Đang tải... (xem toàn văn)
( phương trình đường thẳng theo đoạn chắn ).. Cho tam giác ABC. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG §1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Vectơ phương đường thẳng
Vectơ u ≠0 gọi vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ Nhận xét: – Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆
– Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP
2 Vectơ pháp tuyến đường thẳng
Vectơ n ≠0 gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆ Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆
– Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT – Nếu u VTCP n VTPT ∆ u⊥n.
3 Phương trình tham số đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ qua M x y0( ;0 0) có VTCP u=( ;u u1 2)
Phương trình tham số ∆:
0
= +
= +
x x tu
y y tu (1) ( t tham số)
Nhận xét: – M(x; y) ∈∆⇔∃ t ∈ R:
0
= +
= +
x x tu y y tu
– Gọi k hệ số góc ∆ thì:
+ k = tanα, với α = xAv, α≠ 900 + k =
1
u
u , với u1 ≠0
4 Phương trình tắc đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ qua M x y0( ;0 0) có VTCP u=( ;u u1 2)
Phương trình tắc ∆: 0
1
x x y y
u u
− −
= (2) (u1≠ 0, u2≠ 0)
Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc. 5 Phương trình tham số đường thẳng
PT ax+by+ =c với a2+b2 ≠0 gọi phương trình tổng quát của đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax+by+ =c 0 ∆ có:
VTPT n =( ; )a b VTCP u = −( b a; ) u =( ;b−a)
– Nếu ∆ qua M x y0( ;0 0) có VTPT n =( ; )a b phương trình ∆ là: a x( −x0)+b y( −y0)=0 Các trường hợp đặc biệt:
•∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y a +b = Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆∆∆∆ Tính chất đường thẳng ∆∆∆∆
c = ax+by=0 ∆ qua gốc toạ độ O
a = by+ =c ∆ // Ox ∆≡ Ox
(2)(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
•∆ qua điểm M x y0( ;0 0) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y−y0 =k x( −x0)
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 6 Vị trí tương đối hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1 =0 ∆2: a x2 +b y2 +c2 =0 Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:
1 1
2 2
0
a x b y c
a x b y c
+ + = + + = (1)
•∆1 cắt ∆2⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ 1
2
a b
a ≠b (nếu a b c2 2, , ≠0)
•∆1 // ∆2⇔ hệ (1) vơ nghiệm⇔ 1
2 2
a b c
a =b ≠c (nếu a b c2 2, , ≠0)
•∆1≡∆2⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm⇔ 1
2 2
a b c
a =b =c (nếu a b c2 2, , ≠0)
7 Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1 =0 (có VTPT n1=( ; )a b1 1 ) ∆2: a x2 +b y2 +c2 =0 (có VTPT n2 =( ; )a b2 2 )
0
1 2
1 0
1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
n n khi n n n n khi n n
≤
∆ ∆ =
− >
1 2
1 2
2 2
1 1 1 2 2
cos( , ) cos( , )
.
n n a a b b n n
n n a b a b
+
∆ ∆ = = =
+ +
Chú ý:•∆1⊥∆2⇔a a1 2+b b1 2=0
• Cho ∆1: y=k x1 +m1, ∆2: y=k x2 +m2 thì:
+ ∆1 // ∆2⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥∆2⇔ k1 k2 = –1. 8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
•Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax+by+ =c điểm M x y0( ;0 0)
0
0
2
( , ) ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
•Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax+by+ =c hai điểm M x( M;yM),N x( N;yN)∉∆ – M, N nằm phía ∆⇔(axM +byM +c ax)( N +byN +c)>0 – M, N nằm khác phía ∆⇔(axM +byM +c ax)( N +byN +c)<0 •Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1 =0 ∆2: a x2 +b y2 +c2 =0cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là:
1 1 2
2 2
1 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
= ±
(3)VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
•Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M x y0( ;0 0)∈
∆ một VTCPu =( ;u u1 2)của ∆ PTTS ∆:
0
x x tu
y y tu
= +
= +
; PTCT ∆: 0
1
x x y y
u u
− −
= (u1≠ 0, u2≠ 0)
• Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định một điểm M x y0( ;0 0)∈∆ một VTPT ( ; )
n = a b của ∆ PTTQ ∆: a x( −x0)+b y( −y0)=0
•Một số tốn thường gặp:
+ ∆ qua hai điểm A x( A;yA) , (B xB;yB)(với xA ≠xB,yA ≠yB): PT ∆: A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
+ ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT ∆: x y a+b =
+ ∆ qua điểm M x y0( ;0 0) có hệ số góc k: PT ∆: y−y0 =k x( −x0)
Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng qt đường thẳng
• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với d
– Xác định I = d ∩∆ (I hình chiếu M d) – Xác định M′ cho I trung điểm MM′ Cách 2: Gọi I trung điểm MM′ Khi đó:
M′ đối xứng M qua d ⇔ MM ud I d
′ ⊥
∈
(sử dụng toạ độ)
• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta thực sau: – Nếu d // ∆:
+ Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆
+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d – Nếu d ∩∆ = I:
+ Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ I
• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta thực sau: – Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I
(4)BÀI TẬP
HT Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTCP u:
a) M(–2; 3) , u=(5; 1)− b) M(–1; 2), u = −( 2; 3) c) M(3; –1), u = − −( 2; 5)
d) M(1; 2), u=(5; 0) e) M(7; –3), u =(0; 3) f) M ≡ O(0; 0), u =(2; 5)
HT Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có VTPT n:
a) M(–2; 3) , n=(5; 1)− b) M(–1; 2), n = −( 2; 3) c) M(3; –1), n = − −( 2; 5)
d) M(1; 2), n =(5; 0) e) M(7; –3), n =(0; 3) f) M ≡ O(0; 0), n =(2; 5)
HT Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M có hệ số góc k:
a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = c) M(5; 2), k =
d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = f) M ≡ O(0; 0), k =
HT Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)
HT Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4x−10y+ =1 b) M(–1; 2), d≡Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy
d) M(2; –3), d:
3
x t
y t
= − = +
e) M(0; 3), d:
3
x− y+ =
−
HT Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4x−10y+ =1 b) M(–1; 2), d≡Ox c) M(4; 3), d ≡ Oy
d) M(2; –3), d:
3
x t
y t
= − = +
e) M(0; 3), d:
3
x− y+ =
−
HT Cho tam giác ABC Viết phương trình cạnh, đường trung tuyến, đường cao tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
HT Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh tam giác Viết phương trình đường cao tam giác, với: a) AB: 2x−3y− =1 0,BC x: +3y+ =7 0,CA: 5x−2y+ =1
b) AB: 2x+ + =y 0, BC : 4x+5y− =8 0,CA: 4x− − =y
HT Viết phương trình cạnh trung trực tam giác ABC biết trung điểm cạnh BC, CA, AB điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) 3; , 5; , (2; 4)
2 2
M − N − P −
c) 2; , 1; , (1; 2)
2
M − N − P −
d)
3
;2 , ; , (1; 4)
2
M N P
HT 10 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M chắn hai trục toạ độ đoạn nhau, với:
a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1)
(5)a) M(–4; 10), S = b) M(2; 1), S = c) M(–3; –2), S = d) M(2; –1), S =
HT 12 Tìm hình chiếu điểm M lên đường thẳng d điểm M′ đối xứng với M qua đường thẳng d với:
a) M(2; 1), d: 2x+ − =y b) M(3; – 1), d: 2x+5y−30=0
c) M(4; 1), d x: −2y+ =4 d) M(– 5; 13), d: 2x−3y− =3
HT 13 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với: a) d: 2x− + =y 0, ∆: 3x−4y+ =2 b) d x: −2y+ =4 0, ∆: 2x+ − =y
c) d x: + − =y 0, ∆:x−3y+ =3 d) d: 2x−3y+ =1 0, ∆: 2x−3y− =1
HT 14 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) d: 2x− + =y 0, (2;1)I b) d x: −2y+ =4 0, ( 3; 0)I −
c) d x: + − =y 0, (0; 3)I d) d: 2x−3y+ =1 0, I ≡O(0; 0)
VẤN ĐỀ 2: Các tốn dựng tam giác
Đó tốn xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại toán ta thường sử dụng đến cách dựng tam giác
Sau số dạng:
Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′
– Dựng AB qua B vng góc với CC′ – Dựng AC qua C vuông góc với BB′ – Xác định A = AB ∩ AC
Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Dựng AB qua A vng góc với CC′
– Dựng AC qua A vng góc với BB′ – Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′
Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN
Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN
– Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy BA′ // CN, CA′ // BM) – Dựng dB qua A′ song song với CN
– Dựng dC qua A′ song song với BM
– Xác định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC
Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC
(6)– Dựng d1 qua M song song với AB
– Dựng d2 qua M song song với AC
– Xác định trung điểm I AC: I = AC ∩ d1
– Xác định trung điểm J AB: J = AB ∩ d2
– Xác định B, C cho JB =AJ IC, =AI
Cách khác: Trên AB lấy điểm B, AC lấy điểm C cho MB= −MC
BÀI TẬP
