Đề cương toán học kỳ một lớp 10

MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng toán ví dụ Dạng Xác định mệnh đề Tính sai mệnh đề Dạng Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Dạng Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ C Bài tập tự luận D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 5 7 9 18 TẬP HỢP A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng Cách biểu diễn tập hợp Dạng Tập - hai tập C Bài tập tự luận Dạng Các phép toán tập hợp Dạng Tập tập số thực D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 23 23 23 23 25 26 27 32 37 CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 49 HÀM SỐ A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng Tính giá trị hàm số điểm Dạng Đồ thị hàm số Dạng Tìm tập xác định hàm số Dạng Sự biến thiên hàm số Dạng Hàm số chẵn - Hàm số lẻ C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 49 49 50 50 50 52 57 60 64 HÀM SỐ BẬC NHẤT A Tóm tắt lý thuyết B Các dạng tốn ví dụ Dạng Xét tính đồng biến, nghịch biến Dạng Đồ thị hàm số y = ax + b Dạng Đồ thị hàm số y = |ax + b| C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 84 84 85 85 86 87 88 HÀM SỐ BẬC HAI 97 A Tóm tắt lý thuyết 97 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 100 CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 115 # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 2 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 115 A Tóm tắt lý thuyết 115 B Phương pháp giải 116 C Bài Tập Tự Luyện 117 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 125 Phương trình quy phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 139 A Các dạng tốn thường gặp - Ví dụ - Bài tập rèn luyện 139 Dạng Giải biện luận phương trình bậc ẩn 139 Dạng Giải biện luận phương trình bậc hai ẩn 143 Dạng Định lí Vi-ét 146 Dạng Phương trình vơ tỷ 150 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 161 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 181 A Các dạng tốn ví dụ .181 Dạng Phương pháp 181 Dạng Hệ phương trình đối xứng loại 183 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 193 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỆNH A B C 207 ĐỀ 207 Tóm tắt lý thuyết 207 Bài tập tự luyện 207 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 210 PHẦN II CHƯƠNG I VEC-TƠ HÌNH HỌC 219 221 VEC-TƠ 221 A Bài tập tự luận 221 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 224 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 232 A Tóm tắt lý thuyết 232 B Các dạng tốn ví dụ .232 Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ 232 Dạng Tính độ dài vectơ tổng .234 C Bài tập tự luận 234 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 240 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 248 A Tóm tắt lý thuyết 248 B Các dạng toán ví dụ .248 Dạng Chứng minh đẳng thức véc-tơ 248 Dạng Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 249 Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng 249 C Bài tập tự luận 251 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 264 h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie PHẦN I ĐẠI SỐ  CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 A MỆNH ĐỀ TÓM TẮT LÝ THUYẾT MỆNH ĐỀ Mệnh đề khẳng định là sai vừa vừa sai # Ví dụ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề chứa biến câu chứa biến, với giá trị biến ta mệnh đề # Ví dụ PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phủ định mệnh đề P ký hiệu P mệnh đề thỏa mãn tính chất P Đúng Sai P Sai Đúng # Ví dụ Để phủ định mệnh đề P , thông thường ta thêm “khơng phải” “khơng” vào vị trí phù hợp mệnh đề P để có câu trịn ý # Ví dụ # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie MỆNH ĐỀ KÉO THEO Mệnh đề “Nếu P Q ”gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P đồng thời Q sai Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Q Sai Đúng Sai Đúng P ⇒Q Sai Đúng Đúng Đúng # Ví dụ ○ Mệnh đề “−10 < −1 ⇒ (−10)2 < (−1)2 ” mệnh đề sai √ ○ Mệnh đề “ < ⇒ < 4” mệnh đề Định lý toán học mệnh đề có dạng P ⇒ Q ! ○ P : gọi giả thiết (hay P điều kiện đủ để có Q) ○ Q: gọi kết luận (hay Q điều kiện cần để có P ) # Ví dụ MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề Q ⇒ P ! Mệnh đề đảo mệnh đề chưa mệnh đề Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Ký hiệu P ⇔ Q Tóm tắt: P Đúng Sai Sai Đúng Cách phát biểu khác: Q Đúng Sai Đúng Sai P ⇒Q Đúng Đúng Sai Sai + P Q + P điều kiện cần đủ để có Q + Q điều kiện cần đủ để có P # Ví dụ Tam giác ABC cân có góc 60◦ điều kiện cần đủ để tam giác ABC # Ví dụ Tam giác ABC tam giác vuông có góc tổng hai góc cịn lại # Ví dụ h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam KÝ HIỆU ∀, ∃, ∃! Ký hiệu ∀: đọc với mọi; ký hiệu ∃: đọc tồn tại; ký hiệu ∃!: đọc tồn Xét câu “Bình phương số thực lớn 0” mệnh đề Ta viết: ∀x ∈ R : x2 ≥ hay x2 ≥ 0, ∀x ∈ R # Ví dụ Câu Mệnh đề ∀n ∈ N : n2 > Đọc ∃x ∈ Z : x2 = x Có số tự nhiên n mà 2n + = Mệnh đề sai Có số nguyên nhỏ Mệnh đề ∃!x ∈ Z : |x| < PHỦ ĐỊNH CỦA MỆNH ĐỀ VỚI MỌI, TỒN TẠI Mệnh đề P : ∀x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định ∃x ∈ X, T (x) Mệnh đề P : ∃x ∈ X, T (x) có mệnh đề phủ định ∀x ∈ X, T (x) ○ Phủ định “a < b” “a ≥ b” ! ○ Phủ định “a = b” “a 6= b” ○ Phủ định “a > b” “a ≤ b” ○ Phủ định “a chia hết cho b” “a không chỉa hết cho b” # Ví dụ P : ∃n ∈ Z, n < phủ định P P : ∀n ∈ Z, n ≥ # Ví dụ B CÁC DẠNG TỐN VÀ VÍ DỤ d Dạng Xác định mệnh đề Tính sai mệnh đề Căn định nghĩa mệnh đề tính sai chúng Lưu ý rằng: ○ P, P khơng tính sai ○ P ⇒ Q sai P đúng, Q sai ○ P ⇔ Q hai mệnh đề P Q hay sai ○ ∀x ∈ X, P (x) P (x0 ) với x0 ∈ X ○ ∃x ∈ X, P (x) có x0 ∈ X cho P (x0 ) Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Số số nguyên tố Hà Nội thủ đô nước nào? Phương trình x2 + = vơ nghiệm Hình học mơn học khó thật! x + số âm Nếu n số chẵn n chia hết cho Nếu n chia hết cho n số chẵn n số chẵn n2 chia hết cho ∃n ∈ N, n3 − n không bội 10 ∀x ∈ R, x2 − x + > ý Lời giải a) “Số số nguyên tố” mệnh đề sai số nguyên tố số lớn b) “Hà Nội thủ đô nước nào?” mệnh đề câu hỏi c) “Phương trình x2 + = vơ nghiệm.” mệnh đề d) “Hình học mơn học khó thật!” khơng phải mệnh đề câu cảm thán e) “x + số âm.” mệnh đề chứa