Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc oxy nguyễn minh tiến

Tuyển tập 44 bài hình học giải tích phẳng đặc sắc của thầy giáo Nguyễn Minh Tiến thầy giáo hotboy của làng toán luyện thi đại học. Đánh giá tài liệu: có sự đầu tư công sức và thời gian chọn lọc bài tập, trình bày rõ ràng, mạch lạc và khoa học, hình vẽ minh họa sáng sủa. Kết cấu trình bày đẹp rõ ràng. Tác giả cũng xác định đối tượng đọc được tài liệu này là những học sinh khá giỏi nên trong phần trình bày chỉ đi những ý chính, những bài toán cơ bản, dễ dàng, hoặc phần cuối cùng ra đáp số thường nhường lại cho người đọc và người học tự giải quyết . Vì vậy, bạn nào chưa nắm vững kiến thức cơ bản nên tìm cuốn sách đơn giản hơn. Sách viết theo phong cách trẻ trung, hướng mở để người đọc cũng phải thực sự học và đọc cùng bài tập đó

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC

SẮC(phiên bản 1)

Giáo viên : Nguyễn Minh Tiến

Hà Nội tháng 12 năm 2014

Đề bài 01: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm trênđường thẳng (d1) : 2x + y + 1 = 0 và chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm trênđường thẳng (d2) : 2x + y − 8 = 0 Biết điểm M (3; 0) là trung điểm của cạnh BC Tìm tọa độ cácđỉnh B và C của tam giác

Lời giải tham khảo :

Gọi điểm B (a; −2a − 1) ∈ (d1)

H là chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH ⇔−−→AH.−−→BH = 0

−−→

BH = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒−−→AH.−−→BH = 0 ⇔ (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = 0

⇔ 5b2− 5ab − 25ab + 7a + 27 = 0 (2)Thay (1) vào (2) ta được 5b2− 5b (11 − 6b) − 25b + 7 (11 − 6a) + 27 = 0

Đề bài 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích bằng 45

2 , đáy lớn CD nằmtrên đường thẳng (d) : x − 3y − 3 = 0 Biết hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắtnhau tại điểm I (2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương

Lời giải tham khảo :

ABCD là hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân tại I

Ta có CD = 2d (I; CD) = 2.|2 − 3.3 − 3|√

10 = 2

√

10 ⇒ IC =√20Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC2 = (3a + 1)2+ (a − 3)2= 20 ⇔ a = ±1 ⇒ C (6; 1)

Phương trình BD đi qua điểm I và nhận −IC làm vtpt ⇒ BD : 2x − y − 1 = 0→

D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (0; −1)

Phương trình đường thẳng BC đi qua B và C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = 0.

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 03 (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trìnhđường thẳng AD là (d) : 3x − 4y − 7 = 0 Gọi E là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao chotam giác EBC cân có \BEC = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4)

Lời giải tham khảo :

Tam giác BEC cân và có \BEC = 150o ⇒ tam giác BEC cân tại E

Gọi H là hình chiếu của E lên AD ⇒ H là trung điểm của AD và HE = d (E; AD) = 3

⇒ 2 −√3 = 2x − 6

x ⇔ x = 2

√3Phương trình đường thẳng EH qua điểm E và vuông góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + 4 = 0

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 04: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ

từ B và phân giác kẻ từ C có phương trình lần lượt là (d1) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2) : 4x + 5y − 3 =0; (d3) : x + 2y − 5 = 0 Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải tham khảo :

3a ⇒ chọn −

→

u5 = (3; −4) loại vì trùng với −→u4Với b = 0 ⇒ −→u5 = (1; 0)

Điểm A ∈ (d1) ⇒ A (−1 + 4a; 6 + 3a) và C ∈ (d3) ⇒ C (5 − 2c; c) ⇒−→AC = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6)

Ta có −→u5 và−→AC cùng phương ⇒ c − 3a − 6 = 0 (1)

M là trung điểm của AC ⇒ M 4a + 4 − 2c

3a + c + 62

 Trung điểm M thuộc (d2)

Phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − 5 = 0

B là giao điểm của BM và BC ⇒ B (2; −1)

Bài toán cở bản : Biết tọa độ 3 đỉnh tam giác tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tamgiác Tâm I

8 .

