tuyển tập các bài toán elip ôn thi đại học

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP LUYỆN THI ĐẠI HỌC Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Lê Minh An Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên Thành viên VMF - http://www.diendantoanhoc.net/forum 14 − 07 − 2013 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum LỜI NÓI ĐẦU Các tập Elip thường hay xuất đề thi Đại học, cao đẳng Vì tài liệu nhằm mục đích giúp việc tự ôn tập học sinh việc giảng dạy thầy cô giáo thêm hiệu Tài liệu bao gồm phần chính: Phần 1: Tóm tắt lý thuyết Phần 2: Một số lưu ý giải toán Phần 3: Tuyển tập toán, lời giải hướng dẫn Phần phần chuyên đề mà tác giả viết trước có bổ sung thêm mục nhỏ toán cực trị Elip Phần nội dung tài liệu, tuyển tập toán Elip với dạng thường xuất kì thi Đại học, cao đẳng Các tập tác giả sưu tập từ đề thi thử Đại học 2013 diễn đàn toán học Diendantoanhoc.net/forum - VMF, Boxmath.vn, K2pi.net Do thời gian có hạn nên cố gắng số lượng tập tác giả sưu tập chưa nhiều (khoảng 40 bài) chắn sai sót Vì vậy, trình sử dụng tài liệu, mong bạn thầy cô có ý kiến đóng góp gửi thêm tập hay để tài liệu hoàn thiện phiên khác Email: alm.maths@gmail.com Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Mục lục Tóm tắt lý thuyết 1.1 Định nghĩa: 1.2 Phương trình tắc Elip 1.3 Hình dạng tính chất Elip 5 5 Một số lưu ý giải toán 2.1 Viết phương trình tắc elip 2.2 Tìm điểm thuộc elip 2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip 6 Tuyển tập đề toán 3.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 3.2 Các tập sưu tầm 10 10 13 Lời giải hướng dẫn 4.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 4.2 Các tập sưu tầm 15 15 25 Phụ Lục 5.1 Các toán Elip thi 5.2 Một topic thảo luận VMF 30 30 31 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum 1 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c độ dài không đổi 2a(a > c) Elip tập hợp điểm M cho: F1 M + F2 M = 2a Ta gọi: F1 , F2 : Tiêu điểm, F1 F2 = 2c: Tiêu cự, F1 M, F2 M: Bán kính qua tiêu B2 M A1 A2 O F2 F1 B1 1.2 Phương trình tắc Elip Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với F1 (−c; 0), F2 (c; 0): x2 y2 M(x; y) ∈ (E) ⇔ + = a b 2 Trong đó: b = a − c (1) gọi phương trình tắc (E) 1.3 (1) Hình dạng tính chất Elip Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (−c; 0), tiêu điểm phải F2 (c; 0) + Các đỉnh: A1 (−a; 0) , A2 (a; 0) , B1 (0; −b) , B2 (0; b) + Trục lớn: A1 A2 = 2a, nằm trục Ox; Trục nhỏ: B1 B2 = 2b, nằm trục Oy + Hình chữ nhật sở: Là hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ±a, y = ±b Từ ta thấy hình chữ nhật sở có chiều dài 2a chiều rộng 2b c + Tâm sai: e = < a + Bán kính qua tiêu điểm M (xM , yM ) ∈ (E) là: cxM axM MF1 = a + exM = a + , MF2 = a − exM = a − a c + Đường chuẩn Elip: a Đường thẳng ∆1 : x + = gọi đường chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F1 (−c; 0) e a Đường thẳng ∆2 : x − = gọi đường chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F2 (c; 0) e Email: alm.maths@gmail.com Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 2 MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN Một số lưu ý giải toán 2.1 Viết phương trình tắc elip Các bước thực hiện: x2 y2 + = (a > b > 0) (E) a2 b2 Bước 2: Sử dụng kiện toán thiết lập phương trình tìm a, b (hoặc tìm trực tiếp a2 , b2 ) Chú ý kiến thức liên quan đến a, b, chẳng hạn: tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tâm sai, b2 = a2 −c2 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Bước 1: Giả sử phương trình tắc elip là: Ví dụ: (B-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2 + y2 = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B,C, D hình thoi Biết điểm A nằm trục Ox Nhận định: - Các đặc điểm hình thoi: Đường tròn nội tiếp có phương trình: x2 + y2 = (Tâm O (0; 0), bán kính R = 2) Tâm đường tròn nội tiếp tâm hình thoi −→ Gốc tọa độ O tâm hình thoi O = AC ∩ BD A ∈ Ox −→ C ∈ Ox, BD⊥AC −→ B, D ∈ Oy - A, B,C, D ∈ (E) −→ A,C = (E) ∩ Ox; B, D = (E) ∩ Oy −→ A, B,C, D đỉnh (E)! - Như ta xác định mối liên hệ đỉnh (E) hình thoi Với hai điều kiện AC = 2BD đường tròn nội tiếp hình thoi có bán kính R = ta lập hai phương trình giải toán B H C A O D Lời giải: x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 Ta có: Đường tròn (C): x2 + y2 = đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD, có tâm O(0; 0), bán kính R=2 Vì tâm (C) tâm hình thoi nên AC BD vuông góc với trung điểm O đường Mà A ∈ Ox ⇒ C ∈ Ox B, D ∈ Oy Lại có: A, B,C, D ∈ (E) ⇒ A, B,C, D bốn đỉnh (E) Nếu đổi chỗ A C cho B D cho Elip không thay đổi nên ta giả sử A, B nằm nửa trục dương Ox Oy, tọa độ chúng A(a; 0), B(0; b) Giả sử phương trình elip (E) là: Email: alm.maths@gmail.com Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 2.2 Tìm điểm thuộc elip MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN ⇒ OA = a, OB = b Vì AC = 2BD nên OA = 2OB ⇒ a = 2b Kẻ OH vuông góc với AB H ⇒ OH = R = Vì tam giác ABO vuông O ⇒ 1 1 = + ⇔ = + ⇔ a2 = 20 ⇒ b2 = 2 OH OA OB a a Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Vậy phương trình (E) là: 2.2 x2 y2 + =1 20 Tìm điểm thuộc elip Các bước thực hiện: Bước 1: Xác định "từ khóa" liên quan đến điểm cần tìm, cố gắng chuyển chúng thành công thức tương ứng Bước 2: Từ giả thiết, thiết lập phương trình tìm tọa độ điểm Chú ý ta có phương trình điểm cần tìm thuộc (E) x2 y2 + = Tìm (E) điểm t/m: Có bán kính qua tiêu điểm lần bán kính qua tiêu điểm kia? Nhìn hai tiêu điểm góc vuông Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) : Lời giải: √ x2 y2 + = ⇒ a = 3, b = ⇒ c = a2 − b2 = 2 1 Từ khóa cần quan tâm "bán kính qua tiêu" Gọi M(xo , yo ) điểm phải tìm Khi bán kính qua tiêu M là: (E) : MF1 = a + exo = a + cxo , a MF2 = a − exo = a − cxo a Từ giả thiết suy ra: MF1 = 3MF2 ⇔ MF2 = 3MF1 MF1 − 3MF2 = ⇔ (MF1 − 3MF2 ) (MF2 − 3MF1 ) = MF2 − 3MF1 = (1) Khai triển rút gọn ta được: (1) ⇔ 16MF1 MF2 − (MF1 + MF2 )2 = ⇔ 16 (a + exo ) (a − exo ) − 3(2a)2 = √ a2 a4 81 2 ⇔ xo = = = ⇔ xo = ± 4e 4c 32 √ x2 23 46 Lại có: M ∈ (E) ⇒ y2o = − o = ⇔ yo = ± √32 √ √ √ √ √ √ √ 9 46 9 46 46 46 Đáp số: M1 ; ; M2 ;− ; M3 − ; ; M4 − ;− 8 8 8 8 Nhận xét: A=0 − Trong giải toán, ta thường quen với chiều biến đổi AB = ⇒ nhiều B=0 Email: alm.maths@gmail.com Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN trường hợp biến đổi theo chiều ngược lại giúp việc giải toán ngắn gọn nhiều, mà toán ví dụ − Ở toán này, việc biến đổi rút gọn công việc vất vả nhận xét tinh tế, cần ý MF1 + MF2 = 2a − Khi kết luận cần ý lấy đủ nghiệm, nhiều bạn thường nhầm lẫn lấy hai nghiệm M1 , M4 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Từ khóa "góc vuông" M F1 O F2 Với góc F1 MF2 = 90o ta có "công thức" tương đương: F1 F2 −−→ −−→ MF12 + MF22 = F1 F22 ; MO = = OF2 ; MF1 MF2 = Với "công thức" ta hướng làm khác tương ứng, trình bày hai cách nói ngắn gọn x2 Gọi M(xo ; yo ) điểm cần tìm M ∈ (E) nên o + y2o = (1) Cách 1: Chú ý MF1 , MF2 bán kính qua tiêu, nên ta có: (16 − a2 )a2 63 F1 MF2 = 90o ⇔ MF12 + MF22 = F1 F22 ⇔ (a + exo )2 + (a − exo )2 = 32 ⇔ xo2 = = c2 Từ (1) suy ra: yo = Cách 2: Điểm M nhìn F1 , F2 góc vuông nên ∆MF1 F2 vuông M F1 F2 Mà dễ thấy O trung điểm F1 F2 nên OM = ⇔ xo2 + y2o = (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: √    63    xo  xo =  xo = ± 14 + yo = √4 (I) ⇔ ⇔   2   yo = xo + yo = y = ± o Nhận xét: Ở cách giải thích theo cách khác sau: Do M nhìn F1 , F2 góc vuông nên M nằm đường tròn (C) nhận F1 F2 làm đường kính √ F1 F2 Tức (C) có tâm O bán kính =2 2 ⇒ M giao điểm (E) (C) : x2 + y2 = Do tọa độ M nghiệm hệ (I) √ √ √ √ √ √ √ √ 14 14 14 14 Đáp số: M1 ; ; M2 ;− ; M3 − ; ; M4 − ;− 4 4 4 4 2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip ∀M(xM , yM ) ∈ (E) : Email: alm.maths@gmail.com x2 y2 + =1 a2 b2 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 2.3 Bài toán cực trị liên quan đến Elip MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN Ta có: xM ∈ [−a; a] yM ∈ [−b; b] xM y2M xM yM + = 1, nên đặt = sin α ⇔ xM = a sin α, = cos α ⇔ yM = b cos α 2 a b a b π π ⇒ ∀M ∈ (E) tọa độ M viết thành M(a sin α; b cos α) (α ∈ − ; ) 2 Thường sử dụng BĐT quen thuộc: Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Do (mn + pq)2 ≤ (m2 + p2 )(n2 + q2 ) Đẳng thức xảy mq = np mn ≤ (m2 + n2 ) Đẳng thức xảy m = n Ví dụ: (Thi Thử tạp chí THTT 05 - 2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(5; 3) Xác định điểm M đường elip x2 y2 + = cho diện tích tam giác MAB có diện tích nhỏ (E) : Lời giải: √ Cách 1: Ta có AB = AB : x + 2y − 11 = √ √ π π Vì M ∈ (E) nên ta gọi M(2 sin α; cos α) với α ∈ − ; Khi 2 √ 2(sin α + cos α) − 11 11 − sin α + π4 √ √ d(M, AB) = = ≥√ 5 Suy π π (d(M, AB))min = √ ⇐⇒ sin α + = ⇐⇒ α = 4 Do đó, S∆AMB = (d(M, AB))min · AB = ⇐⇒ M(2; 1) √ Cách 2: Ta có AB = AB : x + 2y − 11 = Gọi M(a; b) ∈ (E) Khi a2 b2 + = 1(∗) √ √ Từ (∗) suy |a| ≤ 2, |b| ≤ ⇒ a + 2b < 11 d(M, AB) = |a + 2b − 11| 11 − (a + 2b) √ √ = 5 Sử dụng Cauchy − Schwarz ta có (a + 2b)2 ≤ (8 + 8) a2 b2 + = 16 ⇒ −4 ≤ a + 2b ≤ Suy d(M, AB) ≥ √ Do đó, S∆AMB = (d(M, AB))min · AB = ⇐⇒ M(2; 1) [k2pi.net] Email: alm.maths@gmail.com Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN Tuyển tập đề toán Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Phần đề toán tách riêng giúp bạn học sinh thuận tiện trình tự luyện tập Trước đọc lời giải bạn nên tự tìm cách giải toán đó, tư không bị bó buộc Biết đâu bạn có lời giải độc đáo đáp án, lúc chia sẻ với để hoàn thiện tuyển tập nhé! 3.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 Trong mặt √ phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) có trục đối xứng Oy, 49 Viết phương trình tắc elip (E) qua điểm A, B,C SABC = 12 (Sở GDĐT Bắc Ninh) √ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2 3; 2) Viết phương trình tắc elip (E) qua M, biết M nhìn hai tiêu điểm (E) góc vuông (Chuyên ĐH Vinh 03) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 16 Viết phương trình tắc elip (E) biết tâm sai (E) e = , (E) cắt (C) bốn điểm phân biệt A, B,C, D cho AB song song với trục hoành AB = 2BC (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 02) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết M thay đổi (E) độ dài nhỏ OM độ dài lớn MF1 với F1 tiêu điểm có hoành độ âm (E) (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 01) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tắc elip (E), biết có đỉnh hai tiêu điểm (E) tạo thành tam giác chu vi hình chữ nhật sở (E) √ 12(2 + 3) (Chuyên Vĩnh Phúc 05 - Tạp chí THTT 06) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình tiêu điểm (E) Tìm điểm M ∈ (E) cho MF1 = 2MF2 x2 y2 + = Gọi F1 , F2 hai (THPT Phan Đăng Lưu - Nghệ An) x2 y2 + = đường thẳng d : 3x+4y−12 = 16 Gọi giao điểm đường thẳng d elip (E) A, B Tìm (E) điểm C cho tam giác ABC có diện tích Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa) Email: alm.maths@gmail.com 10 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum √ 27 3 2 Khi + yB = ⇔ yB = ⇔ yB = ± 4√ √ √ 3 3 3 ;B ; hay A − ; − Vậy A − ; 2 2 2 Thì P đạt giá trị nhỏ P = 27 ;B LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN √ 3 ;− 2 x2 y2 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm tọa 25 độ điểm M ∈ (E) cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1 F2 Lời giải: MF1 + MF2 + F2 F2 a = 5; b = ⇒ c = ⇒ p = =9 ⇒ SMF1 F2 = pr = = d(M, Ox).8 ⇒ d(M; Ox) = = |yM | ⇒ yM = ±3 Do M(m, 3) M(m, −3) Vì M ∈ (E) nên m = Vậy M(0; 3) M(0; −3) hai điểm thỏa mãn toán x2 y2 + = Một hình chữ nhật MNPQ có 25 đỉnh nằm (E) hai đường chéo hình chữ nhật hợp với góc 60o Tìm tọa độ đỉnh M biết xM > 0, yM > 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: Vì hình chữ nhật có hai trục đối xứng trục dối xứng (E) nên góc hai đường chéo hình chữ nhật 60o góc hợp OM chiều dương trục Ox ϕ 30o 60o 1 TH1: ϕ = 30o hệ số góc OM tan 30o = √ ⇒ phương trình OM : y = √ x 3  2 