Bài tập đếm trong chuyên đề tổ hợp xác xuất sẽ giúp các em có cơ sở vững chắc trong việc ôn luyện phần chuyên đề này. Bao gồm hệ thống bào tập lớn hơn thế nữa giúp cải thiên tư duy và có hướng suy nghĩ hay trong khi giải bài tập
Trang 1Khĩa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
DẠNG 1 BÀI TỐN ĐẾM NGƯỜI, VẬT
Bài 1: Một bàn dài cĩ hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy cĩ 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh
trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nĩi trên Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau
2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau
Lời giải:
1 Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách
Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đĩ Hỏi cĩ
bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng cĩ đủ cả 3 màu?
Lời giải:
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: 4
15
C = 1365
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 2 1 1
4 5 6
C C C = 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có 1 2 1
4 5 6
C C C = 240
* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có 1 1 2
4 5 6
C C C = 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645
Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu cĩ ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau
1 Cĩ bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luơn ở cạnh nhau?
2 Cĩ bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhĩm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
Lời giải:
1
* Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài
2
* Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách
Vậy có 2.6 = 12 cách
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách
Bài 4: Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đĩ xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng
1 Cĩ bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2 Cĩ bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
VIP13 CÁC DẠNG TỐN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Lời giải:
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0
1 Vì số tạo thành là số lẻ nên f ∈ {1, 3, 5}
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2 Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số
* Khi f ∈ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn
Bài 5: Một thầy giáo cĩ 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đĩ cĩ 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn
sách Hoạ Ơng muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn
1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc Hỏi cĩ bao nhiêu cách tặng?
2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều cịn lại ít nhất một cuốn Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
1 Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự
Vậy số cách tặng là 6
9
A = 60480
2 Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: 6
12
A = 665280 Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: 5
6
A 7 = 5040 Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: 4 2
6 8
A A = 20160 Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: 3 3
6 9
A A = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
Bài 6: Cĩ 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập một đồn cơng tác 3 người cần cĩ cả
nam và nữ, cần cĩ cả nhà tốn học và nhà vật lí Hỏi cĩ bao nhiêu cách?
Lời giải:
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 1 1 1
5 3 4
C C C = 5.3.4 = 60 Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: 1 2
3 4
C C = 18 Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 2 1
3 4
C C = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
Bài 7: Một đội văn nghệ cĩ 20 người, trong đĩ cĩ 10 nam và 10 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao
cho:
1 Cĩ đúng 2 nam trong 5 người đĩ
2 Cĩ ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đĩ
Lời giải:
1 Chọn 2 nam và 3 nữ: có 2 3
10 10
C C = 5400 cách
2 Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
Trang 3Khĩa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
* 3 nam và 2 nữ: có 3 2
10 10
C C = 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có 4 1
10 10
C C = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách
Bài 8: Cĩ 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng cĩ kích thước đơi một khác nhau
1 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đĩ cĩ đúng 2 viên bi đỏ
2 Cĩ bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đĩ số bi xanh bằng số bi đỏ
Lời giải:
1 Có: 2
5
C cách chọn ra 2 viện bi đỏ
4 13
C cách chọn ra 4 viên bi còn lại
Vậy có: 2
5
C 4
13
C = 7150 cách chọn
2 Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng → có 3 3
9 5
C C cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng → có 2 2 2
9 5 4
C C C cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng → có 1 1 4
9 5 4
C C C cách Vậy có tất cả: 3 3
9 5
C C + 2 2 2
9 5 4
C C C + 1 1 4
9 5 4
C C C = 3045 cách
Bài 9: Cĩ 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5 Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các
thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm liền nhau
Lời giải:
Có 2 khả năng:
1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn → có 5!5! cách
2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ → có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách
Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực cĩ 9 người Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở
địa điểm B, cịn 4 người thường trực tại đồn Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng?
Lời giải:
Có tất cả: 3 2 = 4 2 = 2 4
9 6 9 5 9 7
C C C C C C = 1260 cách
Bài 11: Một lớp học cĩ 20 học sinh, trong đĩ cĩ 2 cán bộ lớp Hỏi cĩ bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội
sinh viên của trường sao cho trong 3 người đĩ cĩ ít nhất một cán bộ lớp
Lời giải:
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 1 2
2 18
C C
* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có 2 1
2 18
C C Vậy số chọn là: 1 2
2 18
C C + 2 1
2 18
C C = 324 cách
Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ cĩ bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ơ trống Hỏi:
1 Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2 Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
Lời giải:
1 Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là 3
7
A Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là 3
4
C Vậy số cách xếp khác nhau là: 3
7
A 3 4
C = 840 cách
2 Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với nhau Số các hoán vị là 3! Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách
Bài 13: Cho A là một hợp cĩ 20 phần tử
1 Cĩ bao nhiêu tập hợp con của A?
2 Cĩ bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà cĩ số phần tử là số chẵn?
Lời giải:
Trang 41 Số tập con của A là: 0 + 1 + 2 + + 20
20 20 20 20
C C C C = 220
2 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T = 2 + 4 + + 20
20 20 20
C C C
Ta có: 0 = (1 – 1)20 = 0 − 1 + 2 − + 20
20 20 20 20
⇒ 0 + 2 + 4 + + 20
20 20 20 20
C C C C = 1 + 3 + + 19
20 20 20
C C C
⇒ 0 + 1 + 2 + + 20
20 20 20 20
C C C C = 2( 0 + 2 + 4 + + 20)
20 20 20 20
⇒ T = 2 + 4 + + 20
20 20 20
20
2 C
2 = 219 – 1
Bài 14: Một lớp cĩ 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm cơng tác “Mùa hè xanh”
Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đĩ phải cĩ ít nhất:
1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam
2 Một học sinh nữ và một học sinh nam
Lời giải:
1 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có 2 3
10 10
C C cách
* 3 nam và 2 nữ: có 3 2
10 10
C C cách
Vậy tất cả có: 2 2 3
10 10
C C = 10800 cách
2 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có 1 4
10 10
C C cách
* 2 nam và 3 nữ: có 2 3
10 10
C C cách
* 3 nam và 2 nữ: có 3 2
10 10
C C cách
* 4 nam và 1 nữ: có 4 1
10 10
C C cách
Vậy tất cả có: 2 1 4
10 10
C C + 2 2 3
10 10
C C = 15000 cách
Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp
B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc khơng quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn như vậy?
Lời giải:
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: 4
12
C = 495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
• Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh
⇒ Số cách chọn là: 2 1 1
5 4 3
C C C = 120
• Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là: 1 2 1
5 4 3
C C C = 90
• Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:
⇒ Số cách chọn là: 1 1 2
5 4 3
C C C = 60 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách
Bài 16: Từ một nhĩm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho
cĩ ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn
Lời giải:
• Số cách chọn 2 học sinh khối C là: 2
5
C = 10
• Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B Số cách chọn bất kì là: 13
25
C = 5200300 Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: 4 9
15 10
C C Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là: 3 10
15 10
C C
⇒ Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là:
4 9
15 10
C C + 3 10
15 10
C C = 13650 + 455 = 14105
Trang 5Khĩa học VIP13 mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
⇒ Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:
13 4 9 3 10
25 15 10 15 10
• Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:
2 13 4 9 3 10
5 25 15 10 15 10
Bài 17: Một đội thanh niên tình nguyện cĩ 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng đội
thanh niên tình nguyện đĩ về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh cĩ 4 nam và 1 nữ
Lời giải:
Có 1 4
3 12
C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất, thì có 1 4
2 8
C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có 1 4
1 4
C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba
Vậy tất cả có: 1 4
3 12
C C 1 4
2 8
C C 1 4
1 4
C C = 207900 cách phân công
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho 10 câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 câu lý thuyết và 6 bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đĩ nhất thiết phải cĩ ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập Hỏi cĩ thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS: • Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: C C42. 16 = 36
• Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: C C14. 62 = 60
Vậy cĩ: 36 + 60 = 96 đề thi
ban cán sự lớp gồm 4 em Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý b) Cĩ 1 nam và 3 nữ c) Cĩ 2 nam và 2 nữ
d) Cĩ ít nhất 1 nam e) Cĩ ít nhất 1 nam và 1 nữ
ĐS: a) C404 b) C251 C153 c) C252 C152 d) C251 C153 + C252 C152 + C253 C151 + C254
e) C404 − C254 − C154
Bài 3: Cĩ 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đĩ ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn Một bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi cĩ bao nhiêu cách làm như vậy?
ĐS: 1200
Bài 4: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh Lấy ra 4 viên bi từ túi đĩ, cĩ bao nhiêu cách lấy
được:
a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
Bài 5: Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phĩ đồn, 1 thư ký và 3 ủy viên Hỏi cĩ mấy cách chọn?
ĐS: 4651200
nhau), người ta muốn chọn ra một bĩ hĩa gồm 7 bơng, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn bĩ hoa trong đĩ: a) Cĩ đúng 1 bơng hồng đỏ?
b) Cĩ ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ?