Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc

Tuyển tập Hình học giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc giúp cho các bạn học sinh trong việc nắm bắt được các dạng bài tập để có kể hoạch ôn thi một cách tốt hơn. Bên cạnh đó, tài liệu cũng hữu ích với các thầy cô giáo trong việc ôn tập trọng tâm cho học sinh để đạt hiệu quả cao hơn trong kỳ thi này.

CHUN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN www.facebook.com/tilado.toanhoc TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC (phiên 1) Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến Hà Nội tháng 12 năm 2014 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm đường thẳng (d1 ) : 2x + y + = chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm đường thẳng (d2 ) : 2x + y − = Biết điểm M (3; 0) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác Lời giải tham khảo : w t ila e du v n Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1 ) Điểm H (b; − 2b) ∈ (d2 ) Ta có M trung điểm BC ⇒ C (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên AH HC phương −−→ −−→ AH = (b − 1; − 2b) HC = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −−→ −−→ AH HC phương ⇒ b−1 − 2b = ⇔ a = 11 − 6b 6−a−b 2a + 2b − −−→ −−→ H chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔ AH.BH = (1) −−→ −−→ −−→ BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ AH.BH = ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = ⇔ 5b2 − 5ab − 25ab + 7a + 27 = (2) Thay (1) vào (2) ta 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + (11 − 6a) + 27 =  b=2  ⇔ 35b − 122b + 104 = ⇔  52 b= 35 Thay ngược lại ta có điểm B C cần tìm 45 , đáy lớn CD nằm đường thẳng (d) : x − 3y − = Biết hai đường chéo AC BD vng góc với cắt điểm I (2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hồnh độ dương w w Đề 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích Lời giải tham khảo : ABCD hình thang cân ⇒ tam giác ICD vng cân I Ta có CD = 2d (I; CD) = √ √ |2 − 3.3 − 3| √ = 10 ⇒ IC = 20 10 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC = (3a + 1)2 + (a − 3)2 = 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1) −→ Phương trình BD qua điểm I nhận IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − = D giao điểm BD CD ⇒ D (0; −1) Tổng hợp toán đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG ⇒ w t ila e du v n √ Đặt IA = IB = x ⇒ SIAB = x2 ; SIAD = x = SIBC ; SICD = 10  √ (tm) x = √ 45 ⇒ SABCD = x2 + 2x + 10 = ⇔ √ 2 x = −5 (loai) −→ −→ DI = ⇒ DI = 2IB IB (∗) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (∗) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC qua B C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài toán giải xong Đề 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) : 3x − 4y − = Gọi E điểm nằm bên hình vng ABCD cho tam giác EBC cân có BEC = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4) w w Lời giải tham khảo : Tam giác BEC cân có BEC = 150o ⇒ tam giác BEC cân E Gọi H hình chiếu E lên AD ⇒ H trung điểm AD HE = d (E; AD) = Đặt cạnh hình vng AB = x x Tam giác BEC cân E có BEC = 150o ⇒ EBC = 15o Gọi I trung điểm BC ⇒ BI = ; EI = x−3 Tam giác BIE vng I có góc EBI = 15o ⇒ tan 15o = Tổng hợp toán đặc sắc EI 2x − = BI x www.tilado.edu.vn ⇒2− √ 3= HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ 2x − ⇔x=2 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E vng góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + = Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = √ √ |α − 4| = BI = ⇔ α = ± 5 √ Phương trình đường thẳng AB (d) : 4x + 3y + ± = Ta có d (E, AB) = w t ila e du v n Bài toán giải xong Đề 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1 ) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2 ) : 4x + 5y − = 0; (d3 ) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : → = (3; −4) Ta có AH⊥BC ⇒ BC có vtcp − u → = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc C Gọi − u w →, − → − → − → ⇒ cos (− u u4 ) = cos (u3 , u5 ) − → = (2; −1) u  w b=0 |2a − b| 10  ⇒√ √ = √ √ ⇔ 25 a2 + b2 b=− a → = (3; −4) loại trùng với − → Với b = − a ⇒ chọn − u u → = (1; 0) Với b = ⇒ − u −→ Điểm A ∈ (d1 ) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3 ) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒ AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) → → − Ta có − u AC phương ⇒ c − 3a − = M trung điểm AC ⇒ M (1) 4a + − 2c 3a + c + ; Trung điểm M thuộc (d2 ) 2 Tổng hợp toán đặc sắc www.tilado.edu.vn ⇒ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 4a + − 2c 3a + c + + − = ⇔ 31a − 3a + 40 = 2 (2) Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) w t ila e du v n Bài toán cở : Biết tọa độ đỉnh √ tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam 65 13 R = giác Tâm I −3; − 8 Đề 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC (d1 ) : 7x − y + 17 = 0; (d2 ) : x − 3y − = Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm đường thẳng AC Lời giải tham khảo : → = (7; −1), BC có vtpt − → = (1; −3) Đường thẳng AB có vtpt − n n → = (a; b) vtpt đường thẳng AC Gọi − n 10 |a − 3b| →, − → − → − → √ =√ √ Tam giác ABC cân A ⇒ cos (− n n2 ) = cos (n2 , n3 ) ⇒ √ 50 10 10 a2 + b2  a=b ⇔ a2 + 6ab − 7b2 = ⇔  a = −7b → = (7; −1) loại phương với − → Với a = −7b chọn − n n → = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − = Với a = b chọn − n Tọa độ C giao điểm BC AC ⇒ C (3; −2) w Phương trình đường cao xuất phát từ C (d) : x + 7y + 11 = w Đề 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (d1 ) : x − 2y = 0; (d2 ) : x − y + = Biết điểm 180 Tìm tọa độ đỉnh tam M (1; 0) nằm cạnh AB diện tích tam giác ABC giác ABC Lời giải tham khảo : Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A giao điểm (d1 ) (d2 ) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2 ) cắt (d2 ) I AC N MN qua M ⊥(d2 ) ⇒ (M N ) : x + y − = I giao điểm MN (d2 ) ⇒ I (0; 1) I trung điểm MN ⇒ N (−1; 2) w t ila e du v n Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − = (AC) : 3x − y + = Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) −−→ −−→ −−→ −−→ Ta có BC⊥AH ⇔ AH⊥BC ⇔ AH.BC = −−→ −−→ AH = (2; 1) ; BC = (b − 3a − 1; 3b + − a) ⇒ (b − 3a − 1) + (3b + − a) = ⇔ 5b − 7a + = (1) 180 |8b + 14| (3a + 3)2 + (a + 1)2 = Ta có SABC = d (C, AB) AB = √ 10  a=  Từ (1) (2) ⇒  thay ngược lại ta có điểm A, B, C 22 a=− (2) Bài toán giải xong Đề 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vng A có AC = 2AB, phương trình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình (d) : 2x − y + = 0, điểm G 0; trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hồnh độ bé −2 w w Lời giải tham khảo : Gọi M trung điểm AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân A ⇒ M BA = 45o Tổng hợp toán đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG → vtpt đường thẳng (d) ⇒ − → − → Gọi − n √ √ n1 = (2; −1) n2 = (a; b) vtpt đường thẳng BG |2a − b| →, − → ⇒ cos (− n ⇒√ √ = n2 ) = 2 2 a + b  a = 3b  ⇔ 3a2 − 8ab − 3b2 = ⇔  a=− b Với a = − w t ila e du v n → = (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : 9x + y − = Với a = 3b chọn − n n 2    x=− loại hoành độ điểm B nhỏ −2 B giao điểm AB BG ⇒ 13   y= b → = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt − → ⇒ BG : x − 3y + = chọn − n n 2 B giao điểm AB BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) −−→ −−→ M trung điểm AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có BG = BM ⇒ M (2; 1) Phương trình đường thẳng AC qua điểm M vng góc với AB ⇒ AC : x + 2y − = Tọa độ điểm A giao điểm AC AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài toán giải xong Đề 08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm ; Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB D, E F B Biết điểm D (3; 1) phương trình đường thẳng EF có phương trình (d) : y − = Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ khơng âm w w Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng BC qua điểm B D ⇒ BC : y − = ⇒ BC//EF Do tam giác ABC cân A D trung điểm BC Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với BC ⇒ AD : x − = Tổng hợp toán đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒ a− 25 + 22 = ⇔ a− 2  a=2 = ⇔ a = −1 a = ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x − 3y + = A giao điểm AB AD ⇒ A 3; 13 a = −1 ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB : 4x + 3y − = Vậy điểm A 3; ( loại) w t ila e du v n A giao điểm AB AD ⇒ A 3; − 13 Đề 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD 3x + 4y − 13 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật biết B có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : √ Xét tam giác ABD vuông A có BD2 = AB + AD2 = 5AB ⇒ BD = AB AB =√ BD → = (3; 4) Gọi → − vtpt − n n = (a; b) vtpt đường thẳng AB  11 a=− b  ⇔ 4a2 + 24ab + 11b2 = ⇔  a=− b ⇒ cos ABD = w Phương trình đường chéo BD có w ⇒ cos ABD = |3a + 4b| √ =√ 2 5 a + b Với a = − 11 − b chọn → n = (11; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình 11x − 2y − = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B 14 ; 5 loại B có hoành độ âm − Với a = − b chọn → n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn ) Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng AD qua điểm A vng góc với AB ⇒ AD : 2x + y − = Tọa độ điểm D giao điểm AD BD ⇒ D (3; 1) Trung điểm I BD có tọa độ I 1; ⇒ C (1; 0) Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) w t ila e du v n Bài toán giải xong Đề 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD √ (d) : x − y = Đường thẳng AB qua điểm P 1; , đường thẳng CD qua điểm √ Q −2; −2 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết độ dài AB = AC điểm B có hồnh độ lớn Lời giải tham khảo : Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC ⇒ ABC = 60o ⇒ ABD = 30o w w → = (1; −1) Giả sử → − Đường thẳng BD có vtpt − n n = (a; b) vtpt AB √ √ |a − b| →, → − ⇒ cos (− n = ⇔ a2 + 4ab + b2 = ⇔ a = −2 ± b n) = √ √ 2 a2 + b2 √ √ − − Với a = −2 − b chọn → n = −2 − 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √ AB : + x − y − = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B 2 √ ; √ 1+ 1+ loại xB > √ √ − − Với a = −2 + b chọn → n = −2 + 3; đường thẳng AB qua điểm P có vtpt → n ⇒ √ √ AB : − x − y − + = Tọa độ điểm B giao điểm AB BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn √ √ Ta có CD // AB CD qua điểm Q ⇒ CD : − x − y + − = Tọa độ điểm D giao điểm BD CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k hình thoi trung điểm BD ⇒ K (−1; −1) Tổng hợp tốn đặc sắc www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường chéo AC qua điểm K vng góc với BD ⇒ AC : x + y + = Tọa độ điểm A giao điểm AB AC ⇒ A ( ) Tọa độ điểm C giao điểm CD AC ⇒ C ( ) Bài toán giải xong w t ila e du v n Đề 11 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (5; 2)phương trình đường trung trực cạnh BC trung tuyến xuất phát từ đỉnh C (d1 ) : 2x+y−5 = 0; (d2 ) : x+y−6 = 0.Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải tham khảo : Giả sử điểm B (a; b) Ta có trung điểm AB M ⇒ a+5 b+2 ; 2 ∈ (d2 ) a+5 b+2 + − = ⇔ a + b − = ⇔ b = − a ⇒ B (a; − a) 2 Lấy điểm C (c; − c) ∈ (d2 ) (d1 ) trung trực BC ⇒ trung điểm BC N a + c 13 − a − c ; 2 ∈ (d1 ) 13 − a − c −5=0⇔a+c+3=0 (1) −−→ → −−→ (d1 ) trung trực BC ⇒ BC⊥(d1 ) ⇒ BC⊥− ud1 ta có − u→ d1 = (1; −2) ; BC = (c − a; a − − c) ⇒a+c+ ⇒ c − a − (a − − c) = ⇔ 3c − 3a + =     c + a = −3  a=− Từ (1) (2) ta có ⇔  3c − 3a = −2   c = − 11 (2) ⇒ tọa độ điểm B C w Bài toán giải xong w Đề 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (−1; −3), trực tâm H (1; −1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2) Xác định tọa độ đỉnh B, C tam giác ABC Lời giải tham khảo : Gọi D điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD đường kính đường trịn tâm I I trung điểm AD ⇒ D (5; −1) AD đường kính đường tròn tâm I ⇒ CD⊥AC, H trực tâm ⇒ BH⊥AC ⇒ CD//BH Tương tự ta có CH//BD ⇒ BHCD hình bình hành ⇒ BC DH cắt trung điểm đường Tổng hợp tốn đặc sắc 10 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ √ AK AM = ⇒ = Ta có AK = AM Lấy điểm M (m; − 2m) Ta có −−→ −−→ AK = ⇒ AK = AM ⇒ M (3; −3) AM 5 Giả sử điểm B (a; b) với a > ABCD hình vng nên AB ⊥ BM ⇒ (a − 1) (a − 3) + (b − 1) (b + 3) = ⇔ a2 − 4a + b2 + 2b = AB = ⇒ (a − 1)2 + (b − 1)2 = 16 ⇔ a2 − 2a + b2 − 2b = 14 (1) (2) w t ila e du v n Từ (1) (2) ⇒ B (1; −3) M trung điểm BC ⇒ C (5; −3) Phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB ⇒ AD : y = Phương trình đường thẳng CD qua C vng góc với BC ⇒ CD : x = D giao điểm CD AD ⇒ D (5; 1) Bài toán giải xong Đề 34 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng (d) : x + y − = Điểm E (9; 4) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm √ F (−2; −5) nằm đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi biết điểm C có hồnh độ âm w w Lời giải tham khảo : Qua E kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC cắt AC M cắt AD N Phương trình đường thẳng EN qua E vng góc với AC ⇒ EN : x − y − = AC cắt EN điểm M ⇒ M (3; −2) M trung điểm EN ⇒ N (−3; −8) Phương trình đường thẳng AD qua F N ⇒ AD : 3x − y + = A giao điểm AC AD ⇒ A (0; 1) Lấy điểm C (c; − c) ∈ AC ⇒ AC = c2 + c2 = ⇒ c = ±2 ⇒ C (−2; 3) Tổng hợp toán đặc sắc 28 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Gọi I tâm hình thoi ⇒ I trung điểm AC ⇒ I (−1; 2) Phương trình đường chéo BD qua điểm I vng góc với AC ⇒ BD : x − y + = D giao điểm AD BD ⇒ D (1; 4) I trung điểm BD ⇒ B (−3; 0) Bài toán giải xong w t ila e du v n Đề 35 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm C (5; 1), trung tuyến AM, điểm B thuộc đường thẳng (d) : x + y + = Điểm N (0; 1) trung điểm AM, điểm D (−1; −7) không nằm đường thẳng AM khác phía so với đường thẳng BC đồng thời khoảng cách từ A D tới đường thẳng BC Xác định tọa độ điểm A B Lời giải tham khảo : − Giả sử → n = (a; b) vtpt đường thẳng BC ⇒ BC : ax + by − 5a − b = w |−6a − 8b| |5a| =√ Ta có d (A, BC) = d (D, BC) = 2d (N, BC) ⇒ √ 2 a +b a2 + b2  a=− b 2  ⇒ 16a − 24ab − 16b = ⇒ a = 2b w Với a = 2b ⇒ BC : 2x + y − 11 = ( loại N D phía với BC) Với a = − b ⇒ BC : x − 2y − = ( thỏa mãn ) B giao điểm đường thẳng BC (d) ⇒ B (−3; −3) M trung điểm BC ⇒ M (1; −1) N trung điểm AM ⇒ A (1; 3) Bài toán giải xong Tổng hợp tốn đặc sắc 29 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 36 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có A (−2; 6), đỉnh B nằm đường thẳng (d) : x − 2y + = Trên hai cạnh BC CD lấy hai điểm M N cho BM 14 ; = CN Xác định tọa độ đỉnh hình vng biết AM BN cắt điểm I 5 w t ila e du v n Lời giải tham khảo : Ta có ∆ABM = ∆BCN ⇒ BM A = BN C ⇒ BM A + CBN = 90o ⇒ BN ⊥ AM Phương trình đường thẳng AI qua A I ⇒ AI : 4x + 3y − 10 = Phương trình đường thẳng BN qua I vng góc với AI ⇒ BI : 3x − 4y + 10 = B giao điểm đường thẳng (d) BI ⇒ B (2; 4) Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AB ⇒ BC : 2x − y = M giao điểm BC AI ⇒ M (1; 2) √ √ Ta có AB = 5, BM = ⇒ BM = BC ⇒ M trung điểm BC w ⇒ tọa độ điểm C (0; 0) Giả sử H tâm hình vng ⇒ H trung điểm AC ⇒ H (−1; 3) w H trung điểm BD ⇒ D (−4; 2) Bài toán giải xong Đề 37 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm 11 cạnh AD, điểm H ;− hình chiếu B lên CE M ;− trung điểm BH 5 5 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A có hồnh độ âm Lời giải tham khảo : Tổng hợp toán đặc sắc 30 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG w t ila e du v n www.tilado.edu.vn Gọi G trung điểm BC ⇒ GM đường trung bình tam giác BCH ⇒ GM // CE ABCD hình vng có E, G trung điểm AD BC ⇒ AG // CE Qua G có hai đường thẳng song song với CE A, G, M thẳng hàng hay AM ⊥ BH ⇒ phương trình đường thẳng AM : 2x + y = 0, phương trình đường thẳng CE : 2x + y − = M trung điểm BH ⇒ B (−1; −2) BM ED = = ⇒ AM = 2BM AM CD √ √ Có BM = Tam giác ABM vng M có AM = 2BM = ⇒ AB = 5 Hai tam giác ABM CED đồng dạng ⇒  2 Lấy điểm A (a; −2a) ∈ AM ⇒ AB = (a + 1) + (2 − 2a) = 16 ⇔ 5a2  − 6a − 11 = ⇔  a = −1 a= 11 ⇒ A (−1; 2) ⇒ phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB ⇒ AD : y = E giao điểm AD CE ⇒ E (1; 2), E trung điểm AD ⇒ D (3; 2) w Phương trình đường thẳng BC qua B song song với AD ⇒ BC : y = −2 C giao điểm CE BC ⇒ C (3; −2) w Bài toán giải xong Đề 38 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (−3; 4), đường phân giác góc A có phương trình (d) : x + y − = tâm đường tròn ngoại tiếp I (1; 7) Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC gập bốn lần diện tích tam giác IBC Lời giải tham khảo : Ta có IA = ⇒ phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng (C) : (x − 1)2 + (y − 7)2 = 25 Phương trình phân giác góc A cắt đường trịn điểm thứ D ⇒ D (−2; 3) Tổng hợp toán đặc sắc 31 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG w t ila e du v n www.tilado.edu.vn AD phân giác góc A nên D trung điểm cung nhỏ BC ⇒ ID ⊥ BC −−→ Phương trình đường thẳng BC nhận AD làm vtpt ⇒ phương trình BC có dạng : 3x + 4y + α = Ta có diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC nên d (A, BC) = 4d (I, BC)  114 α=− |7 + α| 31 + α  ⇔ = ⇔ 131 5 α=−  9x + 12y − 114 = Phương trình đường thẳng BC  15x + 20y − 131 = Bài toán giải xong Đề 39 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có điểm A (3; 5) Điểm H (1; 3) hình chiếu B lên AC đường trung trực BC có phương trình (d) : x+4y−5 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành w w Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng AC qua A H ⇒ AC : x − y + = Tổng hợp tốn đặc sắc 32 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình đường thẳng BH qua H vng góc với AC ⇒ BH : x + y − = Lấy điểm B (b; − b) ∈ BH C (c; c + 2) ∈ AC Đường thẳng (d) trung trực BC ⇒ BC ⊥(d) ⇒ (c − b) − (c + b − 2) = ⇔ 