CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (ÔN THI ĐẠI HỌC)

DÙNG CHO ÔN THI CĐ – ĐH 2011-2012 TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI H C VÀ B I DƯ NG H C SINH GI I DUY MINH 22/6 LÊ C NH TUÂN, PHÚ TH HÒA, TÂN PHÚ ĐT: 0903548406 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Một số phức biểu thức có dạng a  bi , a, b số thực số i thoả mãn i  1 Ký hiệu số phức z viết z  a  bi (dạng đại số) i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re  z   a b gọi phần ảo số phức z  a  bi , ký hiệu Im  z   b Tập hợp số phức ký hiệu C Chú ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z  a  bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z  a  bi z’  a’  b’i a  a ' z  z’   b  b ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z  a  bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z  a  bi z’  a’  b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z  a  bi z’  a’  b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z  a  bi Số phức z  a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z  a  bi  a  bi Chú ý: 1) z  z  z z gọi hai số phức liên hợp với 2) z z = a2 + b2 - Tính chất số phức liên hợp: (1): z  z (2): z  z '  z  z ' (3): z.z '  z.z ' (4): z z = a  b ( z  a  bi ) Môđun số phức Cho số phức z  a  bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực không âm xác định sau:  - Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z  a  bi , z  OM  a  b - Nếu z  a  bi , z  z.z  a  b Phép chia số phức khác Cho số phức z  a  bi  (tức a  b  ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z 1 số phức z ≠ số 1 z 1  z z a b z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z  z z 1  z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường Thương II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Như  acgumen z, acgumen có dạng:  + 2k, k  Z Dạng lượng giác số phức Xét số phức z  a  bi  a, b  R , z   Gọi r môđun z  acgumen z Ta có: a = rcos , b = rsin z  r  cos   i sin   r  , gọi dạng lượng giác số phức z  z = a + bi (a, b  R) gọi dạng đại số z r  a  b môđun z a  cos    r  acgumen z thỏa  b sin    r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '  r  0, r’   thì: z.z '  r.r '  cos    '  i sin    '  z r  cos    '  i sin    '   z' r' Công thức Moivre n Với n  N *  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z  r  cos   i sin   (r > 0)    r  cos  i sin  2           r  cos  i sin   r  cos      isin      2  2  2   A BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC THUỘC TÍNH Dạng 1: Các phép tính Số phức Phương pháp: - Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý: Trong tính toán số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Bài 1: Cho số phức z  3  i Tính số phức sau: z ; z ; z ;  z  z 2  Giải: a Vì z  3  iz  i 2 2   3 b Ta có z    i    i  i  i 4 2  2  2   3  z    i    i  i  i 2 4 2   1   3 z  z z    i    i    i i i 2 2 4    1 3  1 Ta có:  z  z    i  i  i 2 2 2 Nhận xét:     Trong toán này, để tính z ta sử dụng đẳng thức số thực Tương tự: Cho số phức z    i Hãy tính :  z  z 2  1 3    Ta có z    i Do đó:  z  z      i      i   4 2 2     Bài 2: a Tính tổng sau:  i  i  i3    i 2009 b Cho hai số phức z1 , z thoả mãn z1  z2  1; z1  z2  Tính z1  z2 Giải: Ta có – i 2010  1 – i  1  i  i  i    i 2009  2009  Mà  i 2010  Nên  i  i  i   i 1 i  1 i b Đặt z1  a1  b1i; z2  a2  b2 i a12  b12  a22  b22  Từ giả thiết ta có  2 (a1  a2 )  (b1  b2 )  Suy 