HT 15 Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường cao Viết phương trình hai cạnh đường cao cịn lại, với: (dạng 1)
a) BC : 4x+ −y 12=0,BB′: 5x−4y−15=0,CC′: 2x+2y− =9
b) BC : 5x−3y+ =2 0,BB′: 4x−3y+ =1 0,CC′ : 7x+2y−22=0
c) BC x: − + =y 0, BB′: 2x−7y− =6 0,CC′: 7x−2y− =1
d) BC : 5x−3y+ =2 0,BB′: 2x− − =y 0,CC′ :x+3y− =1 Đ/s: a)……… b) ……… c) ……… d) ………
HT 16 Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường cao Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: (dạng 2)
a) A(3; 0),BB′: 2x+2y− =9 0,CC′: 3x−12y− =1
b) A(1; 0),BB′:x−2y+ =1 0,CC′: 3x+ − =y
Đ/s:a)……… b) ………
HT 17 Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: (dạng 3)
a) A(1; 3),BM x: −2y+ =1 0,CN y: − =1
b) A(3; 9),BM : 3x−4y+ =9 0,CN y: − =6
Đ/s:a)……… b) ………
(7)a) AB x: −2y+ =7 0,AM x: + − =y 0, BN : 2x+ −y 11=0
Đ/s: a) AC : 16x+13y−68=0,BC : 17x+11y−106=0
HT 19 Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh toạ độ trung điểm cạnh thứ ba Viết phương trình cạnh thứ ba, với: (dạng 4)
a) AB: 2x+ − =y 0,AC x: +3y− =3 0,M( 1;1)−
b) AB: 2x− − =y 0,AC x: + + =y 0,M(3; 0)
c) AB x: − + =y 0,AC : 2x+ − =y 0,M(2;1)
d) AB x: + − =y 0,AC : 2x+6y+ =3 0,M( 1;1)−
Đ/s: a)……… b) ……… c) ……… d) ………
HT 20 Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh, phương trình đường cao trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với:
a) A(4; 1),− BH : 2x−3y+12=0,BM : 2x+3y=0
b) A(2; 7),− BH: 3x+ +y 11=0,CN x: +2y+ =7
c) A(0; 2),− BH x: −2y+ =1 0,CN : 2x− + =y
d) A( 1;2),− BH : 5x−2y− =4 0,CN : 5x+7y−20=0
(8)VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1=0 ∆2: a x2 +b y2 +c2 =0
Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:
1 1
2 2
0
a x b y c
a x b y c
+ + =
+ + =
(1)
•∆1 cắt ∆2⇔ hệ (1) có nghiệm⇔ 1
2
a b
a ≠b (nếu a b c2 2, , ≠0)
•∆1 // ∆2⇔ hệ (1) vô nghiệm⇔ 1
2 2
a b c
a =b ≠c (nếu a b c2 2, , ≠0)
•∆1≡∆2⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm⇔ 1
2 2
a b c
a =b =c (nếu a b c2 2, , ≠0) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta thực sau:
– Tìm giao điểm hai ba đường thẳng – Chứng tỏ đường thẳng thứ ba qua giao điểm
BÀI TẬP
HT 21 Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau, chúng cắt tìm toạ độ giao điểm chúng: a) 2x+3y+ =1 0, 4x+5y− =6 b) 4x− + =y 0, −8x+2y+ =1
c) ,
3
x t x t
y t y t
= + = +
= − + = − +
d) ,
2
x t x t
y t y t
= − = +
= − + = − −
HT 22 Cho hai đường thẳng d ∆ Tìm m để hai đường thẳng:
i) cắt ii) song song iii) trùng
a) d mx: −5y+ =1 0, ∆: 2x+ − =y
b) d: 2mx+(m−1)y− =2 0,∆: (m+2)x+(2m+1)y−(m+2)=0
HT 23 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) y=2x−1, 3x+5y =8, (m+8)x−2my=3m
b) y=2x−m, y= − +x ,m mx−(m−1)y=2m−1
HT 24 Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm hai đường thẳng d1 d2 và: a) d1: 3x−2y+10=0, d2 : 4x+3y− =7 0, d qua A(2;1)
b) d1: 3x−5y+ =2 0,d2: 5x−2y+ =4 0,d song song d3 : 2x− + =y
HT 25 Tìm điểm mà đường thẳng sau qua với m:
a) (m−2)x− + =y b) mx− +y (2m+1)=0
c) mx− −y 2m− =1 d) (m+2)x− + =y
HT 26 Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0)
a) Viết phương trình đường trung tuyến, phương trình đường cao, phương trình đường trung trực tam giác
b) Chứng minh đường trung tuyến đồng qui, đường cao đồng qui, đường trung trực đồng qui
(9)trình hai cạnh cịn lại
HT 28 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cách hai điểm P, Q với:
a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2)
VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 1.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax+by+ =c 0 điểm M x y0( ;0 0)
0
0
2
( , ) ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax+by+ =c 0 hai điểm M x( M;yM),N x( N;yN)∉∆
– M, N nằm phía ∆⇔(axM +byM +c ax)( N +byN +c)>0 – M, N nằm khác phía ∆⇔(axM +byM +c ax)( N +byN +c)<0
3 Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1 =0 ∆2: a x2 +b y2 +c2 =0cắt
Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là:
1 1 2
2 2
1 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +
= ±
+ +
Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC ta thực sau:
Cách 1:
– Tìm toạ độ chân đường phân giác ngồi (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ∆ABC với đường phân giác AD phân giác AE (D, E ∈ BC) ta có:
DB AB.DC AC
= − , EB AB.EC
AC
=
– Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm
Cách 2:
– Viết phương trình đường phân giác d1, d2 góc tạo hai đường thẳng AB, AC
– Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2)
+ Nếu B, C nằm khác phía d1 d1 đường phân giác
+ Nếu B, C nằm phía d1 d1 đường phân giác ngồi BÀI TẬP
HT 29 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với:
a) M(4; 5),− d: 3x−4y+ =8 b) M(3; 5),d x: + + =y
c) (4; 5), :
2
x t
M d
y t
=
−
= +
d) (3; 5), :
2
x y
M d − = +
HT 30
a) Cho đường thẳng ∆: 2x− + =y Tính bán kính đường trịn tâm I(–5; 3) tiếp xúc với ∆
b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh là: 2x−3y+ =5 0, 3x+2y− =7 đỉnh A(2; –3) Tính diện tích hình chữ nhật
c) Tính diện tích hình vng có đỉnh nằm đường thẳng song song: d1: 3x−4y+ =6
2 : 13
d x− y− =
(10)a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)
HT 32 Viết phương trình đường thẳng d song song cách đường thẳng ∆ khoảng k, với:
a) ∆: 2x− + =y 0,k = b) : ,
2
x t
k
y t
=
∆ =
= +
c) ∆:y− =3 0, k=5 d) ∆:x− =2 0, k =4
HT 33 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ cách điểm A khoảng k, với: a) ∆: 3x−4y+12=0, (2; 3),A k=2 b) ∆:x+4y− =2 0, ( 2; 3),A− k=3
c) ∆:y− =3 0, (3; 5),A − k=5 d) ∆:x− =2 0, (3;1),A k =4
HT 34 Viết phương trình đường thẳng qua A cách B khoảng d, với:
a) A(–1; 2), B(3; 5), d = b) A(–1; 3), B(4; 2), d =
c) A(5; 1), B(2; –3), d = d) A(3; 0), B(0; 4), d =
HT 35 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cách hai điểm P, Q, với:
a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5)
c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5)
HT 36 Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A khoảng h cách điểm B khoảng k, với: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k =
HT 37 Cho đường thẳng ∆: x− + =y điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2) a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB
b) Chứng minh hai điểm O, A nằm phía đường thẳng ∆
c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆
d) Trên ∆, tìm điểm M cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn
HT 38 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C đường thẳng ∆: x−2y+ =8 cho diện tích tam giác ABC 17 (đvdt)
HD: (12;10), 76; 18
5
C C− −
HT 39 Tìm tập hợp điểm
a) Tìm tập hợp điểm cách đường thẳng ∆: −2x+5y− =1 khoảng
b) Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng d: 5x+3y− =3 0, ∆: 5x+3y+ =7
c) Tìm tập hợp điểm cách hai đường thẳng d: 4x−3y+ =2 0,∆:y− =3
d) Tìm tập hợp điểm có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng sau
13:
: 12
d x− y+ = ∆: 4x−3y−10=0
(11)a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) Đ/s: ………
b)AB: 2x−3y+21=0, BC : 2x+3y+ =9 0, CA: 3x−2y− =6 0Đ/s: ………
VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1 =0 (có VTPT n1=( ; )a b1 1 )
và ∆2: a x2 +b y2 +c2 =0 (có VTPT n2=( ; )a b2 2 )
0
1 2
1 0
1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
n n khi n n n n khi n n
≤
∆ ∆ =
− >
1 2
1 2
2 2
1 1 1 2 2
cos( , ) cos( , )
.
n n a a b b n n
n n a b a b
+
∆ ∆ = = =
+ +
Chú ý:• 00 ≤ ∆ ∆( 1, 2)≤900
•∆1⊥∆2⇔a a1 2+b b1 2 =0
• Cho ∆1: y =k x1 +m1, ∆2: y =k x2 +m2 thì:
+ ∆1 // ∆2⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥∆2⇔ k1 k2 = –1
• Cho ∆ABC Để tính góc A ∆ABC, ta sử dụng công thức: cos cos( , )
AB AC
A AB AC
AB AC
= =
BÀI TẬP
HT 42 Tính góc hai đường thẳng:
a) x−2y− =1 0, x+3y−11=0 b) 2x− + =y 0, 3x+ − =y HT 43 Tính số đo góc tam giác ABC, với:
a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1)
B) AB: 4x+3y+12=0, BC : 3x−4y−24=0, CA: 3x+4y− =6
HT 44 Cho hai đường thẳng d ∆ Tìm m để góc hai đường thẳng α, với: a) d: 2mx+(m−3)y+4m− =1 0, ∆: (m−1)x+(m+2)y+m− =2 0, α=450
b) d: (m+3)x−(m−1)y+m− =3 0,∆: (m−2)x+(m+1)y−m− =1 0,α=900 HT 45 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A tạo với đường thẳng ∆ góc α, với:
a) A(6;2),∆: 3x+2y− =6 0,α=450 b) A( 2; 0),− ∆:x+3y− =3 0,α=450
c) A(2; 5),∆:x+3y+ =6 0,α=600 d) A(1; 3),∆:x− =y 0,α=300 HT 46 Cho hình vng ABCD có tâm I(4; –1) phương trình cạnh 3x− + =y
(12)§2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 1 Phương trình đường trịn
Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R:(x−a)2+(y−b)2 =R2 Nhận xét:Phương trình x2+y2+2ax+2by+ =c 0, với a2+b2− >c 0, là phương trình đường trịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2+b2−c.