3c − 5b + = Trung điểm BC điểm M ∈ AC b+c 6−b+c + − = ⇔ 5c − 3b + = 2 Từ (1) (2) ⇒ w t ila e du v n ⇒ b+c 6−b+c ; 2 (1) b = −2 ⇒ c = −4 (2) B (−2; 6) C (−4; −2) Gọi I tâm hình bình hành ⇒ D (1; −3) Bài toán giải xong Đề 40 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD biết B (3; 3) , C (5; −3) Giao điểm I hai đường cheo nằm đường thẳng (d) : 2x + y − = Diện tích tam giác ABC 12 Xác định tọa độ đỉnh lại hình thang biết CI = 2BI, điểm I có hồnh độ dương điểm A có hồnh độ âm w w Lời giải tham khảo : Lấy điểm I (m; − 2m) ∈ (d) Ta có IC = 2IB   ⇒ (m − 5)2 + (6 − 2m)2 = (m − 3)2 + (2m)2 ⇔  m=1 m=− ⇒ I (1; 1) Phương trình đường thẳng AC qua I C ⇒ AC : x + y − = √ SABC = d (B, AC) AC = 12 ⇒ AC = 2 Tổng hợp toán đặc sắc 33 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG √ Lấy điểm A (a; − a) ∈ AC Ta có AC =  a = 11 ⇒ (a − 5)2 + (5 − a)2 = 72 ⇒  ⇒ A (−1; 3) a = −1 Phương trình đường thẳng CD qua C song song với AB ⇒ CD : y = −3 Phương trình đường thẳng BD qua B I ⇒ BD : x − y = w t ila e du v n D giao điểm BD CD ⇒ D (−3; −3) Bài toán giải xong Đề 41 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A, có trọng tâm G ; −2 , bán kính đường trịn ngoại tiếp B C thuộc đường thẳng (d) : 4x+3y −9 = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải tham khảo : w 1 Gọi M trung điểm BC, ta có GM = AM = R = 3 ⇒ M thuộc đường trịn tâm G bán kính hay M ∈ (C) : x− + (y + 2)2 = 25 w Tọa độ M giao điểm (C) (d) ⇒ M (3; −1) Phương trình đường thẳng AM qua G M ⇒ AM : 3x − 4y − 13 = G trọng tâm tam giác ABC ⇒ AM = 3GM ⇒ A (−1; −4) Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm M R = ⇒ (C1 ) : (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25 B C giao điểm (d) (C1 ) ⇒ B (0; 3) , C (6; −5) ngược lại Bài toán giải xong Tổng hợp tốn đặc sắc 34 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm M (3; 2) nằm đường chéo BD Từ M kẻ đường thẳng ME MF vng góc với AB E (3; 4) AD F (−1; 2) Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD w t ila e du v n Lời giải tham khảo : Phương trình đường thẳng AB qua E vng góc với ME ⇒ AB : y = Phương trình đường thẳng AD qua F vng góc với MF ⇒ AD : x = −1 A giao điểm AB AD ⇒ A (−1; 4) ABCD hình vng ⇒ ME = BE = AE = MF = −→ −−→ Lấy điểm B (b; 4) ∈ AB Có AE = 2EB ⇒ AE = 2EB ⇒ B (5; 4) Phương trình đường thẳng BD qua M B ⇒ BD : x − y − = D giao điểm AD BD ⇒ D (−1; −2) Gọi I tâm hình vng ⇒ I trung điểm BD ⇒ I (2; 1) ⇒ C (5; −2) w Bài toán giải xong w Đề 43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC) có tọa độ đỉnh B (2; 1) Đường cao AH có phương trình x + 2y − 10 = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AB = CD Kẻ DM vng góc với AH M Đường phân giác góc CBM cắt AH N Tìm tọa độ điểm N Lời giải tham khảo : Từ D hạ DI vng góc với BC ( I thuộc BC) Ta có BAH = DCI ⇒ ∆ABH = ∆CDI ⇒ DI = BH Tứ giác DMHI hình chữ nhật ⇒ DI = MH BH = MH hay tam giác BHM vuông cân Tổng hợp tốn đặc sắc 35 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG w t ila e du v n Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AH ⇒ BC : 2x − y − = √ 2+2 o Gọi α góc tạo BN BH ta có cos 45 = cos α − ⇒ cos α = Phương trình đường thẳng BN qua B tạo với BC góc α Đến tốn đơn giản viết phương trình đường thẳng tạo với đường thằng cho trước góc cho trước ( dành cho bạn đọc ) Bài toán giải xong Đề 44 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết điểm M (−3; −1) N (2; −1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC, đường thẳng AB có phương trình x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC w Lời giải tham khảo : w Phương trình đường thẳng BC qua M N ⇒ BC : y = −1 MNPQ hình chữ nhật ⇒ MN ⊥ MQ ⇒ phương trình MQ qua M vng góc BC ⇒ M Q : x = −3 Q giao điểm MQ AB ⇒ Q (−3; 2) Phương trình PQ qua P vng góc với MQ ⇒ P Q : y = Phương trình NP qua N vng góc với MN ⇒ N P : x = P giao điểm PQ NP ⇒ P (2; 2) Phương trình đường thẳng AC qua P vng góc với AB ⇒ AC : x + y − = Tổng hợp tốn đặc sắc 36 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A giao điểm AB AC ⇒ A − ; 2 C giao điểm BC AC ⇒ C (5; −1) Bài toán giải xong ; E (1; 0) lần 16 lượt tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Đường tròn (T ) tiếp xúc với cạnh BC cạnh AB, AC kéo dài có tâm F (2; −8) Xác định tọa độ đỉnh tam giác biết A có tung độ âm w t ila e du v n Đề 45 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I Lời giải tham khảo : Gọi D, K giao điểm thứ hai AE, BE với đường trịn tâm I Sử dụng góc nội tiếp góc có đỉnh bên đường trịn ta có EBD = BED ⇒ ∆EDB cân D w w Ta có đường trịn tâm F tiếp xúc với BC cạnh AB, AC kéo dài ⇒ AF phân giác góc BAC BF phân giác ngồi góc ABC ⇒ A, E, F thẳng hàng BE ⊥ BF Tam giác BEF vuông B có BD = DE ⇒ D trung điểm EF D trung điểm EF ⇒ D ; −4 Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (C) : x− 2 + y− 16 = 65 16 Phương trình đường thẳng AF qua E F ⇒ AF : 8x + y − = A giao điểm đường tròn (C) AF ⇒ A ( ) Giả sử điểm B (a; b) Ta có B ∈ (C) ⇒ phương trình Tổng hợp tốn đặc sắc 37 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG BE ⊥ BF ⇒ phương trình Từ ta có điểm B Bài tốn giải xong ( Bài lười tính hihi ) w t ila e du v n Đề 46 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (3; −1) trung điểm BC Đường thẳng AC qua điểm F (1; 3) Điểm E (−1; −3) thuộc đường cao xuất phát từ B Xác định tọa độ đỉnh tam giác biết điểm D (4; −2) điểm đối xứng với điểm A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo : D đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ⇒ AD đường kính ⇒ CD ⊥ AC Giả sử C (a; b) M trung điểm BC ⇒ B (6 − a; −2 − b) −−→ −−→ Ta có CD ⊥ AC ⇒ CF ⊥CD ⇒ (4 − a) (1 − a) + (3 − b) (−2 − b) = ⇔ a2 − 5a + b2 − b − = (1) −−→ −−→ E thuộc đường cao hạ từ B ⇒ BE ⊥ AC ⇒ BE⊥CF (2) w w ⇒ (1 − a) (7 − a) + (1 − b) (3 − b) = ⇔ a2 − 8a + b2 − 4b + 10 =  a = 5; b = −1 Từ (1) (2) ⇒  ⇒ C (5; −1) ⇒ B (1; −1) a = 4; b = −2 Phương trình đường thẳng AB qua B vng góc với BD ⇒ AB : 3x − y − = Phương trình đường thẳng AC qua C F ⇒ AC : x + y − = A giao điểm AB AC ⇒ A (2; 2) Bài toán giải xong Tổng hợp toán đặc sắc 38 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 47 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có đỉnh A (−4; 5) phương trình đường chéo (d) : 7x − y + = Viết phương trình cách cạnh hình vng ABCD w t ila e du v n Lời giải tham khảo : Ta có A khơng nằm (d) ⇒ (d) phương trình đường chéo BD Phương trình đường chéo AC qua A vng góc với (d) ⇒ AC : x + 7y − 31 = Tâm I hình vng giao điểm AC BD ⇒ I − ; 2 I trung điểm AC ⇒ C (3; 4) √ √ Ta có AC = ⇒ hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm I bán kính R = ⇒ (C) : x+ 2 + y− 2 = 25 B D giao điểm (d) (C) ⇒ B D có tọa độ (−1; 1) ; (0; 8) w Đến toán đơn giản dành cho bạn đọc w Đề 48 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi M 10 trung điểm cạnh CD Điểm G 2; trọng tâm tam giác BCM Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết phương trình đường thẳng AM : x − = Lời giải tham khảo : Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD M trung điểm CD ⇒ AD = CM = DM = BC ⇒ ∆BCM