2(a1b1  a2 b2 )   (a1  a2 )  (b1  b2 )   z1  z2  Bài 3: Tính giá trị biểu thức: i  i  i   i 2009 a P  (i  1) 2010 i  i  i  i b M   (1  i)  (1  i )4   (1  i )10 100 c N  1  i  Giải: 1003 a Ta có i  i  i   i 2009  i 1  i  i   i 2004   i i  i5  i   i 2010  i2   i2  1  i  i3  i  i  i  i 2010   1  i  i3  i  i 2011 i 1  (1   i )  i   P    i 1 i i 1 2 b M tổng 10 số hạng cấp số nhân có số hạng u1  , công bội q  (1  i )2  2i  Ta có : M  u1 100 c N  1  i   q10  (2i )10  210 1025(1  2i)     205  410i 1 q  2i  2i  1i   50  ( 2i ) 50 50  ( 2) ( i ) 50  2 50 Bài 4: 1 i Tính giá trị z 2010 1 i 2010 2008 2006 b Chứng minh 1  i   4i 1  i   1  i  a Cho số phức z  Giải:  i (1  i )2  i 1 i  i 2010  i 4502   i 4502 i  1.(1)  1 a Ta có : z  nên z 2010 b Tacó: 1  i  2010  4i 1  i  2008  1  i  2006 4  1  i   4i 1  i    1  i   4  4i  4  (đpcm) Bài 5: Tính số phức sau: 16 1 i  1 i  a z      1 i  1 i  15 b z  1  i  Giải: a Ta có:  i (1  i)(1  i ) 2i 1i   i  i 1 i 2 1 i 16 8 1 i  1 i  16 Vậy      i   i   1 i  1 i  b Ta có: 14 1  i    2i –  2i  1  i    2i   128.i  128.i 15 14 z  1  i   1  i  1  i   128i 1  i   128  1  i   128 – 128i Bài 6: Tính: i105  i 23  i 20 – i 34 Giải: Để tính toán này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i  1; i  i; i  i i  1; i  i; i  1 Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i n  1; i n 1  i; i n   1; i n 3  i; n  N * Vậy i n  1;1; i; i , n  N n n 1 Nếu n nguyên âm, i   i       i  i Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 i 23  i 20 – i 34  i 4.26 1  i 4.53  i 4.5 – i 4.8  i – i    n 1  n Bài 7: a Tính : 1  i 2 b (TN – 2008) Tìm giá trị biểu thức: P  (1  3i)  (1  3i) Giải: 1  i  2 a Ta có:      3  i   i   i 2  2  2  i   i b P  4 Dạng 2: Số phức thuộc tính Loại 1: Tìm phần thực phần ảo Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy phần thực a, phần ảo b Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau a z  i    4i     2i  b z  (1  i)3  (2i)3 c z  (1  i) 2010 1 i Giải: a z     3  1    i  1  i Vậy số phức cho có phần thực − 1, phần ảo − b Kết quả: + 10i (1  i) 2010 (2i )1005 (1  i ) c z    21004 i (1  i)  21004  21004 i 1 i Bài 2: a Tìm phần thực, phần ảo số phức i   – 4i  –  – 2i  b (TN – 2010) Cho hai số phức: z1   2i, z2   3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1  z2 c (TN – 2010) Cho hai số phức: z1   5i, z   4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 z  z 1   i d Cho số phức z thỏa mãn  z   Tìm số phức liên hợp z z  Giải: a Ta có: i   – 4i  –  – 2i       1   i   3  2i    – 3   3   i  1 – i Vậy số phức cho có phần thực – 1, phần ảo – b Phần thực – ; Phần ảo c Phần thực 26 ; Phần ảo 2  a  b  ab  d Theo giả thiết   2 2  a  b    2ab  1  41 a  b     2 2  i  i z  z  2 2      2 2  i  i z   z    2  2 Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức 3  1  i    2i  20 b z   1  i   1  i   1  i     1  i  2009 c 1  i  a Giải: a Ta có: 3  1  i    1   1 i   1 i  i   2i  2i   23  i  8i 3   1  i    2i    10i Vậy số phức cho có phần thực 2, phần ảo 10 (1  i) 21  20 b Ta có P   (1  i )   (1  i )  i 10 (1  i )21  (1  i)  (1  i)  (2i )10 (1  i )  210 (1  i ) 210 (1  i )   210  210  i i Vậy: phần thực 210 , phần ảo: 210   P c Ta có 1  i  2009   1  i   1004  (1  i )  (2i)1004 (1  i )  21004 (1  i )  21004  21004 i Vậy phần thực số phức 21004 ảo 21004 Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết z   2i  1  2i  Giải: Ta có: z   i  1  2i   1  2i 1  2i    2i  