chuyên đề hình học giải tích trong mặt phẳng

http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng Trang 1 CHUYÊN ĐỀ I: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x y 1 : 7 17 0    , d x y 2 : 5 0    . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d 1 2 , một tam giác cân tại giao điểm của d d 1 2 , .  Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là: x y x y x y ( ) x y ( ) 1 2 2 2 2 2 7 17 5 3 13 0 3 4 0 1 ( 7) 1 1                     Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1  hoặc 2  . KL: x y 3 3 0    và x y 3 1 0    Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d x y 1 :2 5 0    . d x y 2 :3 6 –7 0   . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d 1 , d 2 .  d 1 VTCP a 1 (2; 1)    ; d 2 VTCP a 2 (3;6)   Ta có: a a 1 2 . 2.3 1.6 0      nên d d 1 2  và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x B y Ax By A B : ( 2) ( 1) 0 2 0          d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I  khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0 A B A B A AB B B A A B 0 2 2 2 2 2 2 2 3 cos45 3 8 3 0 3 2 ( 1)                  * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d x y :3 5 0    * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x y : 3 5 0    Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d x y :3 5 0    ; d x y : 3 5 0    . Câu hỏi tương tự: a) d x y 1 : 7 17 0    , d x y 2 : 5 0    , P (0;1) . ĐS: x y 3 3 0    ; x y 3 1 0    . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d x y 1 :3 5 0    , d x y 2 :3 1 0    và điểm I (1; 2)  . Viết phương trình đường thẳng  đi qua I và cắt d d 1 2 , lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2  .  Giả sử A a a d B b b d 1 2 ( ; 3 5) ; ( ; 3 1)       ; IA a a IB b b ( 1; 3 3); ( 1; 3 1)           I, A, B thẳng hàng b k a IB kIA b k a 1 ( 1) 3 1 ( 3 3)                  Nếu a 1  thì b 1   AB = 4 (không thoả).  Nếu a 1  thì b b a a b a 1 3 1 ( 3 3) 3 2 1           AB b a a b t t 2 2 2 2 ( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8               (với t a b   ). t t t t 2 2 5 12 4 0 2; 5          + Với t a b b a 2 2 0, 2           x y : 1 0      Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 2 + Với t a b b a 2 2 4 2 , 5 5 5 5          x y : 7 9 0      Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y 1 : 1 0    , d x y 2 :2 – –1 0  . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d 1 ) và (d 2 ) tương ứng tại A và B sao cho MA MB 2 0      .  Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1). Từ điều kiện MA MB 2 0      tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0 Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y 1 2 : 1 0, : –2 2 0      lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.  A d A a a MA a a B d B b b MB b b 1 2 ( ) ( ; 1 ) ( 1; 1 ) ( ) (2 2; ) (2 3; )                           . Từ A, B, M thẳng hàng và MB MA 3   MB MA 3   (1) hoặc MB MA 3    (2) (1)  A d x y B 2 1 ; ( ): 5 1 0 3 3 ( 4; 1)                    hoặc (2)    A d x y B 0; 1 ( ): 1 0 (4;3)         Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y d x y 1 2 :3 5 0, : 4 0       lần lượt tại A, B sao cho MA MB 2 –3 0  .  Giả sử A a a d 1 ( ;3 5)   , B b b d 2 ( ;4 )   . Vì A, B, M thẳng hàng và MA MB 2 3  nên MA MB MA MB 2 3 (1) 2 3 (2)           + a b a A B a b b 5 5 5 2( 1) 3( 1) (1) ; , (2;2) 2 2(3 6) 3(3 ) 2 2 2                          . Suy ra d x y : 0   . + a b a A B a b b 2( 1) 3( 1) 1 (2) (1; 2), (1;3) 2(3 6) 3(3 ) 1                     . Suy ra d x : 1 0   . Vậy có d x y : 0   hoặc d x : 1 0   . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA OB ( 3 )  nhỏ nhất.  PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y a b 1   (a,b>0) M(3; 1)  d Cô si ab a b a b 3 1 3 1 1 2 . 