2 Phương trình tiếp tuyến đường trịn
Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆
∆ tiếp xúc với (C) ⇔d I( , )∆ =R
VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường trịn
• Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: (x−a)2+(y−b)2 =R2
(C) có tâm I(a; b) bán kính R
• Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: x2+y2+2ax+2by+ =c
– Biến đổi đưa dạng (x−a)2+(y−b)2 =R2
hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2+b2−c
Chú ý: Phương trình x2+y2+2ax+2by+ =c 0 phương trình đường trịn thoảmãn điều kiện:
2 0
a +b − >c
BÀI TẬP
HT 47 Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn đó:
a) x2+y2−2x−2y− =2 b) x2+y2−6x+4y−12=0
c) 16x2+16y2+16x−8y =11 d) 7x2+7y2−4x+6y− =1
HT 48 Tìm m để phương trình sau phương trình đường tròn: a) x2+y2+4mx−2my+2m+ =3
b) x2+y2−2(m+1)x+2my+3m2− =2
c) x2+y2−2mx−2(m2−1)y+m4−2m4−2m2−4m+ =1
VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường trịn
Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâmI (a; b) và bán kính R (C) Khi phương trình đường trịn (C) là:
2 2
(x−a) +(y−b) =R
(13)Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Bán kính R = d I( , )∆
Dạng 3: (C) có đường kính AB
– Tâm I trung điểm AB
– Bán kính R =
2 AB
Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB
– Xác định tâm I giao điểm d ∆ – Bán kính R = IA
Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB
– Tâm I (C) thoả mãn:
( , )
I d
d I IA
∈
∆ =
– Bán kính R = IA
Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB
– Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B vng góc với ∆ – Xác định tâm I giao điểm d ∆′
– Bán kính R = IA
Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2
– Tâm I (C) thoả mãn:
1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
d I d I
d I IA
∆ = ∆
∆ =
– Bán kính R = IA
Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định ∆1 ∆2 hay xét dấu khoảng cách
đại số từ A đến ∆1 ∆2
– Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = 1 ( 1, 2)
2d∆ ∆ , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d
– Tâm I (C) thoả mãn: d I( , 1) d I( , 2)
I d
∆ = ∆
∈
– Bán kính R = d I( ,∆1)
(14)Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x2+y2+2ax+2by+ =c 0 (*)
– Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình
– Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c ⇒ phương trình (C)
Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: IA IB
IA IC
=
=
– Bán kính R = IA = IB = IC
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC
– Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác
– Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác
– Bán kính R = d I AB( , )
BÀI TẬP
HT 49 Viết phương trình đường trịn có tâm I qua điểm A, với: (dạng 1)
a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) HT 50 Viết phương trình đường trịn có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2)
a) I(3; 4),∆: 4x−3y+15=0 b) I(2; 3),∆: 5x−12y− =7
c) I( 3;2),− ∆ ≡Ox d) I( 3; 5),− − ∆ ≡Oy
HT 51 Viết phương trình đường trịn có đường kính AB, với: (dạng 3)
a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
HT 52 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆, với: (dạng 4)
a) A(2; 3),B( 1;1),− ∆:x−3y−11=0 b) A(0; 4),B(2;6),∆:x−2y+ =5
c) A(2;2),B(8; 6), ∆: 5x−3y+ =6
HT 53 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 5)
a) A(1;2),B(3; 4),∆: 3x+ − =y b) A(6; 3),B(3;2),∆:x+2y− =2
c) A( 1; 2),− − B(2;1),∆: 2x− + =y d) A(2; 0),B(4;2),∆ ≡Oy
Đ/s:a)……… b)……… c)……… d)………
HT 54 Viết phương trình đường trịn qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B, với: a) ( 2;6), : 15 0, (1; 3)
A− ∆ x− y− = B − b) A( 2;1),− ∆: 3x−2y− =6 0,B(4; 3) c) A(6; 2),− ∆ ≡Ox B, (6; 0) d) A(4; 3),− ∆:x+2y− =3 0,B(3; 0)
Đ/s:a) ……… b)……… c) ……… d)………
(15)1
(2; 3), : 0, :
A ∆ x− y+ = ∆ x+ y− =
b) A(1; 3),∆1:x+2y+ =2 0, ∆2 : 2x− + =y
c) A≡O(0; 0),∆1:x+ − =y 0, ∆2:x+ + =y
d) A(3; 6),− ∆ ≡1 Ox,∆ ≡2 Oy
Đ/s:a) ……… b)……… c)……… d)………
HT 56 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d, với: a) ∆1: 3x+2y+ =3 0, ∆2: 2x−3y+15=0,d x: − =y
b) ∆1:x+ + =y 0,∆2: 7x− + =y 0,d: 4x+3y− =2
c) ∆1: 4x−3y−16=0,∆2 : 3x+4y+ =3 0,d: 2x− + =y
d) ∆1: 4x+ − =y 0, ∆2:x+4y+17=0,d x: − + =y
Đ/s:a) ……… b)……… c) ……… d)……… HT 57 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9)
a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1)
c) AB x: − + =y 0, BC : 2x+3y− =1 0,CA: 4x+ −y 17=0
d) AB x: +2y− =5 0, BC : 2x+ − =y 0,CA x: − + =y
Đ/s:a) ……… b)……… c) ……… d)……… HT 58 Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10)
a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB: 2x−3y+21=0,BC : 3x−2y− =6 0,CA: 2x+3y+ =9
d) AB: 7x− +y 11=0,BC x: + −y 15,CA: 7x+17y+65=0
Đ/s:a) ……… b)……… c) ……… d)………
VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C)
Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax+By+C =0 đường tròn (C): x2+y2+2ax+2by+ =c 0, ta có thể thực sau:
• Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I bán kính R (C)
(16)+ d I d( , )<R ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + d I d( , )=R ⇔ d tiếp xúc với (C)
+ d I d( , )>R ⇔ d (C) khơng có điểm chung
•Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d (C) nghiệm hệ phương trình:
2
0
2
Ax By C
x y ax by c
+ + =
+ + + + =
(*)
+ Hệ (*) có nghiệm ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C)
+ Hệ (*) vô nghiệm ⇔ d (C) khơng có điểm chung
BÀI TẬP
HT 59 Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng d đường tròn (C), với: a) d mx: − −y 3m− =2 0, ( ) :C x2+y2−4x−2y=0
b) d: 2x− +y m =0, ( ) :C x2+y2−6x+2y+ =5
c) d x: + − =y 0, ( ) :C x2+y2−2(2m+1)x−4y+ −4 m=0
d) d mx: + −y 4m=0, ( ) :C x2+y2−2x−4y− =4
VẤN ĐỀ 4: Tiếp tuyến đường trịn (C)
Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆
∆
tiếp xúc với (C) ⇔d I( , )∆ =R
•Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M x y0( ;0 0)∈ (C)
– ∆ qua M x y0( ;0 0) có VTPT IM0
•Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước
– Viết phương trình ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d I( , )∆ =R, ta tìm t Từ suy phương trình ∆
•Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A x( A;yA)ở ngồi đường trịn (C) – Viết phương trình ∆ qua A (chứa tham số)
– Dựa vào điều kiện: d I( , )∆ =R, ta tìm tham số Từ suy phương trình ∆
BÀI TẬP
HT 60 Cho đường tròn (C) đường thẳng d
i) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ độ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d
iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d
(17)b) ( ) :C x2+y2−4x−6y =0,d: 2x−3y+ =1 HT 61 Cho đường tròn (C), điểm A đường thẳng d
i) Chứng tỏ điểm A ngồi (C)
ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A
iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d
iv) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d
a) ( ) :C x2+y2−4x−6y−12=0, ( 7;7),A− d: 3x+4y− =6
(18)§3: ELIP 1 Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F F1 2 =2c (c > 0)
1
( )
M ∈ E ⇔MF +MF = a (a > c)
F1, F2: tiêu điểm, F F1 2=2c: tiêu cự 2 Phương trình tắc elip
2
2
x y a b
+ = (a> >b 0,b2 =a2−c2)
• Toạ độ tiêu điểm: F1(−c; 0),F c2( ; 0)
• Với M(x; y) ∈ (E), MF MF1, 2 gọi bán kính qua tiêu điểm M
1 ,
c c
MF a x MF a x
a a
= + = −
3 Hình dạng elip
• (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng
• Toạ độ đỉnh: A1(−a; 0),A a2( ; 0),B1(0;−b),B2(0; )b
• Độ dài trục: trục lớn: A A1 2 =2a, trục nhỏ: B B1 2 =2b
•Tâm sai (E): e c a
= (0 < e < 1)
• Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ±a y, = ±b (ngoại tiếp elip) 4 Đường chuẩn elip(chương trình nâng cao)
• Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu điểm Fi là: x a
e
± =
• Với M ∈ (E) ta có:
1
( , ) ( , )
MF MF
e
d M ∆ =d M ∆ = (e < 1)
VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E)
Đưa phương trình (E) dạng tắc:
2
2
x y a b
+ = Xác định a, b, c
Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b
– Tiêu cự 2c
– Toạ độ tiêu điểm F1(−c; 0),F c2( ; 0)
– Toạ độ đỉnh A1(−a; 0),A a2( ; 0),B1(0;−b),B2(0; )b
– Tâm sai e c a =
– Phương trình đường chuẩn x a e
± =
BÀI TẬP
(19)a)
2
1
9
x y
+ = b)
2
1
16
x y
+ = c)
2
1
25
x y
+ = d)
2
1
4
x y
+ =
e) 16x2+25y2 =400 f) x2+4y2=1 g) 4x2+9y2 =5 h) 9x2+25y2 =1
VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E)
Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E)
Chú ý: Công thức xác định yếu tố (E):
+ b2=a2−c2 + e c a