2i  4i   2i  z   2i Phần ảo số phức z  2 Bài 5: (CD – 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   3i  z    i  z   1  3i  Tìm phần thực phần ảo z Giải: Gọi z  a  bi  a  R , b  R   z  a  bi Đẳng thức cho trở thành   3i  a  bi     1 a  bi    1  3i   6a  4b  2(a  b)i   6i (coi phươn trình bậc theo i) Đồng theo i hệ số hai vế ta  6a  4b  a  2   2a  2b  b  Vậy số phức z cho có phần thực 2 , phần ảo Bài 5: (CD – A 2009) Cho số phức z thỏa mãn 1  i    i  z   i  1  2i  z Tìm phần thực phần ảo z Giải: Ta có: 1  i    i  z   i  1  2i  z  z 1  i    i   1  2i     i  z  2i   i    2i    i    i   i 1  2i   15i  10  15i z      3i 2i  5 Vậy số phức z cho có phần thực 2, phần ảo -3 n Bài 8: Tìm phần thực số phức z  1  i  , biết n  N thỏa mãn phương trình log  n – 3  log  n    Giải: n  N Điều kiện:  n  Phương trình log  n – 3  log  n     log  n –  n    n   (n – 3)(n + 9) = 43  n2 + 6n – 91 =    n  13 Vậy n = (thoả mãn) (không thoả mãn) n Khi z  1  i   1  i   1  i  1  i    1  i  (2i)  (1  i).(8i)   8i   Vậy phần thực số phức z Loại 2: Biếu diễn hình học số phức Phương pháp: - Sử dụng điểm M  a; b  biếu diễn số phức z mặt phẳng Oxy Chú ý: Với câu hỏi ngược lại “ Xác định số phức biểu diễn điểm M  a; b  ” ta có z  a  bi … cập nhật Loại 3: Tính modun số phức Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy modun z  a  b Bài 1: a Tìm môđun số phức z   4i  (1  i )3 (1  3i )2 Tìm môđun số phức z  iz 1 i 11 1 i   2i  c Cho số phức z thỏa mãn i z      Tìm môđun số phúc w  z  iz 1 i  1 i  b (ĐH – A 2010) Cho số phức z thỏa mãn z  d Tính mô đun số phức: Z   4i  1 – i  Giải: a Vì (1  i)3  13  3i  3i  i   3i   i  2  2i Suy : z   4i  (1  i)3  1  2i  z  (1)  22  (1  3i)3 b z  1 i Cách 1: (dành cho ban bản)  Ta có  3i      13  3.12  3i  3.1  3i   3i3  8 8 8 1  i     4i  z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i Do z  Vậy z  iz  Cách 2: (Dành cho ban nâng cao) Biếu diễn dạng lượng giác Ta có       (1  3i )   cos     i sin      (1  3i )3  cos(  )  i sin(  )   8     3 8 8(1  i ) z     4i 1 i  z  iz  4  4i  i(4  4i)  8(1  i)  z  iz  11 11  1  i    2i 1  i   1 i   2i  c Ta có i.z          i.z   1 i  1 i      11  i z   i   1  i   16  i  z  1  16i  z  1  16i Do w  z  iz  1  16i  i  1  16i   17  17i Vậy w  17  17  17 d Z   4i  1 – i    4i   3i 3i  i  1  2i  Z   1  22  Bài 2: Tìm mô đun số phức z  (1  i )(2  i)  2i Giải: Ta có : z  5i  1 i 5 26 1 Vậy, mô đun z bằng: z      5 Loại 4: Tìm số đối số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy số đối z   a  bi …đang cập nhật Loại 5: Tìm số phức liên hợp số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy số phức liên hợp z  a  bi Bài 1: Tìm nghiệm phương trình z  z , z số phức liên hợp số phức z 10 a a 3 a 3 a <  z2 = -2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 - Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0)     z3  cos a  sin a  i  sin a – cos a   (cos  a   + i sin  a   4 4   Bài 4: : Viết số phức sau dạng lượng giác: 1 i a (1- i )(1 + i) b c 1 i  2i Giải:       Ta có: 1- i =  cos     i sin         3 - Nếu a  ( ;2 )  cos     cos  i sin  4  Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:        (1- i )(1 + i) = 2  cos     i sin      12     12  Tương tự 1 i   7   7   b =  cos    i sin     1 i  12     12  (1+ i) = c 1    2         = (1  i ) =  cos     i sin     = cos     i sin       2i 4   4       4 Bài 5: Viết số phức z     i dạng lượng giác Giải: Cách 1: Khai triển đẳng thức chuyển sang dạng lượng giác 2  1  z   i   3i  i   3i    i     i  4 2                cos  i sin    cos     i sin     3   3    Cách 2: Viết dạng lượng giác trước áp dụng công thức Moa – vrơ             i    i    cos  i sin    cos     i sin     6   6     2    Suy ra:  i                   cos     i sin        cos     i sin      6     3      Dạng 2: Các tập tính toán tổng hợp dạng lượng giác Bài 1: Cho số phức z có modul  acgument Hãy tìm acgument số phức sau: 56  3 b z  z (sin  0) c z  z (cos  0) 2 2z Giải: Số phức z viết dạng: z  cos   i sin  1 1 a      cos   i sin      cos    i sin      cos   i sin   2 2z a   cos      i sin       acgument     2 3  3  sin  cos sin i 2 2   3 3  - Nếu sin   z  z  2sin   sin  i cos  2 2      3   3   3    sin  sin     i cos      Acgument   2  2  2 2      3 3  - Nếu sin   z  z  2sin  sin  i cos  2 2  b z  z   cos   i sin     cos   i sin    2sin    3   3   3    sin     i cos      Acgument    2  2 2  2  3  3  c z  z   cos  i sin     cos  i sin    2cos cos  2cos sin i 2 2 3 3     - Nếu cos   z  z  2cos  cos  i sin  2  2    Acgument  3 3       - Nếu cos   z  z  2 cos  cos      i sin      2  2  2     Acgument     2sin 10 Bài 2: Tính: z  1  i   3i  10  1  i  Giải: 10   z 10 7 7     5  i sin  cos   cos  i sin  4  6   10 4 4   210  cos  i sin 3   57 35 35  5  210  cos  i sin  cos 2    40 40  210  cos  i sin 3   i sin    5   55 55   i sin   cos    3    cos 5  i sin 5  1 40 40    i sin  cos  3   Bài 3: Viết số phức z dạng lượng giác biết rằng: z   z  i i z có acgument  Giải:        i z  ri cos   r sin   r cos(   )  i sin(   )         2   z  r (cos   i sin  ) 2 r r r  3r  r(  i )  i  iz     1   r2  r 1 2 2 2  r2   r  z i     1  r  3r   iz   z  i  r   z  cos  i sin 3 2  Bài 4: Viết dạng lượng giác số phức z biết z  acgumen z 3  1 i Giải: Gọi  acgumen z  acgumen z mà  i có acgumen  z nên 1 i   3  Theo giả thiết ta có      k 2     l 2 (l  ) 4    Vậy dạng luợng giác z là: z   cos  i sin  2  có acgumen   Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính toán Bài 1: Tính giá trị A  (1  i )10 (  i)5 (1  i 3)10 Giải: Biểu diễn lượng giác cho số phức: 7 7    4 4      i   cos  i sin  i sin  ;  i   cos  i sin  1  i   cos  4  6 3     Sau áp dụng công thức Moavrơ biến đổi A  cos 5  i sin 5  1 Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau 58 a A  (1  i )10  3i     b B   cos  i sin  i (1  3i) 3  c z 2009  z 2009 Biết z   z Giải : 10      5 5   25  cos  i sin   cos  i sin    2     a A     (cos   i sin  )   3 3  16       29  cos  i sin    cos  i sin   2      Vậy phần thực   phần ảo = 16               b  cos  i sin  i (1  3i) =  cos     i sin     i   cos  i sin   3 3         3    7 7      7  27  cos     i sin      cos  i sin  i  cos 2  i sin 2  i  i  128i 3       3 Vậy phần thực phần ảo 128   3i    cos  i sin z  3 c Từ z    z  z      z  3i      cos     i sin    z   3  3    Khi z  cos  i sin 3 Ta có z 2009  z 2009      cos  i sin  3       cos  i sin  3  2009 2009     cos   i sin  3         cos     i sin         3 2009      2009 2009 2009     cos  i sin  3   2009 2009  2  2     cos  i sin    cos  669    2 cos 3         Tương tự : z  cos     i sin     z 2009  2009  z  3  3 Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết z  2  3i Giải: Ta chuyển 2  3i sang dạng lượng giác từ dạng lượng giác ta chuyển dạng đại số   2 2   2  3i     i    cos  i sin  3    2  Suy ra: 59  2 2    z   cos 3.2  i sin 