biến f) “Nếu n số chẵn n chia hết cho 4.” mệnh đề sai n = số chẵn khơng chia hết cho g) “Nếu n chia hết cho n số chẵn.” mệnh đề h) “n số chẵn n2 chia hết cho 4.” mệnh đề i) “∃n ∈ N, n3 − n không bội 3.” mệnh đề sai ∀n ∈ N, n3 − n = (n − 1)n(n + 1) chia hết cho Å ã 2 j) “∀x ∈ R, x − x + > 0.” mệnh đề x − x + = x − + > d Dạng Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề ○ Mệnh đề phủ định P “không phải P ” ○ Mệnh đề phủ định “∀x ∈ X, P (x)” “∃x ∈ X, P (x)” ○ Mệnh đề phủ định “∃x ∈ X, P (x)” “∀x ∈ X, P (x)” ○ Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q # Ví dụ Tìm mệnh đề đảo mệnh đề sau cho biết mệnh đề đảo hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh chúng nhau” ý Lời giải Mệnh đề cho có dạng P ⇒ Q P “hai góc đối đỉnh”, Q “hai góc nhau” Vậy mệnh đề đảo “Nếu hai góc chúng đối đỉnh” Mệnh đề sai # Ví dụ Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết chúng hay sai? a) P : “∀x ∈ R, (x − 1)2 ≥ 0” b) Q: “Có tam giác khơng có góc lớn 60◦ ” ý Lời giải a) Mệnh đề phủ định P P : “∃x ∈ R, (x − 1)2 < 0” Đây mệnh đề sai b) Mệnh đề phủ định Q Q: “Mọi tam giác ln có góc lớn 60◦ ” Đây mệnh đề sai tam giác khơng có góc lớn 60◦ ” h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie # Ví dụ Xét xem phát biểu sau có phải mệnh đề khơng? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai? h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam # Ví dụ Phát biểu thành lời phủ định mệnh đề sau ∀x ∈ R, x2 > ∃!n ∈ N, n2 + n = ý Lời giải a) Bình phương số thực số dương Mệnh đề phủ định “Tồn bình phương số thực số khơng dương” b) Có số tự nhiên n mà tích với số liền sau Mệnh đề phủ định “Với số tự nhiên n mà tích với số liền sau khác 0” d Dạng Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ ○ Một định lí thường có dạng “∀x ∈ X, P (x) ⇒ Q(x)” Xác định P (x), Q(x) ○ Lấy x ∈ X cho P (x) đúng, chứng minh Q(x) ○ P (x) điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) điều kiện cần để có P (x) # Ví dụ Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu định lí sau a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu a + b > có số a hay b dương ý Lời giải a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiền cần để chúng b) a + b > điều kiện đủ để có số a hay b dương Ít có số a hay b dương điều kiện cần để a + b > # Ví dụ Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu định lí sau a) Một số có tổng chia hết cho chia hết cho ngược lại b) Một hình bình hành có đường chéo vng góc hình thoi ngược lại c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt biệt thức dương ý Lời giải a) Một số có tổng chia hết cho điều kiện cần đủ để số chia hết cho b) Một hình bình hành có đường chéo vng góc điều kiện cần đủ để hình hình thoi c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt điều kiện cần đủ để biệt thức dương C BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Trong phát biểu sau, phát biểu mệnh đề? Phát biểu mệnh đề chứa biến? a 2009 + > 2020 b 2x + = c x2 + > d Mọi tam giác đều tam giác cân Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 10 f Hai tam