vuông cân M ⇒ CG ⊥ BM ( G tâm ) Dễ thấy BM ⊥ AM ⇒ AM // CG ( vng góc với BM) Tổng hợp tốn đặc sắc 39 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG w t ila e du v n www.tilado.edu.vn Phương trình CG qua G song song với AM ⇒ CG : x − = Gọi H trung điểm BM Ta có độ dài đoạn MH khoảng cách AM CG ⇒ MH = √ √ √ 2 ⇒ BM = ⇒ BC = CM = ⇒ CN = ⇒ MN = ⇒ MG = MN = √ 2 3  m=3 10 10  2 Lấy điểm M (1; m) ∈ AM ⇒ M G = (1 − 2) + m − = ⇒ 11 m= Với m = ⇒ M (1; 3) Phương trình MH qua M vng góc với AM ⇒ M H : x = ⇒ H (2; 3) H trung điểm MB ⇒ B (3; 3) −−→ −−→ Lấy điểm C (2; c) ∈ CG ta có HG = CG ⇒ HG = HC ⇒ C (2; 4) 3 M trung điểm CD ⇒ D (0; 2) Phương trình AD qua điểm D vng góc với CD ⇒ AD : x + y − = A giao điểm AM AD ⇒ A (1; 1) 11 xét tương tự Bài toán giải xong w Với m = w Đề 49 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A (1; 2), điểm C nằm đường thẳng (d) : 2x − y − = AB = 2AD Gọi M điểm nằm cạnh CD cho DM = 2CM Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết phương trình cạnh BM : 5x + y − 19 = Lời giải tham khảo : 2x Đặt AD = BC = x ⇒ CD = AB = 2x ⇒ CM = CD = ⇒ BM = 3 ⇒ cos M BC = √ 13x BC 2 = √ ⇒ sin M BC = √ ⇒ cos ABM = √ BM 13 13 13 Tổng hợp toán đặc sắc 40 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG w t ila e du v n www.tilado.edu.vn − Góc AB BM góc ABM Gọi → n = (a; b) vtpt đường thẳng AB  a = −b |5a + b|  √ = √ ⇒ 17a2 + 10ab − 7b2 = ⇒  ⇒ cos ABM = √ 13 a2 + b2 26 a= b 17 − − Với a = −b ⇒ → n = (1; −1) Phương trình đường thẳng AB qua A có vtpt → n ⇒ AB : x − y + = B giao điểm AB BM ⇒ B (3; 4) Phương trình đường thẳng BC qua B vng góc với AB ⇒ BC : x + y − = C giao điểm BC (d) ⇒ C (4; 3) Phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB ⇒ AD : x + y − = Phương trình đường thẳng CD qua C vng góc với BC ⇒ CD : x − y − = D giao điểm AD CD ⇒ D (2; 1) Trường hợp lại làm tương tự w Bài toán giải xong w Đề 50 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ tử đỉnh A đường thẳng BC có phương trình (d1 ) : 3x + 5y − = 0; (d2 ) : x − y − = Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D (4; −2) Viết phương trình cạnh AB AC biết hoành độ điểm B lớn Lời giải tham khảo : Trung điểm M BC giao điểm (d1 ) (d2 ) ⇒ M ;− 2 Phương trình đường thẳng AD qua D vng góc với BC ⇒ AD : x + y − = A giao điểm AD AM ⇒ A (1; 1) Giả sử N trung điểm AD ⇒ N Tổng hợp toán đặc sắc ;− 2 41 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG w t ila e du v n www.tilado.edu.vn Phương trình trung trực AD qua N vng góc với AD ⇒ (d3 ) : x − y − = Phương trình trung trực BC qua M vng góc với BC ⇒ (d4 ) : x + y − = Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ I giao điểm (d3 ) (d4 ) ⇒ I (3; 0) ⇒ IA = √ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R = √ ⇒ (C) : (x − 3)2 + y = Tọa độ B C giao điểm (C) (d2 ) ⇒ B, C có tọa độ (5; 1) ; (2; −2) Hoành độ B lớn ⇒ B (5; 1) ; C (2; −2) Bài toán giải xong w w continue Tổng hợp toán đặc sắc 42 ... = −4 ⇒ B (−3; −4) 2 Bài toán giải xong Tổng hợp tốn đặc sắc 26 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 32 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình... trung điểm AM ⇒ A (1; 3) Bài toán giải xong Tổng hợp tốn đặc sắc 29 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 36 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có A (−2; 6), đỉnh... C (6; −5) ngược lại Bài toán giải xong Tổng hợp tốn đặc sắc 34 www.tilado.edu.vn HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Đề 42 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm M (3; 2)