= + Các tiêu điểm F1(−c; 0),F c2( ; 0)
+ Các đỉnh: A1(−a; 0),A a2( ; 0),B1(0;−b),B2(0; )b BÀI TẬP
HT 63 Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 6, trục nhỏ b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự
c) Độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ tiêu cự d) Tiêu cự qua điểm M( 15; 1− )
e) Độ dài trục nhỏ qua điểm M(−2 5;2) e) Một tiêu điểm F1( 2; 0)− độ dài trục lớn 10
f) Một tiêu điểm F1(− 3; 0) qua điểm 1; M
g) Đi qua hai điểm (1; 0), 3;1
2
M N
h) Đi qua hai điểm M(4;− ,) N(2 2; 3) HT 64 Lập phương trình tắc (E), biết:
a) Độ dài trục lớn 10, tâm sai b) Một tiêu điểm F1( 8; 0)− tâm sai
5
c) Độ dài trục nhỏ 6, phương trình đường chuẩn x ±16=0
d) Một đỉnh A1( 8; 0)− , tâm sai
e) Đi qua điểm 2;
3
M −
có tâm sai
2
(20)Chú ý công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (E):
1 ,
c c
MF a x MF a x
a a
= + = −
BÀI TẬP
HT 65 Cho elip (E) đường thẳng d vuông góc với trục lớn tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) hai điểm M, N
i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF MF1, 2,MN
a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112
HT 66 Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) cho:
i) MF1=MF2 ii) MF2 =3MF1 iii) MF1 =4MF2
a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112
HT 67 Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với:
a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112
HT 68 Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc 600, với:
a) 9x2+25y2=225 b) 9x2+16y2 =144 c) 7x2+16y2 =112
- §4 PHƯƠNG TRÌNH HYPEBOL
1 Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F F1 2 =2c (c > 0)
1
( )
M ∈ H ⇔ MF −MF = a (a<c) F1, F2: tiêu điểm, F F1 2=2c: tiêu cự
2 Phương trình tắc hypebol
2
2
x y a b
− = ( ,a b>0,b2 =c2−a2)
• Toạ độ tiêu điểm: F1(−c; 0),F c2( ; 0)
• Với M(x; y) ∈ (H), MF MF1, 2 gọi bán kính qua tiêu điểm M
1 ,
c c
MF a x MF a x
a a
= + = −
3 Hình dạng hypebol
• (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng
• Toạ độ đỉnh: A1(−a; 0),A a2( ; 0)
• Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b
•Tâm sai (H):e c a
= (e > 1)
• Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ±a y, = ±b
• Phương trình đường tiệm cận:y bx
(21)• Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu điểm Fi là: x a
e
± =
• Với M ∈ (H) ta có:
1
( , ) ( , )
MF MF
e
d M ∆ =d M ∆ = (e < 1)
VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (H)
Đưa phương trình (H) dạng tắc:
2
2
x y a b
− = Xác định a, b, c
Các yếu tố: – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b
– Tiêu cự 2c
– Toạ độ tiêu điểm F1(−c; 0),F c2( ; 0)
– Toạ độ đỉnh A1(−a; 0),A a2( ; 0)
– Tâm sai e c a =
– Phương trình đường tiệm cận: y bx a = ±
– Phương trình đường chuẩn x a e
(22)BÀI TẬP
HT 69 Cho hypebol (H) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường tiệm cận, phương trình đường chuẩn (H), với (H) có phương trình:
a)
2
1
9 16
x y
− = b)
2
1
16
x y
− = c)
2
1
25
x y
− = d)
2
1
4
x y
− =
e) 16x2−25y2 =400 f) x2−4y2=1 g) 4x2−9y2 =5 h) 9x2−25y2 =1
VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (H)
Để lập phương trình tắc (H) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (H)
Chú ý: Công thức xác định yếu tố (H):
+ b2 =c2−a2 + e c a
= + Các tiêu điểm F1(−c; 0),F c2( ; 0)
+ Các đỉnh: A1(−a; 0),A a2( ; 0)
BÀI TẬP
HT 70 Lập phương trình tắc (H), biết: a) Độ dài trục thực 6, trục ảo b) Độ dài trục thực 8, tiêu cự 10
c) Tiêu cự 13, tiệm cận
3 y= x
d) Độ dài trục thực 48, tâm sai 13 12 e) Độ dài trục ảo 6, tâm sai
4 HT 71 Lập phương trình tắc (H), biết:
a) Một đỉnh A(5; 0), tiêu điểm F(6; 0) b) Một tiêu điểm F(–7; 0), tâm sai e = c) (H) qua hai điểm M(2; ,) N( 3; 4)− d) Độ dài trục thực qua điểm A(5; –3) e) Tiêu cự 10 qua điểm A(–4; 3)
f) Có tiêu điểm với elip (E): 10x2+36y2−360=0, tâm sai HT 72 Lập phương trình tắc (H), biết:
a) Một đỉnh A(–3; 0) tiệm cận d: 2x−3y =0
(23)d) Hai tiệm cận d: 3x±4y=0 hai đường chuẩn ∆: 5x±16=0 e) Đi qua điểm E(4; 6) hai tiệm cận d: 3x± =y
VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (H) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: • Các cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (H):
1 ,
c c
MF a x MF a x
a a
= + = −
• Nếu M thuộc nhánh phải x ≥ a
⇒
c MF x a
a
= + , MF2 cx a a
= − (MF1 > MF2)
• Nếu M thuộc nhánh trái x ≤ – a
⇒
c
MF x a
a
= − + ,
c
MF x a
a
= − −
(MF1 < MF2)
BÀI TẬP
HT 73 Cho hypebol (H) đường thẳng d vng góc với trục thực tiêu điểm bên trái F1 cắt (H) hai điểm M, N
i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF MF1, 2,MN
a) 16x2−9y2 =144 b) 12x2−4y2 =48 c) 10x2+36y2−360=0
HT 74 Cho hypebol (H) Tìm điểm M ∈ (H) cho:
i) MF2 =3MF1 ii) MF1 =3MF2 iii) MF1=2MF2 iv) MF1=4MF2
a)
2
1
9 16
x y
− = b)
2
1
4 12
x y
− = c)
2
1
4
x y
− = d)
2 1 x y − =
HT 75 Cho hypebol (H) Tìm điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm góc vuông, với: a) 2 1 x y
− = b)
2
1
9
x y
− = c)
2
1
4 12
x y
− = d)
2
1
9 16
x y
− =
HT 76 Cho hypebol (H) Tìm điểm M ∈ (H) nhìn hai tiêu điểm góc α, với: a) 2 1, 120 x y α
− = = b)
2 1, 120 36 13 x y α
− = = c)
(24)§5 PARABOL 1 Định nghĩa
Cho điểm F đường thẳng ∆ không qua F
( ) ( , )
M ∈ P ⇔MF =d M ∆
F: tiêu điểm, ∆: đường chuẩn, p=d F( , )∆ : tham số tiêu 2 Phương trình tắc parabol
2 2
y = px (p > 0)
• Toạ độ tiêu điểm: ;
2
p F
• Phương trình đường chuẩn:∆:
2 p x+ =
• Với M(x; y) ∈ (P), bán kính qua tiêu điểm M
2 p MF =x+ 3 Hình dạng parabol
• (P) nằm phía bên phải trục tung
• (P) nhận trục hồnh làm trục đối xứng
• Toạ độ đỉnh: O(0; 0)
• Tâm sai: e = 1
VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (P)
Đưa phương trình (P) dạng tắc: y2 =2px Xác định tham số tiêu p
Các yếu tố: – Toạ độ tiêu điểm ;
p F
– Phương trình đường chuẩn ∆: p x+ =
BÀI TẬP
HT 77 Cho parabol (P) Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn (P), với: a) ( ) :P y2 =6x b) ( ) :P y2=2x c) ( ) :P y2 =16x d) ( ) :P y2 =x
VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (P)
Để lập phương trình tắc (P) ta cần xác định tham số tiêu p (P)
Chú ý: Công thức xác định yếu tố (P):
– Toạ độ tiêu điểm ;
p F
– Phương trình đường chuẩn ∆: 2
p x+ =
BÀI TẬP
HT 78 Lập phương trình tắc (P), biết:
a) Tiêu điểm F(4; 0) b) Tiêu điểm F(3; 0) c) Đi qua điểm M(1; –4)
c) Đường chuẩn ∆: x+ =2 d) Đường chuẩn ∆: x+ =3 e) Đi qua điểm M(1; –2)
HT 79 Lập phương trình tắc (P), biết:
(25)b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải hypebol (H): 16x2−9y2 =144
c) Tiêu điểm F trùng với tâm đường tròn (C): x2−6x+y2+ =5
VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (P):
2 p MF =x+
BÀI TẬP
HT 80 Cho parabol (P) đường thẳng d vng góc với trục đối xứng tiêu điểm F cắt (P) hai điểm M, N
i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF MN,
a) ( ) :P y2=6x b) ( ) :P y2 =2x c) ( ) :P y2 =16x d) ( ) :P y2 =x HT 81 Cho parabol (P)
i) Tìm điểm M ∈ (P) cách tiêu điểm F đoạn k
ii) Chọn M có tung độ dương Tìm điểm A ∈ (P) cho ∆AFM vuông F
a) ( ) :P y2 =8 ,x k =10 b) ( ) :P y2=2 ,x k =5 c) ( ) :P y2 =16 ,x k =4
HT 82 Cho parabol (P) đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F (P) cắt (P) hai điểm M, N i) Chứng minh xM.xN khơng đổi
ii) Tính MF, NF, MN theo m
(26)ÔN TẬP HT 83 Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y)
a) Tìm hệ thức x y cho tam giác AMB vng M
b) Tìm phương trình tham số phương trình tổng quát đường trung trực đoạn AB c) Tìm phương trình đường thẳng d qua A tạo với AB góc 600
HD: a) x2+y2−3y− =2 0 b) 8x−2y+ =3
c) (4 3∓1)x−( 3±4)y± −6 3=0
HT 84 Cho ba đường thẳng d1: 3x+4y−12=0, d2 : 3x+4y− =2 0, d3:x−2y+ =1 a) Chứng tỏ d1 d2 song song Tính khoảng cách d1 d2
b) Tìm phương trình đường thẳng d song song cách d1 d2
c) Tìm điểm M d3 cách d1 đoạn
HD: a) b) 3x+4y− =7 c) M(3; 2) M(1; 1)
HT 85 Cho điểm A(2; –3) hai đường thẳng :
x m
d
y m
= −
= − +
, :
7
x t
d
y t
= − +
′
= − +
a) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A cắt d, d′ B, B′ cho AB = AB′ b) Gọi M giao điểm d d′ Tính diện tích tam giác MBB′
HD: a) :
3
x t
y t
= + ∆
= − +
b) S =
HT 86 Cho đường thẳng dm: (m−2)x+(m−1)y+2m− =1 a) Chứng minh dm qua điểm cố định A
b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0)
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A tạo với BC góc 450 d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R =
HD: a) A(1; –3) b) 8
7≤m≤2 c) x+5y+14=0, 5x− − =y 0 Md)
4 3,
