Chuyên đề toán học kỳ 1 lê văn đoàn

NHểM TON THY Lấ VN ON Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) MC LC Trang ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Chương MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP § MỆNH ĐỀ § TẬP HỢP § CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 11 § CÁC TẬP HỢP SỐ 17 Chương HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 25 § ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 25 Dạng toán Xác định hàm số điểm thuộc đồ thị 26 Dạng toán Tìm tập xác định hàm số 28 Dạng toán Bài toán tập xác định liên quan đến tham số 34 Dạng toán Xét tính chẵn lẻ hàm số 37 Dạng toán Khảo sát biến thiên (đồng biến, nghịch biến) 41 § HÀM SỐ BẬC NHẤT 49 Dạng toán Khảo sát biến thiên, tương giao đồng quy 50 Dạng toán Xác định phương trình đường thẳng 55 § HÀM SỐ BẬC HAI 61 Dạng toán Xác định khảo sát biến thiên (vẽ) parabol (P) 61 Dạng toán Biến đổi đồ thị tương giao 68 Chương PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 79 § ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 79 § PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 81 Dạng toán Giải biện luận phương trình bậc 82 Dạng tốn Giải biện luận phương trình bậc hai 87 Dạng tốn Định lí Viét tốn liên quan 90 Dạng tốn Phương trình chứa ẩn dấu trị tuyệt đối 102 Dạng toán Phương trình chứa ẩn đấu thức 107 § HỆ PHƯƠNG TRÌNH 118 Dạng toán Hệ phương trình bậc hai ẩn 119 Dạng toán Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai 124 Dạng tốn Hệ phương trình đối xứng đẳng cấp 126 Chương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 133 § BẤT ĐẲNG THỨC 133 Dạng toán Dùng phương pháp biến đổi tương đương 134 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Dạng toán Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy 138 Nhóm Tách cặp nghịch đảo 138 Nhóm Thêm bớt để tìm giá trị lớn 142 Nhóm Ghép đối xứng 145 Nhóm Cauchy ngược dấu 148 Nhóm Sử dụng trọng số để tìm điểm rơi 149 HÌNH HỌC Chương VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ 153 § – – VÉCTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ 153 Dạng toán Chứng minh đẳng thức véctơ 154 Dạng tốn Tìm mơđun (độ dài) véctơ 165 Dạng tốn Phân tích véctơ – chứng minh thẳng hàng – song song 172 Dạng tốn Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức véctơ 184 § HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 193 Dạng toán Bài toán 194 Dạng tốn Tìm điểm đặc biệt 196 Nhóm Tìm điểm thứ tư hình bình hành 196 Nhóm Tìm tọa độ trực tâm tam giác 198 Nhóm Tìm tọa độ chân đường cao (hình chiếu) 200 Nhóm Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 203 Nhóm Tìm tọa độ chân đường phân giác 205 Nhóm Tìm điểm thuộc trục tọa độ thỏa điều kiện cho trước 207 Bài tập tổng hợp 214 Chương TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 227 § TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 227 Dạng toán Tính tích vơ hướng bình phương vơ hướng để tính độ dài 228 Dạng tốn Chứng minh vng góc hệ thức thường gặp Nhóm Chứng minh vng góc 234 Nhóm Chứng minh hệ thức thường gặp 236 § HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 245 Dạng tốn Tính giá trị 246 Dạng toán Chứng minh đẳng thức nhận dạng tam giác 253 Nhóm Chứng minh đẳng thức 253 