3.2  2 2     z  2  3i  z   cos  i sin   3   2 2     i sin  z    cos  3.2 3.2     1      z     z  cos  i sin    2 i    i  3             z  -2   i   1  i  z  2  cos  i sin     3   2   Vậy: Phần thực phần ảo z -1  Ứng dụng dạng lượng giác Bài 1: Chứng minh rằng: sin 5t  16sin t – 20sin t  5sin t cos 5t  16cos5 t – 20cos3 t  5cos t Giải: Dùng công thức Moivre công thức khai triển nhị thức  cos t  i sin t  Ta được: cos 5t  i sin 5t  cos5 t  5i cos t sin t  10i cos3 t sin t  10i3 cos2 t.sin t  5i cos t.sin t  i sin t 2  cos 5t  i sin 5t  cos t  10 cos3 t 1  cos t   5cos t 1  sin t   i 5 1  sin t  sin t – 10 1  sin t  sin t  sin t    Đồng hai vế ta điều phải chứng minh Bài 2: Giải phương trình: z  z  z  z  z   1 Giải: Ta có: 1  z  z  1  z  z  1   z  1   z  1   z  1  z  z  1    z  z 1   z    1  3i Xét phương trình: z  z    z    2 z        z  cos  i sin  2 2 3 Từ z  cos  i sin  3  z   cos   i sin   3 2 2 i  cos  i sin 3  2   2  i  cos     i sin        60       z  cos     i sin         2   2   Từ z  cos     i sin             z   cos     i sin     3  3  Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm: 3 3 z  1 ; z = z   i; z   i; z   i; z    i 2 2 2 2 Bài 3: Cho z1 z2 hai số phứ xác định z1   i z2  – i z a Xác định dạng đại số dạng lượng giác z2 7 7 b Từ suy giá trị xác của: cos sin 12 12 Giải: z 1 i 1 1   Ta có    i   z2 1 i     + isin ); z2 = 3 7 7 + isin ) (cos 12 12 Ta có: z1 = 2(cos  z1 = z2  cos 7 12 =     (cos    + isin    )  4  4 1 7  sin = 12 Bài 4: Cho số phức z0 có môđun argument 2 A CMR z0 nghiệm phương trình z –  b Rút gọn biểu thức  z – 1 1  z  z  z  z  1  1  c Hãy suy z0 nghiệm phương trình:  z     z   + = z   z  d Giải phương trình câu c 2 2 e.Từ suy giá trị z0 biểu thức giá trị cos sin 5 Giải: 2 2 a Ta có: z0 = cos + i sin 5 2 2 Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos + i sin ) = cos2  + isin2 =  z0 nghiệm phương 5 trình z5 – = b Khai triển đẳng thức ta z –  c z –    z – 1 1  z  z  z  z   61 mà z0   z0 nghiệm phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 =  z2 ( 1 + + + z + z2 ) (với z  0) z z 1 + + + z + z2 = (*)  đpcm z z 1  d Đặt y = z +  phương trình (*) có dạng: y – y    y1,2  z 1 e) Từ câu ta có: z0 nghiệm hai phương trình sau: z + = y1 z + = y2 z z 1 - Xét phương trình: z + = y1  z2 – y1z + =  z2 + z+1=0 z  1  i  2  z1     1  5 5 2        i      2       z  1   i   2  z0 nghiệm phương trình 1 = y2  z2 – y2z + =  z2 + z+1=0 z  1  i  2  z1     5 5 5 2     i      2      z  1   i   2 2 sin dương  phần thực phần ảo z0 dương - Xét phương trình: z + 1     Vì cos 2  z0  z1  1  i  2 1  2    cos  sin  2 5 2  Bài 5: Tìm n số nguyên dương n  1,10  cho số phức z   i  n số thực Giải:   n n    Ta có: + i =  cos  i sin   z = 2n  cos  i sin  3 3    n n Để z  R  2n.sin =  sin =  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9] 3 Bài 6: Giải phương trình: z  64 1 Giải: Giả sử z  x  yi  r (cos   i sin  ) Ta có: 64  64(cos   i sin  ) Z  64  r (cos 6  i sin 6 )  64(cos   i sin  )  r  64  r    Và cos6  + isin6  = cos  + isin    =  +2k  (k  Z)   =  2k 6 62    Với k =  z1 =  cos  isin  = +i 6        Với k = -1  z1   cos  -   isin       i  6       Với k =  z1   cos  i sin   2i 2        Với k = -2  z1   cos     i sin      2i  2      5   5 Với k = -3  z1   cos     i sin            i  Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  acgumen i   z Giải: Ta có z   z  4(cos   i sin  )  z  4(cos( )  i