3 m = m= HT 87 Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) trung điểm ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC
a) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C
b) Tìm phương trình trung tuyến AM, BN, CP c) Tính diện tích tam giác ABC
HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1)
b) 3x+ −y 19=0,y =3, 6x+7y−53=0 c) S = 20
(27)b) Gọi I, K hình chiếu C Ox Oy Chứng minh I, H, K thẳng hàng HT 89 Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2) Viết phương trình đường thẳng d biết:
a) d qua A khoảng cách từ B đến d hai lần khoảng cách từ C đến d
b) d qua C cắt trục Ox, Oy E F cho: OE+OF = −3 c) d qua B, cắt trục Ox, Oy M, N với xM >0,yN >0 cho:
i) OM + ON nhỏ ii)
2
1
OM ON
+ nhỏ
HD: a) x− − =y 0, 2x−3y− =3 b) 2x− − =y 0, x−4y+4=0
c) i) x+2y− =6 ii) 4x+ −y 17=0
HT 90 Viết phương trình cạnh tam giác ABC, biết:
a) Đỉnh B(2; 6), phương trình đường cao phân giác vẽ từ đỉnh là:
7 15 0,
x− y+ = x+ + =y
b) Đỉnh A(3; –1), phương trình phân giác trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác là:
4 10 0, 10 59
x− y+ = x+ y− =
HD: a) 4x−3y+10=0, 7x+ −y 20=0, 3x+4y− =5
b) 2x+9y−65=0, 6x−7y−25=0, 18x+13y−41=0
HT 91 Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) đường thẳng d: 3x+2y− =7 a) Viết phương trình đường trịn (C) qua A, B có tâm I ∈d
b) Viết phương tiếp tuyến (C) kẻ từ điểm 1;
2
E
Tính độ dài tiếp tuyến tìm toạ độ tiếp điểm
c) Trên (C), lấy điểm F có xF =8 Viết phương trình đường trịn (C′) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF
HD: a) x2+y2−6x+2y−15=0
b) y− =4 0, 4x−3y+10=0, d = 5
2, tiếp điểm (3; 4), (–1; 2)
c) (C′): x2+y2−16x−8y+55=0
HT 92 Cho đường cong (Cm): x2+y2+mx−4y−m+ =2
a) Chứng minh với m, (Cm) ln đường trịn (Cm) qua điểm cố định A, B
b) Tìm m để (Cm) qua gốc toạ độ O Gọi (C) đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d: 4x+3y− =5 chắn (C) dây cung có độ dài c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có vectơ phương a = −( 2;1)
d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung Viết phương trình đường trịn ứng với m
(28)b) m = 2, (C): x2+y2+2x−4y =0, ∆1: 4x+3y− =8 0,∆2 : 4x+3y+ =7
c) x+2y− =8 0,x+2y+ =2 0 d) m = –2, x2+y2−2x−4y+ =4
HT 93 Cho đường cong (Ct): x2+y2−2 cosx t−2 siny t+cos 2t=0 (0 < t < π) a) Chứng tỏ (Ct) đường tròn với t
b) Tìm tập hợp tâm I (Ct) t thay đổi
c) Gọi (C) đường trịn họ (Ct) có bán kính lớn Viết phương trình (C)
d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tạo với trục Ox góc 450
HD: b)x2+y2 =1 c) , ( ) : 2 2
t =π C x +y − y− =
d) x− − =y 0,x+ + =y 0,x− + =y 0, x+ − =y HT 94 Cho hai đường thẳng d1:x−3y+ =4 0,d2: 3x+ + =y
a) Viết phương trình hai đường trịn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O tiếp xúc với d1, d2 Xác định tâm bán kính đường trịn Gọi (C1) đường trịn có bán kính lớn
b) Gọi A B tiếp điểm (C1) với d1 và d2 Tính toạ độ A B Tính góc AOB
c) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C1) tạo dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm
d) Trên đường thẳng d3: 3x+ −y 18=0, tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến (C1) vng góc với
HD: a) (C1) :x2+y2−6x+2y =0, (C2) : 5x2+5y2+2x−6y =0
b) A(2; 2), B(0; –2), AOB=1350 c) ∆: x− − =y d) (5; 3), (7; –3)
HT 95 Cho đường tròn (C) qua điểm A(1; –1) tiếp xúc với đường thẳng ∆: x+ =2 điểm B có yB =2 a) Viết phương trình đường trịn (C)
b) Một đường thẳng d qua M(4; 0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (C)
HD: a) x2+y2−2x−4y− =4
b)
12
k< : điểm chung,
12
k = : điểm chung,
12
k> : không điểm chung
HT 96 Cho elip (E): 4x2+9y2−36=0
a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (E)
b) Tính diện tích hình vng có đỉnh giao điểm (E) với đường phân giác góc toạ độ
HD: b) S = 144
13
HT 97 Cho elip (E): 16x2+25y2−400=0
(29)b) Viết phương trình đường phân giác góc F MF1 2 với 3; 16
M −
F1, F2 tiêu điểm (E)
HD: b) 3 25 0, 27
5 x− y− = x+ y− =
HT 98 Cho elip (E): x2+4y2−20=0 điểm A(0; 5)
a) Biện luận số giao điểm (E) với đường thẳng d qua A có hệ số góc k
b) Khi d cắt (E) M, N, tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN
HD: a)
1 4
k k
< − >
: giao điểm, 1
4 k
− < < : không giao điểm,
4
k = ± : giao điểm
b) x2+4y2 =100
HT 99 Cho họ đường cong (Cm): x2+y2−2mx+2m2− =1 (*) a) Tìm giá trị m để (Cm) đường tròn
b) Tìm phương trình tập hợp (E) điểm M mặt phẳng Oxy cho ứng với điểm M ta có
đường trịn thuộc họ (Cm) qua điểm M
HD: a) –1 ≤ m ≤ b) (E):
2
2 1
2
x y
+ = (Đưa PT (*) PT với ẩn m Tìm điều kiện
để PT có nghiệm m nhất)
HT 100 Cho elip (E):
2
1
16
x y
+ =
a) Viết phương trình tắc hypebol (H) có đỉnh tiêu điểm (E) tiêu điểm đỉnh (E) b) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm M vng góc với
c) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm N (H) đến hai đường tiệm cận (H) số
HD: a)
2
1
7
x y
− = b) điểm 7;
4
M
± ±
c)
63 16
HT 101 Cho hypebol (H): x2−4y2− =4
a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (H)
b) Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 4) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (H)
HT 102 Cho điểm A1( 2; 0),− A2(2; 0) điểm M(x; y) Gọi M′ điểm đối xứng M qua trục tung
a) Tìm toạ độ điểm M′ theo x, y Tìm phương trình tập hợp (H) điểm M thoả MA M A2 ′ 2 =0 Chứng tỏ (H) hypebol Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường tiệm cận (H)
b) Viết phương trình elip (E) có đỉnh trục lớn (E) trùng với đỉnh (H) (E) qua điểm 2
;
3
B
(30)HD: a) x2−y2 =4 b) (E): x2+4y2=4 c) điểm 3; 3 ± ±
HT 103 Cho hypebol (H): 4x2−5y2−20=0 a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận (H)
b) Gọi (C) đường trịn có tâm trùng với tiêu điểm F1 (có hồnh độ âm) (H) bán kính R độ dài trục
thực (H) M tâm đường trịn qua tiêu điểm F2 tiếp xúc ngồi với (C) Chứng minh M (H)
HD: b) (C): (x+3)2+y2=20 Kiểm chứng MF1−MF2 =2 5=2a ⇒ M ∈ (H)
HT 104 Cho hypebol (H): 2 1 x y − =
a) Viết phương trình elip (E) có tiêu điểm với (H) qua điểm 2;5
P
b) Đường thẳng d qua đỉnh A2 (E) (có hồnh độ dương) song song với đường thẳng ∆: 2x−3y+12=0 Viết phương trình d Tìm toạ độ giao điểm B (khác A2) d với (E) Xác định điểm C ∈ (E) cho tam giác A2BC có diện tích lớn
HD: a)
2
1
9
x y
+ = b) d: 2x−3y− =6 0, 1; 20
3
B− − ,
5 2;
3
C−
HT 105 Cho hypebol (H):
2
2
x y a b
− = Gọi F1, F2 tiêu điểm A1, A2 đỉnh (H) Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý, kẻ MP ⊥ Ox Chứng minh:
a) (MF1+MF2)2=4(OM2+b2) b)
2
2
PM b
A P A P a =
HD: a) Viết (MF1+MF2)2 =(MF1−MF2)2+4MF MF1 2
b) Tính PM2, A P A P1 2 theo toạ độ điểm M
HT 106 Cho parabol (P): y2 =4x
a) Tìm toạ độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn ∆ (P) b) Tìm điểm M (P) mà khoảng cách từ M đến F
HD: b) N(4; 4); N(4; –4)
HT 107 Cho parabol (P): y2 =2x có tiêu điểm F điểm
2 ; t M t
(với t≠ 0) a) Chứng tỏ M nằm (P)
b) Đường thẳng FM cắt (P) N (khác M) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo t
c) Tìm tập hợp (P′) điểm I t thay đổi
HD: b)
4 2 1 ; t t I t t + −
c) (P′):
2
(31)ÔN TẬP I Các tốn liên quan đến tam giác – góc – khoảng cách
HT Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa độ 5x−2y+ =6 0; Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm trùng với gốc tọa độ
Đ/s: AC : y+ =7
HT Trong mặt phẳng toạ độ Oxycho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1:x+ + =y d2:x+2y− =7 Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG
Đ/s: ( 5)2 ( 1)2 81
25
x− + y− +
HT Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxycho hai đường thẳng d1:x+2y− =7 0và d2: 5x+ − =y 0và điểm G( 2;1) Tìm tọa độ điểm B thuộc d1 điểm C thuộc d2 cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm biết A giao điểm d1 d2
Đ/s: A(1; 3); B(3; 2) C(2; -2)
HT Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với AB = 5, đỉnh C(- 1;- 1) đường thẳng AB có phương trình x+2y− =3 0và trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x+ − =y Xác định toạ độ đỉnh A, B tam giác
Đ/s: 4, A −
,
3 6;
2 B −
1 4,
2 A −
,
3 6;
2 B −
HT Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x+2y− =2 Đường cao kẻ từ B có phương trình x− + =y 0, điểm M(−1; 0) thuộc đường cao kẻ từ đỉnh
C Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC Đ/s: B(−2;2) 7;
5 C−
13 19 ; 10 10 A−
HT Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trìnhx−3y− =7 Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x+ + =y Xác định tọa độ B C Tính diện tích ∆ABC Đ/s: S =16 ( đvdt)
