Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc

CHUN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC - WWW.TOANMATH.COM Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm đường thẳng (d1 ) : 2x + y + = chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm đường thẳng (d2 ) : 2x + y − = Biết điểm M (3; 0) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác Lời giải tham khảo : Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1 ) Điểm H (b; − 2b) ∈ (d2 ) Ta có M trung điểm BC ⇒ C (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên AH HC phương −−→ −−→ AH = (b − 1; − 2b) HC = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −−→ −−→ AH HC phương ⇒ b−1 − 2b = ⇔ a = 11 − 6b 6−a−b 2a + 2b − −−→ −−→ H chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔ AH.BH = (1) −−→ −−→ −−→ BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ AH.BH = ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = ⇔ 5b2 − 5ab − 25ab + 7a + 27 = (2) Thay (1) vào (2) ta 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + (11 − 6a) + 27 =  b=2  ⇔ 35b − 122b + 104 = ⇔  52 b= 35 Thay ngược lại ta có điểm B C cần tìm 45 , đáy lớn CD nằm đường thẳng (d) : x − 3y − = Biết hai đường chéo AC BD vng góc với cắt điểm I (2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ dương Đề 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích Lời giải tham khảo : ABCD hình thang cân ⇒ tam giác ICD vng cân I Ta có CD = 2d (I; CD) = √ √ |2 − 3.3 − 3| √ = 10 ⇒ IC = 20 10 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC = (3a + 1)2 + (a − 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1) −→ Phương trình BD qua điểm I nhận IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − = D giao điểm BD CD ⇒ D (0; −1) Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ Đặt IA = IB = x ⇒ SIAB = x2 ; SIAD = x = SIBC ; SICD = 10  √ (tm) x = √ 45 ⇒ SABCD = x2 + 2x + 10 = ⇔ √ 2 x = −5 (loai) ⇒ −→ −→ DI = ⇒ DI = 2IB IB (∗) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (∗) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC qua B C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài toán giải xong Đề 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) : 3x − 4y − = Gọi E điểm nằm bên hình vng ABCD cho \ = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4) tam giác EBC cân có BEC Lời giải tham khảo : \ = 150o ⇒ tam giác BEC cân E Tam giác BEC cân có BEC Gọi H hình chiếu E lên AD ⇒ H trung điểm AD HE = d (E; AD) = Đặt cạnh hình vuông AB = x \ = 150o ⇒ EBC \ = 15o Gọi I trung điểm BC ⇒ BI = x ; EI = Tam giác BEC cân E có BEC x−3 [ = 15o ⇒ tan 15o = EI = 2x − Tam giác BIE vng I có góc EBI BI x Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒2− √ 3= √ 2x − ⇔x=2 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E vng góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + = Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = √ √ |α − 4| = BI = ⇔ α = ± 5 √ Phương trình đường thẳng AB (d) : 4x + 3y + ± = Ta có d (E, AB) = Bài toán giải xong Đề 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − = 0; (d3 ) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp − u → = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C Gọi − u →, − → − → − → ⇒ cos (− u u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u  b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 25 a2 + b2 b=− a → = (3; −4) loại trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u → = (1; 0) Với b = ⇒ − u −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → − Ta có − u AC phương ⇒ c − 3a − = (1)   4a + − 2c 3a + c + M trung điểm AC ⇒ M ; Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ 4a + − 2c 3a + c + + − = ⇔ 31a − 3a + 40 = 2 (2) Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) Bài toán cở  : Biếttọa độ đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 65 13 R = giác Tâm I −3; − 8 Đề 