giác chúng có diện tích g số nguyên tố ý Lời giải ○ Trong phát biểu trên, phát biểu a., d., f., g mệnh đề ○ Phát biểu b., c mệnh đề chứa biến ○ Phát biểu e mệnh đề (câu hỏi) Bài Phát biểu thành lời, xét tính sai lập mệnh đề phủ định mệnh đề đây: a ∃x ∈ R : x2 = −10 c ∀x ∈ R : x2 ≤ e ∃x ∈ R : x2 + x + > b ∀x ∈ R : x2 + x + 12 6= −10 d ∃x ∈ R : x2 ≤ f ∀x ∈ R : x2 + x + > ý Lời giải a Có số thực bình phương −10 Đây mệnh đề sai, bình phương số thực số không âm Mệnh đề phủ định là: Mọi số thực, bình phương khác −10 Å ã 47 47 b Đây mệnh đề đúng, x2 + x + 12 = x + + ≥ 6= −10 ∀x 4 Mệnh đề phủ định là: Có số thực mà tích số với số cộng −22 c Đây mệnh đề sai, x = x2 = > Mệnh đề chứa ký hiệu “với mọi” có phần tử làm cho sai mệnh đề sai Phủ định mệnh đề là: Tồn số thực mà bình phương số dương d Đây mệnh đề đúng, có phần tử x = làm cho mệnh đề Phủ định mệnh đề là: Mọi số thực, bình phương số dương e Đây mệnh đề Vì với x = 12 + + > mệnh đề Phủ định mệnh đề là: Mọi số thực, tích số với số cộng số bé âm năm ã Å 19 19 + ≥ > ∀x f Đây mệnh đề Vì x2 + x + = x + 4 Phủ định mệnh đề là: Tồn số thực, tích số với số cộng số bé âm năm Bài Trong câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến? a 10 < b + x > x + c x − y = d √ số vô tỉ ý Lời giải Câu a câu d mệnh đề Câu b câu c mệnh đề chứa biến Bài Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai a Khơng lối b Bây giờ? ý Lời giải a Không lối Câu khơng phải mệnh đề câu mệnh lệnh b Bây giờ? Câu mệnh đề câu hỏi c khơng số nguyên tố d √ số vô tỉ h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie e Số π có lớn hay khơng? t + ≥ t Suy t = ⇔ x = Hệ trở thành ß √ = y − 3y ⇔y=± y = 27 Ä √ ä Ä √ ä Khi hệ có hai cặp nghiệm 0; ; 0; − Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 202 A B vô nghiệm C D ý Lời giải Điều kiện xác√định x ≥ 1, y ≥ √ Khi 2x + y − ≥ nên phương trình 2x + y − = vơ nghiệm Do hệ phương trình vụ nghim Ô Chn ỏp ỏn B ® x+y =m+1 Câu 38 Cho hệ phương trình mệnh đề x2 y + y x = 2m2 − m − (I) Hệ có vơ số nghiệm m = −1 (II) Hệ có nghiệm m > (III) Hệ có nghiệm với m Các mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) ý Lời giải Khi hệ phương trình cho tương đương với ® C Chỉ (III) D Chỉ (I) (III) x+y =m+1 xy(m + 1) = (2m − 3)(m + 1) ® ○ Khi m = −1 hệ trở thành x+y =0 xy · = ⇔ x = −y Khi hệ có vơ số nghiệm, với tập nghiệm S = {(x; −x)|x ∈ R} ○ Khi m 6= −1 Hệ cho trở thành ® x+y =m+1 xy = (2m − 3) có nghiệm (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (m + 1)2 ≥ 4(2m − 3) ⇔ m2 − 6m + 13 ≥ ⇔ (m − 3)2 + ≥ với m 6= −1 Do ú h cú nghim vi mi m Ô Chn đáp án D ® x + y = 2a + Câu 39 Cho hệ phương trình Giá trị thích hợp tham số a cho hệ có nghiệm (x; y) x2 + y = a2 − 2a + tích x · y nhỏ A a = B a = −1 C a = D a = −2 ý Lời giải Hệ tương đương với  ® x + y = 2a + x + y = 2a + ⇔ xy = 3a + 6a − (x + y)2 − 2xy = a2 − 2a + Để hệ phương trình tên có nghiệm √ √ −4 − 26 −4 + 26 (x + y) ≥ 4xy ⇔ (2a + 1) ≥ 6a + 12a − ⇔ 2a + 8a − ≤ ⇔ ≤a≤ 2 √ √ 3a2 + 6a − −4 − 26 −4 + 26 Ta có xy = = f (a) với ≤a≤ có bảng biến thiên sau 2 2 2 h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie Vy h cú cp nghim Ô Chn ỏp ỏn C p ® 2x + y − = Câu 37 Hệ phương trình có cặp nghiệm (x; y)? √ 2y + x − = h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam √ −4 − 26 x Ç f 203 √ −4 + 26 −1 √ å −4 − 26 Ç f √ å −4 + 26 y − Vậy xy đạt giá trị nhỏ nht a = Ô Chn ỏp ỏn B ® 2x − y = − a Tìm tham số a để tổng bình phương hai nghiệm hệ phương Câu 40 Cho hệ phương trình x + 2y = a + trình đạt giá trị nhỏ 1 A a = B a = −1 C a= D a=− 2 ý Lời giải ® ® x=1−a 2x − y = − a ⇔ y = a x + 2y = a + ã Å √ 1 2 2 Khi x + y = (1 − a) + a = 2a − 2a + = 2a − √ + ≥ 2 √ 1 2 Khi x + y đạt giá trị nhỏ 2a − √ = ⇔ a = 2 Ô Chn ỏp ỏn C   mx − (m + 1)y = 3m Câu 41 Tìm tham số m để hệ phương trình x − 2my = m + có nghiệm   x + 2y = 5 2 A m= B m=− C m= D m=− 2 5 ý Lời giải     mx − (m + 1)y = 3m mx − (m + 1)y = 3m x − 2my = m + ⇔ x = − 2y     x + 2y = (2 + 2m)y = − m TH Nếu + 2m = hệ trở thành    − x = −3 x = − 2y vô nghiệm   0y = TH 2 + 2m 6= hệ trở thành   mx − (m + 1)y = 3m   mx − (m + 1)y = 3m       5m + x = − 2y ⇔ x= m+1   2−m      y= y = − m + 2m + 2m  m=1 5m2 + 2m 2−m suy − (m + 1) · = 3m ⇔ 5m2 − 3m − = ⇔  m+1 + 2m m=− Vậy giá trị m cần tìm m = m = Ô Chn ỏp ỏn D Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 204 Câu 42 Cho hệ phương trình nguyên A (2; −2); (3; −3) ý Lời giải Hệ cho tương đương với ß 2x2 + xy − y = x2 − xy − y + 3x + 7y + = B (−2; 2); (−3; 3) x2 − y = −x2 − xy ⇔ −2xy − x2 + 3x + 7y + = Các cặp nghiệm (x; y) cho x, y số C (1; −1); (3; −3) ® D (−1; 1); (−4; 4) x2 − y = −x2 − xy (2x − 7)y = −x2 + 3x + (1) Vì x, y ∈ Z nên 2x − 6= Khi ta suy từ (1) y= −x2 + 3x + −4x2 + 12x + 12 ⇔ 4y = = −2x − + ∈Z 2x − 2x − 2x − Do 2x − ước có ước {±1; ±5} nên đ y=8 thỏa tốn TH 2x − = ⇔ x = ⇒ 32 + 4y − y = ⇒ y = −4 ñ y=6 TH 2x − = −1 ⇔ x = ⇒ 18 + 3y − y = ⇒ thỏa toán y = −3 ñ y=2 TH 2x − = −5 ⇔ x = ⇒ + y − y = ⇒ thỏa tốn y = −1 đ y = 12 TH 2x − = ⇔ x = ⇒ 72 + 6y − y = ⇒ thỏa toán y = −6 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm ngun {(4; −4); (4; 8); (3; −3); (3; 6); (1; −1); (1; 2); (6; 6); (6; 12)} Ô Chn ỏp ỏn C ® x − 4xy + y = Câu 43 Nếu (x; y) nghiệm hệ phương trình Thì xy bao nhiêu? y − 4xy = A B −4 C D không tồn giá trị xy ý Lời gii đ ò 4xy = y x − 4xy + y = ⇔ (*) y − 4xy = x2 − 4xy + y = ® TH Nếu y = hệ (*) trở thành = −2 x2 = vơ nghiệm TH Nếu y 6= (*) trở thành   y−2   y−2  x =  x = y −  x= 4y 4y 4y ⇔ ⇔
2    (y − 2)2    16y − 16y + 17y − 4y + = +2−y+y =1 4y − 2y + 12y + (y − 2)2 = 16y   4u − 2y =
2 2 vô nghiệm 4y − 2y + 12y + (y − 2) = ⇔ y = không xảy   y=2 Vậy không tồn giá trị xy thỏa bi toỏn Ô Chn ỏp ỏn D ® x+y =2 Câu 44 Hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x < x − y = 5a − 5 A a < B a > C a< D a> 2 ý Lời giải h | NHÓM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Tốn 10 - Marie Curie ® h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie h | Nhóm Tốn TH - THCS - THPT Việt Nam 205  5a  x = x+y =2 ⇔ x − y = 5a −  y = − 5a Để hệ phương trình có nghiệm x < a < Ô Chn ỏp ỏn A » ( p x 12 − y + y (12 − x2 ) = 12 Khi x + y Câu 45 Cho số thực x, y thỏa p x3 − 8x − = y − A B C D ý Lời giải.