HT Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M(2;2), N(1;1) trung điểm cạnh AC, BC trực tâm H(-1;6) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C
Đ/s: C(3;2) ; A(1;2) ; B(-1;0) (11; 1); ( 9; ); ( 5; )
2 2 2
C − A− B −
HT Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có B( 12;1)− , đường phân giác gócA có phương trình:
2
x+ y− = Trọng tâm tam giác ABC 2;
3 G
.Viết phương trình đường thẳng BC Đ/s: BC x: −8y+20=0 HT Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có A(4; - 2), phương trình đường cao kẻ từ C đường trung trực BC x− + =y 0;3x+4y− =2 Tìm tọa độ đỉnh B C
Đ/s: 9; ; 1;
4 4
B− C−
HT 10 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao đường phân giác qua đỉnh A,
(32)HT 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, phân giác AD có phương trình x+ − =y 0,
đường cao CH có phương trình x−2y+ =5 Điểm M( )3; thuộc đoạn AC thoả mãn AB=2AM Xác định toạ độ
các đỉnh tam giác ABC Đ/s: A( )1;1 B(3; 3− )C(−1;2)
HT 12 Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M( )2;1 tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích
Đ/s: d1:x+2y− =4 0.d2: 1( − 2x) (+2 1+ 2)y− =4 0d3 : 1( + 2x) (+2 1− 2)y+ =4
HT 13 Trong mp toạ độ Oxy cho đường thẳng:d1:x−7y+17=0;d2:x+ − =y Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1;d2một tam giác cân giao điểm d1 d2
Đ/s: x+3y− =3 3x− + =y 0
HT 14 Cho A(1 ; 4) hai đường thẳng d1 x+ − =y 0; d2:x+ − =y Tìm điểm B d1, điểm C d2 cho tam giác ABC vuông cân A
Đ/s: B(2 ; 1) & C( ; 5) B(- ; 5) & C(2 ; 7)
HT 15 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A, biết đỉnh A, B, C nằm đường thẳng d: x+ − =y 0, d1: x+ =1 0, d2: y+ =2 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, biết BC =
Đ/s: (3;2), ( 1;5), (0; 2) (3;2), ( 1; 1), (6; 2)
A B C
A B C
− −
− − −
HT 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác gócA x: +2y− =5 0, đường cao kẻ từ A: 4x+13y−10=0, điểm C(4;3) Tìn toạ độ điểm B
Đ/s: ………
HT 17 Trong mặt phẳng Oxycho A(2;1) đường thẳng d: 2x+3y+ =4 Lập phương trình đường thẳng qua A tạo với đường thẳng dmột góc 450
Đ/s: 5x+ −y 11=0 − +x 5y− =3
HT 18 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng:2x−5y+ =1 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng: 12x− −y 23=0 Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1)
Đ/s: 8x+9y−33=0
Câu hỏi tương tự: BC x: −3y− =2 0, AB: 2x− + =y Viết AC biết qua M(3;2) Đ/s: x+2y− =7
HT 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích S∆ABC =96; M(2; 0) trung điểm AB, đường phân giác góc A có phương trình ( ) :d x− −y 10=0, đường thẳng AB tạo với ( )d góc ϕ thoả
mãn cos
5
ϕ= Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC Đ/s: (3; 7), (1; 7), (17; 9)
(9; 1), ( 5;1), (11; 15)
A B C
A B C
− −
− − −
(33)HT 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích
S = , đỉnh A(2;-3), đỉnh B(3;-2), trọng tâm tam giác thuộc đường thẳng d: 3x− − =y Tìm toạ độ đỉnh C
Đ/s:C( 2; 10) ,− − C(1; 1)−
HT 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A(-1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆:
4
x− − =y Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Đ/s: 11 3; , 3;
2 2
B C −
11 3
; , ;
2 2
C B −
HT 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Lập phương trình đường thẳng qua A(8 ;6) tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 12
Đ/s: 1,
4
x y x y
− = − + =
HT 23 Cho tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0) ,B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng
y=x Tìm toạ độ đỉnhC Đ/s: C(-1;0) C 8;
3
HT 24 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trục hoành có hồnh độ khơng âm cho tam giác ABC vng A Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn
Đ/s: B(0; 0); C(0; 5)
HT 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho điểm A(1; 0), B(2; 1) đường thẳng d: 2x− + =y Tìm điểm M d cho MA+MBnhỏ
Đ/s: 17; 11 11
M−
II Các toán liên quan đến đường tròn
HT 26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với đỉnh: A(–2;3),
; , (2; 0)
B C
Đ/s:
2
1 1
2
x y
− + − =
HT 27 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn ( )C x2+y2−6x+ =5 Tìm M thuộc trục tung cho qua Mkẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600
Đ/s: M1(0; 7) M2(0;- 7)
HT 28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: −5y− =2 0và đường tròn 2
( ) :L x +y +2x−4y− =8 0 Xác định toạ độ giao điểm A, B đường thẳng d đường tròn (L) (cho biết
điểm A có hồnh độ dương) Tìm toạ độ điểm C thuộc đường tròn (L) cho tam giác ABC vuông B
(34)HT 29 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+2x−8y− =8 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+ − =y cắt đường trịn theo dây cung có độ dài
Đ/s: 3x+ +y 10− =1 0hoặc 3x+ −y 10− =1
HT 30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( ) :C x2+y2 =13 ( ') : (C x−6)2+y2 =25 Gọi A giao điểm ( )C ( ')C với yA>0 Viết phương trình đường thẳng d quaA cắt ( ),( ')C C theo hai dây cung có độ dài (hai dây cung khác nhau)
Đ/s: − +x 3y− =7
HT 31 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :x2+y2 =1 Tìm giá trị thực m cho
đường thẳng x− +y m=0có điểm mà từ kẻ hai tiếp tuyến với (C) cho góc hai
tiếp tuyến 900 Đ/s: m= ±2
HT 32 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): 3x−4y+ =5 0và đường tròn (C)
2 2 6 9 0
x +y + x− y+ = Tìm điểm M thuộc (C) N thuộc d cho MN có độ dài nhỏ
Đ/s: M ≡M N1, ≡N0
HT 33 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( 1) :( 1)2 2
C x− +y =
( )2 ( )2
2
(C ) : x−2 + y−2 =4 Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn (C1) cắt đường tròn (C2)
tại hai điểm M, N cho MN =2
Đ/s: : , :
: , :
MN x y MN x y
MN x y MN x y
+ − = + − =
− − = − − =
HT 34 Cho hai đường trịn (C1) :x2+y2−2y− =3 0; (C2) :x2+y2−8x−8y+28=0 Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2)
Đ/s: x− =2 0; 3x−4y+14=0;3x−4y− =6 0;7x+24y−14=0
HT 35 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2+y2+4 3x− =4 Tia Oy cắt (C) điểm A Lập phương trình đường trịn (C’) có bán kínhR'=2, biết (C’) tiếp xúc ngồi với đường tròn ( )C A Đ/s: (x− 3)2+(y−3)2 =4
HT 36 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxycho đường trịn ( C) có phương trình:(x−1)2+(y−2)2 =4 điểm K( 3;4) Lập phương trình đường trịn (T) tâm K cắt đường tròn ( )C Tại hai điểm A,B Sao cho diện tích tam giác IAB lớn với I tâm đường tròn ( )C
Đ/s: 2
1
( ) : (T x−y) +(y−4) =4hoặc ( ) : (T2 x−3)2+(y−4)2 =20 III Các toán liên quan đến tứ giác
HT 37 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCDcó diện tích 12, tâm I giao điểm hai đường thẳng: d1:x− − =y 0, d2:x+ − =y Trung điểm cạnh giao điểm d1 tia Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
(35)HT 38 Viết phương trình cạnh AB hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA qua điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) diện tích hình chữ nhật 16
Đ/s: AB:− + − =x y AB:− +x 3y−11=0
HT 39 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm 3; 2
I
trung điểm
cạnh AD M(3;0) Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD Đ/s: A( )2;1 , D(4; 1− )C( )7;2 , B( )5;
HT 40 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB x: −2y− =1 0, đường chéo
: 14
BD x− y+ = đường chéo AC qua điểm M(2;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
Đ/s: B(7; 3)D(0;2), (1; 0), (6; 5)A C
HT 41 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình cạnh hình chữ nhật ABCD.Biết rằngAB=2BC , A,
B thuộc đường thẳng qua 4;1
3
M−
, B, Cthuộc đường thẳng quaN(0; 3), A,Dthuộc đường thẳng qua
1 4;
3
P −
, C,Dthuộc đường thẳng qua Q(6;2)
Đ/s: : / 17( / 3) 1, : / 17( 6) 2,
: / 17 / 17 0, : / 17 / 17
AB y x DC y x
BC x y AD x y
= − + + = − − +
− + = − − − =
HT 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng có đỉnh (-4; 8) đường chéo có phương trình 7x− + =y Viết phương trình cạnh hình vng
Đ/s: AB: 3x−4y+32=0;AD: 4x+3y+ =1 0BC : 4x+3y−24=0;CD: 3x−4y+ =7
HT 43 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxycho hình vng ABCD có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có phương trình:
3
y− = Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình vng
Đ/s: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3) A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3)
HT 44 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vng ABCD có M trung điểm cạnh BC, phương trình đường thẳng DM:
2