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC (d1 ) : 7x − y + 17 = 0; (d2 ) : x − 3y − = Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm đường thẳng AC Lời giải tham khảo : → = (7; −1), BC có vtpt − → = (1; −3) Đường thẳng AB có vtpt − n n → = (a; b) vtpt đường thẳng AC Gọi − n 10 |a − 3b| →, − → − → − → √ =√ √ Tam giác ABC cân A ⇒ cos (− n n2 ) = cos (n2 , n3 ) ⇒ √ 50 10 10 a2 + b2  a=b ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = ⇔  a = −7b → = (7; −1) loại phương với − → X Với a = −7b chọn − n n → = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − = X Với a = b chọn − n Tọa độ C giao điểm BC AC ⇒ C (3; −2) Phương trình đường cao xuất phát từ C (d) : x + 7y + 11 = Đề 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (d1 ) : x − 2y = 0; (d2 ) : x − y + = Biết điểm 180 Tìm tọa độ đỉnh tam M (1; 0) nằm cạnh AB diện tích tam giác ABC giác ABC Lời giải tham khảo : Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A giao điểm (d1 ) (d2 ) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2 ) cắt (d2 ) I AC N MN qua M ⊥(d2 ) ⇒ (M N ) : x + y − = I giao điểm MN (d2 ) ⇒ I (0; 1) I trung điểm MN ⇒ N (−1; 2) Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − = (AC) : 3x − y + = Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có BC⊥AH ⇔ AH⊥BC ⇔ AH.BC = −−→ −−→ AH = (2; 1) ; BC = (b − 3a − 1; 3b + − a) ⇒ (b − 3a − 1) + (3b + − a) = ⇔ 5b − 7a + = (1) q 180 |8b + 14| (3a + 3)2 + (a + 1)2 = Ta có SABC = d (C, AB) AB = √ 10  a=  Từ (1) (2) ⇒  thay ngược lại ta có điểm A, B, C 22 a=− (2) Bài toán giải xong Đề 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A có AC =  2AB,  phương trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình (d) : 2x − y + = 0, điểm G 0; trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hồnh độ bé −2 Lời giải tham khảo : \ Gọi M trung điểm AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân A ⇒ M BA = 45o Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG → vtpt đường thẳng (d) ⇒ − → − → Gọi − n √ √ n1 = (2; −1) n2 = (a; b) vtpt đường thẳng BG |2a − b| →, − → ⇒ cos (− n ⇒√ √ = n2 ) = 2 2 a + b  a = 3b  ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = ⇔  a=− b → = (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : 9x + y − = X Với a = 3b chọn − n n 2    x=− loại hoành độ điểm B nhỏ −2 B giao điểm AB BG ⇒ 13   y= X Với a = − b → = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : x − 3y + = chọn − n n 2 B giao điểm AB BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) −−→ −−→ M trung điểm AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có BG = BM ⇒ M (2; 1) Phương trình đường thẳng AC qua điểm M vng góc với AB ⇒ AC : x + 2y − = Tọa độ điểm A giao điểm AC AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài toán giải xong Đề bài08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm ; Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB D, E F B Biết điểm D (3; 1) phương trình đường thẳng EF có phương trình (d) : y − = Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ khơng âm Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC qua điểm B D ⇒ BC : y − = ⇒ BC//EF Do tam giác ABC cân A D trung điểm BC Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với BC ⇒ AD : x − = Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG    2  a=2 25 Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒ a − + 22 = ⇔ a− = ⇔ 4 a = −1 X a = ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x − 3y + =   13 A giao điểm AB AD ⇒ A 3; X a = −1 ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x + 3y − =   A giao điểm AB AD ⇒ A 3; − ( loại)   13 Vậy điểm A 3; Đề 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD 3x + 4y − 13 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật biết B có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : √ Xét tam giác ABD vng A có BD2 = AB + AD2 = 5AB ⇒ BD = AB Phương trình đường chéo