ⇔y=± 25  27 14      ; M  27 ; − 14  Vậy, có điểm M thỏa mãn: M1  ;    5   HT 204.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E): x y2 − = Tìm điểm M thuộc (H) 16 cho M nhìn hai tiêu điểm góc vng Giải Ta có: a = 3, b = ⇒ c = MF1 = a + cx 5x cx 5x = 3+ ; MF2 = a − = 3− a a 3
2 M nhìn hai tiêu điểm góc vng ⇔ F 1MF2 = 90 ⇔ MF1 + MF2 = F1F2 2   5x  5x  41 50x 369   ⇔ 3 +  + 3 −  = 100 ⇔ 18 + ⇔x =± = 100 ⇔ x =     3 3 25  369 256 16 Với x = ⇒ y2 = ⇔y =± 25 25 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 92 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Vậy, có điểm M thỏa mãn:  41 16   41 16   41 16   41 16      M1  ;  , M − ; , M  ; − , M − ; −       5   5    HT 205.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (H): x y2 − = Tìm điểm M thuộc (H) 16 cho M nhìn hai tiêu điểm góc 600 Giải Ta có: a = 4, b = 3, c = MF1 = a + cx 5x cx 5x = 4+ ; MF2 = a − = 4− a a
M nhìn hai tiêu điểm góc 600 ⇒ F 1MF2 = 60 ⇔ cos 600 = MF12 + MF22 − F1F22 2MF1.MF2 =  2  2 4 + 5x  + 4 − 5x  − 100       4+ 5x 5x 4− 4 =  2  50x −136 + 100x = 32 − 50x x = 448   16 16 16 25 ⇔ ⇔ = ⇔ 2  832 2  100 x 50 x 50x −136 + x = = −32 + 32 −   25 16 16  16 −68 + 448 27 ⇒ y2 = Với x = 25 25 ⇒ M1( 3 3 3 3 ; ), M ( ;− ), M (− ; ), M (− ;− ) 5 5 5 5 832 243 Với x = ⇒ y2 = 25 25  13   13   13  13       ⇒ M  ; ; ;− ;−  , M − , M  , M −     5  5   5   x y2 + = Tìm toạ độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác Giải HT 206.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E): Ta có, elip nhận trục hoành làm trục đối xứng mà A, B thuộc elip, A, B đối xứng qua trục hoành nên: Nếu A(a;b ) B(a; −b) BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 93 GV Lưu Huy Thưởng A thuộc elip ⇒ 0968.393.899 a b2 − a2 + = ⇔ a + 4b = ⇔ b = (1) 4 Tam giác ABC tam giác ⇒ AB = AC ⇔ 4b = (a − 2)2 + b ⇔ a − 4a + − 3b = (2) − a2 Thay (1) vào (2) ta được: a − 4a + − = ⇔ 7a − 16a + = ⇔ a =   a =  Với a = ⇒ b = 0(loai) Với a = 48 ⇒ b2 = ⇔b =± 49           , B  ; −  A  ; −  ; B  ;  Vậy, A  ;      7   7    7  http://www.Luuhuythuong.blogspot.com x y2 + = điểm A(3; 0) Tìm (E) điểm B, C cho B, C đối xứng qua trục Ox ∆ABC tam giác Giải HT 207.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): Khơng tính tổng qt, giả sử B(x ; y ),C (x ; −y ) với y > x y2 Ta có: + = ⇔ x 02 + 3y 02 = BC = 2y (BC ) : x = x ⇒ d (A,(BC )) = − x Do A ∈ Ox , B C đối xứng qua Ox nên ∆ABC cân tâị A Suy ra: ∆ABC ⇔ d (A,(BC )) = BC ⇔ − x = 3y ⇔ 3y 02 = (x − 3)2 x = ⇒ x 02 + (x − 3)2 = ⇔  x = + Với x = ⇒ y = ⇒ B(0; 3), C (0; − 3) + Với x = ⇒ y = (loại) Vậy: B(0; 3), C (0; − 3) HT 208.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = Tìm điểm M ∈ (E) cho 100 25 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 94 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
F 1MF2 = 120 (F1, F2 hai tiêu điểm (E)) Giải Ta có: a = 10, b = ⇒ c = Gọi M(x; y) ∈ (E) ⇒ MF1 = 10 − 3 x , MF2 = 10 + x 2