x− − =y C(3; 3− ).Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d: 3x+ − =y Xác định toạ độ đỉnh A,B,D Đ/s: A(−1; 5),B(− −3; 1), D( )5;
HT 45 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC = 2BD Điểm 0;1
M
thuộc
đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hồnh độ dương Đ/s: B( 1; -1)
HT 46 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD
biết đường thẳng AB x: +3y+ =1
(36)HT 47 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình thang cân ABCD có diện tích 18, đáy lớn CD nằm đường thẳng có phương trình: x− + =y Biết hai đường chéo AC, BD vuông góc với điểm I(3;1) Viết phương trình đường thẳng BC , biết C có hồnh độ âm
Đ/s: BC x: +2y− =1
HT 48 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D
Đ/s: 8; , 2;
3 3
C D
C(−1; ,) (D 0; 2− )
IV Tổng hợp
HT 49 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x−5y− =2 đường tròn ( )C :
2 2 4 8 0
x +y + x− y− = Xác định tọa độ giao điểm A, B đường tròn ( )C đường thẳng d (cho biết điểm A có hồnh độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường trịn ( )C cho tam giác ABC vuông B
Đ/s: C(-4;4)
HT 50 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn ( )C x2+y2+4x−6y+ =9 0và điểm M(1; 8)− Viết phương trình đường thẳng d qua M cho d cắt ( )C hai điểm A,B phân biệt mà diện tích tam giác ABIđạt giá trị lớn nhất.Với I tâm đường tròn ( )C
Đ/s: 7x+ + =y & 17x+7y+39=0
HT 51 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxycho đường tròn ( ) : (C x−1)2+(y+2)2 =9và đường thẳng
:
d x− y+m= Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C)
(A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB tam giác Đ/s: m=19,m= −41
HT 52 Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABC có trung điểm cạnh ABlà M( 1;2)− , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(2; 1)− Đường cao tam giác kẻ từ A có phương trình: 2x+ + =y Tìm tọa độ đỉnh C
Đ/s: 14 47; 15 15
C
HT 53 Cho đường tròn (C) nội tiếp hình vng ABCD có phương trình (x−2)2+(y−3)2=10 Xác định toạ độ đỉnh A, C hình vng, biết cạnh AB qua M(-3; -2) xA >
Đ/s: a A(6;1); ( 2; 5)C −
HT 54 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A( 1; 3)− − , trọng tâm G(4; 2)− , trung trực AB ( ) : 3d x+2y− =4 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Đ/s: 2 148 46 0
21
(37)TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN HAY VÀ KHĨ
HT 55 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1) đường cao AH : 2x− + =y 0và đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆:x+2y− =1 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC
bằng
Đ/s: A(1; 3), (3; 1), ( 1;1)B − C − A(1; 3), ( 1;1), (3; 1)B− C −
HT 56 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A. Đường thẳng AB: 7x+6y−24=0,
: 2
BC x− y− = Viết phương trình đường cao từ B tam giác ABC.
Đ/s: 4x−18y− =3
HT 57 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có góc nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC tam giác biết tọa độ chân đường cao hạ từ A, B, C tương ứng M( 1; 2), (2;2), ( 1;2)− − N P − Đ/s:
2x+ − =y
HT 58 Trong hệ tọa độ Oxycho hình thang cân ABCD AB CD AB( , <CD) Biết A(0;2)D( 2; 2)− − , giao điểm O
của AC BD nằm đường thẳng có phương trình: x+ − =y Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang góc AOD=450
Đ/s:B(2+ 2,2+ 2); (2C +4 2;2+4 2) B(4+3 2, 2+ 2); (4C +4 2; 2)−
HT 59 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình vng ABCD cố định biết A(2;1), (3;2)I (I giao điểm hai đường AC BD) Một đường thẳng d qua C cắt tia AB, AD M N Viết phương trình đường thẳng d
sao cho độ dài MN nhỏ Đ/s: x+ − =y
HT 60 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm BC, N điểm CD cho
CN = ND Giả sử 11 1;
2
M
đường thẳng AN có phương trình: 2x− − =y Tìm tọa độ điểm A Đ/s: A(1; 1)−
hoặc A(4; 5)
HT 61 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆:x− − =y d: 2x− − =y Tìm tọa độ điểm
N thuộc đường thẳng dsao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn: OM ON =8 Đ/s: N(0; 2)−
hoặc 2; 5
N
HT 62 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 1;1
B
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc
với cạnh BC, CA, AB tương ứng D, E, F Cho D(3;1),đường thẳng EF y: − =3 Tìm tọa độ A biết A có tung độ
dương Đ/s: 3;13
3
A
HT 63 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+ =y 0;d2: 3x− =y Gọi ( )C đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B. Viết phương trình đường trịn ( ),C
biết tam giác ABC có diện tích
2 điểm A có hồnh độ dương
Đ/s:
2
1
( ) :
2
C +x +y+ =
HT 64 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng gócOxy; cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC điểmM(3; 1− ), đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B qua điểm E(− −1; 3) đường thẳng chứa cạnh AC qua điểm F( )1; Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm đối xứng đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm D(4; 2− ) Đ/s: A( )2;2 B(1; 1− )C(5; 1− )
HT 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có BAC =900 biết B( 5; 0), (7; 0)− C , bán kính đường trịn nội tiếp r =2 13−6.Xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC biết I có tung độ dương Đ/s:
( )
2
(1 5;2 13 6); 5;2 13
I + − I − −
(38)Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 24 điểm B có hồnh độ dương Đ/s: 2x+ −y 10=0
HT 67 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có đường phân giác lA:x+ − =y 0,đường trung tuyến
: 0,
B
m x− + =y đường cao hC : 2x+ + =y Tìm tọa độ đỉnh tam giác Đ/s: 12 39; , 32 49; ; ;
17 17 17 17 17 17
A B C− −
HT 68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(6; 6)và ngoại tiếp đường tròn tâm (4; 5),
K biết A(2; 3) Viết phương trình cạnh tam giác ABC
Đ/s: BC : 3x+4y−42=0;AB x: =2;AC y: =3
HT 69 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3),− − trực tâm H(1; 1)− tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác I(2; 2).− Tìm tọa độ đỉnh B C, tam giác ABC.
Đ/s: B(1;1); (5; 3)C − B(5; 3); (1;1)− C
HT 70 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH x: +2y− =3 0, trung tuyến
: 3
AM x+ y− = Cạnh BC qua N(3; 2).− Tìm tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng x− + =y
Đ/s: 31 17; ; 29; 10 ; 1;
18 18 3 2
A B − C −
HT 71 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), (2; 6)B C thuộc đường thẳng
:
d x− y+ = Tìm tọa độ đỉnh C cho phân giác xuất phát từ đỉnh A song song với đường thẳng d Đ/s: C(2;1) HT 72 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1: 2x− − =y 0,d2: 2x+ − =y Gọi I giao điểm d d1, 2; A điểm thuộc d1,A có hồnh độ dương khác (0<xA≠1) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d2 B cho diện tích tam giác ∆IAB IB=3IA
Đ/s: x+ − =y 0; 4x+ −y 11=0
HT 73 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1; 0), chân đường cao hạ từ đỉnh B K(0;2),trung điểm cạnh AB M(3;1)
Đ/s: AC x: −2y+4=0,AB: 3x− − =y 0;BC : 3x+4y+ =2
HT 74 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( 1) : ( 2)2 ( 1)2
C x+ + y− = có tâm O1, đường trịn (C2)
có bán kính tâm O2 nằm đường thẳng d x: + − =y cắt (C1) hai điểm A, B cho tứ giác
1
O AO B có diện tích
3 Viết phương trình đường trịn (C2) Đ/s:
2
1 15 15
4
2 6
x y
+ − + + − =
2
1 15 15
4
2 6
x y
+ + + − − =
HT 75 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn ( ) :C x2+y2=25 đường tròn ( ) :T x2+(y−8)2 =9 Một đường thẳng d cắt (C) tại A, B; cắt (T) C, D thỏa mãn: AB=BC =CD
Đ/s: 11 16 0; 16
3
x y x y
± + − = ± + − =
HT 76 Viết phương trình đường thẳng d.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) (C : x−4)2+y2 =4 điểm E( )4;1 Tìm toạ độ điểm Mtrên trục tung cho từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA MB, đến đường tròn
( )C với A B, tiếp điểm cho đường thẳng ABđi qua E Đ/s: M( )0;
HT 77 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh BD x− =y Đường thẳng AB
đi qua điểm P(1; 3), đường thẳng CD qua điểm Q( 2; 3).− − Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết độ dài
AB=AC điểm B có hồnh độ lớn
(39)HT 78 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD với A(1;2), B thuộc d1:x+2y− =1 0,C thuộc 2:
d x+ y+ = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng
Đ/s: 27; 11 ; 6; 33 ; 16; 12
5 5 5
B − C − D− −
HT 79 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 3),đường phân giác góc A có phương trình x− + =y tâm đường tròn ngoại tiếp I(6; 6) Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC.