Nhóm Nhận dạng tam giác 258 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) A CH GHI DANH  TRUNG TÂM THẾ VINH – 45A LÊ THÚC HOẠCH – Q TÂN PHÚ (ĐỐI DIỆN TRƯỜNG TRẦN PHÚ)  TRUNG TÂM HOÀNG GIA – 56 PHỐ CHỢ – P TÂN THÀNH – Q TÂN PHÚ (SAU CHỢ TÂN PHÚ)  71/25/10 PHÚ THỌ HÒA – P PHÚ THỌ HỊA – Q TÂN PHÚ – TP HỒ CHÍ MINH ĐIỆN THOẠI GHI DANH  0983.047.188 – Zalo (Thầy Nguyễn Đức Nam) – Face: https://www.facebook.com/marion.zack/  0933.755.607 – Zalo (Thầy Lê Văn Đồn) – 0929.031.789 – Face: https://www.facebook.com/levan.doan.902 NHĨM TỐN THẦY LÊ VĂN ĐỒN Ths Lê Văn Đồn – Ths Trương Huy Hoàng – Ths Nguyễn Tiến Hà – Thầy Bùi Sỹ Khanh – Thầy Nguyễn Đức Nam – Thầy Đỗ Minh Tiến – Thầy Nguyễn Duy Tùng – Thầy Trần Nguyễn Vĩnh Nghi – Thầy Hoàng Minh Thiện – Thầy Trần Quốc Tuấn THỜI KHĨA BIỂU CÁC LỚP TỐN ĐANG HỌC KHỐI Thứ hai Thứ ba 19’15 – 21’15 KHỐI Thứ tư Thứ năm T6A Thứ hai Thứ ba 17’30 -19’30 Thứ tư Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ hai Thứ năm 19’15 – 21’15 T8A KHỐI Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm 17’30 -19’30 T9A T9B T9A T9B KHỐI 10 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy T10B 10HG T10A Chủ nhật Giải đề Thứ bảy T8A Chủ nhật Giải đề Thứ sáu T10B 10HG Thứ bảy Chủ nhật Giải đề Thứ sáu 17’45 -19’15 T10A Chủ nhật Giải đề T7A KHỐI 19’30 – 21’00 Thứ bảy T6A T7A Thứ ba Thứ sáu T10A Thứ bảy Chủ nhật T10C T10C T10B Giải đề 10HG KHỐI 11 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 17’45 -19’15 T11A T11B1 T11A T11B1 T11A T11B1 Giải đề 19’30 – 21’00 KHỐI 12 17’45 -19’15 19’30 – 21’00 T11B2 T11B2 T11B2 T11C T11C T11C Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật T12A1 T12C T12A1 T12C T12A1 T12C T12HG2 Lớp chuyên đề VD VDC T12A2 T12A2 T12A2 T12HG1 T12HG1 T12HG1 T12B T12B T12HG2 T12B T12HG2 Ths Lª Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Chửụng Mệnh đề & Tập hợp MNH V TP HP Đ MNH ĐỀ   Mệnh đề Các câu bên trái khẳng định có tính sai, cịn câu bên phải khơng thể nói hay sai Các câu bên trái mệnh đề, câu bên phải mệnh đề  Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai  Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai  Mệnh đề phủ định Nam Minh tranh luận lồi dơi Nam nói “Dơi lồi chim” Minh phủ định “Dơi khơng phải loài chim Để phủ định mệnh đề, ta thêm bớt từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ mệnh đề Cho mệnh đề P  Mệnh đề "không phải P " gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P  Nếu P P sai, P sai P  Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P Q Ai biết “Nếu Trái Đất khơng có nước khơng có sống” Câu nói mệnh đề dạng “Nếu P Q ” P mệnh đề “Trái Đất khơng có nước”, Q mệnh đề “(Trái Đất) khơng có sống  Mệnh đề "Nếu P Q " gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu là: P  Q  Mệnh đề P  Q sai P Q sai Như vậy, ta cần xét tính sai mệnh đề P  Q P  Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề kéo theo P  Q Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q  Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P Q  Mệnh đề " P Q " gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q hai mệnh để P  Q v Q P u ỳng Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Mệnh đề & TËp hỵp  Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề  Kí hiệu  : Cho mệnh đề chứa biến P(x ) với x  X Khi đó:  "Với x thuộc X ", ký hiệu là: " x  X "  "Tồn x thuộc X ", ký hiệu là: " x  X "  Mệnh đề phủ định mệnh đề " x  X, P(x )" " x  X , P (x )"  Mệnh đề phủ định mệnh đề " x  X, P(x )" " x  X , P (x )"  Mệnh đề chứa  ta phần tử  Mệnh đề chứa  sai ta phần tử sai  Lưu ý:  Số nguyên tố số tự nhiên chia hết cho Ngồi khơng chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41;  Ước bội: Cho hai số: a, b   Nếu a chia hết b, ta gọi a bội b b ước a  Ước chung lớn (ƯCLN) hay nhiều số tự nhiên số lớn tập hợp ước chung số  Bội chung nhỏ (BCNN) hay nhiều số tự nhiên số nhỏ tập hợp ước chung số BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) P : "  x  , x  " Giải Mệnh đề P mệnh đề sai Vì tồn x  : " 02  " sai b) P : " x  , x  x " c) P : " n  , n  n " d) P : " x  , 5x  3x  1" e) P : " x  , x   x  " f) P : " n   * , n(n  1)" số lẻ " Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Mệnh đề & Tập hợp BT Nờu mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề phủ định ? Học sinh cần nhớ nguyên tắc phủ định mệnh đề (dòng phủ định với dòng dưới): Mệnh đề P Có    Chia hết  Mệnh đề phủ định P Không    Không chia hết  a) P : " x   : x  1" b) P : " x   : x  " Mệnh đề phủ định mệnh đề P Mệnh đề phủ định mệnh đề P P : " x   : x  1" P : " x   : x  " Mệnh đề P mệnh đề Mệnh đề P mệnh đề sai c) P : " x   : x  " d) P : " x   : x  x " e) P : " x   : 4x   " f) P : " x   : x  x   " g) P : " x   : x  x   " h) P : " x   : (x  1)2  (x  1)" i) P : " x  , x  x  " j) P : " x   : x   " k) P : " x   : x  " x l) P : " x   : x  " x ` BT Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để mệnh đề ? a)     b) a b  a  b  c) a b  a  b  d) a.b  a  b  a  b  e) Một số chia hết cho chia hết cho ……… cho f) Một số chia hết cho chữ số tận bng Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Mệnh đề & Tập hợp BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong câu sau, có câu mệnh đề ? (1) Cố lên, đến ! (2) Số 15 số nguyên tố (3) Tổng góc tam giác 180 (4) Số số nguyên dương A B C D Câu Mệnh đề phủ định mệnh đề “Phương trình ax  bx  c  (a  0) vô nghiệm” mệnh đề sau ? A Phương trình ax  bx  c  (a  0) khơng có nghiệm B Phương trình ax  bx  c  (a  0) có nghiệm phân biệt C Phương trình ax  bx  c  (a  0) có nghiệm kép D Phương trình ax  bx  c  (a  0) có nghiệm Câu Phủ định mệnh đề: “Có số vơ tỷ số thập phân vơ hạn tuần hồn” A Mọi số vô tỷ số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn B Mọi số vơ tỷ số thập phân tuần hoàn C Mọi số vô tỷ số thập phân vô hạn tuần hồn D Có số vơ tỷ số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Câu Cho mệnh đề: " x   2x  3x   " Mệnh đề phủ định A " x   2x  3x   " B " x   2x  3x   " C " x   2x  3x   " D " x   2x  3x   " Câu Cho mệnh đề P : " x  , x  x   " Mệnh đề phủ định P x   : x  x   A  B x   : x  x   C x   : x  x   D x   : x  x   Câu Mệnh đề phủ định mệnh đề x   : x  x   A x  , x  x   B x  , x  x   C x  , x  x   D x  , x  x   Câu Hỏi mệnh đề sau mệnh đề mệnh đề ? A x  , x   x  3 B x  , x  3  x  C x  , x   x  D x  , x   x  BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến 7.D Trang - - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Mệnh đề & Tập hợp Đ TẬP