Đề bài 05: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳngchứa các cạnh AB và BC lần lượt là (d1) : 7x − y + 17 = 0; (d2) : x − 3y − 9 = 0 Viết phương trìnhđường cao xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm trên đường thẳng AC

Lời giải tham khảo :

Đường thẳng AB có vtpt là −n→1 = (7; −1), BC có vtpt là −→n2= (1; −3)

Gọi −n→3 = (a; b) là vtpt của đường thẳng AC

Tam giác ABC cân tại A ⇒ cos (−→n1, −→n2) = cos (−n→2, −n→3) ⇒ √ 10

Tọa độ C là giao điểm của BC và AC ⇒ C (3; −2)

Phương trình đường cao xuất phát từ C là (d) : x + 7y + 11 = 0

Đề bài 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao và đườngphân giác trong xuất phát từ đỉnh A lần lượt là (d1) : x − 2y = 0; (d2) : x − y + 1 = 0 Biết điểm

M (1; 0) nằm trên cạnh AB và diện tích tam giác ABC bằng 180

7 Tìm tọa độ các đỉnh của tamgiác ABC

Lời giải tham khảo :

A là giao điểm của (d1) và (d2) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1)

Qua M kẻ đường thẳng ⊥(d2) cắt (d2) tại I và AC tại N

MN qua M và ⊥(d2) ⇒ (M N ) : x + y − 1 = 0

I là giao điểm của MN và (d2) ⇒ I (0; 1)

I là trung điểm của MN ⇒ N (−1; 2)

Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − 1 = 0 và (AC) : 3x − y + 5 = 0

Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5)

Ta có BC⊥AH ⇔−−→AH⊥−BC ⇔→ −−→AH.−BC = 0→

a = −227thay ngược lại ta có các điểm A, B, C

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 07 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB, phươngtrình đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình là (d) : 2x − y + 7 = 0, điểm G

0;13



là trọngtâm của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ bé hơn

−2

Lời giải tham khảo :

Gọi M là trung điểm của AC ⇒ AM = M C = AB ⇒ ∆BAM vuông cân tại A ⇒ \M BA = 45o

Gọi −→n1 là vtpt của đường thẳng (d) ⇒ −→n1 = (2; −1) và −→n2 = (a; b) là vtpt của đường thẳng BG

⇒ cos (−n→1, −n→2) =

√2

X Với a = 3b chọn −→n2= (3; 1) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt −n→2⇒ BG : 9x + y − 1 = 0

B là giao điểm của AB và BG ⇒







x = −43

y = 133loại do hoành độ điểm B nhỏ hơn −2

X Với a = −b

3 chọn −

→

n2 = (1; −3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt −n→2⇒ BG : x − 3y + 1 = 0

B là giao điểm của AB và BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn )

M là trung điểm của AC ⇒ M (3a − 1; a) ∈ BG ta có −BG =→ 2

3

−−→

BM ⇒ M (2; 1)Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm M và vuông góc với AB ⇒ AC : x + 2y − 4 = 0Tọa độ điểm A là giao điểm AC và AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 08 ( k2pi Lần 14 - 2014) : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm

Lời giải tham khảo :

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và D ⇒ BC : y − 1 = 0 ⇒ BC//EF

Do đó tam giác ABC cân tại A và D chính là trung điểm của BC

Phương trình đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với BC ⇒ AD : x − 3 = 0

Điểm E (a; 3) ∈ EF ta có BE = BD ⇒



a −12

2+ 22= 25

4 ⇔



a −12

X a = 2 ⇒ phương trình AB đi qua điểm B và E ⇒ AB : 4x − 3y + 1 = 0

A là giao điểm của AB và AD ⇒ A

3;133



X a = −1 ⇒ phương trình AB đi qua điểm B và E ⇒ AB : 4x + 3y − 5 = 0

A là giao điểm của AB và AD ⇒ A

3; −73

( loại)

Vậy điểm A



3;133



Đề bài 09 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5),phương trình đường chéo BD là 3x + 4y − 13 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhậtbiết B có hoành độ âm

Lời giải tham khảo :

Xét tam giác ABD vuông tại A có BD2 = AB2+ AD2 = 5AB2 ⇒ BD = AB√5

⇒ cos \ABD = AB

BD =

1

√5Phương trình đường chéo BD có vtpt −n→1 = (3; 4) Gọi −→n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB

⇒ cos \ABD = |3a + 4b|

loại do B có hoành độ âm

X Với a = −1

2b chọn −

→n = (1; −2) ⇒ đường thẳng AB có phương trình x − 2y + 9 = 0Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (−1; 4) ( thỏa mãn )

⇒ C (1; 0)Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 10 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo BD

là (d) : x − y = 0 Đường thẳng AB đi qua điểm P 1;√3
, đường thẳng CD đi qua điểm

Q −2; −2√3
Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết độ dài AB = AC và điểm B có hoành độlớn hơn 1

Lời giải tham khảo :

Ta có AB = AC ⇒ tam giác ABC đều ⇒ \ABC = 60o ⇒ \ABD = 30o

Đường thẳng BD có vtpt −n→1 = (1; −1) Giả sử −→n = (a; b) là vtpt của AB

⇒ cos (−n→1, −→n ) = √ |a − b|

2.√a2+ b2 =

√3

1 +√3;

2

1 +√3

loại do xB> 1

X Với a = −2 +√3
b chọn −→n = −2 +√3; 1
đường thẳng AB đi qua điểm P và có vtpt −→n ⇒

AB : 2 −√3
x − y − 2 + 2√3 = 0

Tọa độ điểm B là giao điểm của AB và BD ⇒ B (2; 2) thỏa mãn

Ta có CD // AB và CD đi qua điểm Q ⇒ CD : 2 −√3
x − y + 4 − 4√3 = 0

Tọa độ điểm D là giao điểm của BD và CD ⇒ D (−4; −4) ⇒ tọa độ tâm k của hình thoi là trung điểmcủa BD ⇒ K (−1; −1)

Phương trình đường chéo AC đi qua điểm K và vuông góc với BD ⇒ AC : x + y + 2 = 0

Tọa độ điểm A là giao điểm của AB và AC ⇒ A ( )

Tọa độ điểm C là giao điểm của CD và AC ⇒ C ( )

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 11: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (5; 2)phương trình đường trung trựccạnh BC và trung tuyến xuất phát từ đỉnh C lần lượt là (d1) : 2x+y−5 = 0; (d2) : x+y−6 = 0.Tìmtọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC

Lời giải tham khảo :

Giả sử điểm B (a; b) Ta có trung điểm của AB là M a + 5

2 ;

b + 22

c = −116

⇒ tọa độ điểm B và C

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 12 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (−1; −3), trực tâm H (1; −1) vàtâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −2) Xác định tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC

Lời giải tham khảo :

Gọi D là điểm đối xứng với A qua I ⇒ AD là đường kính đường tròn tâm I và I là trung điểm của

AD ⇒ D (5; −1)

AD là đường kính đường tròn tâm I ⇒ CD⊥AC, H là trực tâm ⇒ BH⊥AC ⇒ CD//BH

Tương tự ta có CH//BD ⇒ BHCD là hình bình hành ⇒ BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ trung điểm M của DH là trung điểm của BC ta có M (3; −1)

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm M và vuông góc với AH ⇒ BC : x + y − 2 = 0

Phương trình đường tròn tâm I có bán kính IA =√10

⇒ (C) : (x − 2)2+ (y + 2)2 = 10Tọa độ điểm B và C là giao điểm của đường thẳng BC và (C)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 13: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao BH : x + 2y − 3 = 0, trungtuyến AM : 3x + 3y − 8 = 0 Cạnh BC đi qua điểm N (3; −2) Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tamgiác ABC biết đỉnh C thuộc đường thẳng (d) : x − y + 2 = 0

Lời giải tham khảo :

Lấy điểm B (3 − 2b; b) ∈ BH và C (c; c + 2) ∈ (d)

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M 3 − 2b + c

b + c + 22

 Ta có M ∈ AM

⇒ 3.3 − 2b + c

2 + 3.

b + c + 2

2 − 8 = 0 ⇔ 3b − 6c + 1 = 0 (1)Cạnh BC đi qua điểm N (3; −2) ⇒−−→BN và−−→N C cùng phương

Ta có−−→BN = (2b; −2 − b) và −−→N C = (c − 3; c + 4)

⇒ c − 32b =

c + 4

−2 − b ⇔ 3bc + 5b + 2c − 6 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ b = ; c = ⇒ tọa độ điểm B và C

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 14 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD với CD = 2AB, phương trìnhhai đường chéo AC và BD lần lượt là (d1) : x + y − 4 = 0; (d2) : x − y − 2 = 0 Biết rằng tọa độ haiđiểm A và B đều dương và diện tích hình thang bằng 36 Tìm tọa độ các đỉnh hình thang

Lời giải tham khảo :

Ta có (d1)⊥(d2) ⇒ hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau

I là giao điểm của hai đường chéo ⇒ I (3; 1)

Lấy điểm A (a; 4 − a) ∈ (d1) ⇒ IA2 = (a − 3)2+ (a − 3)2 = 8 ⇔

Lấy điểm D (d; d − 2) ∈ (d2) ta có ID = 2IB ⇒ 2−→BI =−→ID ⇒ D (−1; −3)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 15 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng(d) : x + 3y + 7 = 0 và A (1; 5) Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho M C = 2BC, N

là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng M D Xác định tọa độ các đỉnh B và C biết rằngN