Đ/s: BC: 3x+4y−54=0 3x+4y−36=0
HT 80 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C (x−1)2+(y−3)2 =5 hai điểm A(2;1); (0; 5)B Từ điểm M thuộc đường thẳng d x: +2y+ =1 0kẻ hai tiếp tuyến đến ( )C Gọi E F, hai điểm tương ứng Tìm tọa độ
,
E Fbiết ABEF hình thang
Đ/s: 5; ; 5;
2 2
E C − + −
HT 81 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vng A, phương trình đường
thẳng BC : 3x− −y 3=0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
bằng Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Đ/s: 1 4 6;
3 G + + =
2 3;
3 G − − + = −
HT 82 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x+6)2+(y−6)2 =50 Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( )C điểm M cắt trục tọa độ hai điểm A, B cho M trung điểm AB. Đ/s: x− + =y 0;x− +y 22=0;x−5y+10=0;7x+13y+182=0
HT 83 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: − + =y đường tròn 2
( ) :C x +y −2x+4y− =4 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho qua M ta kẻ tiếp tuyến MA MB, đến đường tròn ( ),( ,C A Blà tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ điểm 1;1
2
N
đến đường thẳng AB lớn
nhất.Đ/s: M( 3; 2)− −
HT 84 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A, D có đáy lớn CD, cạnh AD: 3x− =y 0,
:
BC x− y= Biết góc tạo BC AB 45 ,0 diện tích hình thang ABCD 24 Tìm tọa độ đỉnh B hình thang biết B có tung độ dương
Đ/s: 10 10;
5 B
HT 85 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 6)chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A
2;
D −
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1 ;1
I−
Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác Đ/s:
(5; 0); ( 3; 4)
B C − − B( 3; 4); (5; 0)− − C
HT 86 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC cân có đáy BC Đỉnh A có tọa độ số dương, hai điểm B C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB y: =3 7(x−1) Biết chu vi của∆ABC 18, tìm tọa độ đỉnh A, B, C
(40)TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM 2009 – 2012
HT 87 A2009 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng
:x+ − =y
△ Viết phương trình đường thẳng AB
Đ/s: AB y: − =5 0hoặc AB x: −4y+19=0
HT 88 A2009 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn ( ) :C x2+y2+4x+4y+ =6 đường thẳng △:x+my−2m+3, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để △ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn
Đ/s: m=0hoặc
15 m =
HT 89 B2009 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn ( ) : ( 2)2
C x− +y = hai đường thẳng
1:x− =y 0, 2:x−7y=0
△ △ Xác định tọa độ tâm K tính bán kính đường trịn (C1);biết đường tròn (C1)tiếp xúc với
các đường thẳng △ △1; 2 tâm K thuộc đường tròn (C).
Đ/s: 4; 5
K và
2
R=
HT 90 B2009 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân A có đỉnh A( 1; 4)− đỉnh B, C
thuộc đường thẳng △:x− − =y Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18
Đ/s: 11 3; ; 3;
2 2
B C −
hoặc
3 11
; ; ;
2 2
B − C
HT 91 D2009 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao đỉnh A có phương trình 7x−2y− =3 6x− − =y Viết phương trình
đường thẳng AC.
Đ/s: AC : 3x−4y+ =5
HT 92 D2009 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+y2=1 Gọi I tâm (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO=300
Đ/s: 3;
2
M
±
HT 93 A2010 – CB Cho hai đường thẳng d1: 3x+ =y d2: 3x− =y Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1
tại A, cắt d2 điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích
bằng
2 điểm A có hồnh độ dương
Đ/s:
2
1
( ) :
2
T +x +y+ =
HT 94 A2010 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6);đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x+ − =y Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; 3)− nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho
Đ/s: B(0; 4); ( 4; 0)− C − hoặc B( 6;2); (2; 6)− C −
HT 95 B2010 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C( 4;1),− phân giác góc A có phương trình x+ − =y Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương
(41)HT 96 B2010 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2; 3) elip
2
( ) :
3
x y
E + = Gọi F1 F2
các tiêu điểm (E)(F1có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2
Đ/s:
2
2
( ) : ( 1)
3
T x y
− + − =
HT 97 D2010 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 7),− trực tâm H(3; 1),− tâm đường tròn ngoại tiếp I( 2; 0).− Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hồnh độ dương
Đ/s: C(− +2 65; 3)
HT 98 D2010 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(0;2) △ đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A △ Viết phương trình đường thẳng △biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH.
Đ/s: ( 5−1)x−2 5−2y =0 ( 5−1)x+2 5−2y =0
HT 99 A2011 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường thẳng △:x+ + =y đường tròn 2
( ) :C x +y −4x−2y=0 Gọi I tâm (C), M điểm thuộc △ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B
là tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10
Đ/s: M(0;1; 3) hoặc 12; ; 7
M−
HT 100 A2011 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho elip
2
( ) :
4
x y
E + = Tìm tọa độ điểm A và B thuộc
(E) có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn
Đ/s: 2; ; 2;
2 A B −
hoặc 2; ; 2;
2 A B −
HT 101 B2011 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường thẳng △:x− − =y d: 2x− − =y Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng △ điểm M thỏa mãn: OM ON =8 Đ/s: (0; 2); 2;
5
N − N
HT 102 B2011 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có đỉnh 1;1
B
Đường tròn nội tiếp tam
giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho điểm D(3;1) đường thẳng
:
EF y− = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương
Đ/s: 3;13
A
HT 103 D2011 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B( 4;1),− trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x− − =y Tìm tọa độ đỉnh A C Đ/s:
(4; 3); (3; 1)
A C −
HT 104 D2011 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn 2
( ) :C x +y −2x+4y− =5 Viết phương trình đường thẳng △cắt (C) tại hai điểm M N cho tam giác AMN
vuông cân A Đ/s: y=1;y = −3
HT 105 AA12012 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình vng ABCD.Gọi M trung điểm cạnh BC, N
là điểm CD cho CN =2ND Giả sử 11 1; 2
M
và đường thẳng AN có phương trình 2x− − =y Tìm tọa độ
(42)HT 106 AA12012 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn ( ) :C x2+y2 =8 Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình
vng Đ/s: 2
16 16
3 x y
+ =
HT 107 B2012 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C1) :x2+y2 =4,
2
2
(C ) :x +y −12x+18=0và đường thẳng d x: − − =y Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2),tiếp xúc với d cắt (C1) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d.
Đ/s:(x−3)2+(y−3)2 =8
HT 108 B2012 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình thoi ABCD có AC =2BD đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trìnhx2+y2=4 Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C,
D hình thoi Biết A thuộc Ox Đ/s: 2
20
x y
+ =
HT 109 D2012 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD có phương trình x+3y=0 x− + =y 0;đường thẳng BD qua điểm 1;1
3
M−
Tìm tọa độ đỉnh
hình chữ nhật ABCD.
Đ/s: A( 3;1); (1; 3); (3; 1); ( 1; 3)− B − C − D−
HT 110 D2012 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường thẳng d: 2x− + =y Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB=CD=2.Đ/s: (x+3)2+(y+3)2 =10
HT 111 A – 2013 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng
:
d x+ + =y A( 4; 8)− Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng
MD. Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5; 4).− Đ/s:C( 1; 7); ( 4; 7)− B− −
HT 112 A – 2013 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆:x− =y Đường tròn (C) có bán kính R= 10 cắt ∆ hai điểm phân biệt A, B cho AB=4 Tiếp tuyến (C) A và B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C) Đ/s:(x−5)2+(y−3)2 =10
HT 113 B – 2013 – CB Trong mặt phẳng với hệọa độ Oxy,cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD =3BC Đường thẳng BD có phương trình tam giác ABD có trực tâm H( 3;2).− Tìm tọa độ đỉnh C, D.Đ/s:C( 1; 6); (4;1), ( 8; 7)− D D−
HT 114 B – 2013 – NC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A
17
; ,
5
H −
chân đường phân giác góc A D(5; 3) trung điểm cạnh AB M(0;1).Tìm tọa độ đỉnh C.
Đ/s:C(9;11)
HT 115 D – 2013 – CB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm 3; 2 M−
trung điểm
cạnh AB, điểm H(−2; 4) điểm I( 1;1)− chân đường cao kẻ từ B tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tìm tọa độ điểm C.Đ/s:C(4;1); ( 1; 6)C −
HT 116 D – 2013 – NC.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+(y−1)2 =4 đường thẳng ∆:y− =3 0.Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc ∆, đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P Đ/s:P( 1; 3); (3; 3)− P