x y   + =1 675 675 25 √9 Khi tọa độ M nghiệm hệ: ⇒M ;  52 156  y = x (x > y > 0) √ √ TH2: ϕ = 60o hệ số góc của OM tan 60o = ⇒ phương trình OM : y = 3x  x2 y2 75 225 + =1 Khi tọa độ M nghiệm hệ: ⇒M ; 25 √  28 28 y = 3x (y > x > 0) 75 ; 28 Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài: M 225 ;M 28 675 ; 52 675 156 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách hai đường chuẩn √ (E) , điểm M có hoành độ dương thuộc (E) cho độ lớn bán kính qua tiêu 3 Tìm tọa độ điểm M viết phương trình tắc (E) Lời giải: Email: alm.maths@gmail.com 19 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN x2 y2 + = (a > b > 0) a2 b2 a a Khi phương trình hai đường chuẩn là: ∆1 : x = − ; ∆2 : x = e e √ √ √ a a2 ⇒ d(∆1 ; ∆2 ) = ⇔2 = ⇔ = (1) e c c c Bán kính qua tiêu M ∈ (E) là: MF1 = a + xM ; MF2 = a − xM Do xM > nên a a    a + c xM = a ⇔ a=2 (2) c  cxM =  a − xM = a √ √ Từ (1) (2) ta được: a = 2, c = ⇒ b = xM = √ √ x2 y2 33 Do đó: (E) : + = 1; M ;± Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Giả sử phương trình (E) là: x2 y2 + = hai điểm A(−5; −1), B(−1; 1) 16 Xác định tọa độ điểm M ∈ (E) cho diện tích ∆MAB lớn 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: √ Phương trình đường thẳng AB : x − 2y + = AB = Giả sử M(xo , yo ) ∈ (E) ⇒ 5xo2 + 16y2o = 80 Mặt khác: |xo − 2yo + 3| √ ⇒ SMAB = AB.d(M, AB) = |xo − 2yo − 3| d(M, AB) = Ta có: √ 1 √ 5xo − 4yo ≤ + (5xo2 + 16y2o ) = 36 5 ⇒ |xo − 2yo | ≤ ⇒ |xo − 2yo + 3| ≤ Do đó: Đáp số: M  √    5xo = 4y  x =8 o 1 √ −2 max SMAB = ⇔ ⇔   y = −5  o xo − 2yo + = ;− 3 16 (Tương tự tập trên) Đáp số: Có hai điểm C thỏa mãn: √ √ 2 2; , √ √ −2 2; − 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A(−2; 0), nội tiếp elip x2 (E) : + y2 = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Email: alm.maths@gmail.com 20 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN Lời giải: x2 + y2 = A(−2; 0) Nên B(xo , yo ) C(xo ; −yo ) ⇒ I(xo ; 0) trung điểm BC Tam giác ABC vuông A ⇒ AI = BC ⇔ |xo + 2| = |yo |  xo = −2 ( loại) xo ⇔ xo2 + 4xo + = − (|xo | < 2) ⇔  xo = − Đường tròn (C) cần tìm có tâm I − ; , bán kính R = BC = 5 16 Vậy (C) : x + + y2 = 25 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp (E): 18 (Tương tự tập trên) 12 12 Đáp số: B ; ;− ;C 5 5 x2 y2 + = Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d cắt (E) hai điểm A, B cho SOAB = 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x + y + = elip (E) : Lời giải: Vì ∆⊥d ⇒ phương trình ∆ : x + 2y − m = Khi tọa độ A, B nghiệm hệ:   x + 2y − m = x = 2y − m 2 ⇔ x y  8y2 − 4my + m2 − = (1) + =1 d cắt (E) hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt √ √ ⇔ ∆ = 32 − 4m2 > ⇔ m ∈ (−2 2; 2) y1 + y2 = m2 Khi gọi y1 , y2 nghiệm (1) ⇒ y1 y2 = m 8−4 Ta tọa độ A, B A(2y1 − m; y1 ), B(2y2 − m; y2 ) 5(8 − m2 ) 5(8 − m2 ) ⇒ AB2 = 5(y2 − y1 )2 = 5[(y1 + y2 )2 − 4y1 y2 ] = ⇒ AB = |m| Mặt khác: d(O; AB) = d(O; ∆) = √ m (8 − m2 ) ⇒ SOAB = d(O, AB).AB = =1 ⇒ m = ±2 (thỏa mãn) Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: ∆1 : x − 2y + = 0; ∆2 : x − 2y − = x2 y2 + = điểm M(2; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho M trung điểm AB 20 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: Thay tọa độ M vào vế trái phương trình (E) ta được: Email: alm.maths@gmail.com 21 25 + = IM) Do đó, đường tròn (C) cần tìm đường tròn tâm I bán kính IM Vì ∀ M ∈ (E), M = M ⇒ IM > IM ⇒ M ∈ / (C) nên (C) (E) có điêm chung M, bán kính IM nhỏ (chứng trên) 26 19 26 19 Ta tìm tọa độ I là: I − ; − ⇒ Phương trình (C) : x + + y+ =8 5 5 Email: alm.maths@gmail.com 22 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN x2 y2 xo yo + = đường thẳng ∆ : x + y − a b a b = Trong M(xo , yo ) ∈ (E) CMR: Tích khoảng cách từ tiêu điểm (E) tới ∆ b2 22 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Ta có: M ∈ (E) ⇒ xo2 y2o + = ⇔ xo2 b2 = a2 b2 − y2o a2 Từ ta được: a2 b2 d(F1 , ∆).d(F2 , ∆) = = b2 xo c a2 −1 xo2 a4 + xo c a2 y2o b4 +1 = 2 2 b4 |xo2 c2 − a4 | |xo b (a − b ) − a b | = b xo2 b4 + y2o a4 xo2 b4 + y2o a4 2 2 | − xo2 b4 + (xo2 b2 )a2 − a4 b2 | | − xo b + (a b − yo a )a − a b | = b = b2 xo2 b4 + y2o a4 xo2 b4 + y2o a4 x2 y2 + = Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm 2013 2012 (E), M điểm tùy ý (E) CMR: MF1 MF2 + OM = 4025 23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: √ √ y2 x2 + =1⇒e= √ (E) : Gọi M(x, y) ∈ (E) ⇒ MF1 = 2013 + ex, MF2 = 2013 − ex 2013 2012 2013 √ √ x2 ⇒ MF1 MF2 = 2013 + ex 2013 − ex = 2013 − e2 x2 = 2013 − 2013 2 x x y2 ⇒ MF1 MF2 +OM = 2013− +x2 +y2 = 2013+2012 + = 2013+2012 = 4025 2013 2013 2012 24 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x+y+4 = hai elip (E1 ) : x2 y2 + = 10 x2 y2 + = (a > b > 0) có tiêu điểm Biết (E2 ) qua điểm M ∈ ∆ Tìm tọa a2 b2 độ điểm M cho (E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ 1, (E2 ) : Lời giải: Hai elip có tiêu điểm F1 (−2; 0), F2 (2; 0) M ∈ (E2 ) ⇒ MF1 + MF2 = 2a Mà độ dài trục lớn 2a nên độ dài trục lớn nhỏ MF1 + MF2 nhỏ Dễ thử thấy F1 , F2 phía với ∆ Gọi N(x, y) điểm đối xứng với F2 qua ∆, ta tìm N(−4; −6) Mà MF1 + MF2 = MF1 + MN ≥ NF1 (không đổi) Đẳng thức xảy M = NF1 ∩ ∆ Tọa độ M nghiệm hệ:   x = −5 3x − y + = ⇔  y=− x+y+4 = Vậy tọa độ M là: M − ; − 2 Email: alm.maths@gmail.com 23 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua kì thi thử 2013 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN x2 y2 + = Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d cắt (E) hai điểm A, B cho diện tích tam giác AOB 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x + y + = elip (E) : Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Lời giải: Vì ∆⊥d nên phương trình d có dạng: x − 2y + m = Khi đó, A, B nghiệm hệ:   x − 2y + m = x = 2y − m ⇔ x  8y2 − 4my + m2 − = (∗) +y = Để d cắt (E) hai điểm phân biệt A, B hệ phải có hai nghiệm phân biệt √ √ (1) ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = 32 − 4m2 > ⇔ m ∈ −2 2; 2 Gọi A(2y1 − m; y1 ), B(2y2 − m; y2 ), y1 , y2 nghiệm (∗) ⇒ AB2 = 5(y2 − y1 )2 = (y1 + y2 )2 − 4y1 y2 = (8 − m2 ) 1 |OH| OH.AB = m2 (8 − m2 ) = ⇔ m = ⇔ m = ±2 Đường cao OH = d(, ∆) = √ ⇒ SOAB = 16 Đáp số: ∆1 : x − 2y + = 0, ∆2 : x − 2y − = Email: alm.maths@gmail.com 24 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.2 Các tập sưu tầm 4.2 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN Các tập sưu tầm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1, 2) đường tròn (C) : x2 + y2 = 21 Viết phương trình tắc elip (E) biết hình chữ nhật sở (E) nội tiếp (C) điểm M nhìn hai tiêu điểm (E) góc 60o Lời giải: x2 y2 + = (a > b > 0) a2 b2 √ ⇒ Độ dài cạnh hình chữ nhật sở 2a, 2b ⇒ độ dài đường chéo a2 + b2 (1) √ Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 21 Hình chữ nhật sở nội tiếp (C) nên tâm hình chữ nhật sở trùng với tâm (C) (2) √ Từ (1) (2) ⇒ a2 + b2 = 2R ⇔ a2 + b2 = 21 (3) Mặt khác: Tiêu điểm (E) F1 (−c; 0), F2 (c; 0) F1 MF2 = 60o Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Giả sử (E) có phương trình tắc (E) : ⇒ F1 F22 = MF12 + MF22 − 2MF1 MF2 cos 60o ⇔ 4c2 = (2 + c)2 + + (2 − c)2 + − + (2 + c)2 + (2 − c)2  c2 =  ⇔ 3c − 34c + 75 = ⇔ 25 c2 = Với c2 = ⇔ a2 − b2 = kết hợp với (3) tìm a2 = 12, b2 = 25 44 19 25 ⇔ a2 − b2 = kết hợp với (3) tìm a2 = , b2 = Với c2 = 3 3 x2 y2 x2 y2 Đáp số: (E1 ) : + = 1, (E2 ) : 44 + 19 = 12 3 (Tương tự tập trên) x2 y2 + = Đáp số: (E) : 25 16 (Tương tự tập trên) x2 y2 Đáp số: (E) : + = √ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(− 3; 1) đường elip (E) qua điểm M có khoảng cách hai đường chuẩn Lập phương trình tắc (E) Bạn đọc tự giải a a a2 Chú ý: Phương trình hai đường chuẩn x = ± nên khoảng cách chúng = =6 e e c x2 y2 Đáp số: (E) : + = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = Lập phương trình tắc elip có tâm sai e = Biết (E) cắt (C) điểm phân biệt A, B,C, D cho AB song song với Ox AB = 3BC Lời giải: Giả sử elip (E) : x2 y2 + =1 a2 b2 Email: alm.maths@gmail.com (a > b > 0) 25 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum 4.2 Các tập sưu tầm LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN √ c a2 − b2 Tâm sai (E) e = = = ⇔ 8a2 − 9b2 = (1) a a Tọa độ A, B,C, D nghiệm hệ:   x2 + y2 = (2) 2  x + y = (3) a2 b2 Do (E) (C) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng nên ABCD hình chữ nhật Giả sử A(x, y), AB song song với Ox nên B(−x; y) ⇒ C(−x; −y), D(x, −y) Ta có: AB = 3BC ⇔ |x| = 3|y| ⇔ x2 = 9y2 (4) 81 81 Từ (2) (4) ta được: x2 = , y2 = , vào (3) ta được: + = (5) 10 10 a b Từ (1) (5) ta hệ:     a2 = 729  8a2 − 9b2 = 80 ⇔ 81 81   + =1  b = a2 b2 10 x2 y2 Vậy phương trình tắc (E) là: 729 + 81 = 80 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn qua điểm √ √ √ M ; Điểm N nằm (E) cách O đoạn có độ dài Tìm tọa độ N? Hướng dẫn: Dễ lập phương trình elip (E) √ √ Điểm N cách O đoạn có độ dài ⇒ M ∈ (C) đường tròn tâm O bán kính ⇒ M = (E) ∩ (C) √ √ √ √ 5 5 ;± ;± Đáp số: ; − 5 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua M (E) : 2 ; 3 cắt elip x2 y2 + = hai điểm phân biệt A, B cho MA = 2MB Lời giải: Giả sử B(xo , yo ) ∈ (E) ⇒ xo2 y2o + =1 (1) 2 2 Thay tọa độ M vào vế trái (E) được: + = b > 0) thỏa mãn = a b a √ Hình chữ nhật sở cắt Ox A, A , cắt Oy B, B , đường tròn nội tiếp tứ giác ABA B có diện tích 4π Tìm a, b Lời√giải: a2 − b2 = √ ⇒ a2 = 2b2 (1) Ta có a Đường tròn nội tiếp (C) có S = πr2 = 4π ⇔ r = 1 Mặt khác: SABO = OA.OB, mà SABO = d(O, AB).AB = r.AB √ 2 ⇒ r.AB = OA.OB ⇔ a2 + b2 = ab ⇔ 4(a2 + b2 ) = a2 b2 (2) √ Thế (1) vào (2) ⇒ b2 = ⇒ b = √ ⇒ a2 = 12 ⇒ a = [k2pi.net] x2 y2 + = Từ điểm A có tọa dương thuộc (E) ta dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp (E) có các cạnh song song với trục tọa độ diện tích hình chữ nhật ABCD lớn Hãy tìm tọa độ đỉnh A 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E) Lời giải: Gọi A(xo ; yo ) ∈ (E) với xo > 0; yo > x2 y2 Do A ∈ (E) nên o + o = xo yo x2 y2 Ta có : SABCD = 4SOMAN = 12 · · · ≤ 12 o + o = 12 Với M, N giao điểm AB với Oy AD với Ox Vậy SABCD có diện tích lớn 12 Dấu đẳng thức xảy :   √ 2 x y   o o  + =1 x = ⇔ √2    xo = yo y = √ √ Vậy tọa độ điểm A ; 2 [k2pi.net] 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : 7MF22 đạt giá trị nhỏ Email: alm.maths@gmail.com 28 x2 y2 + = Tìm M ∈ (E) cho MF12 + Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.2 Các tập sưu tầm LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN Hướng dẫn: Cách 1: Gọi Mo (xo ; yo ) ∈ (E) ⇒ xo2 y2o + =1 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum MF1 = + xo xo , MF2 = − 2 Khi MF12 + 7MF22 = 2(xo2 − 6xo + 16) Mà xo ∈ [−2; 2] nên MF12 + 7MF22 = 14 xo = Cách 2: MF12 + 7MF22 = (MF1 + MF2 )2 + (MF1 − 7MF2 )2 ≥ 16 7 2 ⇒ MF1 + 7MF2 ≥ 14 Đẳng thức xảy MF1 = 7MF2 ⇔ xM = [Boxmath.vn] x2 y2 + = có tiêu điểm F1 , F2 Đường thẳng d qua F2 song song với đường phân giác góc phần tư thứ cắt (E) A, B Tính diện tích tam giác ABF1 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: Do giả thiết cho đủ để viết phương trình đường thẳng d chứa A, B ( qua điểm biết song song với đường thẳng cho trước) nên ta định hướng tính diện tích theo công thức: SABF1 = AB.d(F1 ; d) (E) : x2 y2 + = ⇒ a2 = 8, b2 = ⇒ c = a2 − b2 = ⇒ F1 (−2; 0), F2 (2; 0) Đường phân giác ∆ góc phần tư thứ có phương trình là: y = x Ta có d // ∆ F2 ∈ d nên phương trìnhd là: y = x −  y = x−2 2 Khi tọa độ B C nghiệm hệ: ⇒ A(0; −2), B ; x y  3 + =1 √ √ ⇒ AB = , d(F1 , d) = 2 16 Đáp số: SABF1 = 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : B(0; −2), A ; 3 [Boxmath.vn] x2 y2 + = Viết phương trình đường thẳng d cắt (E) hai điểm phân biệt có tọa độ nguyên Hướng dẫn: √ √ M(xo , yo ) ∈ (E) ⇒ yo ∈ [− 2; 2] Mà yo ∈ Z ⇒ yo ∈ {−1; 0; 1} Thay yo vào phương trình (E) lấy giá trị xo nguyên ta điểm thuộc (E) có tọa độ nguyên là: A(2; 1), B(2; −1),C(−2; 1), D(−2; −1) ⇒ đường thẳng d đường thẳng qua điểm [Boxmath.vn] Email: alm.maths@gmail.com 29 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 