HỢP   Tập hợp  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa mà mơ tả  Có hai cách xác định tập hợp:  Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { ; ; ; } Ví dụ: X  {0; 1; 2; 3; 4}  Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Ví dụ: X  {n   |  n  36}  Tập rỗng: tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu  Ví dụ: Phương trình x  x   khơng có nghiệm Ta nói tập hợp nghiệm phương trình tập hợp rỗng, tức S    Tập hợp – Tập hợp  Tập hợp con: A  B  (x  A  x  B )  A  A, A   A, A  A  B, B  C  A  C B A A A  B B  A    Tập hợp nhau: A  B   n  Nếu tập A có n phần tử  A có tập hợp  Một số tập hợp tập hợp số thực  Tập hợp  : *         Trong đó:    : tập hợp số tự nhiên khơng có số   : tập hợp số tự nhiên   : tập hợp số nguyên   : tập hợp số hữu tỷ    (; ) : tập hợp số thực BT Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử ? a) A  {x   | x  20 x chia hết cho 3} Lời giải Do x   thỏa x  20 nên A  {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18} b) A  {x   |  x  10} c) A  {x   |   x  15} d) A  {x   | 14  3x  0} Lời giải Ta có: 14  3x   3x  14  x  14 Vì x    A  { } Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Mệnh đề & Tập hợp e) A  {x    | 15  2x  0} f) A  {x    | 20  2x  0} g) A  {x    | x   3} Lời giải Ta có: x    3  x    2  x  Do x    A  { .}  Học sinh cần nhớ: X  a  a  X  a với a  h) A  {x   | x   1} i) A  {x   | 2x   9}      j) A   x   x    1   , n    n  32    Với n   x  1   (nhận) 32 20  Với n   x  1   (nhận) 32 21  Với n   x   Với n   x   Với n   x   Với n   x   Với n   x   Với n   x   1 1 ; ; ; ; Do đó: A    ;  32 16  1    1  k) A   với n    x   x x    2n  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai véctơ a) Tính góc B, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC diện tích tam giác ABC 21  , S ABC  Đáp số: B  120, R  b) Tính độ dài đường phân giác góc B tam giác ABC Gọi D chân đường phân giác kẻ từ góc B S ABC  S ABD  S BCD   2 3   CB.BD.sin CBD  AB.BD sin ABD 2 1 2.BD.sin 60  4.BD.sin 60 2   BD  4/3 BT (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  2, AC   BAC  120 Tính độ dài BC , diện tích tam giác ABC , bán kính đường trịn ngoại tiếp độ dài đường phân giác AD tam giác ABC BT (THPT Bùi Thị Xuân – Tp Hồ Chí Minh) Cho tam giác ABC có AB  3, AC     BAC  60 Gọi M trung điểm AB E AC thỏa AC  4AE   a) Tính CM bán kính nội tiếp  AMC b) Tính tích vơ hướng BE AC Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 251 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai véctơ 79 15 Đáp số: CM  S AMC    Đáp số: BE AC    BT 10 Cho tam giác ABC có AB  10, BC  6, góc B  120 H B C a) Tính AC diện tích tam giác ABC 10 D A b) Tính đường cao AH bán kính đường trịn c) Tính độ dài đường phân giác BD tam nội tiếp tam giác ABC giác ABC Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 252 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai véctơ Daùng toaựn 2: Chứng minh đẳng thức nhận dạng tam giác Nhóm CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BT Cho tam giác ABC nhọn có diện tích S đặt AB  c, BC  a, CA  b Chứng minh: cot A  cot B  cotC  a  b2  c2  4S Học sinh đọc bổ sung lời giải Định lí hàm cos, ta có: cos A  b2  c2  a cos A b  c  a b2  c2  a    cot A  2bc sin A 2bc