F1F22 = MF12 + MF22 − 2MF1.MF2 cos F 1MF2 ⇔ (10 ) 2              = 10 − x  + 10 + x  − 10 − x  10 + x  −          ⇔ x = (y= ± 5) Vậy có điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5)  1 HT 209.Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F1 (− 3; 0); F2 ( 3; 0) qua điểm A  3;  Lập   phương trình tắc (E) với điểm M elip, tính biểu thức: P = F1M + F2M – 3OM – F1M F2M Giải (E): x2 a2 + y2 b2 =1⇒ a2 + x y2 = , a = b2 + ⇒ + =1 4b 2 2 ⇒ P = (a + ex M )2 + (a – ex M )2 – 2(x M + yM ) – (a − e 2x M )= HT 210.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 4x + 16y = 64 Gọi F2 tiêu điểm bên phải (E) M điểm (E) Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 tới đường thẳng ∆ : x = có giá trị khơng đổi Giải Ta có: F2 ( 12; 0) Gọi M (x ; y ) ∈ (E ) ⇒ MF2 = a − ex = d (M , ∆) = x − = − 3x (vì −4 ≤ x ≤ ) ⇒ − 3x MF2 d (M , ∆) = , (không đổi) HT 211.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 5x2 + 16y = 80 hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1) Một điểm M di động (E) Tìm giá trị lớn diện tích ∆MAB Giải Phương trình đường thẳng (AB): x − 2y + = AB = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 95 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Gọi M (x ; y ) ∈ (E ) ⇒ 5x 02 + 16y 02 = 80 Ta có: d(M ; AB ) = x − 2y + = x − 2y + 1+ Diện tích ∆MAB: S = AB.d (M ; AB ) = x − 2y −  1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho cặp số  ; −  , ( 5x ; 4y ) có:    2  5x − 4y  ≤  +  5x + 16y = 80 = 36   0   20    ( ) ⇔ x − 2y ≤ ⇔ − ≤ x − 2y ≤ ⇔ − ≤ x − 2y + ≤ ⇒ x − 2y + ≤  5x   4y x = 5x = −8y  =   0 ⇒ max x − 2y + = ⇔  ⇔ ⇔ −    x − y = y = −    x − 2y0 + =  8 5 Vậy, max SMAB = M  ; −   3  x y2 + = hai điểm A(3;–2), B(–3; 2) Tìm (E) điểm C có hoành độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn Giải HT 212.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E ) : PT đường thẳng AB: 2x + 3y = Gọi C(x; y) ∈ (E), với x > 0, y > ⇒ SABC = x y2 + =1   85 85 x y 85  x y  170 ≤3  +  = AB.d(C , AB ) = 2x + 3y = +   13 13 13  13    y2  x  3  + =1  x =3   Dấu "=" xảy ⇔  ⇔  Vậy C  ;    x  y  = y =   x y2 + = điểm M (1;1) Viết phương trình đường thẳng 25 qua M cắt elip hai điểm A, B cho M trung điểm AB HT 213.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip (E ) : Giải Nhận xét M ∉ Ox nên đường thẳng x = không cắt elip hai điểm thỏa YCBT BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 96 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Xét đường thẳng ∆ qua M(1; 1) có PT: y = k (x − 1) + Toạ độ giao điểm A, B ∆ (E ) nghiệm  y2  x + =1  hệ:  25  y = k (x − 1) + (1) (2) ⇒ (25k + 9)x − 50k (k − 1)x + 25(k − 2k − 9) = (3) PT (3) ln có nghiệm phân biệt x1, x với k Theo Viet: x1 + x = Do M trung điểm AB ⇔ x1 + x = 2x M ⇔ 50k (k − 1) 50k (k − 1) 25k + =2⇔k =− 25k + 25 Vậy PT đường thẳng ∆: 9x + 25y − 34 = Câu hỏi tương tự: a) Với (E ) : x y2 + = , M (1;1) ĐS: ∆ : 4x + 9y − 13 = HT 214.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 + = Tìm điểm M ∈ (E) cho M có toạ độ nguyên Giải Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm (x ; y ) ∈ (E ) điểm (−x ; y ),(x ; −y ),(−x ; −y ) thuộc (E) Do ta cần xét điểm M (x ; y ) ∈ (E ) với x , y ≥ 0; x , y ∈ Z y = ⇒ x = 2 (loaïi ) x y2 Ta có: + = ⇒ y 02 ≤ ⇒ ≤ y ≤ ⇒  ⇒ M (2;1) y = ⇒ x  0 =2 Vậy điểm thoả YCBT là: (2;1),(−2;1),(2; −1),(−2; −1) HT 215.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 + = Tìm điểm M ∈ (E) cho tổng hai toạ độ M có giá trị lớn (nhỏ nhất) Giải Giả sử M (x ; y ) ∈ (E ) ⇒ x y2 + = Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có:   y2  x (x + y )2 ≤ (8 + 2)  +  = 10 ⇒ − 10 ≤ x + y ≤ 10 8 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 97 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  x  10 10   = y   + x + y ≤ 10 Dấu "=" xảy ⇔  ⇔ M  ; 8    x + y = 10  x  10  = y 10   + x + y ≥ − 10 Dấu "=" xảy ⇔  ⇔ M − ;−  8   5  x + y = − 10  HT 216.