Lời giải tham khảo :

Gọi điểm C (−3c − 7; c) ∈ (d) Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD

⇒ I là trung điểm của AC ⇒ I −3c − 6

2 ;

c + 52

2+ c + 5

12

2

⇔ c = −3 ⇒ C (2; −3)

b − 12

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 16 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, biết phân giác trong góc \ABC

đi qua trung điểm M của cạnh AD, phương trình đường thẳng BM là (d) : x − y + 2 = 0, điểm

D thuộc đường thẳng (d1) : x + y − 9 = 0, điêm E (−1; 2) thuộc đường thẳng AB và điểm B cóhoành độ âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Lời giải tham khảo :

Ta có BM là phân giác góc \ABC ⇒ \ABM = 45o⇒ ∆ABM vuông cân tại A

Gọi −→n = (a; b) là vtpt của đường thẳng AB, có −n→1 = (1; −1) là vtpt của BM

⇒ cos (−→n , −→n1) =√ |a − b|

2.√a2+ b2 =

√2

X Với a = 0 chọn −→n = (0; 1) ⇒ phương trình đường thẳng AB đi qua điểm E và có vtpt −→n ⇒ AB :

y − 2 = 0 ⇒ Tọa độ B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (0; 2) ( loại)

X Với b = 0 chọn −→n = (1; 0) ⇒ phương trình đường thẳng AB đi qua điểm E và có vtpt −→n ⇒ AB :

x + 1 = 0 ⇒ Tọa độ B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (−1; 1) ( thỏa mãn)

Giả sử điểm A (−1; a) ∈ AB và D (d; 9 − d) ∈ (d1)

Trung điểm M của AD có tọa độ M d − 1

2 ;

9 − d + a2

2;52

 I là trung điểm của AC ⇒ C (5; 1)Bài toán giải quyết xong

Đề bài 17: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhauqua gốc tọa độ O Đường phân giác trong góc B có phương trình (d) : x + 2y − 5 = 0 Tìm tọa độcác đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AC đi qua điểm K (6; 2)

Lời giải tham khảo :

Gọi điểm B (5 − 2b; b) ∈ (d) B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇒ C (2b − 5; −b)

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt (d) và AB lần lượt tại F và I

Đường thẳng OF đi qua O và vuông góc với (d) ⇒ OF : 2x − y = 0

Tọa độ F là giao điểm của (d) và OF ⇒ F (1; 2)

F là trung điểm của OI ⇒ I (2; 4)

Phương trình đường thẳng AB đi qua B và I ⇒ AB : 3x + y − 10 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua C và K ⇒ AC : x − 3y = 0

A là giao điểm của AB và AC ⇒ A (3; 1) ( loại do trùng điểm B)

Trường hợp b = 5 xét tương tự

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 18 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có diện tích bằng 45

8 Phương trìnhhai cạnh đáy AB : x − 3y + 1 = 0 và CD : 2x − 6y + 17 = 0 AD và BC cắt nhau tại điểm K (2; 6).Hai đường chéo cắt nhau tại điểm I

1;73

 Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD

Lời giải tham khảo :

Tam giác KAB có CD // AB và AB = 2CD ⇒ CD là đường trung bình của tam giác KAB

Nối KI cắt AB và CD tại M và N ⇒ M N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Phương trình đường thăng KI đi qua K và I ⇒ KI : 11x − 3y − 4 = 0

M là giao điểm của KI và AB ⇒ M 1

2;

12



Ta có AB = √10 và M là trung điểm của AB ⇒ A và B thuộc đường tròn tâm M bán kính R =

√102

⇒ (C) :



x − 12

2+



y −12

2

= 52

A, B là giao điểm của (C) và đường thẳng AB ⇒ A, B có tọa độ là (2; 1) ; (−1; 0)

Do đó C, D có tọa độ là

2;72



; 1

2; 3



Bài toán giải quyết xong

Đề bài 19 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BC = 2AB, phương trình đườngtrung tuyến xuất phát từ đỉnh B là (d) : x + y − 2 = 0 Biết \ABC = 120o và điểm A (3; 1) Tìmtọa độ các đỉnh còn lại của tam giác

Lời giải tham khảo :

Đặt AB = x ⇒ BC = 2x Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ABC ta có

AC2 = AB2+ BC2− 2.AB.BC cos \ABC = 7x2 ⇒ AC = x√7

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến vào tam giác ABC ta được

⇒ ∆ABM vuông tại B ⇒ AB⊥BM

Phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BM ⇒ AB : x − y − 2 = 0

B là giao điểm của AB và BM ⇒ B (2; 0)