BD có + 4b| \ = |3a √ ⇒ cos ABD =√ 2 5 a + b \ = AB = √1 ⇒ cos ABD BD → = (3; 4) Gọi → − vtpt − n n = (a; b) vtpt đường thẳng AB  11 a=− b  ⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = ⇔  a=− b 11 − b chọn → n = (11; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x − 2y − =   14 Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B ; loại B có hồnh độ âm 5 X Với a = − − X Với a = − b chọn → n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn ) Tổng hợp tốn đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AD qua điểm A vng góc với AB ⇒ AD : 2x + y − = Tọa độ điểm D giao điểm AD BD ⇒ D (3; 1)   ⇒ C (1; 0) Trung điểm I BD có tọa độ I 1; Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) Bài toán giải xong Đề 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD √
(d) : x − y = Đường thẳng AB qua điểm P 1; , đường thẳng CD qua điểm √
Q −2; −2 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết độ dài AB = AC điểm B có hồnh độ lớn Lời giải tham khảo : \ = 60o ⇒ ABD \ = 30o Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC ⇒ ABC → = (1; −1) Giả sử → − Đường thẳng BD có vtpt − n n = (a; b) vtpt AB √ √
|a − b| →, → − ⇒ cos (− n = ⇔ a2 + 4ab + b2 = ⇔ a = −2 ± b n) = √ √ 2 a2 + b2 √
√
− − X Với a = −2 − b chọn → n = −2 − 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √
AB : + x − y − =   2 √ ; √ Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B loại xB > 1+ 1+ √
√
− − X Với a = −2 + b chọn → n = −2 + 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √
√ AB : − x − y − + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn √
√ Ta có CD // AB CD qua điểm Q ⇒ CD : − x − y + − = Tọa độ điểm D giao điểm BD CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k hình thoi trung điểm BD ⇒ K (−1; −1) Tổng hợp toán đặc sắc HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường chéo AC qua điểm K vng góc với BD ⇒ AC : x + y + = Tọa độ điểm A giao điểm AB AC ⇒ A ( ) Tọa độ điểm C giao điểm CD AC ⇒ C ( ) Bài toán giải xong Đề 11 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (5; 2)phương trình đường trung trực cạnh BC trung tuyến xuất phát từ đỉnh C (d1 ) : 2x+y−5 = 0; (d2 ) : x+y−6 = 0.Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải tham khảo :  Giả sử điểm B (a; b) Ta có trung điểm AB M ⇒ a+5 b+2 ; 2  ∈ (d2 ) a+5 b+2 + − = ⇔ a + b − = ⇔ b = − a ⇒ B (a; − a) 2 Lấy điểm C (c; − c) ∈ (d2 )  (d1 ) trung trực BC ⇒ trung điểm BC N a + c 13 − a − c ; 2  ∈ (d1 ) 13 − a − c −5=0⇔a+c+3=0 (1) −−→ → −−→ (d1 ) trung trực BC ⇒ BC⊥(d1 ) ⇒ BC⊥− ud1 ta có − u→ d1 = (1; −2) ; BC = (c − a; a − − c) ⇒a+c+ ⇒ c − a − (a − − c) = ⇔ 3c − 3a + =     c + a = −3  a=− Từ (1) (2) ta có ⇔  3c − 3a = −2   c = − 11 (2) ⇒ tọa độ điểm B C Bài toán giải xong Đề 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (−1; −3), trực tâm H (1; −1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2) Xác định tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải tham khảo : Gọi D điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD đường kính đường tròn tâm I I trung điểm AD ⇒ D (5; −1) AD đường kính đường tròn tâm I ⇒ CD⊥AC, H trực tâm ⇒ BH⊥AC ⇒ CD//BH Tương tự ta có CH//BD ⇒ BHCD hình bình hành ⇒ BC DH cắt trung điểm đường Tổng hợp toán đặc sắc 10 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − • Với b = 2a ⇒ → n = (1; 2), phương trình đường thẳng CF : x + 2y − = C giao điểm CF CE ⇒ C (6; −1) ( thỏa mãn C có hồnh độ dương ) Phương trình đường thẳng EF qua F vng góc với CF ⇒ EF : 2x − y − = E giao điểm CE EF ⇒ E (0; −3) √ D giao điểm đường tròn tâm C bán kính CD = 3a = đường trịn tâm F bán kính √ F D = b = 2D (3; 2) Đến toán đơn giản • Với a = −2b xét tương tự Đề 81 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A, phương trình cạnh BC (d) : 2x − y + = Điểm I trung điểm cạnh BC, điểm E (4; 1) nằm cạnh AB Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC 90 Lời giải