5 PHỤ LỤC Phụ Lục 5.1 Các toán Elip thi x2 y2 + = Tìm tọa độ √ điểm A, B ∈ (E),√biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC Đáp số: A 27 ; ; B 27 ; − Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum (D - 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(2; 0) elip (E) : Trong mặt √ phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 2 Đáp số: x9 + y4 = (A-2008) √ x2 y2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 3) elip (E) : + = Gọi F1 , F2 tiêu điểm (E) (xF1 < 0)), M = AF1 ∩ (E) (xM > 0), N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 (B - 2010) √ Đáp số: (x − 1)2 + y − 3 = x2 y2 + = Tìm tọa độ điểm A, B ∈ (E), có hoành độ dương (A-2011) cho elip (E) : cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn √ √ √2 √ Đáp số: A 2; ; 2; − 22 (A-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vuông x2 y2 Đáp số: + =1 16 16 (B - 2012) Xem ví dụ - 2.1 Email: alm.maths@gmail.com 30 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 5.2 5.2 Một topic thảo luận VMF PHỤ LỤC Một topic thảo luận VMF Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Bài toán cực trị có liên quan đến Elip Nhìn vào tiêu đề hiểu viết nói dạng toán cực trị mà có liên quan đến (E),có nhiều loại tìm cực trị (E) chẳng hạn tìm điểm thuộc (E) cho diện tích tam giác Max,hay cho điểm cố định tìm điểm thuộc (E) cho khoảng cách min, Và cụ thể nói dạng toán thứ mà nói trên.Trước tiên ta xem toán sau : Bài toán: Cho A(4; 5) (E) : x2 y2 + = 1.Tìm điểm M thuộc (E) cho AM ngắn Lời giải: (hxthanh) Chuyển toán tìm cực trị tìm P P = (x − 4)2 + (y − 5)2 x2 y2 Trong x, y số thực thỏa mãn: + = Điều kiện viết lại x2 + 4y2 − = Ta có: P = x2 − 8x + y2 − 10y + 41 = x2 − 8x + y2 − 10y + 41 + x2 + 4y2 − = (2x2 − 8x + 8) + (5y2 − 10y + 5) + 20 = 2(x − 2)2 + 5(y − 1)2 + 20 ≥ 20 Dấu xảy x = ; y = Nhìn vào toán ta lại cộng thêm cách hợp lí để vậy,có thể cảm giác bất đẳng thức người tốt thấy vấn đề nhóm để điểm cực trị x; y thõa mãn x2 + 4y2 − = 0.Đó vấn đề muốn nói đến.Vậy đến với cách giải tổng quát toán cách tìm luợng thích hợp 2 y Bài toán: Cho điểm A(m, n) không nằm (E) = ax2 + b2 ,tìm điểm M thuộc (E) cho AM đạt giá trị nhỏ Cách giải - Thủ thuật: x2 y2 Ta gọi M(x; y) ta có: + = ⇔ b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 ,(1) a b Và AM = (x − m)2 + (y − n)2 = x2 + y2 − 2mx − 2ny + m2 + n2 Bây ta nhân k vào (1) cộng vào phương trình ta có: AM = x2 + y2 − 2mx − 2ny + m2 + n2 − ka2 b2 + kb2 x2 + ka2 y2 = (1 + kb2 )x2 + (1 + ka2 )y2 − 2mx − 2ny + (m2 + n2 − ka2 b2 ) = (1 + kb2 )x2 + (1 + ka2 )y2 − 2mx − 2ny +C Đạo hàm theo biến x ta : 2x(1 + kb2 ) = 2m ⇔ x = Email: alm.maths@gmail.com 31 m + kb2 (2) Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 5.2 Một topic thảo luận VMF PHỤ LỤC Đạo hàm theo biến y ta có : 2y(1 + ka2 ) = 2n ⇔ y = n + ka2 (3) Lúc thay giác trị x, y vào phương trình (1) ta có phương trình ẩn k sau: Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum b2 m2 n2 + a = a2 b2 2 2 (kb + 1) (ka + 1) Giải phương trình này.(có thể thử trực tiếp nghiệm ta nên lấy nghiệm nguyên hữu tỉ).Sau tìm k toán trở nên đơn giản.Với ví dụ ban đầu ta tìm k = Lưu ý thay k vào (2) (3) giá trị x, y giá trị để AM đạt giá trị nhỏ tọa độ điểm M Dưới tập muốn nêu để bạn áp dụng phương pháp với Elip mà với Hyperbol : Bài toán: Cho điểm A(3; 0) (H) : x2 y2 − = 1.Tìm điểm M thuộc (H) cho AM đạt giá trị nhỏ ——————————————— Topic bạn có nick BoFaKe diễn đàn VMF Có lẽ thủ thuật có thầy cô hay sách dạy chúng ta, diễn đàn tham gia bạn thấy có nhiều kiến thức, thủ thuật hay (về PT - HPT - BPT, BĐT, ) kinh nghiệm có trình tự học, tự tìm tòi, sáng tạo bạn trẻ (và trẻ) yêu toán chia sẻ Muốn học giỏi bên cạnh việc chăm chỉ, thông minh cần phải có đồng đội tốt, người bạn nhiệt tình, niềm đam mê (về học tập :D ) giỏi mình! Khi tham gia diễn đàn bạn có người bạn thế! Hãy chia sẻ điều bạn học hỏi trao đổi vấn đề bạn băn khăn Email: alm.maths@gmail.com 32 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 5.2 Một topic thảo luận VMF PHỤ LỤC Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum TÀI LIỆU THAM KHẢO [3] Trần Thành Minh - Giải toán hình học 12 - NXB Giáo Dục [1] Lê Minh An (leminhansp - VMF) - Chuyên đề Elip [2] Đặng Thành Nam (dangnamneu - K2pi) - Chuyên đề Elip [4] Diễn đàn toán học VMF - http://www.diendantoanhoc.net/forum [5] Diễn đàn toán phổ thông K2pi - http://www.k2pi.net [6] Diễn đàn Boxmath - http://www.boxmath.vn Email: alm.maths@gmail.com 33 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên [...]...3.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN x2 y2 + = 1 và các điểm A(−3; 0), I(−1; 0) 9 4 Tìm tọa độ các điểm B,C ∈ (E) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : (Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 2) 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : √ √ x2 y2 + = 1 và hai điểm A(− 3; 0), B( 3; 0) 4 1 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum... 2x + y + 3 = 0 và elip (E) : (Thi thử Hocmai - Thầy Lê Bá Trần Phương - Đề 02) Email: alm.maths@gmail.com 12 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 3.2 3.2 Các bài tập sưu tầm 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN Các bài tập sưu tầm Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1, 2) và đường tròn (C) : x2 + y2 = 21 Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết hình... Nguyên 3.2 Các bài tập sưu tầm 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN x2 y2 + = 1 Từ điểm A có tọa dương thuộc 9 4 (E) ta dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong (E) có các các cạnh song song với các trục tọa độ và diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất Hãy tìm tọa độ đỉnh A 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E) [k2pi.net] 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum... hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : (THPT Minh Khai - Hà Tĩnh) x2 y2 + = 1 và hai điểm A(4; −3), B(−4; 3) 16 9 Tìm tọa độ điểm C ∈ (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : (THPT Hà Trung - Thanh Hóa) Email: alm.maths@gmail.com 11 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 3.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 3 TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ TOÁN 17 Trong mặt phẳng... hướng dẫn 4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum 1 Trong mặt √ phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đều có A(0; 2) và có trục đối xứng Oy, 49 3 SABC = Viết phương trình chính tắc của elip (E) qua 3 điểm A, B,C 12 Lời giải: Gọi phương trình elip x2 y2 + = 1 (a > b > 0) a2 b2 Ta có: A(0; 2) = (E) ∩ Oy nên A là√một đỉnh của elip ⇒ b = 2 1... alm.maths@gmail.com 17 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN x2 y2 + = 1 và các điểm A(−3; 0), I(−1; 0) 9 4 Tìm tọa độ các điểm B,C ∈ (E) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : Lời giải: Gọi (C) là phương trình đường tròn... alm.maths@gmail.com 22 Lê Minh An - ĐHSP Thái Nguyên 4.1 Bài toán Elip qua các kì thi thử 2013 4 LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN x2 y2 xo yo + 2 = 1 và đường thẳng ∆ : 2 x + 2 y − 2 a b a b 1 = 0 Trong đó M(xo , yo ) ∈ (E) CMR: Tích khoảng cách từ các tiêu điểm của (E) tới ∆ bằng b2 22 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum Ta có: M ∈... Phụ Lục 5.1 Các bài toán Elip đã thi x2 y2 + = 1 4 1 Tìm tọa độ các √ điểm A, B ∈ (E),√biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều Đáp số: A 27 ; 4 7 3 ; B 27 ; − 4 7 3 Diễn đàn Toán học – http://www.diendantoanhoc.net/forum 1 (D - 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) : Trong mặt √ phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) biết... Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) : Lời giải: Thay tọa độ M vào vế trái phương trình (E) ta được: Email: alm.maths@gmail.com 21 4 1 25 + = b > 0)