sin( ))   i 1       i   cos  i sin     cos      i sin      6 2 z  6  6  Theo giả thiết           6       Vậy z   cos     i sin       3i  3    Bài 8: Tính tổng sau: S  (1  i )2008  (1  i) 2008 Giải:    i  2(cos  i sin )  (1  i )2008  21004 (cos 502  i sin 502 ) 4      i  2(cos  i sin )  2(cos( )  i sin( )) 4 4 2008 1004  (1  i)  (cos(502 )  i sin(502 )) 1005 Do S  cos(502 )  21005 Bài 9: Chứng minh điểm biểu diễn bậc ba lập thành tam giác Giải: Xét phương trình z   , có nghiệm z  r (cos   i sin  ) Khi r  z   r (cos 3  i sin 3 )    3  k 2 , k   Do phương trình có ba nghiệm ứng với ba giá trị k - Với k = ta có z  cos  i sin  ; 63 2 2  i sin   i ; 3 2 4 4 - Với k = ta có z2  cos  i sin   i 3 2 Nên có ba bậc ba số phức xác định Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C    2  2 điểm biểu diễn số phức z , z1 , z Khi OA  OB  OC  1;  AOB  ; BOC  3 Từ suy tam giác ABC tam giác - Với k = ta có z1  cos Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta nhiều kết hay bất ngờ tổ hợp Một số ứng dụng khác 2006 2008 Bài 1: Tính giá trị S  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 Giải: Xét khai triển: 2009 (1  i )2009  C k 2009 2008 2009 i k   C2009  C2009  C2009   C2009  C2009  C2009   C2009    C2009 i k 0 2009 2009   1004 1004 Mặt khác (1  i )2009  ( 2) 2009  cos  i sin    i 4   1004 So sánh phần thực phần ảo ta đợc S  Nhận xét Bằng việc xét khai triển (1  i) n ta có kết tổng quát sau: n  n Cn  Cn  Cn   ( 2) cos (n  * )  C  C  C   ( 2)n sin n n n  n 4 2010 Bài 2: Tính tổng S = C2010  C2010  C2010   C2010 Giải: 2010 Ta có S = C2010  i 2C2010  i 4C2010   i 2010 C2010 Do giải sau: (1  i )2010  (1  i) 2010 Cách 1: S = 2010 2010 2010 Cách 2: S phần thực số phức 1  i  (do 1  i  1  i  hai số phức liên hợp) Bài tập tự giải: Viết dạng lượng giác số phức Bài 1: a Viết dạng lượng giác số phức z2, biết z   i 64 b Viết dạng lượng giác số phức z  2i (  i ) Bài 2: Viết số phức z dạng đại số: z  (   i  )8 Bài 3: Viết dạng lượng giác số phức sau: a  i b + i e 2.i.(  i) f  2i c (1  i )(1  i ) d 1 i 1 i g z  sin   i.cos  Đs:                a  cos  b  cos  i sin  c 2  cos( )  i.sin( )    i.sin   4 12 12         7 7  2       d  cos( )  i.sin( )  e 4(cos  i sin ) f cos(  )  i sin(  ) 12 12  3  4       g cos     i sin     2  2  Bài 4: Cho số phức z   i Hãy viết dạng lượng giác số phức z5  i Suy bậc hai số phức z 2 Bài 6: Viết số sau dạng lượng giác: a z1 = + 6i b z2    i 4 c z3    i d z3  – 9i e z5  4i 2 Đs:   1 2 2  4 4  z1  12  cos  i sin  ; z2   cos  i sin  i sin  ; z3  cos 3 2 3  3  5 5  3 3    z4  18  cos  i sin  i sin  ; z5   cos ; 3  2    Bài 12: Viết số phức sau dạng lượng giác:        a 2  cos  i sin  b  cos  i sin  6 17 17        c  sin  i cos  d – cos a  i sin a, a  [0; 2 ) 17   17 Đs: 7 7       a 2(cos +isin ) b cos    + isin    6  17   17  15 15 c cos + isin 34 34 d Bài 5: Viết dạng lượng giác số z  65 a a  a  a >  z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - )) 2 2 2 - Nếu a =  không tồn số phức dạng lượng giác Bài : Tìm acgumen số phức sau: - Nếu a  (0;2 )  sin a   3.i e  sin b 4i    i cos 8 Đs: 2 a b c - 3.i d cos    i sin 4 f (1  i )(1  i) 3 c   d   e  5 f   12 Dạng toán tính toán: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 10  5  1 i  a  cos  i sin i  3i ; b ; 3  3i    c z 2000   z 2000 biết z   z 12  3i Bài 2: Chứng minh rằng:   số thực  i   12  3i Đs: Sử dụng công thức Moavrơ :    64  1 i  Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau   (1  i)10  a b  cos  i sin  i  i 3  i     HD: Sử dụng công thức Moivre Đáp số: a Phần thực  , phần ảo 16 b Phần thực 0, phần ảo 128 Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính 12 o o a (cos15  i sin15 ) b  cos 30  i sin 30 o o  16 c (1  i ) Bài 6: Hãy tính tổng S   z  z  z  z n 1 biết z  cos Bài 7: Thực phép tính a  cos120o  i sin120o  (cos 45o  i sin 45o ) c 5(cos      i sin )3(cos  i sin ) 6 4 b d 1 3 d   i   2 2 2  i sin n n  cos18o  i sin18o  (cos 72o  i sin 72o ) cos85  i sin 85 cos 40  i sin 40 66 2 2  i sin ) 3 e   2(cos  i sin ) 2   g (cos  i sin )i (1  3i )7 3     i (cos  i sin ).3(cos  i sin ) 6 4 Đs: 3 5 5 a  i b 3(cos  i.sin ) 2 12 12 6 d  i e  i 4 4 Bài 8: Tìm môđun z argument: 2(cos 2 a z   2i   1  i  b z   1  i  1  i  2 10 f (cos 45  i sin 45 ) 3(cos15  i sin15 ) h z 2008  z 2008 biết z  1 z c f  i 6  2i     i    2i  c z  1  i   1  i  n n Đs: a |z| = z  213  5 ; arg z  13 ; arg z =  29 5n c z  2n 1 cos ; arg z    {0;  } Bài 9: Thực phép tính: b z  a  cos 20o  i sin 20o  cos 25o  i sin 25o  b 2 2  i sin ) 3   2(cos  i sin ) 2 (cos 45  i sin 45 ) (cos15  i sin 15 ) (cos c Đs: 3 a  i 2 Bài 10: Tính: a (cos12o + isin12o)5 b d (cos  i c  i 4 b  2(cos 300  i sin 300 )       i sin ).3(cos  i sin ) 6 4 d 15(cos 5 5  i sin ) 12 12 c (  i ) 67 d (1 + i) 16 1  e   i  2 12  i  1 f    i  2008   3i   g    i   21 Đs a i 2 b   i.4 c 26 d 28 e Bài 11: Tìm acgumen số phức sau: 2 a   3.i ĐS: b – 4i    c - 3.i ĐS:  d cos  i sin 4   5 e  sin  i cos ĐS:  f (1  i )(1  i) 8 Bài 12: Cho hai số phức z1   2i z2   3i a Tính môđun argument hai số phức nói z3 b Tính môđun argument z13 z22 z2   c Từ suy giá trị xác cos sin 12 12 Đs:   a Ta có |z1| = 2; 1 = ; |z2| = 2; 2 = 3 2 z13  b |z13| = 8; 3 = ; |z2| = 4; 4 = ; = 2; 5 = z2 12 2 6   = sin = 12 12 Bài 13: Tìm bậc hai số phức sau: i  a z   i b c 2  i 2 Đs:      2k   k   a zk   cos  i sin  , k  {0;1} 2        2k  2k 2 b zk  cos  i sin , k  {0;1} 2    2k  2k 4 c zk  cos  isin , k  {0;1} 2 f ĐS: 1 21004 h 221 3   ĐS:  12 ĐS:  c.cos   d  24i 68 4 4    2k   2k   d zk   cos  isin  , k  {0;1} 2     Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau: 1 3 a   i b 1  i  2  2i  i   3  3i   2i  2 c 2i (4  3i)   3i  d 1  i  5  5i  Đs: 7 7 a 12 (cos + isin ) b 4(cos0 + isin0) 4 5 5   c 48 (cos + isin ) d 30(cos + isin ) 12 12 2 z  3i  Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn  z  có acgumen  z i   Đs: z    2i Bài 16: Viết dạng lượng giác số phức z cho z  z 3 acgumen  1 i 1   Đs: z   cos  i sin  3 2 Bài tập tự giải phần ứng dụng: Bài 1: Cho n nguyên dương a Chứng minh rằng: C20n  3C22n  9C24n  27C26n   (3)n C22nn  22 n.cos n 20 b Tính S = C200  3C202  32 C204   310 C20 Bài 2: Cho số nguyên dương n a Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n b Chứng minh 1  C 4n 2  C44n  C46n   C44nn    C41n  C43n  C45n  C47n   C44nn 1   16n Bài 3: a Cho z  cos  i sin  (   R ) Chứng minh với số nguyên n  , ta có 1 z n  n  cos n ; z n  n  2i sin n z z b Từ câu a chứng minh 69 cos 4  cos 2  3, sin   sin 5  sin 3  10 sin   16 cos   Bài 4: Cho số thực a,b, c số phức z    i 2 Chứng minh rằng:  a  bz  cz  a  bz  cz   Dấu bất đẳng thức xảy nào? 70 [...]