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y2 + = đường thẳng d1 : m x − ny = , d2 : n x+my = , với m + n ≠ Gọi M, N giao điểm d1 với (E), P, Q giao điểm d2 với (E) Tìm điều kiện m, n để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ Giải x = nt PTTS d1, d2 là: d1 :  ,  y = mt1  x = −mt d2 :  y = nt2  + M, N giao điểm d1 (E)  6n 6m −6n −6m  , N   ⇒ M  ; ;     9m + 4n 9m + 4n   9m + 4n 9m + 4n  + P, Q giao điểm d2 (E)     −6m 6n 6m −6n , Q   ⇒ P  ; ;  2  2 2   4m + 9n  4m + 9n   4m + 9n 4m + 9n  + Ta có: MN ⊥ PQ trung điểm O đường nên MPNQ hình thoi 72(m + n ) 2 S = SMPNQ = MN PQ = 2OM OP = x M + yM x P2 + yP2 = (9m + 4n )(4m + 9n ) Áp dụng BĐT Cô-si: ⇒S≥ (9m + 4n )(4m + 9n ) ≤ (9m + 4n ) + (4m + 9n ) 13 = (m + n ) 2 72(m + n ) 144 = Dấu "=" xảy ⇔ 9m + 4n = 4m + 9n ⇔ m = ±n 13 13 (m + n ) Vậy: S = 144 m = ±n 13 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 98 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x y2 − = Viết phương trình 16 tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) Giải HT 217.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: (H) có tiêu điểm F1 (−5; 0); F2 (5; 0) HCN sở (H) có đỉnh M( 4; 3), Giả sử phương trình tắc (E) có dạng: x2 a2 + y2 b2 = ( với a > b) (E) có hai tiêu điểm F1 (−5; 0); F2 (5; 0) ⇒ a − b = 52 (1) M (4; 3) ∈ (E ) ⇔ 9a + 16b = a 2b   2 a = + b a = 40 ⇔  Từ (1) (2) ta có hệ:  9a + 16b = a 2b b = 15   (2) Vậy (E): x y2 + =1 40 15 x y2 − = Giả sử (d) tiếp tuyến thay đổi F hai tiêu điểm (H), kẻ FM ⊥(d) Chứng minh M nằm đường trịn cố định, viết phương trình đường trịn Giải HT 218.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình (H) có tiêu điểm F ( 13; 0) Giả sử pttt (d): ax + by + c = Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vng góc với (d) (D): b( x − 13) – a y = ax + by = −c  Toạ độ M nghiệm hệ:  bx − ay = 13b  Bình phương hai vế phương trình cộng lại kết hợp với (*), ta x2 + y2 = HT 219.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = x điểm I(0; 2) Tìm toạ độ hai điểm M, N ∈ (P)   cho IM = 4IN Giải Gọi M (x ; y ), N (x1; y1 ) hai điểm thuộc (P), ta có: x = y 02 ; x1 = y12    IM = (x ; y − 2) = (y 02 ; y − 2) ; IN = (y1; y1 − 2) = (y12 ; y1 − 2); 4IN = (4y12 ; 4y1 − 8)   Theo giả thiết: IM = 4IN , suy ra:  2 y = ⇒ x = 1; y = −2; x = y = 4y1 0 ⇔   y − = 4y − y = ⇒ x = y = x = 9; 6; 36  1 0  Vậy, có cặp điểm cần tìm: M (4; –2), N (1;1) hay M (36; 6), N (9; 3) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 99 GV Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 220.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = 8x Giả sử đường thẳng d qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng x1, x Chứng minh: AB = x1 + x + Giải Theo công thức tính bk qua tiêu: FA = x1 + , FB = x + ⇒ AB = FA + FB = x1 + x + HT 221.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x + 5y = , Parabol (P ) : x = 10y Hãy viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng (∆) : x + 3y − = , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox cát tuyến chung Elip (E) với Parabol (P) Giải Đường thẳng qua giao điểm (E) (P): x =  − 3b = b b = ⇔  Tâm I ∈ ∆ nên: I (6 − 3b; b) Ta có: − 3b − = b ⇔  4 − 3b = −b b = ⇒ (C): (x − 3)2 + (y − 1)2 = (C): x + (y − 2)2 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 100