sinA 4S (1) Tương tự: Cộng (1), (2), (3) được: cot A  cot B  cotC  b2  c2  a c2  a  b2 a  b2  c2   4S 4S 4S BT Cho tam giác ABC nhọn có diện tích S đặt AB  c, BC  a, CA  b Học sinh đọc bổ sung lời giải a) Chứng minh: a  b  c  4S cot A Theo định lí hàm cos, ta có: a  b  c  2bc cos A 1  cos A  a  b  c   bc sin A   sin A  b) Chứng minh: a  b  c  4S (cot A  cot B  cotC ) BT Gọi S diện tích R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC a) Chứng minh: S  2R sin A sin B sin C Định lí hàm sin có: a b c a b c    2R  sin A  , sin B  , sin C   sin A sin B sin C 2R 2R 2R Ta có: VT  2R sin A sin B sin C  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 253 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai véctơ b) Chng minh: S  Rr (sin A  sin B  sinC ) Ta có: VT  Rr (sin A  sin B  sin C )  BT Gọi S diện tích R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC a) Chứng minh: cot A  cot B  cotC  Định lí hàm cos có: cos A  Định lí hàm sin có: Ta có: cot A  a  b2  c2 R abc b2  c2  a a  c2  b2 a  b2  c2 , cos B  , cosC   2bc 2ac 2ab a b c 2R 2R 2R    2R   ,  ,   sin A sin B sin C sin A a sin B b sin C c cos A b  c  a 2R (b  c  a )R  cos A    sin A sin A 2bc a abc (1) Tương tự: cotB  Tương tự: cotC  Cộng (1),(2),(3) vế theo vế được: b) Chứng minh: b  c  a(b cos C  c cos B ) Ta có: VP  a(b cosC  c cos B )  ab cosC  ac cos B   c) Chứng minh: (b  c ) cos A  a(c cos C  b cos B ) Ta có: VP  a(c cosC  b cos B )  ac cosC  ab cos B  ac a  b2  c2 a  c2  b2  ab 2ab 2ac  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 254 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai vÐct¬ d) Chứng minh: sin C  sin A cos B  sin B cos A a a  c2  b2 b b2  c2  a Ta có: VP  sin A cos B  sin B cos A     2R 2ac 2R 2bc  e) Chứng minh: ma2  mb2  mc2  Ta có: VT  ma2  mb2  mc2  (a  b  c ) 2(b  c )  a 2(a  c )  b 2(a  b )  c   4  f) Chứng minh: GA2  GB  GC  (a  b  c ) với G trọng tâm tam giác ABC 2 2  2  2  Ta có: VT  GA  GB  GC   ma    mb    mc        2  BT Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, AC  b Gọi , hb , hc đường cao tương ứng xuất phát từ đỉnh A, B, C r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh: Ta có: S  1 1     hb hc r p 1 1 a b c S  pr    aha  bhb  chc   ,  ,  2 2S hb 2S hc 2S r S Khi đó: VT  1    hb hc BT Cho tam giác ABC có a  b  2c Chứng minh: ma  mb  mc  Ta có: VT  ma  mb  mc  (a  b  c) 2(b  c )  a 2(a  c )  b 2(a  b )  c   4  Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Ngun Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 255 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy §oµn) BT Cho tam giác ABC khơng vng A, chứng minh: S  TÝch v« h­íng cđa hai vÐct¬ (b  c  a ) tan A 1 sin A b  c  a Ta có: S  bc sin A  bc cos A  bc tan A 2 cos A 2bc  BT Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c trung tuyến AM  c  a) Chứng minh: 2b  a  c c  2(b  c )  a 2(b  c )  a Theo công thức trung tuyến: m      4   a  b) Chứng minh: sin2 A  sin B  sin C Định lí hàm sin có a b c    2R  a  2R sin A, b  2R sin B, c  2R sin C sin A sin B sin C Theo câu a ), ta có: 2b  a  c  2(2R sin B )2  (2R sin A)2  (2R sin C )2  BT Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng: (p  a )(p  b)(p  c)  abc Vì (p  a )  0; (p  b)  0; (p  c)  nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) có: (p  a )(p  b)  p  a  p  b 2p  (a  b) (a  b  c)  (a  b) c    2 2 (1) Dấu "  " xảy p  a  p  b  a  b Tương tự: Nhân vế theo vế (1),(2),(3) được: b) Chứng minh rằng: r R Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 256 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai vÐct¬ S  pr   abc abc r pabc Ta có: S   S  pr  p(p  a )(p  b )(p  c)    4R 4R R S  p(p  a )(p  b )(p  c)   r abc abc r   (p  a )(p  b)(p  c)   (theo câu a))  (đpcm) R R BT 10 Cho tam giác ABC Chứng minh Công thức đường trung tuyến, có: ma2  a b c    ma mb mc 2(b  c )  a Cauchy 2 2 a  2(a  b  c )  4m  3a Chia : a 0     4ma2 3a  3ama  a  b  c  3ama 3ama a  b2  c2 a 3a    ma a2 a2 a  b2  c2 (1) Tương tự: b  c  2a  2 Dấu "  " xảy  a  c  2b  a  b  c  a  b 2c Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 257 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng cđa hai vÐct¬ Nhóm NHẬN DẠNG TAM GIÁC BT 11 Chứng minh 5ma2  mb2  mc2 tam giác ABC vng A Học sinh đọc bổ sung lời giải Ta có: 5ma2  mb2  mc2  2(b  c )  a 2(a  c )  b 2(a  b )  c   4  10b  10c  5a  2a  2c  b  2a  2b  c BT 12 Chứng minh ba góc tam giác ABC thỏa hệ thức sin A  sin B sin C tam giác ABC cân Học sinh đọc bổ sung lời giải Định lí hàm sin, có: a b a b   2R  sin A  , sin B   sin A sin B 2R 2R a  b2  c2 Định lí hàm cos, có: cos C   Theo đề, ta có: sin A  sin B cosC 2ab  BT 13 Chứng minh a  2b cosC b3  c3  a3  a tam giác ABC b c a Học sinh đọc bổ sung lời giải Theo đề, ta có: b3  c3  a  a  b  c  a  a (b  c  a ) b c a  b  c  a  a (b  c)  a  (b  c )  a (b  c)   (b  c)(b  c  bc )  a (b  c )   (b  c)(b  c  bc  a )   b  c  (vơ lý b  c  0) b  c  bc  a   b  c  a  bc Theo định lí hàm cos, có: cos A  b2  c2  a bc    A  60 2bc 2bc Theo đề, ta lại có: a  2b cosC  a  2b a  b2  c2  2ab Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 258 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) BT 14 Tam giỏc ABC cú c điểm gì,  cos B  sin B 2a  c 4a  c TÝch v« h­íng cđa hai vÐct¬  Học sinh đọc bổ sung lời giải Ta có:  cos B  sin B 2a  c 4a  c  (1  cos B )2 (2a  c)2 (1  cos B )2 (2a  c)2    (2a  c)(2a  c ) sin2 B 4a  c  cos2 B   cos B 2a  c  cos B  cos B (1  cos B )  (1  cos B )       cos B 2a  c 2a  c 2a  c (2a  c)  (2a  c) 2a   cos B 2a  c c    cos B   cos B  2a  c 2a 2a 2a  BT 15 Tam giác ABC có chiều cao  p(p  a ) Chứng minh: ABC tam giác cân Lời giải tham khảo Diện tích S  ah  p(p  a )(p  b)(p  c)  aha  p(p  a )(p  b)(p  c) a Theo đề có:  p(p  a )  a p(p  a )  p(p  a )(p  b)(p  c) Cauchy a b c  b  c  a Dấu "  " xảy p  b  p  c  b  c Do tam giác ABC cân  a  (p  b )(p  c)  (p  b )  (p  c )  2p  (b  c)  BT 16 Chứng minh tam giác ABC có S  (ch  bhc  ahb ) tam giác a Lời giải tham khảo Theo đề bài, ta có: S  1 1  2S 2S 2S  cha  bhc  ahb   S  c  b  a   6  a c b   c b a  c b a Cauchy c b a             a c b  a c b a c b Dấu "  " xảy a  b  c  tam giác ABC tam giác BT 17 Chứng minh tam giác ABC tam giác thỏa mãn: 2(a  b  c )  a (b  c )  b(c  a )  c(a  b ) Lời giải tham khảo Ta có: 2(a  b  c )  a(b  c )  b(c  a )  c(a  b )  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a )  a  b  ab(a  b )  b  c  bc(b  c )  c  a  ca(c  a )         (a  b)(a  b )2  (b  c )(b  c)2  (c  