tham khảo Tam giác ABC cân A ⇒ AI vừa đường cao vừa đường phân giác góc A Phương trình đường phân giác AI qua A vng góc với BC ⇒ AI : x + 2y + = Qua E kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt AI AC F M Phương trình đường thẳng EM qua E vng góc với AI ⇒ EM : 2x − y − = Tọa độ điểm F giao điểm EM AI ⇒ F (2; −3) F trung điểm EM ⇒ M (0; 7) Lấy điểm B (b; 2b + 3) ∈ BC ⇒ C (−4 − b; − 2b) \ = ACB \ hay (BE, BC) = (M C, BC) Tam giác ABC cân A ⇒ ABC −−→ −−→ −−→ BE = (b − 4; 2b − 2) , M C = (4 + b; 2b − 2) , BC = (1; 2)  b=1 |5b| |b − + 2b − 4| ⇒√ √ =√ √ ⇔ 5b2 − 16b + 20 5b2 + 20 b=4 Nguyễn Minh Tiến 23 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ • Với b = ⇒ B (1; 5) ⇒ C (−5; −7) ⇒ BC = √ S = AI.BC = 90 ⇒ AI = Lấy điểm A (−2a − 4; a) ∈ AI   a = A (−14; 5) ⇒ AI = (2a + 2)2 + (a + 1)2 = 90 ⇔  ⇒ a = −7 A (10; −7) • Với b = xét tương tự Bài toán giải xong Đề 82 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − = 0; (d3 ) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp − u → = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C Gọi − u →, − → − → − → ⇒ cos (− u u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u  b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 25 a2 + b2 b=− a → = (3; −4) loại trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u → = (1; 0) Với b = ⇒ − u −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → − Ta có − u AC phương ⇒ c − 3a − = (1)   4a + − 2c 3a + c + ; M trung điểm AC ⇒ M Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 ⇒ 4a + − 2c 3a + c + + − = ⇔ 31a − 3a + 40 = 2 Nguyễn Minh Tiến (2) 24 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) Bài toán cở  : Biếttọa độ đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam 65 13 R = giác Tâm I −3; − 8 Đề 83 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M (−1; −1) , N (0; 2) trung điểm AB AC Điểm D (1; 0) chân đường phân giác góc A Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC qua D song song với MN ⇒ BC : 3x − y − = Điểm B ∈ BC ⇒ B (b; 3b − 3) M trung điểm AB ⇒ A (−2 − b; − 3b), N trung điểm AC ⇒ C (2 + b; + 3b) Ta có DB = (1 − b)2 + (3 − 3b)2 = 10 (b − 1)2 DC = (b + 1)2 + (3 + 3b)2 = 10 (b + 1)2
AB = (b + 1)2 + (3b − 2)2 = 20 2b2 − 2b +
AC = (b + 2)2 + (3b + 1)2 = 20 2b2 + 2b + 2 \ ⇒ DB = DC ⇒ DB = DC AD phân giác góc BAC AB AC AB AC (b − 1)2 (b + 1)2 (b − 1)2 (b + 1)2 = ⇔ = ⇔ b2 (b − 1)2 = b2 (b + 1)2 ⇔ b = 2b2 − 2b + b2 + 2b + b2 + (b − 1)2 b2 + (b + 1)2 Với b = ⇒ A (−2; 1) , B (0; −3) , C (2; 3) Bài toán giải xong Đề 84 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH, thỏa mãn BC = 3BH Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH có phương trình (C) : x2 + y − 4x − 2y = 0, phương trình đường thẳng AC x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm A có tung độ dương Lời giải tham khảo : A có tung độ dương A giao điểm (C) AC ⇒ A (1; 3) A (0; 2) • Với A (1; 3) có tam giác ABH vng H ⇒ tâm đường trịn I (2; 1) chình trung điểm AB Nguyễn Minh Tiến 25 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ B (3; −1)  Điểm C ∈ AC ⇒ C (c; c − 2) Ta có BC = 3BH ⇒ H  H ∈ (C) ⇒ c+6 c ; 3  2  2 c+6 c −2 + − = ⇒ c = ⇒ C 3 • Với A (0; 2) xét tương tự Bài toán giải xong Đề 85 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm A (−2; 3) Điểm M (4; −1) nằm cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng DC điểm N (7; −3) Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD Lời giải tham khảo : Ta có M N = ⇒ √ √ 13, AN = 13 Tam giác NAD tam giác NMC đồng dạng MN MC = = ⇒ AD = 3M C ⇒ BC = 3M C, BM = 2M C AN AD Tam giác ABM vng B có BM + AB = AM ⇔ BM + BM = 52 ⇒ BM = ⇒ AB = AB = ⇒ B ∈ (C1 ) : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 36 BM = ⇒ B ∈ (C2 ) : (x − 4)2 + (y + 1)2 = 14  B giao điểm (C1 ) (C2 ) ⇒ B (4; 3) B 35 ;− 13 13  • Với B (4; 3) ⇒ phương trình đường thẳng BM qua B M BM : x − = Có BM = 2MC ⇒ C (4; −3) Phương trình đường thẳng CD qua C N ⇒ CD : y = −3 Có DC = 2CN ⇒ D (−2; −3) Nguyễn Minh Tiến 26 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG  • Với B 35 ;− 13 13  xét tương tự Đề 86 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn \ có phương trình x − y = Biết (T ) : x2 + y − 4x − 2y = đường phần giác góc BAC diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC với I tâm đường trịn (T ) điểm A có tung độ dương Viết phương trình đường thẳng BC Lời giải tham khảo : A giao điểm phân giác x − y = đường tròn (T ) ⇒ A (3; 3) ( A có tung độ dương ) Giao điểm thứ hai phân giác x − y = với (T ) O (0; 0) điểm cung BC ⇒ IO ⊥ BC I tâm đường tròn (T ) ⇒ I (2; 1) Phương trình đường thẳng BC vng góc với ID ⇒ BC có dạng (d) : 2x + y + α = Ta có diện tích tam giác ABC ba lần diện tích tam giác IBC ⇒ d (A, (d)) = 3d (I, (d))   α = −3 (d) : 2x + y − = |9 + α| |5 + α| √ ⇒ √ = ⇔ ⇒ 5 α = −6 (d) : 2x + y − = Đề 87 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD với điểm N (1; 2) trung điểm BC Đường thẳng (d) : 5x − y + = đường trung tuyến xuất phát từ A tam giác ADN Tìm tọa độ A, B, C, D hình vng Lời giải tham khảo : Đặt cạnh hình vng AB = 2a ⇒ BN = CN = a √ √ Tam giác ABN vuông B ⇒ AN = AB + BN = 5a2 ⇒ AN = a ⇒ DN = a tam giác ADN có AM đường trung tuyến ⇒ AM = AN + AD2 DN 13a2 − = 4 AN + AM − M N \ tam giác AMN có cos M AN = =√ 2.AN.AM 65 Nguyễn Minh Tiến 27 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG − Gọi → n = (a; b) vecto pháp tuyến đường thẳng AN  a = 3b |5a − b|  2 \ ⇒ cos M AN = √ √ = √ ⇔ 27a − 50ab − 93b = ⇔  31 65 26 a2 + b2 a=− b 27 − • Với a = 3b chọn → n = (3; 1) ⇒ AN : 3x + y − =  A giao điểm AN AM ⇒ A ; 2  Đến toán đơn giản Đề 88 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho tam giác ABC vng cân A có I trung điểm cạnh BC GọiM trung  điểm IB N điểm nằm đoạn thẳng IC 11 cho N C = 2N I Biết M ; −4 , phương trình đường thẳng AN : x − y − = điểm A có hồnh độ âm Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải tham khảo : Tam giác ABC vuông cân A ⇒ IA = IB = IC = d ⇒ IM = IB d IC d = , IN = = 2 3 Tam giác AIM vuông I ⇒ AM = AI + IM = Tam giác AIN vuông I ⇒ AN = AI + IN = 5d2 10d2 5d Xét tam giác AMN có √ AM + AN − M N 2 \ cos M AN = = 2AM.AN M N = IM + IN = a − 11 + a + √ 2 \ s Điểm A (a; a − 2) ∈ AN ta có cos M AN = = ⇔ a = −2 ⇒ A (−2; −4) 2 √ 11 a− + (a − 2)2 √ √ √ 5 15 Ta có AM = ⇒ d = ⇒ AN = 2, M N = Điểm N ∈ AN ⇒ N (n; n − 2) ⇒ N (3; 1) 2 Đến tốn đơn giản Đề 89 ( THTT lần - 2015) : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (T ) : x2 + y = 2x Tam giác ABC vng A có AC tiếp tuyến đường tròn (T ) A tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A điểm H (2; 0) Xác định tọa độ đỉnh B tam giác biết diện tích tam giác ABC S = √ điểm B có tung độ dương Nguyễn Minh Tiến 28 Maths287 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Lời giải tham khảo : Đường trịn (T ) có tâm I (1; 0) bán kính R = Ta có AC tiếp tuyến đường tròn (T ) ⇒ đường thẳng AB qua điểm I, mặt khác H ∈ (T ) ⇒ IA = IH tam giác ABH vuông H ⇒ (T ) đường trịn ngoại tiếp tam giác ABH hay AB đường kính AB = 2 1 Diện tích tam giác ABC S = AB.AC = 2.AC = √ ⇒ AC = √ 2 3 Tam giác ABC vuông A ⇒ BC = AB + AC ⇒ BC = √ lại có S = AH.BC = √ AH = √ ⇒ AH = 2 3 √ Tam giác ABH vuông H ⇒ BH = AB − AH = ⇒ BH = √ ⇒ B thuộc đường tròn tâm H bán kính BH = ⇒ (H) : (x − 2)2 + y = √ ! B giao điểm (T ) (H) ⇒ B ; ( B có tung độ dương ) 2 Đề 90 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Trên tia đối tia \ = 60o Gọi K, M (1; 2) , N (1; 1) theo thứ tự trung điểm BP, DA lấy điểm P cho ABP CP KD Xác định tọa độ đỉnh D hình vng ABCD Lời giải tham khảo : Tam giác CPB có MK đường trung bình ⇒ MK // BC M K = BC Gọi Q trung điểm AD ⇒ DQ = AD, ABCD hình vng ⇒ MK // DQ MK = DQ ⇒ MKQD hình bình hành ⇒ MQ cắt KD trung điểm đường ⇒ N trung điểm MQ Tam giác AKD có NQ đường trung bình ⇒ AK = 2NQ hay AK = 2MN = Nguyễn Minh Tiến 29