... toán chứng minh Phương pháp: - Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức - Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên h p, môđun của số phức đã được chứng minh Vậy: Tập h p các điểm M là parabol y  Bài 1: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy... số phức z thay đổi thỏa mãn z  1  i  1 Dạng 5: Chứng minh tính chất của số phức   Bài 1: Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’    1 a Chứng minh rằng tích vô h ớng u u '  z z ' z.z ' ; 2     b Chứng minh rằng u ,u ' vuông góc khi và chỉ khi | z  z '|| z  z '| Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z  w  z  w Đẳng thức xảy... phức z thỏa mãn z  k , (k là số thực dương cho trước) zi Bài 13: a Tìm số phức z, biết z  2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó b Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3 c d) Tìm số phức z biết z  4 và z là số thuần ảo a x  d Trên mặt phẳng Oxy , h y tìm tập h p điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z  3 e Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, h y tìm tập h p... bán kính R  1 d Tập h p là các điểm là h nh vành khăn tâm I  1;1 và có bán kính lớn bằng 2 và nhỏ bằng 1 Bài 2: Xác định tập h p các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i x2 Đs: Tập h p là một Parabol y  4 Bài 3: Xác định tập h p các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z  2z  1  i  z  3 Bài 4: Tìm tập h p các số phức z thỏa mãn... z1  z2 3 1 3 Bài 7: Cho z    i Chứng minh rằng : z  1 2 2 2010 2008 2006 Bài 8: Chứng minh 3 1  i   4i 1  i   4 1  i   z  0 Bài 9: Cho hai số phức z, w chứng minh:  z.w  0   w  0 Bài 10: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dưới dạng xi với x là số thực mà ta xi phải xác định Bài 11: Cho z và z' là hai số phức bất kì Chứng minh rằng : a ( z  z ')...  4 2 2 Vậy tập h p điểm M là đường tròn (C) :  x  1   y  2   4 có tâm (1;2) Đường thẳng OI có phương trình y  2x Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó chỉ là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI với (C), khi đó tọa độ của nó thỏa mãn h 2  x  1 5  y  2 x Chọn   2 2 2... i 1 i  1  2i 3i Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau 2 3 20 1  1  i   1  i   1  i    1  i  HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN Với u1  1; q  1  i  và n  21 Đs: phần thực 210, phần ảo 210  1 Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: z 2  2  2 3 i Bài 6: Cho số phức z  x  yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: a u  z 2 – 2 z  4i b v ... 1  i b z  Loại 3: H y biểu diễn số phức z Bài 1: Cho số phức z  m   m  3 i, m  R a Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y   x ; 2 b Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y   ; x c Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4i 2  6i ; (1... phức và các thuộc tính của nó Loại 1: Xác định phần thực và phần ảo của số phức 3 Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z   2  i  Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 3 i 2 i a x   b (1  i )2  (1  i )2 1 i i 3 c  2  i    3  i  3 1 i 3  d z    1 i 3  2 Đs: a 3 3 2 2 1 3 và 2 2 c – 16 và 37 b 0 và 4 d  3 1 và 2 2 Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức:... 3i a Chứng minh ABC là tam giác vuông cân; b Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là h nh vuông Bài 3: Tìm các số phức liên h p với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức Bài 4: Cho số phức z  a  bi H i a, b phải thoả mãn điều kiện gì để a Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x  2 và x  2 b Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y