a )(c  a )2  a  b  a  b     b  c   b  c  a  b  c  Tam giác ABC (đpcm)   c  a  c a Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 259 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai vÐct¬ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho tam giác ABC Trung tuyến AM có độ dài A 2b  2c  a B 3a  2b  2c C 2b  2c  a D b2  c2  a Câu Trong tam giác ABC , câu sau ? A a  b  c  2bc.cos A B a  b  c  2bc cos A C a  b  c  bc cos A D a  b  c  bc.cos A Câu Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, AC  b, p nửa chu vi S diện tích tam giác cho Xét hai mệnh đề sau đây: (i ) : S  p(p  a )(p  b)(p  c) (ii ) : 16S  (a  b  c )(a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) Trong mệnh đề (i ) (ii ) mệnh đề ? A (i ) (ii ) B Khơng có Câu Diện tích tam giác có ba cạnh A  B C  D  C (i ) 3, D (ii ) Câu Cho tam giác ABC vuông cân A có AB  AC  30cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC A 50 cm B 75 cm C 15 105 cm D 50cm Câu Tam giác có ba cạnh 5, 12, 13 Độ dài đường cao ứng với cạnh lớn A 12 B 120  13 30 60   D 13 13 Câu Tam giác có ba cạnh 9, 10, 11 Đường cao lớn tam giác C A 60  B C 70 D Câu Cho tam giác với ba cạnh a  13, b  14, c  15 Đường cao hc A  B 12 C 10  D 11  Câu Tam giác ABC có tổng hai góc B C 135 độ dài cạnh BC a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giỏc bng Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 260 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) A a B Tích vô hướng cđa hai vÐct¬ a  a  Câu 10 Cho tam giác ABC biết A  60, b  10 c  20 Diện tích tam giác ABC C a D A 50 B 50 C 50 D 50  Câu 11 Tam giác ABC có BC  5, AC  AB  Số đo góc BAC A 60 B 45 C 30 D 120 Câu 12 Cho tam giác ABC có AB  4cm, BC  7cm CA  9cm Giá trị cos A A   C  B  D   Câu 13 Tam giác ABC có AC  3, AB  BC  Số đo góc ABC A 60 B 45 C 30 D 120 Câu 14 Tam giác ABC có góc B tù, AB  3, AC  có diện tích 3 Góc A có số đo A 30 B 60 C 45 D 120  Câu 15 Tam giác ABC có AB  12, AC  13, BAC  30 Diện tích tam giác ABC A 39 B 78 C 39 D 78   Câu 16 Tam giác ABC có BAC  105, ABC  45 AC  10 Độ dài cạnh AB A B 6/2 C D 10 Câu 17 Cho tam giác ABC có a  2, b  c   Góc B gần A 115 B 75 C 60 D 5332 Câu 18 Cho tam giác DEF có DE  DF  10 cm EF  12 cm Gọi I trung điểm cạnh EF Đoạn thẳng DI có độ dài A cm B cm C 6,5 cm D cm Câu 19 Tam giác ABC có AB  9, BC  10 CA  11 Gọi M trung điểm BC N trung điểm AM Độ dài BN 34 A B C D Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 261 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng hai vÐct¬ Câu 20 Tam giác ABC có AB  5, BC  CA  Gọi G trọng tâm tam giác Độ dài đoạn thẳng AG A  B 58  58   D 3 Câu 21 Tam giác ABC có góc A nhọn, AB  5, AC  diện tích 12 Độ dài cạnh BC C A B C D Câu 22 Tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên lần đồng thời tăng cạnh AC lên lần giữ ngun độ lớn góc C diện tích tam giác tạo nên A 4S B 6S C 2S D 3S Câu 23 Cho tam giác ABC có BC  6, CA  AB  Mệnh đề sau sai ?   