Lại có AB = d (A, BM ) =√2 = x ⇒ BM =

√6

2 Gọi M (m; 2 − m) ∈ BM

⇒ BM2 = 2 (m − 2)2= 3

2 ⇔ m = 2 ±

√32

Thay vào ta được điểm M , lại có M là trung điểm của AC ⇒ tọa độ điểm C 2 ±√3; 4 ±√3

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 20 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh BC là(d) : 2x − y + 3 = 0 Điểm I (−2; −1) là trung điểm cạnh BC, điểm E (4; 1) nằm trên cạnh AB.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 90

Lời giải tham khảo :

Tam giác ABC cân tại A ⇒ AI là vừa là đường cao vừa là đường phân giác góc A

Phương trình đường phân giác AI đi qua A và vuông góc với BC ⇒ AI : x + 2y + 4 = 0

Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AI và AC tại F và M

Phương trình đường thẳng EM đi qua E vuông góc với AI ⇒ EM : 2x − y − 7 = 0

Tọa độ điểm F là giao điểm của EM và AI ⇒ F (2; −3) F là trung điểm của EM ⇒ M (0; 7)

Đề bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A (−1; −3) , B (5; 1).Điểm M nằm trên đoạn thẳng BC sao cho M C = 2M B Tìm tọa độ điểm C biết rằng M A =

AC = 5 và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên

Lời giải tham khảo :

Giả sử điểm M (a; b) ta có M A = 5 ⇒ (a + 1)2+ (b + 3)2 = 25

a2+ 2a + b2+ 6b = 15 (1)Gọi D là trung điểm của CM ta có M A = AC = 5 ⇒ ∆CAM cân tại A ⇒ AD⊥CM

Theo giả thiết M C = 2M B ⇒ M B = M D ⇒ M là trung điểm của BD ⇒ D (2a − 5; 2b − 1)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H (−3; 2).Gọi D, E là chân đường cao hạ từ B và C Điểm A thuộc đường thẳng (d) : x − 3y − 3 = 0, điểm

F (−2; 3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2 Tìm tọa độ đỉnh A

Lời giải tham khảo :

Điểm A ∈ (d) ⇒ A (a; 2a + 1)

X b = 1 ⇒ B (−1; 1) ⇒ C (3; −1)

X b = −1 ⇒ B (3; −1) ⇒ C (−1; 1)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 24 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6.Phương trình đường thẳng chứa đường chéo BD là (d) : 2x + y − 11 = 0, đường thẳng AB đi quađiểm M (4; 2), đường thẳng BC đi qua điểm N (8; 4) Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhậtbiết các điểm B, D đều có hoành độ lớn hơn 4

Lời giải tham khảo :

b = 5

⇒ B (5; 1)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm B và M ⇒ AB : x + y − 6 = 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và N ⇒ AC : x − y − 4 = 0

A ∈ AB ⇒ A (a; 6 − a) và C ∈ BC ⇒ C (c; c − 4)

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ⇒ I a + c

2 ;

c − a + 22

Đề bài 25 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đườngtròn (C) : x2+ y2+ 2x − 4y + 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm M (0; 1)

là trung điểm của cạnh AB và điểm A có hoành độ dương

Lời giải tham khảo :

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (−1; 2) ; R = 2 M là trung điểm của AB ⇒ IM ⊥AB

Phương trình đường thẳng AB đi qua M và vuông góc với IM ⇒ AB : x − y + 1 = 0

Có điểm A ∈ AB ⇒ A (a; a + 1) ⇒ IA = 2 ⇒ (a + 1)2+ (a − 1)2 = 4 ⇒ a = ±1 ⇒ A (1; 2) ⇒ B (−1; 0)Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B và vuông góc với AI ⇒ BC : x + 1 = 0

C là giao điểm của BC và (C) ⇒ C (−1; 4)

Bài toán giải quyết xong

Đề bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 10,phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là (d) : 3x − y = 0 Lấy điểm M đối xứng với điểm Dqua điểm C và đường thẳng BM có phương trình (d1) : 2x + y − 10 = 0 Xác định tọa độ các đỉnhcủa hình chữ nhật biết đỉnh B có hoành độ dương

Lời giải tham khảo :

Gọi N là giao điểm của BM và AD ⇒ N (2; 6)

Điểm D ∈ AD ⇒ D (d; 3d) và B ∈ BM ⇒ B (b; 10 − 2b) với b > 0

A là trung điểm của N D ⇒ A d + 2

2 ;

3d + 62