® ≤ y ≤ 12 √ √ Điều kiện − ≤ x ≤ a2 + b2 ≥ ab (*) Với hai số thực a, b ta có Áp dụng (*) ta  p x2 − y + 12   x 12 − y ≤ »  12 − x2 + y   y (12 − x2 ) ≤ ® p x≥0 √ Suy x 12 − y + y (12 − x ) ≤ 12, từ phương trình đầu hệ ta Thay vào phương y = 12 − x2 trình hệ ta ị ï Ä ä p p 2(x + 3) 3 2 √ = (1) x −8x−1 = 10 − x ⇔ x −8x−3+2 − 10 − x = ⇔ (x−3) x + 3x + + + 10 − x2 ß Do x ≥ ⇒ x2 + 3x + + 2(x + 3) √ > 0, + 10 − x2 (1) ⇔ x = ⇒ y = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (3; 3) Do x + y = Ô Chn ỏp ỏn C Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 206 h | NHĨM TỐN TH-THCS-THPT VIỆT NAM - DỰ ÁN TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie IV BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH  CHƯƠNG §1 A MỆNH ĐỀ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Một số kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Các mệnh đề a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b gọi bất đẳng thức Tính chất: ∀c ∈ R, ta có: a < b ⇔ a + c < b + c (hoặc a < b ⇔ a − c < b − c) ∀c > 0, ta có a < b ⇔ ac < bc ∀c < 0, ta có a < b ⇔ ac > bc ® c b c a b c a 1 + ≥ , ∀a, b > a b a+b ý Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có √ √ √ a + b ≥ ab ≥ ; + 4ab ≥ 4ab = ab ≥ Nhân hai bất đẳng thức theo vế, suy √ √ (a + b)(1 + 4ab) ≥ ab ≥ ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có √ √ √ 2a + ≥ 2a ≥ ; + ab ≥ 6ab ≥ ; b + ≥ 3b ≥ Nhân ba bất đẳng thức theo vế ta √ √ √ (2a + 1)(6 + ab)(b + 3) ≥ 2a · 6ab · 3b = 48ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 1+ … … … a a b b c c ≥2 ≥0 ; 1+ ≥2 ≥0 ; 1+ ≥2 ≥ b b c c a a Nhân ba bất đẳng thức theo vế ta  1+ … … … Å ã a b  c a b c 1+ 1+ ≥2 ·2 ·2 = b c a b c a 1 + ≥ ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ (a − b)2 ≥ a b a+b Tương tự câu Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie # | Dự án TEX ĐC Toán 10 - Marie Curie 210 a+b+1≥ √ ab + √ a+ √ a+b+c≥ b, ∀a, b ≥ ab + √ bc + √ ca, ∀a, b, c ≥ a b c 1 + + ≥ + + , ∀a, b, c > bc ca ab a b c a+b b+c c+a + + ≥ 6, ∀a, b, c > c a b √ Nếu a a+c a < < , với a, b, c > b b b+c ý Lời giải a+b+2≥2 Ä√ a+ Ä√ ä2 √ ä √ b ⇔ ( a − 1) + b − ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta √ √ √ a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca Cộng bất đẳng thức theo vế, ta √ √ √ √ √ √ 2a + 2b + 2c ≥ ab + bc + ca ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca Áp dụng câu với c = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có b a + ≥2 bc ca … a b · = ; bc ca c b c + ≥2 ca ab … b c · = ; ca ab a … c a c a + ≥2 · = ab bc ab bc b Cộng bất đẳng thức theo vế, ta C a b c 2 a b c 1 +2 +2 ≥ + + ⇒ + + ≥ + + bc ca ab a b c bc ca ab a b c Å ã Å ã  a b b c c a a+b b+c c+a + + ≥6⇔ + + + + + ≥ c a b b a c b a c Bất đẳng thức việc cộng ba bất đẳng thức sau … … … a b a b b c b c c a c a + ≥2 · =2 ; + ≥2 · =2 ; + ≥2 · = b a b a c b c b a c a c a a+c a < ⇔ a(b + c) < b(c + a) ⇔ ac < bc ⇔ a < b ⇔ < b b+c b CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu ®Trong tính chất sau, tính chất sai? a a b D a < b ⇒ ac < bc, (c > 0) B a