A cos(AB, AC )     B cos(BA, AC )      C cos(BA,CA)      D cos(BA, BC )   Câu 24 Tam giác ABC có AB  10, AC  24 diện tích tam giác ABC 120 Độ dài đường trung tuyến AM A 13 B C 26 D 11 Câu 25 Tam giác ABC có a  8, b  c  Diện tích tam giác cho A 10 B 12 C D Câu 26 Tam giác ABC có AB  cm, AC  12 cm BC  15 cm Khi đường trung tuyến AM tam giác có độ dài A cm B 7, cm C cm D 10 cm Câu 27 Tam giác ABC có AB  5, AC  đường trung tuyến AM  Độ dài cạnh BC A 22 C 129 B 17 D 17 Câu 28 Tam giác ABC có AB  4, AC  trung tuyến BM  Độ dài cạnh BC bng A 17 B Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 262 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) C Tích vô hướng hai véctơ D Cõu 29 Tam giác ABC có AB  4, AC  10 đường trung tuyến AM  Độ dài cạnh BC 22 A B C 22 D   Câu 30 Tam giác ABC có góc ABC  30, ACB  45 AB  Độ dài cạnh AC A  B 6   D Câu 31 Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC có ba cạnh 13, 14, 15 C A C B D  Câu 32 Tam giác ABC có AB  1, AC  3, BAC  60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A C  B 21  D Câu 33 Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có ba cạnh 5, 12, 13 A C B D 2   Câu 34 Tam giác ABC có BAC  75, ABC  45 AC  Độ dài cạnh AB A  B  C  D Câu 35 Cho tam giác ABC có AB  8cm, AC  18cm có diện tích 64 cm2 Giá trị sin A A  B C  D   AB   Câu 36 Tam giác ABC có góc BAC  75 ABC  45 Tỉ số AC A C  B  D   Câu 37 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính R, AB  R, AC  R Tính góc BAC biết  góc tự BAC Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoµng - Ths Ngun TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 263 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) A 120 B 150 C 135 D 105 Tích vô hướng hai véctơ Cõu 38 Tam giác ABC có AB  3, AC  tan A  2 Độ dài cạnh BC A C 17 33 B D Câu 39 Tam giác ABC có AB  3, AC  tan A  2 Độ dài cạnh BC A B 33 C D Câu 40 Tam giác ABC có AB  7, AC  cos(B  C )    Độ dài đoạn BC A 22 B 22 C 15 D 15 Câu 41 Tam giác ABC có AB  4, AC  cos B  A B 3 C D 5, AC  cotC  2 Độ dài cạnh AB Câu 42 Tam giác ABC có BC  A 10 C 21 B D cosC   Độ dài cạnh BC Bằng 26  Câu 43 Tam giác ABC có BC  10 sin A sin B sin C    Chu vi tam giác A 36 B 24 C 22 D 12 Câu 44 Tam giác ABC có BC  12, CA  AB  Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM  Độ dài đoạn thẳng AM A 19 B C 20 D  Câu 45 Cho tam giác cân ABC có BAC  120 AB  AC  a Lấy điểm M cạnh BC cho 5BM  2BC Độ dài đoạn thẳng AM A a  B 11a  C a  D a Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 264 - Điện thoại ghi danh: 0983.047.188 (Thầy Nam) 0933.755.607 (Thầy Đoàn) Tích vô hướng cđa hai vÐct¬ Câu 46 Trong tam giác ABC có 2ha  hb  hc A 1    sin A sin B sin C 1    sin A sin B sin C C sin A  sin B  sin C B D sin A  sin B  sin C Câu 47 Cho tam giác ABC , biết AB  sin A  sin B  sinC Chu vi tam giác A 10 B 26 C 13 D 26 Câu 48 Cho tam giác ABC vuông A, AC  b AB  c Lấy điểm M cạnh BC cho góc MB  BAM  30 Tỉ số MC 3c  b A B b c  b c b 3c   D 3c 3b Câu 49 Hình bình hành có hai cạnh 5, đường chéo Tìm độ dài đường chéo cịn lại C 43 A B 13 C D Câu 50 Trong tam giác ABC có a  b.c A 1    hb hc B ha2  hb hc C 1    hb hc D 2    hb hc BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.A 8.D 9.D 10.D 11.A 12.C 13.A 14.B 15.C 16.C 17.C 18.A 19.B 20.D 21.C 22.B 23.C 24.A 25.A 26.B 27.D 28.B 29.C 30.A 31.D 32.B 33.C 34.D 35.A 36.D 37.D 38.C 39.B 40.D 41.A 42.C 43.B 44.A 45.C 46.B 47.B 48.D 49.A 50.B Ths Lê Văn Đoàn - Ths Trương Huy Hoàng - Ths Nguyễn Tiến Hà - Bùi Sỹ Khanh - Nguyễn Đức Nam - Đỗ Minh Tiến Trang - 265 -