Chuyên đè hình học giải tích hoàng ngọc thế

HOÀNG NGỌC THẾ KHÁM PHÁ CÁCH GIẢI Một số Hình học giải tích Trong Mặt Phẳng Dnh cho HSG toán 11&12 Luyện thi THPT Quốc Gia KHÁM PHÁ CÁCH GIẢI Một số tập hình học giải tích mặt phẳng Hoàng Ngọc Thế Ngày 25 tháng năm 2015 Kí hiệu dùng sách GTLN GTNN HSG THPT   ? : : : : : : : : Giá trị lớn Giá trị nhỏ Học sinh giỏi Trung học phổ thông Kết thúc Lời giải Kết thúc Định nghĩa, Ví dụ Kết thúc Định lý Câu hỏi, hoạt động Chú ý: Tất toán tài liệu có biểu thức tọa độ ta hiểu xét mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Lời nói đầu Phương pháp tọa độ mặt phẳng nội dung thường gặp Kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (nay gọi Kỳ thi THPT Quốc gia) Ngoài ra, Kỳ thi HSG năm gần đây, đề thi nhiều tỉnh có nội dung Đây thường câu phân loại thí sinh Các tốn thường phải áp dụng tính chất hình học trước sử dụng biến đổi đại số khơng cịn kĩ thuật tính tốn đại số thơng thường trước Với mục đích ôn luyện đội tuyển HSG quan trọng hướng tới kì thi THPT Quốc gia chung, thầy biên soạn tài liệu nhỏ với hi vọng giúp em hình dung chút nội dung Tài liệu có cấu trúc tương đối lạ Em thấy số mục đảo lộn linh tinh đọc dịng với dịng khơng liên quan đến Đừng lo Đó em đọc ngẫu nhiên đọc mà không làm Hãy đọc làm theo hướng dẫn Mọi sư lộn xộn trở lên ngăn nắp Khi gặp kí hiệu Y HD2 − tr.10 em cần hiểu phải tự làm theo hướng dẫn làm điều tự làm HD trang 10 Khi gặp kí hiệu N HD19 − tr.25 em nên đọc kĩ hướng dẫn tự làm, làm mà không xem HD 19 trang 25 Hi vọng em thấy thú vị với tài liệu kiểu Trong trình biên soạn vội vàng, định khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong em phát phản hồi Pác Khuông, tháng năm 2015 Lý thuyết chung 1.1 Hệ tọa độ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm: A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) , C (xC ; yC ) , M (x0 ; y0 ) −−→ • Tọa độ vectơ: AB = (xB − xA ; yB − yA ) • Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là:   xA + xB yA + yB ; J 2 • Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là:   x A + x B + x C yA + yB + yC G ; 3 1.2 Phương trình đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng: → − − − • Vectơ → u (→ u 6= ) vectơ phương đường thẳng d có giá song song trùng với đường thẳng d → − − − • Vectơ → n (→ n 6= ) vectơ pháp tuyến đường thẳng d có giá vng góc với đường thẳng d − • Đường thẳng ax + by + c = có vectơ pháp tuyến → n = (a; b) • Hai đường thẳng song song có vectơ phương (vectơ pháp tuyến) • Hai đường thẳng vng góc có vectơ pháp tuyến đường thẳng vectơ phương đường thẳng − − • Nếu → u,→ n vectơ phương, vectơ pháp tuyến đường − − − − thẳng d → u → n = Do đó, → u = (a; b) → n = (b; −a) • Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ phương − Nếu → n vectơ pháp tuyến (vectơ phương) đường thẳng − d k → n (k 6= 0) vectơ pháp tuyến, vectơ phương d 1.2.2 Bốn loại phương trình đường thẳng • Phương trình tổng quát đường thẳng: (a2 + b2 > 0) (1) − Đường thẳng qua điểm M (x0 ; y0 ) nhận → n = (a; b) vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: ax + by + c = a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = (2) Đặc biệt: đường thẳng qua (a; 0), (0; b) có phương trình theo đoạn chắn: x y + =1 (3) a b − * Đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) nhận vectơ → n = (p; q) làm vectơ phương, có phương trình tham số là:  x = x0 + pt (4) y = y0 + qt Có phương trình tắc là: y − y0 x − x0 = p q (p, q 6= 0) (5) Đặc biệt: đường thẳng qua điểm phân biệt A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) có phương trình dạng: y − yA x − xA = xB − xA yB − yA (6) • Đường thẳng qua M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình đường thẳng với hệ số góc dạng: y = k(x − x0 ) + y0 Chú ý: (7) – Không phải đường thẳng có hệ số góc Các đường thẳng dạng x = a khơng có hệ số góc Do vậy, giải tốn dùng hệ số góc, ta phải xét trường hợp đặc biệt − – Nếu → n = (a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng hệ số a góc k = − , b 6= b 1.2.3 Vị trí tương đối điểm đường thẳng Cho A (xA ; yA ) , B (xB ; yB ) đường thẳng ∆ : ax + by + c = Khi đó: • Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) < A, B hai phía khác ∆ • Nếu (axA + byA + c) (axB + byB + c) > A, B phía ∆ 1.2.4 Chùm đường thẳng Cho hai đường thẳng cắt nhau: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; d2 : a2 x + b2 y + c2 = Khi đường thẳng qua giao điểm I hai đường thẳng có phương trình dạng: λ (a1 x + b1 y + c1 ) + µ (a2 x + b2 y + c2 ) = (8) λ2 + µ2 > 1.3 Góc khoảng cách • Góc hai vectơ ~v , w ~ tính dựa theo cơng thức: cos(~u, w) ~ = ~u.w ~ |~v | |w| ~ (9) − − • Giả sử → n 1, → n vectơ pháp tuyến đường thẳng d1 d2 Khi đó: − − |→ n → n 2| cos(d1 , d2 ) = → (10) − − | n | |→ n 2| • Độ dài vectơ ~u = (a; b) là: |~u| = p a2 + b2 • Khoảng cách hai điểm A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) là: q AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 • Diện tích tam giác ABC là: r −−→ −→2 (AB.AC)2 − AB.AC S= (11) (12) (13) • Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng d : ax + by + c = tính cơng thức: d(M ;d) = 1.4 |ax0 + by0 + c| √ a2 + b2 (14) Phương trình đường trịn • Đường trịn tâm I(a; b), bán kính R có dạng: (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (15) • Phương trình: x2 + y + 2ax + 2by + c = 0, (a2 + b2 − c > 0) (16) phương trình đường trịn với tâm I(−a; −b) bán kính p R = a2 + b2 − c • Phương trình tiếp tuyến đường tròn điểm M (x0 ; y0 ) (x0 − a)(x − x0 ) + (y0 − b)(y − y0 ) = (17) • Vị trí tương đối đường thẳng ∆ đường trịn (C) tâm I, bán kính R – Nếu d(I;∆) > R ∆ (C) khơng cắt – Nếu d(I;∆) = R ∆ (C) tiếp xúc I hình chiếu I lên d – Nếu d(I;∆) < R ∆ (C) cắt hai điểm M, N Khi trung điểm H M N hình chiếu I lên M N q M N = R2 − d2(I,∆) (18) 1.5 Phương trình Elip • Elip tập hợp điểm M di động thỏa mãn M F1 + M F2 = 2a với F1 , F2 cố định, F1 F2 = 2c, a > c > số cho trước • F1 (−c; 0),F2 (c; 0) gọi tiêu điểm, F1 F2 = 2c gọi tiêu cự M F1 , M F2 bán kính qua tiêu • Các điểm A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) gọi đỉnh elip Đoạn thẳng A1 A2 = 2a gọi trục lớn, B1 B2 = 2b gọi trục nhỏ • Phương trình tắc Elip có hai tiêu điểm F1 (−c; 0), F2 (c; 0) là: x2 y + =1 (19) a2 b Trong a > b > 0, b2 = a2 − c2 c • Tâm sai e = a • Cho elip (E) có phương trình tắc (19) Hình chữ nhật P QRS với P (−a; b), Q(a; b), R(a; −b), S(−a; −b) gọi hình chữ nhật sở Elip • Nếu M ∈ (E) M, F1 , F2 khơng thẳng hàng đường thẳng phân giác ngồi góc F\ M F2 tiếp tuyến (E) M Chú ý: Các HD khơng liên quan đến nội dung Nếu em khơng hiểu lại đọc lại phần Lời nói đầu HD ĐA: E(3; −1), F (5; 5), D(3; 3), A(1; 1),B(3; 5),C(7; 1) HD Gọi H = M E ∩AC Em nhận chứng minh BH ⊥ AC chứ? Vậy ta tìm tọa độ H, phương trình HB, tham số hóa tọa độ B, C, tìm B, C (vì M trung điểm), phương trình AI cuối tọa độ A ĐA: Xem HD39 − tr.36 HD Gọi K trung điểm DH Em chứng minh AK ⊥ KM Bây tìm phương trình KM , tọa độ K, phương trình BD, tọa độ B, C ĐA: Xem HD41 − tr.47 HD ĐA: hình vng 1)∈ (d), (3; −1), (5; 1)  Có2   thỏa mãn  (3;  3),(1;  9 11 11 13 11 ∈ (C) ; , ; ∈ (d), ; , ; ∈ (C) 5 5 5 5 HD Hãy chứng minh tam giác ABC tam giác cân đỉnh A Y HD53 − tr.51/ N HD34 − tr.33 HD Hãy vẽ đường trịn đường kính F K Em có nhận điều thú vị khơng? Nhớ chứng minh Y HD57 − tr.51/ N HD46 − tr.47 HD ĐA: A(1; 1), B(2; −1), C(1; −2) HD Gọi k hệ số góc đường thẳng OB Ta viết phương trình OB Khi B = OB ∩ (C2 ), C đối xứng với A qua OB Ngoài −−→ −−→ OC.AB = ĐA: Xem HD27 − tr.26 HD Em có phát GA = GD = GB DG ⊥ AK khơng? Hãy chứng minh điều 10 ⇔ = ⇔a=− b 13 AB AC 22 Vậy vectơ phương đường phân giác cần tìm là: ~u = (7; −4) Do phương trình đường phân giác cần tìm là: 4(x − 1) + 7(y − 1) = ⇔ 4x + 7y − 11 = 2.7  Viết phương trình đường trịn qua ba điểm Để viết phương trình đường trịn qua ba điểm, ta sử dụng phương trình dạng (16) thay tọa độ ba điểm vào, thu hệ phương trình Ví dụ Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết: A(1; 3),B(−1; −1),C(2; 0) lời giải Giả sử phương trình đường trịn (C) cần tìm có dạng x2 + y + 2ax + 2by + c = 0, Do A, B, C ∈ (C) nên:   1 + + 2a + 6b + c = + − 2a − 2b + c =   + 2a + c =   a = ⇔ b = −1   c = −4 Vậy (C) : x2 + y − 2y − = 2.8 (a2 + b2 − c > 0) (Thỏa mãn)  Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm đường trịn Cho điểm A (xA ; yA ) nằm ngồi đường trịn (C) tâm I bán kính R Từ A, kẻ hai tiếp tuyến AT1 , AT2 tới (C) Hãy viết phương trình đường thẳng T1 , T2 Giả sử T (x; y), I(a; b) tiếp điểm (T T1 T2 ) Khi đó, ta có: ( ( T ∈ (C) (x − a)2 + (y − b)2 = R2 ⇔ (24) −→ − → (x − xA ) (x − a) + (y − yA ) (y − b) = AT IT = 23 Trừ vế phương trình (24) ta thu phương trình đường thẳng Đó phương trình cần tìm Ví dụ 10 Cho đường trịn (C) có phương trình (x − 4)2 + y = điểm M = (1; −2) Tìm tọa độ điểm N thuộc Oy cho từ N kẻ tiếp tuyến N A, N B đến (C) (A, B tiếp điểm) đồng thời đường thẳng AB qua M lời giải Gọi I T tâm tiếp điểm đường tròn (C) (T A B) Ta có: −−→ − → N (0; n) , I (4; 0) , T (x0 ; y0 ) , N T = (x0 ; y0 − n) , IT = (x0 − 4; y0 ) Khi ( T ∈ (C) −−→ − → N T IT = ( x20 + y02 − 8x0 + 12 = ⇔ x20 − 4x0 + y02 − ny0 = Trừ vế hai phương trình hệ, ta có: 4x0 − ny0 − 12 = Vậy AB có phương trình là: 4x − ny − 12 = Vì AB qua M (1; −2) nên: + 2n − 12 = hay n = Vậy N (0; 4)  24 HD 15 Gọi E = AC ∩ (d2 ) Hãy xác định tỉ số AC từ tính tọa độ AE C, E cách tham số hóa Y HD38 − tr.36/ N HD42 − tr.47  HD 16 ĐA: a) M  31 33 ; , b) M (5; 3) 35 35 HD 17 Em chứng minh tứ giác HIKE nội tiếp chưa? Hình vẽ gợi ý cho em để chứng minh D A B I K E C H Y HD55 − tr.51/ N HD30 − tr.33 HD 18 Bài tốn tìm điểm M đường thẳng d : x + 2y +√ 4=0 685 cho M A + M B nhỏ nhất, với A(1; 1), B(−2; 1) ĐA: S = HD 19 Em chưa tìm đường vng góc với AC phải không? Gọi H = M E ∩AC Chứng minh BH ⊥ AC Hướng dẫn: chứng minh \ \ M HC = M CH Y HD39 − tr.36/ N HD2 − tr.10 HD 20 Tam giác ABC cân A ta viết phương trình AD dựa vào BF = BD ta tính F Từ tìm A = BF ∩ AD ĐA: Xem HD53 − tr.51 HD 21 ĐA: C(1; −7), B(−4; 7) 25 HD 22 Gọi rb , rc bán kính đường √ trịn nội√tiếp tam giác [= AHB, AHC Khi đó, chứng minh: JH = 2rb , IH = 2rc IHJ o 90 Y HD58 − tr.51/ N HD58 − tr.51 HD 23 Em chưa phát yếu tố vng góc q vàng tốn phải khơng? Gọi K trung điểm DH Hãy chứng minh AK ⊥ KM Y HD41 − tr.47/ N HD3 − tr.10 HD 24 Em chưa biết cách xác định tọa độ trực tâm H phải không? Hãy chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó, M trung điểm HD Y HD40 − tr.36/ N HD45 − tr.47 HD 25 ĐA: AB : x = −−→ −−→ HD 26 Để tìm A, chứng minh AH = 2IM Để tìm B, viết phương trình BC Y HD10 − tr.11/ N HD49 − tr.51    p √  √ √ p √ HD 27 ĐA: C1 − 3; − ; B1 − 3; −    p √ √ √ p √  C2 − 3; − − ; B2 − 3; HD 28 Do EF = 2HK = 2R nên tâm I đường tròn trung điểm EF Tam giác DEF nhận G làm trọng tâm Y HD1 − tr.10/ N HD44 − tr.47 HD 29 ĐA: BC : 3x + 4y − 29 = 0, A(−1; 2) 26 Phương pháp giải toán Phương pháp chung để giải tốn hình học giải tích phẳng gồm bước sau: • Vẽ hình, xác định yếu tố biết lên hình • Khám phá tính chất khác hình (nếu cần) Chú ý tìm đường vng góc, song song, đồng quy; đoạn nhau, góc nhau; góc đặc biệt; quan hệ thuộc điểm đường thẳng, đường tròn, • Xác định điểm, đường thẳng (theo kĩ thuật học) để thực yêu cầu tốn Sau ta xét số ví dụ Ví dụ 11 Cho tam giác ABC có A(2; 2) phân giác góc B, góc C là: ∆B : x − 3y − = 0, ∆C : x + y − = Tìm tọa độ B C lời giải Gọi B (b1 ; b2 ), C (c1 ; c2 ) điểm đối xứng điểm A qua ∆B ∆C Ta có B , C nằm BC Dễ thấy ~u = (3; 1) vectơ phương ∆B Gọi I trung điểm AB , ta có:   (−−→  b1 = 18  → − 3.(b1 − 2) + 1.(b2 − 2) = AB ⊥ u ⇔ ⇔ b1 + b2 + 14   − −4=0 I ∈ ∆B b2 = − 2   18 14 Vậy B ; Tương tự, C (0; 0) 5 −−→ Đường thẳng BC qua (0; 0) có vectơ phương C B nên có phương trình: 7x − 9y =   14 Từ suy C(9; −7), B ;  15 27 Ví dụ 12 Cho tam giác ABC Gọi A0 , B , C điểm cho ABA0 C, BCB A CAC B hình bình hành Biết H1 (0; −2), H2 (2; −1) H3 (0; 1) trực tâm tam giác BCA0 , CAB , ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Y HD7 − tr.10/ N HD36 − tr.33 Ví dụ 13 Cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp K(1, 4), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3, 5) F (11, 14) tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC tam giác Viết phương trình BC tìm tọa độ điểm A Đường tròn bàng tiếp cạnh BC tam giác đường tròn tiếp xúc với đoạn thẳng BC tia AB, AC Y HD46 − tr.47/ N HD6 − tr.10 Ví dụ 14 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  tâm I Điểm 31 M (2; −1) trung điểm cạnh BC điểm E ;− hình chiếu 13 13 B lên AI Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng AC : 3x + 2y − 13 = Hãy vẽ hình đường thẳng vng góc với AC Y HD39 − tr.36/ N HD19 − tr.25 Ví dụ 15 Viết phương trình đường thẳng qua M (3; 1) cắt Ox, Oy A B cho: a) OA + OB nhỏ b) Diện tích tam giác OAB nhỏ 1 c) + nhỏ OA OB     lời giải 1 Giả A ; , B 0; Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng: a b ax + by = 28