12       . Mà OA OB a b ab 3 3 2 3 12      a b a OA OB b a b min 3 6 ( 3 ) 12 3 1 1 2 2                   Phương trình đường thẳng d là: x y x y 1 3 6 0 6 2       http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng Trang 3 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB  nhỏ nhất.  x y 2 6 0    Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho OA OB 2 2 9 4  nhỏ nhất.  Đường thẳng (d) đi qua M (1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên A a B b ( ;0); (0; ) với a b . 0   Phương trình của (d) có dạng x y a b 1   . Vì (d) qua M nên a b 1 2 1   . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có : a b a b a b 2 2 2 2 1 2 1 3 2 1 9 4 1 . 1. 1 3 9                              a b 2 2 9 4 9 10    OA OB 2 2 9 4 9 10   . Dấu bằng xảy ra khi a b 1 3 2 : 1: 3  và a b 1 2 1    a b 20 10, 9    d x y : 2 9 20 0    . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2).  x y x y 3 6 0; 2 0       Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M (2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4  .  Gọi A a B b a b ( ;0), (0; ) ( , 0)  là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: x y d a b : 1   . Theo giả thiết, ta có: a b ab 2 1 1 8          b a ab ab 2 8       .  Khi ab 8  thì b a 2 8   . Nên: b a d x y 1 2; 4 : 2 4 0       .  Khi ab 8   thì b a 2 8    . Ta có: b b b 2 4 4 0 2 2 2        . + Với     b d x y 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0          + Với     b d x y 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0          . Câu hỏi tương tự: a) M S (8;6), 12  . ĐS: d x y :3 2 12 0    ; d x y :3 8 24 0    Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình x y 2 – 3 0   . Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có cosα 1 10  .  PT đường thẳng (  ) có dạng: a x b y ( –2) ( 1) 0     ax by a b –2 0    a b 2 2 ( 0)   Ta có: a b a b 2 2 2 1 cos 10 5( )       7a 2 – 8ab + b 2 = 0. Chon a = 1  b = 1; b = 7.  (  1 ): x + y – 1 = 0 và (  2 ): x + 7y + 5 = 0 Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 4 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (2;1) và đường thẳng d x y : 2 3 4 0    . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 0 45 .  PT đường thẳng (  ) có dạng: a x b y ( –2) ( 1) 0     ax by a b –(2 ) 0    a b 2 2 ( 0)   . Ta có: a b a b 0 2 2 2 3 cos45 13.     a ab b 2 2 5 24 5 0     a b a b 5 5       + Với a b 5  . Chọn a b 5, 1    Phương trình x y : 5 11 0     . + Với a b 5   . Chọn a b 1, 5     Phương trình x y : 5 3 0     . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d x y : 2 2 0    và điểm I (1;1) . Lập phương trình đường thẳng  cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 0 45 .  Giả sử phương trình đường thẳng  có dạng: ax by c 0    a b 2 2 ( 0)   . Vì  d 0 ( , ) 45   nên a b a b 2 2 2 1 2 . 5    a b b a 3 3         Với a b 3    : x y c 3 0    . Mặt khác d I ( ; ) 10   c4 10 10    c c 6 14         Với b a 3     : x y c 3 0    . Mặt khác d I ( ; ) 10   c2 10 10     c c 8 12        Vậy các đường thẳng cần tìm: x y 3 6 0;    x y 3 14 0    ; x y 3 8 0;    x y 3 12 0    . Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình lần lượt là x y 3 2 0    và x y 3 4 0    . Gọi A là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ) sao cho AB AC 2 2 1 1  đạt giá trị nhỏ nhất.  A d d A 1 2 ( 1;1)     . Ta có d d 1 2  . Gọi  là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên  . ta có: AB AC AH AM 2 2 2 2 1 1 1 1    (không đổi)  AB AC 2 2 1 1  đạt giá trị nhỏ nhất bằng AM 2 1 khi H  M, hay  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM.  Phương trình  : x y 2 0    . Câu hỏi tương tự: a) Với M (1; 2)  , d x y 1 :3 5 0    , d x y 2 : 3 5 0    . ĐS: x y : 1 0     . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y ( ): –3 –4 0  và đường tròn C x y y 2 2 ( ): –4 0   . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1).  