Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 97 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
97
Dung lượng
1,93 MB
Nội dung
http://thaytoan.net Số phức Trang 1 1. Khái niệm số phức Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i 2 = –1) z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. Hai số phức bằng nhau: ' ’ ’ ( , , ', ' ) ' a a a bi a b i a b a b R b b 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ) R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ( ; ) u a b trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức: ’ ’ ’ ’ a bi a b i a a b b i ’ ’ ’ ’ a bi a b i a a b b i Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi u biểu diễn z, ' u biểu diễn z' thì ' u u biểu diễn z + z’ và ' u u biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : ' ' ’– ’ ’ ’ a bi a b i aa bb ab ba i ( ) ( ) k a bi ka kbi k R 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi 1 1 2 2 ; ' '; . ' . '; z z z z z z z z z z z z z z ; 2 2 . z z a b z là số thực z z ; z là số ảo z z 6. Môđun của số phức : z = a + bi 2 2 z a b zz OM 0, , 0 0 z z C z z . ' . ' z z z z ' ' z z z z ' ' ' z z z z z z 7. Chia hai số phức: 1 2 1 z z z (z 0) 1 2 ' '. '. ' . z z z z z z z z z z z ' ' z w z wz z I. SỐ PHỨC CHƯƠNG IV SỐ PHỨC Số phức http://thaytoan.net Trang 2 8. Căn bậc hai của số phức: z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi 2 z w 2 2 2 x y a xy b w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau Hai căn bậc hai của a > 0 là a Hai căn bậc hai của a < 0 là . a i 9. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ). 2 4 B AC 0 : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2 B z A , ( là 1 căn bậc hai của ) 0 : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2 B z z A Chú ý: Nếu z 0 C là một nghiệm của (*) thì 0 z cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức: (cos sin ) z r i (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z 0) 2 2 cos sin r a b a r b r là một acgumen của z, ( , ) Ox OM 1 cos sin ( ) z z i R 11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ') z r i z r i : . ' '. cos( ') sin( ') z z rr i cos( ') sin( ') ' ' z r i z r 12. Công thức Moa–vrơ: (cos sin ) (cos sin ) n n r i r n i n , ( * n N ) cos sin cos sin n i n i n 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức (cos sin ) z r i (r > 0) có hai căn bậc hai là: cos sin 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 r i và r i r i Mở rộng: Số phức (cos sin ) z r i (r > 0) có n căn bậc n là: 2 2 cos sin , 0,1, , 1 n k k r i k n n n http://thaytoan.net Số phức Trang 3 VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) i i i (4 – ) (2 3 ) –(5 ) b) 1 2 2 3 i i c) 2 5 2 3 3 4 i i d) 1 3 1 3 2 3 2 2 i i i e) 3 1 5 3 4 5 4 5 i i f) i i (2 3 )(3 ) g) i i i i 2 1 3 h) i 2 1 3 i) i i 1 1 k) mi m l) aia aia m) )1)(21( 3 ii i o) 1 2 i i p) ai bia q) 2 3 4 5 i i Bài 2. Thực hiện các phép toán sau: a) i i 2 2 (1 ) (1– ) b) i i 3 3 (2 ) (3 ) c) i 2 (3 4 ) d) 3 1 3 2 i e) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii f) i 6 (2 ) g) 3 3 ( 1 ) (2 ) i i h) 100 (1 ) i i) 5 (3 3 ) i Bài 3. Cho số phức z x yi . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) 2 2 4 z z i b) z i iz 1 Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c R: a) 2 1 a b) 2 2 3 a c) 4 2 4 9 a b d) 2 2 3 5 a b e) 4 16 a f) 3 27 a g) 3 8 a h) 4 2 1 a a Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức: a) 1 4 3 i b) 4 6 5 i c) 1 2 6 i d) 5 12 i e) 4 5 3 2 i f) 7 24 i g) 40 42 i h) i 11 4 3. i) 1 2 4 2 i k) 5 12 i l) 8 6 i m) 33 56 i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) 0 2 zz b) 0 2 2 zz c) izz 422 d) 0 2 zz e) 2 1 8 z z i f) i z i (4 5 ) 2 Số phức http://thaytoan.net Trang 4 g) 1 4 iz iz h) i i z i i 2 31 1 2 i) 2 3 1 12 z z i k) i z i i 2 (3 2 ) ( ) 3 l) i z i iz i 1 (2 ) 3 0 2 m) 1 1 3 3 2 2 z i i o) 3 5 2 4 i i z p) z i z z 2 ( 3 )( 2 5) 0 q) z z z 2 2 ( 9)( 1) 0 r) 3 2 2 3 5 3 3 0 z z z i Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x): a) 01.3 2 xx b) 02.32.23 2 xx c) x i x i 2 (3 ) 4 3 0 d) 2 3 . 2 4 0 i x x i e) 2 3 2 0 x x f) 2 . 2 . 4 0 i x i x g) 3 3 24 0 x h) 4 2 16 0 x i) 5 ( 2) 1 0 x k) 2 7 0 x l) x i x i 2 2(1 ) 4 2 0 m) x i x i 2 2(2 ) 18 4 0 o) 2 4 4 0 ix x i p) x i x 2 (2 3 ) 0 Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là: a) 2 3 1 3 i và i b) 2 4 4 i và i Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a) 3 4 i b) 7 3 i c) 2 5 i d) 2 3 i e) 3 2 i f) i g) (2 )(3 ) i i h) 51 80 45 38 2 3 4 i i i i i) 5 2 i i Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện đã chỉ ra: a) 2 2 2 1 2 1 2 1 0, : 1 z mz m đk z z z z b) 2 3 3 1 2 3 5 0, : 18 z mz i đk z z c) 2 2 2 1 2 3 0, : 8 x mx i đk z z Bài 6. Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình i z i z i 2 1 2 (3 2 ) 1 0 . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 2 2 1 2 A z z b) 2 2 1 2 1 2 B z z z z c) 1 2 2 1 z z C z z Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) izz izz 25 4 2 2 2 1 21 b) izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 c) 3 5 1 2 2 4 1 2 0 .( ) 1 z z z z d) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 . . 1 z z z z z z z z z e) 12 5 8 3 4 1 8 z z i z z f) 1 1 3 1 z z i z i z i http://thaytoan.net Số phức Trang 5 g) 2 2 1 2 1 2 5 2 4 z z i z z i h) 2 1 z i z z i z i) 2 2 1 2 1 2 1 2 4 0 2 z z z z z z i Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: a) 2 1 2 3 x y i x y i b) 2 2 5 8 8 x y i x y i c) 4 7 4 x y xy i d) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 i x y x y i e) 2 2 6 1 1 2 5 x y x y f) 3 2 1 1 17 1 26 26 x y i i x y g) 2 2 5 1 2 x y i x y i h) 3 3 1 2 3 x y x y i VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 3 4 z z b) 1 2 z z i c) 2 2 z z i z i d) 2 . 1 2 3 i z z e) 2 2 2 1 i z z f) 3 1 z g) 2 3 z i z i h) 3 1 z i z i i) 1 2 z i k) 2 z i z l) 1 1 z m) 1 2 z i Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 2 z i là số thực b) 2 z i là số thuần ảo c) . 9 z z VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác. Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) i.322 b) 4 – 4i c) 1 3. i d) 4 sin. 4 cos i e) 8 cos. 8 sin i f) )1)(3.1( ii Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: a) 3 cos20 sin20 cos25 sin25 o o o o i i b) 5 cos .sin .3 cos .sin 6 6 4 4 i i c) 3 cos120 sin120 cos 45 sin 45 o o o o i i d) 5 cos sin 3 cos sin 6 6 4 4 i i Số phức http://thaytoan.net Trang 6 e) 2 cos18 sin18 cos 72 sin 72 o o o o i i f) cos85 sin85 cos40 sin 40 i i g) )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i h) 2(cos 45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 ) i i i) ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2 i i k) 2 2 2 cos sin 3 3 2 cos sin 2 2 i i Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 31 i b) 1 i c) )1)(31( ii d) )3.(.2 ii e) i i 1 31 f) i 2 2 1 g) cos.sin i h) 2 2 i i) 1 3 i k) 3 i l) 3 0 i m) 5 tan 8 i Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau: a) cos 45 sin 45 o o i b) 2 cos sin 6 6 i c) 3 cos120 sin120 o o i d) 6 (2 ) i e) 3 (1 )(1 2 ) i i i f) 1 i g) 1 2 1 i i h) 60 1 3 i i) 40 7 1 3 (2 2 ) . 1 i i i k) 1 3 3 cos sin 4 4 2 i l) 100 1 cos sin 1 4 4 i i i m) 17 1 3 i Bài 5. Tính: a) 5 cos12 sin12 o o i b) 16 1 i c) 6 )3( i d) 7 0 0 2 cos30 sin30i e) 5 (cos15 sin15 ) o o i f) 2008 2008 (1 ) (1 )i i g) 21 321 335 i i h) 12 2 3 2 1 i i) 2008 1 i i k) 5 7 (cos sin ) .(1 3 ) 3 3 i i i l) 2008 2008 1 1 , 1 z biết z z z Bài 6. Chứng minh: a) 5 3 sin5 16sin 20sin 5sin t t t t b) 5 3 cos5 16cos 20cos 5cos t t t t c) 2 3 sin3 3cos sin t t t d) 3 cos3 4cos 3cos t t t http://thaytoan.net Số phức Trang 7 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) (2 )( 3 2 )(5 4 ) i i i b) 6 6 1 3 1 7 2 2 i i c) 16 8 1 1 1 1 i i i i d) 3 7 5 8 2 3 2 3 i i i i e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 ) i i i i f) 2 3 2009 1 i i i i g) 2000 1999 201 82 47 i i i i i h) 2 1 , ( 1) n i i i n i) 2 3 2000 . . i i i i k) 5 7 13 100 94 ( ) ( ) ( ) i i i i i Bài 2. Cho các số phức 1 2 3 1 2 , 2 3 , 1 z i z i z i . Tính: a) 1 2 3 z z z b) 1 2 2 3 3 1 z z z z z z c) 1 2 3 z z z d) 2 2 2 1 2 3 z z z e) 1 2 3 2 3 1 z z z z z z f) 2 2 1 2 2 2 2 3 z z z z Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 3 2 (1 2 ) 3 1 3 , 2 3 A z iz i z z i với z i b) B z z z z z với z i 2 3 2 1 ( 2 )(2 ), 3 2 Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho: a) (1 2 ) (1 2 ) 1 i x y i i b) 3 3 3 3 x y i i i c) 2 2 2 2 1 (4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 ) 2 i x i xy y x xy y i Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 8 6 i b) 3 4 i c) 1 i d) 7 24 i e) 2 1 1 i i f) 2 1 3 3 i i g) 1 2 2 2 i h) i, –i i) 3 1 3 i i k) 1 1 2 2 i l) 2 1 3 i m) 1 1 1 1 i i Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau: a) i b) –27 c) 2 2 i d) 18 6 i Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau: a) 2 12 i b) 3 i c) 2 i d) 7 24 i Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 3 125 0 z b) 4 16 0 z c) 3 64 0 z i d) 3 27 0 z i e) 7 4 3 2 2 0 z iz iz f) 6 3 1 0 z iz i g) 10 5 ( 2 ) 2 0 z i z i Bài 9. Gọi 1 2 ; u u là hai căn bậc hai của 1 3 4 z i và 1 2 ; v v là hai căn bậc hai của 2 3 4 z i . Tính 1 2 u u 1 2 v v ? II. ÔN TẬP SỐ PHỨC Số phức http://thaytoan.net Trang 8 Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 5 0 z b) 2 2 2 0 z z c) 2 4 10 0 z z d) 2 5 9 0 z z e) 2 2 3 1 0 z z f) 2 3 2 3 0 z z g) ( )( ) 0 z z z z h) 2 2 0 z z i) 2 2 z z k) 2 3 2 3 z z i l) 2 2 +2 2 3 0 z i z i m) 3 z z n) 2 2 4 8 8 z z o) 2 (1 2 ) 1 0 iz i z p) 2 (1 ) 2 11 0 i z i Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 4 4 5 6 0 z i z i z i z i b) 2 5 3 3 0 z i z z z c) 2 2 2 6 2 16 0 z z z z d) 3 2 1 3 3 0 z i z i z i e) 2 2 2 0 z i z z f) 2 2 2 1 0 z iz i g) z i z i 2 (5 14 ) 2(12 5 ) 0 h) 2 80 4099 100 0 z z i i) z i z i 2 ( 3 ) 6( 3 ) 13 0 k) z i z i 2 (cos sin ) cos sin 0 Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x i x i 2 (3 4 ) 5 1 0 b) x i x i 2 (1 ) 2 0 c) 2 3 2 0 x x d) 2 1 0 x x e) 3 1 0 x Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 3 2 2 2 0 z iz iz b) z i z i z i 3 2 ( 3) (4 4 ) 4 4 0 Bài 14. Tìm m để phương trình sau: 2 2 2 2 0 z i z mz m m a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Bài 15. Tìm m để phương trình sau: 3 2 (3 ) 3 ( ) 0 z i z z m i có ít nhất một nghiệm thực Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho ( 2)( ) z z i là số thực. Bài 17. Giải các phương trình trùng phương: a) z i z i 4 2 8(1 ) 63 16 0 b) z i z i 4 2 24(1 ) 308 144 0 c) 4 2 6(1 ) 5 6 0 z i z i Bài 18. Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình: z i z i 2 1 2 2 3 0 . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 2 2 1 2 z z b) 2 2 1 2 1 2 z z z z c) 3 3 1 2 z z d) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 z z z z z z e) 3 3 2 1 1 2 z z z z f) 1 2 2 1 z z z z Bài 19. Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0 x x . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 2000 2000 1 2 x x b) 1999 1999 1 2 x x c) 1 2 , n n x x n N Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: http://thaytoan.net Số phức Trang 9 a) 3 z z i b) 2 2 1 z z c) 1 z z Bài 21. Hãy tính tổng 2 3 1 1 n S z z z z biết rằng 2 2 cos sinz i n n . Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 4 3 2 1 i i i i b) (1 )(2 ) i i c) 2 1 i i d) 1 sin cos , 0 2 i e) 3 cos sin 6 6 i f) cot , 2 i g) sin (1 cos ), 0 2 i Bài 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a) 8 6 6 8 2 3 2 (1 ) (1 ) 2 3 2 i i i i b) 4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 i i i c) 1 3 1 3 n n i i d) sin cos 8 8 i e) cos sin 4 4 i f) 2 2 3 i g) 1 sin cos , 0 2 i h) 1 cos sin , 0 1 cos sin 2 i i i) 4 3 i Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a) 8 6 6 8 2 3 2 (1 ) (1 ) 2 3 2 i i i i b) 4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 i i i c) 1 3 1 3 n n i i Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trò thực: a) 7 7 2 5 2 5 i i b) 19 7 20 5 9 7 6 n n i i i i c) 6 6 1 3 1 3 2 2 i i d) 5 5 1 3 1 3 2 2 i i e) 6 6 3 3 2 2 i i Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 2 3 2 z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4 2 6 ; (1 )(1 2 ); 1 3 i i i i i i a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Bài 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 3 2 (2 2 ) (5 4 ) 10 0 z i z i z i b) 3 2 (1 ) ( 1) 0 z i z i z i c) 3 2 (4 5 ) (8 20 ) 40 0 z i z i z i Bài 29. Cho đa thức 3 2 ( ) (3 6) (10 18 ) 30 P z z i z i z i . Số phức http://thaytoan.net Trang 10 a) Tính ( 3 ) P i b) Giải phương trình ( ) 0 P z . Bài 30. Giải phương trình 2 1 2 7 z z z , biết 3 4 z i là một nghiệm của phương trình. Bài 31. Giải các phương trình sau: a) 4 3 2 2 2 1 0 z z z z b) 4 3 2 2 2 1 0 z z z z c) 4 3 2 1 2 2 2 1 2 1 0 z z z z d) 4 3 2 4 6 4 15 0 z z z z e) 6 5 4 3 2 13 14 13 1 0 z z z z z z Bài 32. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 2 ( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0 z z z z z z b) 3 8 z i z i c) 2 4 2 2 2 4 ( 1) 6 ( 1) 5 0 z z z z z z d) 3 2 1 0 z i z i z i z i z i z i Bài 33. Chứng minh rằng: nếu 1 z thì 2 1 2 z i iz . Bài 34. Cho các số phức 1 2 3 , , z z z . Chứng minh: a) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 z z z z z z z z z z z z b) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z z z z z c) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1z z z z z z d) Nếu 1 1 z z c thì 2 2 2 1 2 1 2 4 z z z z c . [...].. .Chuyên đề: SỐ PHỨC Lời giải: . Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 2 3 2 z i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu. y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 3 4 z z b) 1 2 z. k) 2 z i z l) 1 1 z m) 1 2 z i Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 2 z i là số thực b)