M  (d)  M(3b+4; b)  N(2 – 3b; 2 – b) N  (C)  (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0  b b 6 0; 5   http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng Trang 5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M N 38 6 8 4 ; , ; 5 5 5 5              Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng : x y 2 3 4 0    . Tìm điểm B thuộc đường thẳng  sao cho đường thẳng AB và  hợp với nhau góc 0 45 .   có PTTS: x t y t 1 3 2 2         và VTCP u ( 3;2)    . Giả sử B t t (1 3 ; 2 2 )      . AB 0 ( , ) 45    AB u 1 cos( ; ) 2    AB u AB u . 1 . 2      t t t t 2 15 13 169 156 45 0 3 13              . Vậy các điểm cần tìm là: B B 1 2 32 4 22 32 ; , ; 13 13 13 13               . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y : 3 6 0    và điểm N (3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 15 2 .  Ta có ON (3;4)   , ON = 5, PT đường thẳng ON: x y 4 3 0   . Giả sử M m m d (3 6; )   . Khi đó ta có ONM ONM S S d M ON ON d M ON ON 2 1 ( , ). ( , ) 3 2        m m m m m 4.(3 6) 3 13 3 9 24 15 1; 5 3            + Với m M 1 (3; 1)     + Với m M 13 13 7; 3 3            Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A (0;2) và đường thẳng d x y : 2 2 0    . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .  Giả sử B b b C c c d (2 2; ), (2 2; )    . Vì  ABC vuông ở B nên AB  d  d AB u . 0     B 2 6 ; 5 5        AB 2 5 5   BC 5 5  BC c c 2 1 125 300 180 5    = 5 5  c C c C 1 (0;1) 7 4 7 ; 5 5 5               Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y 1 : 3 0    , d x y 2 : 9 0    và điểm A (1; 4) . Tìm điểm B d C d 1 2 ,   sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.  Gọi B b b d C c c d 1 2 ( ;3 ) , ( ;9 )      AB b b ( 1; 1 )      , AC c c ( 1;5 )     .  ABC vuông cân tại A  AB AC AB AC . 0         b c b c b b c c 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) (5 )                 (*) Vì c 1  không là nghiệm của (*) nên Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 6 (*)  b c b c c b b c c c 2 2 2 2 2 2 ( 1)(5 ) 1 (1) 1 (5 ) ( 1) ( 1) ( 1) (5 ) (2) ( 1)                      Từ (2)  b c 2 2 ( 1) ( 1)     b c b c 2        . + Với b c 2   , thay vào (1) ta được c b 4, 2    B C (2;1), (4;5) . + Với b c   , thay vào (1) ta được c b 2, 2     B C ( 2;5), (2;7)  . Vậy: B C (2;1), (4;5) hoặc B C ( 2;5), (2;7)  . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d m x m y m 1 :( –1) ( –2) 2 – 0    ; d m x m y m 2 :(2 – ) ( –1) 3 –5 0    . Chứng minh d 1 và d 2 luôn cắt nhau. Gọi P = d 1  d 2 . Tìm m sao cho PA PB  lớn nhất.  Xét Hệ PT: m x m y m m x m y m ( 1) ( 2) 2 (2 ) ( 1) 3 5               . Ta có m m D m m m m 2 3 1 1 2 2 0, 2 1 2 2                  d d 1 2 , luôn cắt nhau. Ta có: A d B d d d 1 2 1 2 (0;1) , (2; 1) ,       APB vuông tại P  P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: PA PB PA PB AB 2 2 2 2 ( ) 2( ) 2 16       PA PB 4   . Dấu "=" xảy ra  PA = PB  P là trung điểm của cung  AB  P(2; 1) hoặc P(0; –1)  m 1  hoặc m 2  . Vậy PA PB  lớn nhất  m 1  hoặc m 2  . Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x y –2 –2 0  và hai điểm A ( 1;2)  , B (3;4) . Tìm điểm M  () sao cho MA MB 2 2 2  có giá trị nhỏ nhất.  Giả sử M M t t AM t t BM t t (2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)             Ta có: AM BM t t f t 2 2 2 2 15 4 43 ( )       f t f 2 min ( ) 15          M 26 2 ; 15 15        Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d x y : 2 3 0    và 2 điểm A B (1; 0), (2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB  nhỏ nhất.  Ta có: A A B B x y x y (2 3).(2 3) 30 0        A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A  là điểm đối xứng của A qua d  A ( 3;2)    Phương trình A B x y : 5 7 0     . Với mọi điểm M  d, ta có: MA MB MA MB A B       . Mà MA MB   nhỏ nhất  A  , M, B thẳng hàng  M là giao điểm của A  B với d. Khi đó: M 8 17 ; 11 11        . http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng Trang 7 CHUYÊN ĐỀ II: ĐƯỜNG TRÒN Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): x y 2 – – 5 0  và đường tròn (C’): x y x 2 2 20 50 0     . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).  A(3; 1), B(5; 5)  (C): x y x y 2 2 4 8 10 0      Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng d x y : 3 – –8 0  . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.  Tìm được C (1; 1) 1  , C 2 ( 2; 10)   . + Với C 1 (1; 1)   (C): 2 2 x y x y 11 11 16 0 3 3 3      + Với C 2 ( 2; 10)    (C): 2 2 x y x y 91 91 416 0 3 3 3      Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y 1 :2 3 0    , d x y 2 :3 4 5 0    , d x y 3 :4 3 2 0    . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d 1 và tiếp xúc với d 2 và d 3 .  Gọi tâm đường tròn là I t t ( ;3 2 )   d 1 . Khi đó: d I d d I d 2 3 ) ( , ) ( ,   t t t t 3 4(3 2 ) 5 5 4 3(3 2 ) 2 5         t t 2 4      Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y 2 2 49 25 ( 2) ( 1)    và x y 2 2 9 ( 4) ( 5) 25     . Câu hỏi tương tự: a) Với d x y 1 : –6 –10 0  , d x y 2 :3 4 5 0    , d x y 3 :4 3 5 0    . ĐS: x y 2 2 ( 10) 49    hoặc x y 2 2 2 10 70 7 43 43 43                       . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x y 3 8 0    , x y ' :3 4 10 0     và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng  , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng .  Giả sử tâm I t t ( 3 8; )     Ta có: d I IA ( , )     t t t t 2 2 2 2 3( 3 8) 4 10 ( 3 8 2) ( 1) 3 4             t 3   I R (1; 3), 5   PT đường tròn cần tìm: x y 2 2 ( 1) ( 3) 25     . Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y : 4 3 3 0     và x y ' : 3 4 31 0     . Lập phương trình đường tròn C ( ) tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.  Tìm tọa độ tiếp điểm của C ( ) và '  .  Gọi I a b ( ; ) là tâm của đường tròn (C). C ( ) tiếp xúc với  tại điểm M (6;9) và C ( ) tiếp xúc với   nên Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 8 a a b a b d I d I a a IM u a b a b 54 3 4 3 3 3 4 31 ( , ) ( , ') 4 3 3 6 85 4 5 5 (3;4) 3( 6) 4( 9) 0 3 4 54                                        a a a b a a b b 25 150 4 6 85 10; 6 54 3 190; 156 4                     Vậy: C x y 2 2 ( ):( 10) ( 6) 25     tiếp xúc với '  tại N (13;2) hoặc C x y 2 2 ( ):( 190) ( 156) 60025     tiếp xúc với '  tại N ( 43; 40)   Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A (2; 1)  và tiếp xúc với các trục toạ độ.  Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a a x a y a a b 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             a)  a a 1; 5   b)  vô nghiệm. Kết luận: x y 2 2 ( 1) ( 1) 1     và x y 2 2 ( 5) ( 5) 25     . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y ( ) : 2 4 0    . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).  Gọi I m m d ( ;2 4) ( )   là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: m m m m 4 2 4 4, 3      .  m 4 3  thì phương trình đường tròn là: x y 2 2 4 4 16 3 3 9                 .  m 4  thì phương trình đường tròn là: x y 2 2 ( 4) ( 4) 16     . Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (): x y 3 – 4 8 0   . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng ().  Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)    d: 2x + y – 4 = 0  Tâm I(a;4 – 2a) Ta có IA = d(I,D) a a a 2 11 8 5 5 10 10       2a 2 – 37a + 93 = 0  a a 3 31 2        Với a = 3  I(3;–2), R = 5  (C): (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 25  Với a = 31 2  I 31 ; 27 2        , R = 65 2  (C): x y 2 2 31 4225 ( 27) 2 4           Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d x y : 2 3 0    và x y : 3 5 0     . Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 10 5 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với  .  Tâm I  d  I a a ( 2 3; )   . (C) tiếp xúc với  nên: d I R ( , )   a 2 2 10 5 10    a a 6 2        http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng Trang 9  (C): x y 2 2 8 ( 9) ( 6) 5     hoặc (C): x y 2 2 8 ( 7) ( 2) 5     . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x 2 2 4 3 4 0     . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C), bán kính R = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.  (C) có tâm I ( 2 3;0)  , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I  là tâm của (C  ). PT đường thẳng IA : x t y t 2 3 2 2       , I IA '   I t t (2 3 ;2 2)   . AI I A t I 1 2 '( 3;3) 2         (C  ): x y 2 2 ( 3) ( 3) 4     Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y y 2 2 –4 –5 0   . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2 ; 5 5        (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M  I  8 6 ; 5 5         (C  ): x y 2 2 8 6 9 5 5                 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y 2 2 2 4 2 0      . Viết phương trình đường tròn (C) tâm M(5; 1) biết (C) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3  .  (C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3  . PT đường thẳng IM: x y 3 4 11 0    . AB 3  . Gọi H x y ( ; ) là trung điểm của AB. Ta có: H IM IH R AH 2 2 3 2           x y x y 2 2 3 4 11 0 9 ( 1) ( 2) 4              x y x y 1 29 ; 5 10 11 11 ; 5 10              H 1 29 ; 5 10         hoặc H 11 11 ; 5 10        .  Với H 1 29 ; 5 10         . Ta có R MH AH 2 2 2 43      PT (C  ): x y 2 2 ( 5) ( 1) 43     .  Với H 11 11 ; 5 10        . Ta có R MH AH 2 2 2 13      PT (C  ): x y 2 2 ( 5) ( 1) 13     . Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y 2 2 ( 1) ( 2) 4     và điểm K (3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).  (C) có tâm I (1;2) , bán kính R 2  . IAB S  lớn nhất   IAB vuông tại I  AB 2 2  . Mà IK 2 2  nên có hai đường tròn thoả YCBT. + T 1 ( ) có bán kính R R 1 2    T x y 2 2 1 ( ) : ( 3) ( 4) 4     Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 10 + T 2 ( ) có bán kính R 2 2 2 (3 2) ( 2 ) 2 5     T x y 2 2 1 ( ) :( 3) ( 4) 20     . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B C 1 ;0 , (2;0) 4       .  Điểm D(d;0) d 1 2 4         thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi     d DB AB d d d DC AC d 2 2 2 2 9 1 3 4 4 4 1 6 3 1. 2 4 3                      Phương trình AD: x y x y 2 3 1 0 3 3         ; AC: x y x y 2 3 3 4 6 0 4 3         Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là b 1  và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:   b b b b b 2 2 3 1 4 6 3 5 3 4          b b b b b b 4 3 5 3 1 3 5 2                Rõ ràng chỉ có giá trị b 1 2  là hợp lý. Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp  ABC là: x y 2 2 1 1 1 2 2 4                 Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d 1 ): x y 4 3 12 0    và (d 2 ): x y 4 3 12 0    . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d 1 ), (d 2 ) và trục Oy.  Gọi A d d B d Oy C d Oy 1 2 1 2 , ,       A B C (3;0), (0; 4), (0;4)    ABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp  ABC  I R 4 4 ;0 , 3 3        . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0    và hai đường tròn có phương trình: (C 1 ): x y 2 2 ( 3) ( 4) 8     , (C 2 ): x y 2 2 ( 5) ( 4) 32     . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C 1 ) và (C 2 ).  Gọi I, I 1 , I 2 , R, R 1 , R 2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C 1 ), (C 2 ). Giả sử I a a d ( ; –1)  . (C) tiếp xúc ngoài với (C 1 ), (C 2 ) nên II R R II R R II R II R 1 1 2 2 1 1 2 2 , – –        a a a a 2 2 2 2 ( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2           a = 0  I(0; –1), R = 2  Phương trình (C): x y 2 2 ( 1) 2    . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ABC. [...]... Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y  8 x Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1  x2  4 Trang 26 http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng  Theo công thức tính bk qua tiêu: FA  x1  2 , FB  x2  2  AB  FA  FB  x1  x2  4 2 2 2 Câu 18 Trong mặt phẳng với... M2 là các giao điểm của  và (C)  M1   ;  MN ngắn nhất khi M  M1, N  N0 Trang 21 Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net  2 11  1 7  (C) , N  ;   d  5 5 5 5 Vậy các điểm cần tìm: M   ; CHUYÊN ĐỀ III: CÁC ĐƯỜNG CÔNIC x2 y2   1 A, B là các điểm trên (E) sao Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 25 16 cho: AF BF2  8 , với F , F2 là các tiêu điểm... tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều  (C) có tâm I (1; 2) , bán kính R  3 PAB đều  PI  2 AI  2 R  6  P nằm trên đường Trang 14 http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng tròn (T) có tâm I, bán kính r  6 Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp 11  m m  19 6 tuyến của (T)  d (I , d )  6  5 m  41 2 2 Câu 32 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai... hai điểm A, B  AB = 4 2 Gọi I là tâm hình vuông Trang 17 Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net 3a  b  3a  3b 2 2 Ta có: d ( I , d )  2 2 (  1 AD  1 AB )  2 2 a2  b2  4b  2 2 a2  b2  a2  b2  a  b Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1 Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x  y  6  0 hoặc x  y  0 2 2 Câu 41 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn...  Giải hệ PT trên ta được: B  ; ;  ;C   hoặc ngược lại  2 2   2 2  2 2 Câu 50 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  3)  ( y  4)  35 và điểm A(5; 5) Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A  AB  AC  (C) có tâm I(3; 4) Ta có:   AI là đường trung trực của BC ABC vuông cân  IB  IC Trang 20 http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng. ..  Giải hệ tìm được a, b, c 2  2 2  d (I , d )  2  2a  2b  c  2 a  b   2 Vậy: d : x  y  2  0; d : x  7 y  6  0 ; d : x  y  2  0 ; d : 7 x  y  2  0 2 2 Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x  y – 6 x  5  0 Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó Trang 13 Hình học giải tích trong mặt phẳng. .. A(3;–2), B(–3; 9 4 2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp ( E ) : x2 y2   1  PT đường thẳng AB: 2 x  3 y  0 Gọi C(x; y)  (E), với x  0, y  0  9 4 Trang 23 Hình học giải tích trong mặt phẳng S ABC  http://thaytoan.net 1 85 85 x y 85  x 2 y 2  170 AB.d (C , AB )  2 x  3 y  3  3... 3  0  x0  1  M (1; 2) 1 2 2 Câu 34 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x –1)  ( y  1)  25 và điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB  PM /(C )  27  0  M nằm ngoài (C) (C) có tâm I(1;–1) và R = 5 Trang 15 Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Mặt khác:   PM / (C )  MA.MB  3... Suy ra phương trình (AB): x  9  y  2  x  7 y  5  0 29 1  2 Viết phương trình đường thẳng Cx // AB  (Cx): x  7 y  25  0 Trang 27 Hình học giải tích trong mặt phẳng Câu 4 http://thaytoan.net Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 , A(2;–3), B(3;– 2 2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3 x – y – 4  0 x  t  PTTS của d:  Giả sử C(t;... –1) Câu 8 2 S ABC 1 1 3  IK = CH   AB 3 2 2 Phương trình AB: x  y  5  0 2  CH = a  1 + Với I(1; –5)  C(–2; –10) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1; 0), B (0; 2) , diện tích tam giác Trang 28 http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y  x Tìm toạ độ điểm C  Phương trình AB : 2 x  y  2  0 Giả . nhau tại A(3; 1)  (C 1 ) và (C 2 ) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy. Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 12 * Xét.    Hình học giải tích trong mặt phẳng http://thaytoan.net Trang 2 + Với t a b b a 2 2 4 2 , 5 5 5 5          x y : 7 9 0      Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục. là: x y x y 1 3 6 0 6 2       http://thaytoan.net Hình học giải tích trong mặt phẳng Trang 3 Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm