Các chủ đề ôn thi đại học môn toán 2014

Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TỔ: TỐN- TIN TRƯỜNG : THPT LÊ HỒN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm (a; b) Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) (a; b) f’(x) ≥ (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy số hữu hạn điểm x0 ∈ (a; b) khơng xảy (a; b) Các dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) tập xác định Phương pháp: B1 Tìm tập xác định D f(x) B2 Tìm y’ Tìm điểm x0 mà y’ = khơng có đạo hàm Xét dấu y’ Lập bảng biến thiên y D B3 Dựa vào bảng biến thiên suy khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số theo định lí phần tóm tắt Dạng Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến khơng đổi khoảng xác định Phương pháp: B1 Tìm TXĐ D hàm số y = f(x; m) B2 Tìm y’ = f’(x; m) theo x B3 * Nếu f(x) hàm số đa thức bậc 3, hàm số dạng ax + bx + c f(x) = , ad ≠ điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) dx + e khoảng xác định y’ ≥ 0, ∀x ∈D) (hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D) ax + b * Nếu f(x) = điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch cx + d biến) khoảng xác định D y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈ D) * Điều kiện để hàm số hàm số khơng đổi khoảng xác định là: y’ = 0, ∀x ∈ D B4 Từ điều kiện (B3) ta chuyển tốn đại số (thường tốn tam thức bậc 2) để giải tìm m BÀI TẬP Bài Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a / y = − x − 3x + ; b / y = x − 3x + c / y = x (4 − x ) ; d / y = x − 2x + Phương pháp: B1 Tìm tập xác định D f(x) B2 Tìm y’ Tìm điểm x0 mà y’ = khơng có đạo hàm Xét dấu y’ Lập bảng biến thiên y D B3 Dựa vào bảng biến thiên suy khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số theo định lí phần tóm tắt Bài Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 2x − x+4 ; b/y = x−2 −x − 2 x −x+2 x2 + c/y = ; d/y= 2−x x Phương pháp làm Bài Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: x +1 a / y = − 3x − x ; b/ y= x2 − x +1 c/ y= ; d / y = | x − 3x − | x +1 Phương pháp làm Bài Tìm m để hàm số sau đồng biến khoảng xác định nó: a/ y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx (ĐS: m = 3) mx b/ y = (ĐS: ≤ m ≤ 4) − mx + 4x − mx + c/ y = (ĐS: m < - ∨ m > 1) x+m x + mx − d/ y = (ĐS: -5 ≤ m ≤ ) x −1 Thực theo bước nêu dạng Bài Tìm m để hàm số y = −(m + 5m) x3 + 6mx + x + đồng biến R HD: y’ ≥ 0, ∀x ∈ R Bài Tìm m để hàm số sau nghịch biến khoảng xác định a/ y = mx3 + 3x2 + 3mx (ĐS: m ≤ -1) mx + b/ y = (ĐS: -1 < m < 1) x+m x − 2mx + 3m c/ y = (ĐS: m = 0) − x + 2m Thực theo bước nêu dạng a/y= Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D có đạo hàm (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x0) f' ( x ) > * Nếu  f' ( x ) < f' ( x ) < * Nếu  f' ( x ) > ( a; x0 ) x điểm cực đại hàm số ( x0 ; b ) ( a; x0 ) x điểm cực tiểu hàm số ( x0 ; b ) Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định D, có đạo hàm cấp (a; b) ⊂ D f’(x0) = Khi a/ Nếu f”(x0) < x0 điểm cực đại hàm số b/ Nếu f”(x0) > x0 điểm cực tiểu hàm số Các dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Tìm cực trị hàm số y = f(x) Phương pháp 1: B1 Tìm TXĐ D B2 Tìm y’ Tìm điểm x0 mà y’ = khơng có đạo hàm Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 , tìm giá trị hàm số điểm x0 , lập bảng biến thiên y D B3 Dựa vào bảng biến thiên định lí ⇒ giá trị CĐ, CT Phương pháp 2: Chỉ xét hàm số có đạo hàm cấp liên tục miền xác định B1 Tìm TXĐ D B2 Tìm y’, y” B3 Giải phương trình y’ = tìm nghiệm x1, x2 tìm y”(x1), y”(x2) … * Nếu y”(xi) < (hoặc y”(xi) > 0) hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) xi, i = 1, 2, Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu điểm x = x0 cho trước Phương pháp 1: (Sử dụng hàm có đạo hàm cấp phức tạp) B1 Tìm tập xác định D hàm số y = f(x) B2 Tìm y’ B3 Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) x = x0 điều kiện cần y’(x0) = hay y’(x) khơng tồn tại điểm x0, từ điều kiện ⇒ m B4 Thử lại ứng với giá trị vừa tìm m, ứng với giá trị m tốn thỏa mãn nhận giá trị m Phương pháp 2: (Sử dụng hàm số đạo hàm cấp đơn giản) B1 Tìm tập xác định D hàm số y = f(x) B2 Tìm y’, y” B3 Dựa vào điều kiện sau, tìm hệ phương trình m, giải tìm m * y đạt cực đại x = x0  y' ( x ) = ⇔  y " ( x0 ) < * y đạt cực tiểu x = x0  y' ( x ) = ⇔  y " ( x0 ) > Dạng 3: Tìm m để hàm số y = f(x) ln ln có cực đại hay có cực tiểu Phương pháp: Đối với hàm bậc : y = f(x; m) = ax3 +bx2 + cx+d, a ≠ Hay hàm: y = f ( x; m ) = ax + bx + c , ad ≠ dx + e B1 Tìm y’ B2 Vì dấu y’ dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại cực tiểu y’ đổi dấu hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = có nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a≠ B1 Tìm y’ (y’ hàm bậc 3) B3 *Vì y’ biểu thức bậc nên để hàm số có cực đại cực tiểu y’ phải đổi dấu lần ⇒ y’ = phải có nghiệm phân biệt ⇒ m * Để hàm số có cực tiểu khơng có cực đại y’ đổi dấu lần từ - sang + ⇒ a>0 ⇒m y’ = có nghiệm có nghiệm * Để hàm số có cực đại, khơng có cực tiểu y’ có lần đổi dấu từ + sang ⇒ a (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1) nghiệm thỏa điều kiện B4 * Khi ∆ hay ∆’ = bình phương biểu thức tìm trực tiếp xCĐ, xCT { x1 + x2 * Nếu ∆ khơng sử dụng định lí Viet tìm x x B5 Biến đổi hệ thức cho hệ thức chứa tổng tích x1, x2 Rồi thay biểu thức tổng, tích bước vào hệ thức bước ta phương trình hay bất phương trình m, giải tìm m Kết hợp với điều kiện m bước suy giá trị m cần tìm Chú ý: Cách tìm yCĐ, yCT hàm số thường gặp: a/ Đối với hàm số dạng: u' ( x CD ) u' ( xCT ) u ( x) ; y CT = có cực trị yCĐ = v ( x) v' ( x CD ) v' ( x CT ) u ' v − uv ' u' u = ⇒ u ' v − uv ' = ⇒ = Vì xCĐ , xCT có y ' = ⇒ v' v v y= b/ Đối với hàm số bậc 3: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a≠0 Nếu xCĐ, xCT đơn giản thay xCĐ, xCT vào y = f(x) để tìm yCĐ, yCT Nếu xCĐ, xCT phức tạp khơng tính cụ thể x CĐ, xCT để tìm yCĐ, yCT sau: * Phân tích hàm số dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D (Bằng cách chia y cho y’, có thương Ax + B phần dư Cx+D) * Nếu hàm số có cực trị y CĐ = CxCĐ + D; yCT = CxCT + D xCĐ, xCT có y’ = BÀI TẬP Bài Tìm cực trị hàm số sau: a / y = 2x3 − 3x − 12x + x4 c / y= − x3 + e / y = x.e x ; ; ; b / y = − x − 4x + x − 2x + d/y = 1− x f / y = ln x − x Phương pháp 1: B1 Tìm TXĐ D B2 Tìm y’ Tìm điểm x0 mà y’ = khơng có đạo hàm, tìm giá trị hàm số điểm x0 , lập bảng biến thiên y D B3 Dựa vào bảng biến thiên định lí ⇒ giá trị CĐ, CT Phương pháp 2: Chỉ xét hàm số có đạo hàm cấp liên tục miền xác định B1 Tìm TXĐ D B2 Tìm y’, y” B3 Giải phương trình y’ = tìm nghiệm x1, x2 tìm y”(x1), y”(x2) … * Nếu y”(xi) < (hoặc y”(xi) > 0) hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) xi, i = 1, 2, Bài Tìm m để hàm số sau: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 a/ y =x3 + 2mx2 + mx + đạt cực đại x = -1 b/ y = -3x4 + mx2 - đạt cực đại x = (ĐS: m =1) 3 (ĐS: m = 2) c/ y = x3 - 3mx2 + (m - 1)x + đạt cực tiểu x = 2  3  x + mx + e) y = đạt cực đại x = x+m mx − 3mx f/y= đạt cực tiểu x = x−2 x + 2x + m g/ y = đạt cực đại x = x − 2x + d/ y = x3 - mx2 +  m − ÷x + đạt cực tiểu x =1 (ĐS: m = 1) (ĐS: m= ) (ĐS: m = -3) (ĐS: khơng có m) (ĐS: m = 2) Thực bước theo dạng Bài Tìm giá trị m, n cho hàm số: y = f ( x) = x + m +  y '(−2) =  HD:  y ''(−2) <  y (−2) = −2  n đạt cực đại x = -2 có f(-2) = -2 x +1 Bài Cho hm säú y = x + ( m + 1) x + m + x +1 Chỉïng minh ràòng ∀m ∈ R âäư thë hm säú ln cọ cỉûc âải, cỉûc tiãøu v khong cạch giỉỵa hai âiãøm âọ bàòng 20 HD: + Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu: y’ = có nghiệm phân biệt khác -1 + Chứng minh AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) = 20 , với A, B điểm cực đại, cực tiểu Bài Tìm tất giá trị m để hàm số sau đây: a/ y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + có cực đại, cực tiểu tìm tọa độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (ĐS: m ≠1) b/ y = (x + m) + (x + 2m)3 - x3 có cực đại, cực tiểu (ĐS: m ≠ 0) c/ y = x2 + ( m + ) x − m có cực đại, cực tiểu, tìm tọa độ điểm cực đại, cực tiểu đồ thị x +1 hàm số Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (ĐS: m < - , y = 2x + m +2) Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A Tóm tắt lý thuyết: Số M gọi giá trị lớn f(x) tập I  f ( x ) ≤ M, ∀x ∈ I ⇔ ∃x ∈ I :f ( x ) = M (Kí hiệu : M = Max f(x)) I Số m gọi giá trị nhỏ f(x) tập I f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ I ⇔ ∃x ∈ I:f ( x ) = m Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 (Kí hiệu : m = Min f(x)) B Các dạng tốn thường gặp: Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN GTNN hàm số: y = f(x) I Trường hợp 1: Tập I cho khoảng (a; b) nửa khoảng (a; b]; [a; b) với a, b ± ∞ Phương pháp: B1: Tìm y’ B2: Tìm điểm mà y’ = khơng có đạo hàm: x 1, x2, ∈ I Tìm giá trị f(x1), f ( x ) , lim−f ( x ) f(x2), tính xlim →a + x →b B3: Lập bảng biến thiên hàm số tập I Dựa vào bảng biến thiên suy MIaxf ( x ) , MIinf ( x ) Trường hợp 2: Tập I cho đoạn [a; b] Phương pháp: B1: Tìm y’ B2: Tìm điểm thuộc (a; b) mà y’ = khơng có đạo hàm: x 1, x2 ∈ I (nếu có) tìm giá trị f(x1), f(x2), , f(a), f(b) B3: So sánh giá trị: f(x1), f(x2), , f(a), f(b) suy M axf ( x ) = M ax { f ( x1 ) ,f ( x ) , ,f ( a ) ,f ( b ) } x∈[ I] M inf ( x ) = M in { f ( x1 ) ,f ( x ) , ,f ( a ) ,f ( b ) } x∈[ I ] Trường hợp 3: Khơng cho biết tập I, tức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập xác định D hàm số: (Tức I ≡ D) B1: Tìm tập xác định D hàm số B2: Chuyển tập trường hợp BÀI TẬP Bài Tìm giá trị lớn hàm số: f ( x) = x − 3x HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x) = x + x − HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 3 a f ( x) = x − x + x, x ∈ 0; 4] b f ( x) = x − x + x, x ∈  2; 4] 4 c f ( x) = x − x + 3, x ∈ 0; 2] d f ( x) = x − x + 3, x ∈  −2;3] HD: Sử dụng trường hợp Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f(x) = x − x HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp Bài Cho hàm số f(x) = x + − x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a f ( x) = s inx + cos2 x HD: Đặt t = sinx b f ( x) = 2cosx + cos2 x HD: Đặt t = cosx Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Vấn đề ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp tìm đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số y = f(x) (B1): Tìm tập xác định hàm số cho (B2): Dựa vào định nghĩa định lí sau để tìm đường tiệm cận (B3): Kết luận Tiệm cận đứng : (⊥ Ox) f ( x ) = ±∞ Nếu ∃x0 (hữu hạn) cho xlim → x 0+ f ( x ) = ±∞ ) đường thẳng có phương trình x = x0 tiệm cận đứng bên phải (hoặc (hoặc xlim → x 0− bên trái) đồ thị hàm số Tiệm cận ngang: (⊥ Oy) Nếu lim f ( x ) = y0 (hữu hạn) đường thẳng có phương trình y = y tiệm cận ngang bên trái x →−∞ ( x →+∞ ) (hay bên phải) đồ thị hàm số Tiệm cận xiên: Nếu tồn đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ cho lim f ( x ) − ( ax + b )  = x →−∞ ( x →+∞ ) đường thẳng y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f(x) lim Nếu x →−∞ ( x →+∞ ) f ( x) x = a (hữu hạn) lim f ( x ) − ax  = b (hữu hạn) đường thẳng có phương trình x →−∞ ( x →+∞ ) y = ax + b tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) đồ thị hàm số y = f(x) a ≠ a = tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) đồ thị hàm số Chú ý: 1/ Nếu đường thẳng x = x0 (hay y = y0 hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) bên trái bên phải đồ thị hàm số y = f(x) gọi chung tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) đồ thị hàm số y = f(x) 2/ Đối với hàm số phân thức: + Nếu phương trình mẫu số = có nghiệm đồ thị có tiệm cận đứng (số tiệm cận đứng = số nghiệm phương trình mẫu số = 0) + Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) đồ thị có tiệm cận ngang + Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + đồ thị có tiệm cận xiên * Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực phép chia tử cho mẫu sau dùng định lí 3/ Đối với hàm số vơ tỉ hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu có) ta sử dụng định lí BÀI TẬP Bài Tìm đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số sau: x+2 x −3 x − 2x + c/y= x +1 a/y= ; ; 2x x −1 x2 + x +1 d/y= x −1 b/y= Bài Tìm đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số sau: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 x3 x2 − x3 + x + ; d/y= x2 − 1 Bài Tìm m để hàm số y = mx + có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị đến x x+2 x + 4x − c/ y = x + x a/y= b/y = ; tiệm cận xiên đồ thị Vấn đề KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ Phương pháp: 1) Tập xác định: D = R { ±∞ neu a > ( ax3 + bx + cx + d ) = m∞ neu a < 2) Giới hạn: xlim →±∞ 3) Sự biến thiên: * Tìm y’ = 3ax2 + 2bx + c + Nếu ∆ < (∆ = 0): y’ = vơ nghiệm (hoặc có nghiệm kép) Khi đó: * a > y’ > (y’ ≥ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số tăng R * a < y’ < (y’ ≤ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số giảm R + Nếu ∆ > Khi y’ = ⇔ 3ax2 + 2bx + c = ⇔ x = x1 ⇒ y = y1 = f(x1) (giả sử x1 < x2) x = x2 ⇒ y = y2 = f(x2) (Trong hai nghiệm x1, x2: y’ trái dấu a; ngồi hai nghiệm x1, x2: y’ dấu a) Hàm số có hai cực trị Bảng biến thiên : x -∞ y' y +∞ dấu y’ chiều biến thiên y 4) Tìm điểm uốn đồ thị hàm số: * Tìm y” = 6ax + 2b y + yCT b ⇒ y = CD 3a b Nhận xét : Vì y '' đổi dấu qua điểm x = nên đồ thị hàm số nhận điểm 3a b y + yCT I(- ; CD ) làm điểm uốn 3a y" = ⇔ 6ax + 2b = ⇔ x = - 5) Điểm đặc biệt: x = ⇒ y = d * Nếu hàm số ln tăng ln giảm R tìm hai điểm đối xứng qua điểm uốn, thường tìm thêm điểm đối xứng điểm (0; d) qua điểm uốn * Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu tìm thêm hai điểm (x 3; y3), (x4; y4) với x3 < x1 < xu < x2 < x4 x3, x1, xu, x2, x4 tạo thành cấp số cộng) Nếu a > y2 = yCT, y1 = yCĐ Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Nếu a < y2 = yCĐ, y1 = yCT 6) Đồ thị: * Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị Ox, Oy khơng cần nhau) * Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn * Dựng điểm đặc biệt * Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm số đa thức bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên cần vẽ hình cho điểm uốn tâm hình vẽ y' = có nghiệm kép (∆ = 0) tiếp tuyến điểm uốn // Ox * * * II KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG: y = ax4 + bx2 + c với a ≠ Phương pháp: 1) Tập xác định: D = R Hàm số cho hàm số chẵn { +∞ neu a > 2) Giới hạn: lim y = −∞ neu a < x →±∞ 3) Sự biến thiên: y' = 4ax3 + 2bx   = 4ax  x + A Trường hợp: * Nếu a.b ≥ b 2a  b ≥ , ∀x ∈ R ⇒ y' dấu 4ax ( y' = ⇔ x = 0, (y = c)) 2a Thì x + Bảng biến thiên Nếu a > x -∞ y' y +∞ 0 Nếu a < x -∞ y' + y +∞ + +∞ CT 0 CĐ -∞ +∞ -∞ 4) Tìm điểm uốn đồ thị: y" = 12ax2 + 2b ln dấu a * Đồ thị hàm số khơng có điểm uốn 5) Điểm đặc biệt: Cho x = ± ⇒ y = a + b + c 6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị) B Trường hợp: *Nếu a, b trái dấu: (a.b < 0)  b y' = ⇔ 4ax  x +  = 2a   ⇔x=0 ⇒y=c x1,2 = ± − Bảng biến thiên: x -∞ Năm học 2013 - 2014 b 2a x1 ⇒ y1,2 = ? x2 http://violet.vn/vanlonghanam +∞ Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 y' (trái dấu a) y (cùng dấu (trái dấu a) a) chiều biến thiên y (cùng dấu a) 4) Tìm điểm uốn đồ thị: * y" = 12ax2 + 2b y" = ⇔ 12ax2 + 2b = ⇒ x = ± − b ⇒y=? 6a Lập bảng xét dấu y" Tìm điểm uốn đồ thị * Đồ thị hàm số có hai điểm uốn 5) Điểm đặc biệt: x = y=c⇒  b x = ± −  a 6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị) (Có thể chọn đơn vị Ox Oy khơng cần nhau) Chú ý: Hàm số dạng hàm số chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị cho thỏa mãn tính chất * * * III KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG: y= ax + b , c ≠ 0, ad - cb ≠ cx + d Phương pháp:  d  c 1) Tập xác định: D = R \  −  2) Giới hạn, tiệm cận: y = ±∞ ⇒ TCĐ : x = − d + Ta có x →lim ( − d/c) ± c a a lim y = ⇒ TCN :y = x →±∞ c c a b 3) Sự biến thiên: y ' = c d = ad − cb ( cx + d ) ( cx + d ) + Nếu ad - cb < ⇒ y' < 0, ∀x ∈ D ⇒ Hàm số giảm khoảng D + Nếu ad - cb > ⇒ y' > 0, ∀x ∈ D ⇒ Hàm số tăng khoảng D 4) Bảng biến thiên: Nếu y' < x -d/c -∞ y' a y +∞ c -∞ +∞ a c Nếu y' > x Năm học 2013 - 2014 -∞ -d/c http://violet.vn/vanlonghanam +∞ 10 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 V S ABCD 6 = a = a 6 a 18 C Một số đề thi tham khảo tập tự luyện: Bài 8: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy A’B’C’D’ hình thoi tâm I, cạnh a, đường chéo A’C’= a Tam giác IAC vng I Tìm thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên AA’ = 2a Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm SD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SD b) Tính thể tích khối chóp M.ACD theo a Đề TN – 2008: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC c) Chứng minh SA vng góc với BC d) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Đề TN – 2009: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng ¼ = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a góc với mặt phẳng đáy, Biết BAC Đề TN – 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Từ đó, suy ra: V S AB 'C 'D ' = MẶT TRỊN XOAY - MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Vấn đề 1: Giải tốn tìm thiết diện mặt phẳng với khối nón Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Phương pháp: Sử dụng giả thiết tính chất thiết diện tạo mặt phẳng với hình nón (khối nón) để tính diện tích thiết diện, diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Sau xác định yếu tố có liên quan đến thiết diện, diện tích xung quanh thể tích khối nón, cần khéo léo sử dụng cơng thức tính diện tích hình học phẳng tìm độ dài đoạn thẳng dựa vào hệ thức lượng tam giác ● Diện tích xung quanh hình nón tròn xoay Gọi S xq diện tích xung quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy R có độ dài đường sinh l Ta có cơng thức: S xq = πRl Diện tích tồn phần hình nón tròn xoay: diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích đáy hình nón Stp = S xq + S®¸y = πRl + πR ● Thể tích khối nón tròn xoay: Gọi V thể tích khối nón tròn xoay có chiều cao h có bán kính đường tròn đáy R Ta có cơng thức: V = π R h Bài 1: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy R = 25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12cm xác định thiết diện (P) với khối nón tính diện tích thiết diện Giải: Gọi S đỉnh khối nón Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh SA = SB nên ta có thiết diện tam giác cân SAB Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB, ta có OI ⊥ AB Từ tâm O đáy, ta kẻ OH ⊥ SI H, ta có OH ⊥ (SAB) đó, theo giả thiết, ta có OH = 12cm Xét tam giác vng SOI, ta có: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 47 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 1 1 = − = − ⇒ OI = 15cm 2 OI OH OS 12 20 Mặt khác, xét tam giác vng SOI, ta có: OS.OI = SI.OH OS OI 20.15 = = 25cm Do đó: SI = OH 12 Gọi S t diện tích thiết diện SAB Ta có: S t = AB.SI , AB = 2AI 2 2 2 Vì AI = OA – OI = 25 – 15 = 20 nên AI = 20 cm AB = 40cm Vậy thiết diện SAB có diện tích S t = 40.25 = 500(cm ) Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Giải: a Khối nón có chiều cao a có bán kính đáy r = Do diện tích xung quanh khối nón tính theo cơng thức: S xq = π Rl l = a +  a  2 = a a a π a2 S xq = π Rl = π = Thể tích khối nón tính theo cơng thức: 1 a V = π R h = π  ÷ a 3 2 π a3 Vậy: V = 12 Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S mp qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy hình nón thể tích khối nón b) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho (SBC) tạo với mp chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC Giải: a) Giả sử cắt hình nón mp qua trục SO hình nón tam giác vng cân SAB Suy a a hình nón có bán kính R = , chiều cao h = SO = , đường sinh l =a 2 2π a 2π a ;V= S= 12 SO a · = b) Kẻ OH ⊥ BC SH ⊥ BC nên SHO , = 600 Ta có SH = sin 60 a BH = SB − SH = Vậy a2 Nên S SBC = SH BH = Vấn đề 2: Cho yếu tố để xác định mặt trụ tròn xoay khối trụ tròn xoay hình trụ tròn xoay Giải tốn tìm thiết diện mặt phẳng với khối trụ, tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 48 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Phương pháp: Sử dụng giả thiết tính chất thiết diện tạo mặt phẳng với hình trụ (khối trụ) để tính diện tích thiết diện, diện tích xung quanh, thể tích khối trụ ● Diện tích xung quanh hình trụ tròn xoay Gọi S xq diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đường tròn đáy R có độ dài đường sinh l Ta có cơng thức: S xq = 2πRl Diện tích tồn phần hình trụ tròn xoay: diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích đáy hình trụ Stp = S xq + S2 ®¸y = 2πRl + 2πR ● Thể tích khối nón tròn xoay: Gọi V thể tích khối trụ tròn xoay có chiều cao h có bán kính đường tròn đáy R Ta có cơng thức: V = π R h Bài 1: Một khối trụ có chiều cao 20cm có bán kính đáy 10cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ nằm hai đáy cho chúng hợp với góc 30o Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song với trục khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện Giải: Từ đáy khối trụ, ta vẽ hai bán kính OA, OB cho góc AOB = 300 Gọi A’, O’, B’ hình chiếu vng góc A, O, B mặt đáy lại Ta có, OA O’B’ tạo với góc 300 Thiết diện hình chữ nhật ABB’A’ có: AB2 = OA2 + OB2 – 2OA.OBcos300 = 2r − 2r = r (2 − ) = 100(2 − ) Vậy AB = 10 − cm Mặt khác, ta có: AA’ = BB’ = OO’ = 20cm Do đó, thiết diện hình chữ nhật ABB’A’ có diện tích là: S = AB BB’ = 10 − × 20 = 200 − (cm ) Bài 2: Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng a) Tính diện tích xung quanh khối trụ b) Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho (hình lăng trụ có đáy hình vng nội tiếp đường tròn đáy hình trụ) c) Gọi V thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ V’ thể tích khối trụ Hãy tính V tỉ số V' Giải: a) Vì thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên đường sinh l đường cao h 2r Do đó, diện tích xung quanh khối trụ, là: S xq =2 π rl = π r2 b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Ta có, hình vng ABCD nội tiếp đường tròn đáy Do đó, AB = r ta tính thể tích hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho là: V = S ABCD AA' = (r ) 2r = 4r c) Gọi V’ thể tích khối trụ có bán kính đáy r có chiều cao 2r Ta có: V ' = Bh = π r 2r = 2π r V 4r Vậy: = = V ' 2π r π Bài 3: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi H hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng (BCD) Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD chiều cao AH Hướng dẫn giải: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 49 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 a (với I trung điểm BC); AI = 3 a l = h = AH = SA2 − AH = Khối trụ có bán kính R = AH = 2π a 2π a ;V= 3 Bài 4: Cho mặt cầu (S) tâm O, đường kính AB = 2R Mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng AB trung điểm I OB cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy hình tròn (C) Hướng dẫn giải: R Đường tròn (C) có tâm I bán kính 3R R Khối nón có đỉnh A có đường cao: h = AI = , bán kính ;đường sinh 2 R 3R l= + =R 4 Thay vào cơng thức tương ứng tính Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = a A’C = 2a Tính tỷ số thể tích khối hộp chữ nhật khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải: 2 Ta có: AC ' = BA + BC + BB ' ⇒ BB ' = 4a Khi đó: S xq = Vk/hép = 4a 3 Gọi O O’ tâm hình chữ nhật ABCD A’B’C’D’, O O’ tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD A’B’C’D’ Khi khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có đường cao: AC = a ;đường sinh l = h = 4a h = OO ' = BB ' = 4a , bán kính R = OA = Vk/trơ = 4π a Vk/hép Vk/trơ π Vấn đề 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu thỏa mãn số điều kiện cho trước Phương pháp: Muốn xác định tâm bán kính mặt cầu, cần dựa vào mệnh đề sau đây: a) Tập hợp tất điểm M khơng gian cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi cho trước mặt cầu tâm O, bán kính R b) Tập hợp tất điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng mặt cầu đường kính AB c) Tập hợp tất điểm M cho tổng bình phương khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định số k2 mặt cầu có tâm trung điểm I đoạn thẳng AB bán kính r= 2k − AB 2 d) Mặt cầu mặt tròn xoay tạo nên nửa đường tròn quay quanh trục đường kính AB nửa đường tròn Bài :Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau đây: a) Đi qua đỉnh hình lập phương b) Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c) Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương ⇒ = Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 50 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Giải: a) Gọi O trung điểm đường chéo AC’ Ta có, O cách đỉnh hình lập phương Vậy mặt cầu qua đỉnh hình lập phương cạnh a có tâm O trung điểm đường chéo AC’ a có bán kính R = a b) Gọi H trung điểm cạnh AA’ Ta có: OH = AC = Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 2 cạnh hình lập phương mặt cầu có tâm O trung điểm đường chéo AC’ bán kính R’ = a OH = a c) Gọi I tâm hình vng ABCD Ta có: OI = Vậy mặt cầu tiếp xúc với mặt bên hình lập phương mặt cầu tâm O (O trung điểm đường chéo AC’) có bán kính R’’ a khoảng cách từ O đên mặt bên hình lập phương Ta có: R’’ = Vấn đề 4: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình lăng trụ Phương pháp: Muốn chứng minh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình lăng trụ, ta cần chứng minh mặt cầu qua tất đỉnh hình chóp hình lăng trụ Sau đó, cần xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp * Đối với hình chóp: Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp có đường tròn ngoại tiếp Khi tâm xác định sau: Cách 1: Tìm điểm I cách tất đỉnh hình chóp cách chứng minh tất đỉnh khác nhìn đỉnh hình chóp góc vng, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đường kính độ dài đoạn thẳng đó, tâm trung điểm đoạn thẳng Cách 2: Tìm điểm I cách tất đỉnh hình chóp cách B1: Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Từ O dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đường thẳng d qua O d vng góc với mặt đáy B2: Xác định mặt trung trực (P) cạnh bên Tìm I = d ∩ ( P ) Thơng thường mp chứa trục d cạnh bên ta xác định đường trung trực Δ cạnh bên Khi I = d ∩ ∆ B3: Kết luận I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp * Đối với hình lăng trụ: Điều kiện cần đủ để hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ phải hình lăng trụ đứng có đáy đa giác có đường tròn ngoại tiếp Khi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ trung điểm đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải: Vì S.ABC hình chóp nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm đường cao SH, H trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh SA Ta có: OI ⊥ SA Khi đó, hai tam giác vng SIO SHA đồng SO SI SA = = dạng Từ đó, ta suy ra: SA SH SH SA Do đó, SO = =r SH  2a   nên SH = Mà SH2 = SA2 – AH2 = b2 -     Năm học 2013 - 2014 3b − a = 3b − a 3 http://violet.vn/vanlonghanam 51 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 SA b2 3b = = 2 Vậy: SH 3b − a 2 3b − a Bài 2: Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đơi vng góc với tạo thành tứ diện SABC với SA = a, SB = b, SC = c Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Giải: Gọi M trung điểm đoạn AB Ta có, M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng SAB Từ M, kẻ Mx song song với SC Mặt phẳng trung trực SC cắt Mx O Ta có: OA = OB = OC = OS Như vậy, O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ giác SABC AB SC Ta có: r2 = OS2 = SM2 + MO2 = + = ( SA + SB + SC ) 4 (vì AB2 = SA2 + SB2) a2 + b2 + c2 Vậy r = Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp Giải: Gọi I I’ trọng tâm hai tam giác đáy lăng trụ Như vậy, I I’ đồng thời tâm hai đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng I I’ Ta suy ra, trung điểm O đoạn I I’ ta suy ra, trung điểm O đoạn I I’ tâm mặt cầu ngoại tiếp qua đỉnh lăng trụ cho Mặt cầu có bán kính r = OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’ a a 7a Ta có: OA2 = AI2 + IO2 = + = 12 a a 21 = Vậy: r = OA = Từ đó, ta tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là: r=  a 21  7π a S = π r = 4π  ÷ ÷ =   Gọi V thể tích khối cầu 2 4  a 21  Ta có: V = π r = π  ÷ 3  ÷  21π a Vậy: V = 54 Bài 4: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trường hợp sau: a) Góc BAC = 900 b) Góc BAC = 600 b = c c) Góc BAC = 1200 b = c Giải: a) Gọi M trung điểm BC, ta có: MA = MB = MC Dựng đường thẳng d vng góc với mp(ABC) M Mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d O 2 a b c 2 2 Ta có: OS = OA = OB = OC r = OA = OM + MA =   +   +    2 2 2 Do đó, ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện có a2 + b2 + c2 r= Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 52 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 b) BAC = 600 b = c, suy tam giác ABC cạnh b Gọi I trọng tâm tam giác nên I đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng d đường thẳng vng góc với mp(ABC) I Mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d O Ta có: OS = OA = OB = OC r2 = OA2 = OI2 + IA2 Do đó, ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện có: 2 3 a2 b2  a   a2 b2  = + r =   + b Vậy r = + 4     c) Góc BAC = 1200 b = c, ABC tam giác cân có góc A đỉnh 1200 cạnh bên b Gọi M trung điểm cạnh BC Kéo dài AM đoạn MK = AM, ta có: KA = KB = KC = AB = AC = b Dựng đường thẳng d vng góc với mp(ABC) K mặt phẳng trung trực đoạn SA cắt d O a 2 2 Ta có: OS = OA = OB = OC r = OA = OK + KA =   + b 2 Do đó, ta có, mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện có bán kính r = a2 + b2 Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ? HD: a) Gọi O tâm hình vng ABCD, tính chứng minh OA=OB=OC=D=OS = a nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Thay vào cơng thức tính Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy tam giác vng cân có AB = BC = a Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Chứng minh điểm A, B, C, B’, C’ thuộc mặt cầu? HD: · · a) Chứng minh: SAC = SBC = 900 nên A, B, C, D thuộc mặt cầu đường kính SC có tâm trung điểm I SC b) Chứng minh: ·AC ' C = ·ABC = ·AB ' C = 900 nên A, B, C, B’, D’ thuộc mặt cầu đường kính AC Bài 7: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ tâm O hình vng dựng đường thẳng ∆ ⊥ (ABCD) Trên ∆ lấy điểm S cho OS = a / a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên hình chóp HD: a) SO trục đường tròn đáy Trong mp(SAC) dựng đường trung trực d cạnh bên SA qua trung điểm M SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R = IS SM SA 3a a = Ta có: ∆SMI : ∆SOA ⇒ SI = với SA = SO b) Thay vào cơng thức tính Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 450 Hãy xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN r r ur r Bài Cho ba vectơ u (1; 2;3), v(2; 2; −1), w(4;0; −4) Tìm tọa độ vectơ x biết Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 53 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 r r r a x = u − v r r r ur b x = u − v + 2w r r ur r c x + 3v − w = Bài a Cho ba điểm A(2;5;3), b(3;7;4), C(x;y;6).Tìm x, y để A,B,C thẳng hàng b Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) cho MA + MB nhỏ r r Bài Tính tích có hướng u, v  , biết r r r r r r r r r a u = (1; 2; −3), v = ( −4;1; 2) b u = 3i + j − k , v = −i − 3k Bài Chứng tỏ bốn điểm sau bốn đỉnh hình bình hành tính diện tích hình bình hành A( 1;1;1), B(2;3;4), C(6;5;2),D(7;7;5) Bài Tìm trục oy điểm cách hai điểm A(3;1;0), B(-2;4;1) Tìm mp(Oxz) điểm cách ba điểm A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;-1) Bàir Xét sựr đồng phẳng ur ba vectơ sau a u (1; −1;1), v(0;1; 2), w(4; 2;3) r r r r r r r r ur r r b u = 4i + j + 5k , v = 3i + j + 3k , w = 2i + k Bài r r r r a Cho hai vectơ a = (1;log 5; m), b = (3;log 3; 4) Tìm m để a ⊥ b r r r b Vectơ u có độ dài 2, tạo với vectơ a (1;1;1) góc 300, tạo với vectơ b(1;1;0) góc 450 Tìm tọa r độ vecto u Bài Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tam tứ diện ABCD c Tính diện tích mặt tứ diện ABCD d Tính độ dài đường cao tứ diện ABCD e Tính góc hai đường thẳng AB, CD f Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 1;0;0) B(0;0;1) , C(2;1;1) a Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác b Tính chu vi, diện tích tam giác ABC c Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành d Tính độ dài đường cao hA tam giác ABC kẻ từ A e Tính góc tam giác ABC f Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC./ g Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 10 Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;2;-1), B(2;-1;3),C(-4;7;5) a Tính độ dài đường cao tam giác kẻ từ A b Tính độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh B “ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN” Viết phương trình tổng qt mặt phẳng Phương pháp giải: Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) biết véc-tơ pháp tuyến = (A, B, C) điểm M (x; y; z ) ∈ (α) - PT (α) có dạng: A(x - x ) + B(y - y ) + C(z - z ) = - Khai triển, rút gọn đưa dạng tổng qt Ax + By + Cz + D = với D = -(Ax + By + Cz ) Loại 2: Viết PTMP chứa điểm M, N, P khơng thẳng hàng - Tìm vtpt (α): = ∧ - Mp(α) qua điểm M có vtpt Loại 3: Viết ptmp (α) chứa điểm M (x; y; z ) song song với mp(β): Ax + By + Cz + D = - PT (α) có dạng: Ax + By + Cz + D’ = (1) - Thay tọa độ M vào (1) ta tìm D’ Loại 4: Viết PTMP (α) chứa điểm M, N vng góc với mặt phẳng (β) Ax +By +Cz +D =0 Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 54 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 - Tìm vtpt (aaAx +By +Cz +D =0 - Tìm vtpt (α): = ∧ - Mp (α) qua điểm M có vtpt Chú ý: Trong khơng gian Oxyz, cho mp (α) hai véc-tơ khơng phương = (a; a; a ) = (b; b; b) có giá song song nằm mp(α) Ta có: =[ ,]= ∧ BÀI TẬP Bài 1: Viết pt tổng qt mp(α) qua M(5; 2; 1) song song với mp(β): x - 3y -z + 3= Bài 2: Viết pttq mp(ABC) với A(2; -3;1); B(-1;2; 5) C(4; 5; -3) Bài 3: Viết ptmp(α) qua điểm A(3; 2; 5); B(-2; 1; -3) vng góc với mp(β) có pt: 4x + 5y - 3z -2=0 Bài 4: Viết ptmp (α): a Đi qua điểm A(1; 0; 2) song song với mp Oxy b Đi qua điểm M(2; -1; -3) vng góc với trục Ox c Là mp trung trực đoạn thẳng AB với A(1; 3; 2); B(-1; 1; 0) d qua P(1 ;0 ;-2) vng góc với đường thẳng BC, với B(-2 ;1;0), C(-0 ;-3 ;1) Bài 5: Viết ptmp (α) qua điểm M(0; 2; -1) song song với trục Ox vng góc với mp(β): x-y+z=0 Bài 6: Viết ptmp qua A(-3; 0; 1) vng góc với mp(P): -2x + 3y – z + = mp(Q): x + 5y - 2z + = Bài Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3); B(1; 6; 2); C(5; 0; 4); D(4; 0; 6) a Viết ptmp(BCD) b Viết ptmp qua AB song song với đường thẳng CD c Gọi G trọng tâm ∆BCD Viết ptmp qua G song song với mp(ABC) Bài 8: Viết ptmp qua A(1; 2; 1) chứa trục Oy Bài 9: Viết ptmp qua hình chiếu điểm M(1; -3; 1) trục tọa độ Bài 10 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;1;2) a Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng b Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mp(Oxy) Háy viết phng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’, B, C,D c Viết phương trình tiếp diện ( α ) mặt cầu (S) A’ ( TNPT - 2004) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp mp sau cho phương trình tổng qt sau: a 2x - 3y + 4z – = 3x – y + z – = b -x + y - z + = 2x - 2y + 2z - = c x + y + z - = 2x + 2y - 2z - = d 3x + 3y - 6z -12 = 4x + 4y -8z -16 = Bài 2: Cho hai mp: (α): (m - 5)x - 2y + mz + m - = (β): x + 2y - 3nz + = Tìm m n để mp: a Song song b Trùng c Cắt Bài 3: Cho mp 3x - (m - 3)y + 2z -5 = (m + 2)x - 2y + mz - 10 = Tìm m để mp: a Song song b Trùng c Cắt Mặt Cầu Bài Trong phương trình sau đây, phương trình phương trình phương trình mặt cầu? Nếu ptmc, tìm tâm tính bán kính Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 55 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 a x2 + y2 + z2 -2x -6y - 8z +1 = b x2 + y2 + z2 +10x+4y+2z+30= b x2 + y2 + z2 -y=0 d.2x2 +2y2 +2z2 -2x -3y - 5z -2 = Bài Lập phương trình mặt cầu a Viết phuơngtrình mặt cầu qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) có tâm nằm mp(Oxy) b Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) có tâm thuộc trục Oz c Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(1;1;1) , B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Bài Cho phương trình x2 + y2 + z2 -4mx +4y +2mz +m2 +4m = Xác định m để ptmc Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ Bài 4.Viết phương tình mặt cầu (S) biết: a Tâm I(1; 2; -3) bán kính R = b Tâm I(-1; 2; 3) qua điểm A(-2; 5; 5) c Đường kính AB với A(9; 1; 3); B(1; 5; 5) Bài 5.Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính R = tiếp xúc với mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = điểm A(1; 1; -3) Bài 6.Mặt phẳng (α): 2x - 2y – z + = cắt mặt cầu (S): (x - 3) + ( y + 2) + (z - 1) = 100 theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tâm bán kính đường tròn (C) Bài Trong khơng gian Oxyz cho mp(P) mặt cầu (S) có phương trình tương ứng : (P) : 2x -3y + 4z - =0 (S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + = a Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) b Tính khoảng cách từ tâm I đến mp( P) Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định bán kính r tọa độ tâm H dường tròn (C) ( TNPT - 2000) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa: Đường thẳng (d) qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ phương u = (a; b; c) x = x + at  (d) có PT tham số : t tham số (1)  y = y + bt (1) z = z + ct  (d) có PT tắc : x − x y − y0 z − z0 = = , abc ≠ a b c (2) 2) Phương pháp : Như để viết phương trình đường thẳng ∆ ta phải xác định hai điều kiện : - Điểm M(x0;y0;z0) ∈ ∆ - Véctơ phương u = (a; b; c) ∆ Khi phương trình ∆ có dạng (1) (2) II MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Viết PTTS đt d qua điểm A B + Phương pháp: Viết PTTS đt d qua điểm A có VTCP AB + Bài tập áp dụng: 1) Viết PTTS đt d qua điểm A(1,-2,1) B(0,2,1) 2) Viết PT tắc đường thẳng qua điểm M(0, 0, 2) N(1, 1, -3) Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 56 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 3) Viết ptts, ptct đường thẳng qua A(1;-2;3) song song với  x = + 2t ( d ) :  y = −3t  z = −3 + t  4) Viết ptts, ptct đường thẳng qua B( -1;2; 4) song song với ( d) : x − y +1 z − = = −2 5) Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1,0,-2); B(2,1,-1); C(1,-2,2) a) Viết pt đt AG, với G trọng tâm tam giác ABC b) Viết pt trung tuyến BM tam giác ABC Dạng 2: Viết PTTS đt d qua điểm M vng góc với mp(P): Ax + By + Cz + D = + Phương pháp: Viết PTTS đt d qua điểm M có VTCP u d = n( P ) + Bài tập áp dụng: 1) Viết pt đt qua điểm A(0,-1,3) vng góc với mp(P): 2x - y + 3z + = 2) Viết pt đt qua điểm M(2,1,-3) vng góc với mặt phẳng tọa độ 3) Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(2,3,1); B(4,1,-2); C(6,3,7); D(-5,-4,8) a) Cmr ABCD tứ diện b) Viết pt đường cao AH tứ diện ABCD 4) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M(-2,1,-1) mp (P): x + 2y - 3z + = 5) Trong khơng gian Oxyz cho điểm B(1,2,3) mp ( α ) : 3x - y + 2z - = Tìm tọa độ điểm B' cho mp ( α ) mặt phẳng trung trực đoạn BB' 6) Mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3) Hãy viết ptts, ptct đường thẳng (d) qua trọng tâm G tam giác ABC vuông góc với (Q): 3x - y + 2z - = Dạng 3: Viết PTTS đt d giao tuyến mp (P) : A1x + B1y + C1z + D1 = mp (Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = + Phương pháp: uu r uuur uuur - Tìm VTCP đt d là: ud =  n( P ) , n( Q )  A x + B1 y + C1 z + D1 = - Tìm M thuộc đt d: hệ pt  ta chọn ba A x + B y + C z + D = giá trị x,y,z giá trị cụ thể vào hệ, giải hệ pt ẩn lại - Viết PTTS đt qua M nhận u d làm VTCP + Ví dụ áp dụng: Viết pt đường giao tuyến hai mp(P): x + y +z -3 = mp(Q): 2x - y + z + 5= Giải: uuur uuur VTPT (P) : n( P ) = ( 1,1,1) , VTPT (Q) n( Q ) = ( 2, −1,1) uu r uuur uuur VTCP đt d là: ud =  n( P ) , n( Q )  = (2,1,-3)  y + z −3= y=4 ⇔ Cho x =0, giải hệ  Ta có điểm A(0,4,-1) điểm chung mp  z = −1 − y + z + = (P) (Q) Vậy giao tuyến đường thẳng qua A nhận u d làm VTCP (HS tự viết) Dạng 4: Viết PTTS đt ∆ qua M vng góc với đt d d’ uur uu r uur + Phương pháp: Viết PTTS đt d qua M có VTCP u∆ = ud , ud '  + Bài tập áp dụng: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 57 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 1) Viết pt đt qua điểm C(-1,4,0) vng góc với đường thẳng:  x = 1+ t  x = − 2t   d :  y = − t ; d ' :  y = −t  z = −3t  z = 1+ t   2) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ O vng góc với trục Ox đường thẳng  x=t  ∆ :  y = −t  z = −3t  Dạng 5: Viết PTTS đt ∆ đường vng góc chung đt d d’ + Phương pháp: uur uu r uur Cách 1: - VTCP đt ∆ : u∆ = ud , ud '  uur uu r uur - Viết PTTQ mp(P) chứa d có VTPT nP = ud , u∆  uur uur uur - Viết PTTQ mp(Q) chứa d’ có VTPT nQ = ud ' , u∆  - Đt d giao tuyến mp (P): A1x + B1y + C1z +D1 = mp (Q): A2x + B2y + C2z +D2 = - Áp dụng dạng 3, viết ptts đt d  x = x + at  x = x' + a ' t '   Cách 2: Cho d:  y = y + bt d’:  y = y ' +b' t '  z = z + ct  z = z ' +c' t ' 0   - Lấy M ∈ d ⇒ M( x0 + at ; y + bt ; z + ct ) - Lấy N∈ d’ ⇒ N( x' + a ' t ' ; y ' +b' t ' ; z ' +c ' t ' ) uuuu r uu r  MN ud = - MN VTCP đt d  uuuu , giải hệ tìm t, t’; tìm M, N r uur MN u =  d' - Viết ptts đt d qua điểm M N Chú ý: Độ dài MN khoảng cách đường thẳng chéo d, d' + Ví dụ áp dụng: x =  1) Cho đt chéo d:  y = −4 + 2t d': z = + t   x = −3t '   y = + 2t '  z = −2  Viết pt đường vng góc chung đt Giải: Cách 1: Gọi uu r ∆ đường vng góc chung đt ud = ( 0, 2,1) Ta có: uur ud ' = ( −3, 2, ) uur uu r uur VTCP đt ∆ : u∆ = ud , ud '  = (-2, -3, 6) uur uu r uur Pt mp (P) chứa d có VTPT nP = ud , u∆  = (15, -2, 4) mp qua M0(1, -4, 3) có uur VTPT nP = (15, -2, 4): 15x - 2y + 4z - 35 = Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 58 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 uur uur uur PT mp(Q) chứa d’ có VTPT nQ = ud ' , u∆  = (12,18,13) mp qua M1(0, 3, -2) có uuur VTPT n( Q ) = (12,18,13): 12x + 18y + 13z - 28 = Đt d giao tuyến mp (P): 15x - 2y + 4z - 35 = mp (Q): 12x + 18y + 13z - 28 = (HS tự viết) Cách uu r 2: ud = ( 0, 2,1) uur ud ' = ( −3, 2, ) M(1, -4+2t, 3+t) ∈ d ∈ N(-3t', uuuu r 3+2t', -2) d' MN = (−3t '− 1, 2t '− 2t + 7, −t − 5) uuuu r uu r  MN ud = Để MN đường vng góc chung ta phải có:  uuuu r uur  MN ud ' = ( 2t '− 2t + ) − t − =  t =1 ⇔ ⇔ t ' = −1 ( 3t '− 1) ( −3) + ( 2t '− 2t + ) = Thay t = vào pt d ta M(1, -2, 4) Thay t' = -1 vào pt d ta N(3, 1, -2) Đường vng góc chung đt qua điểm M N (HS tự viết)  x = + 2t  x = −2t '   2) Cho đt chéo d:  y = − 2t d':  y = −5 + 3t '  z = −t z =   a) Viết pt đường vng góc chung đt b) Tính khoảng cách đt d d' Dạng 6: Viết PTTS đt d’ hình chiếu vng góc đt d lên mp (P) + Phương pháp: - Viết PTTQ mp(Q) chứa d vng góc với mp(P) - đt d giao tuyến mp(P) MP(Q) + Bài tập áp dụng: x = − t  1) Viết pt hình chiếu vng góc đt d:  y = 2t  z = −1 + 2t  xuống mp(P): x + y + z - = 2) Lập pt hình chiếu đt d: x −1 y + z − = = a) Trên mp (Oxy) b) Trên mp (Oxz) c) Trên mp (Oyz) MỘT SỐ ĐỀ THI THPT Bài 1:( TNPT-94) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp (α ) , mp( β ) có phương trình: 3x - 2y + 2z - =0 4x + 5y - z + =0 a Chứng minh hai mặt phẳng vng góc b Viết phương trình tham số giao tuyến hai mp Bài 2: ( TNPT - 95)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-2 ;0 ;1), B(0 ;10 ;3), C(2 ;0 ;-1), D(5 ;3 ;-1) a Viết phương trình mp(P) qua điểm A, B, C b Viết phương trình đường thẳng qua điểm D vng góc với mp(P) Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 59 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 c Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc mp(P) Bài 3: ( TNPT - 97)Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm B(0 ;2 ;1), C(1 ;0 ;-4), A(1;4;0) a Viết phương trình tham số đường thẳng AB b Viết phương trình tổng qt mặt phẳng (α ) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mp (α ) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB Bài 4: ( TNPT - 98)Trong khơng gian Oxyz cho điểm I( ;2 ;3) mp (α ) có phương trình 2x - 2y - z - = Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mp (α ) Gọi tiếp điểm H Tính tọa độ tiếp điểm Bài 5: ( TNPT - 99)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm D(-3 ;1 ;2) mp (α ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10),C(1;1;8), a Viết phương trình đường thẳng AC b Viết phương trình tổng qt mp (α ) c Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R =5 Chứng minh mặt cầu cắt mp (α ) d Chứng minh mặt cầu cắt đường thẳng AC 1 Bài 6: ( TNPT - 2001) Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1 ;0 ;0), B(1 ;1 ;1) , C( ; ; ) 3 a Viết phương trình tổng qt mp (α ) vng góc với đường thẳng OC C Chứng minh ba điểm O, B, C thẳng hàng.Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B ,bán kính với mp (α ) b Viết PTTS đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng AB mp (α ) Bài 7: (TNPT - 2002) Trong khơng gian Oxyz cho mp (α ) có phương trình : x + y + z -1 =0 x y z −1 đường thẳng (d) : = = 1 −1 a Viết PTCT đường thẳng giao tuyến mp (α ) với mp tọa độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết a, b, c giao điểm tương ứng mp (α ) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz , D giao điểm đường thẳng (d) với mp(Oxy) b Viết ptmc (S) qua bốn điểm A, B, C, D Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mp(ABCD) Bài 8: (TNPT - 2003) uuurTrong r khơng r r gian Oxyzuucho ur bốn r điểm r rA, B, C,D có tọa độ xác định hệ thức: A(2;4;-1); OB = i + j − k , C(2;4;3), OD = 2i + j − k a CMR AB ⊥ AC ; AC ⊥ AD; AD ⊥ AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD b Viết PTTS đường vng góc chung Vcủa hai đường thẳng AB, CD Tính góc đường thẳng V mp(ABD) c Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) mặt cầu (S) song song với mp(ABD) Bài 9: (TNPT - 2005)Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 -2x + 2y + 4z _ = x + y − = x −1 y z ∆2 : = = hai đường thẳng ∆1 :  −1 −1 x − 2z = a Chứng minh (∆1 );(∆ ) chéo b Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) biết tiếp diện song song với hai đường thẳng (∆1 );(∆ ) Bài 10: (TNPT - 2008) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) mp (α ) có phương trình 2x - 3y + 6z + 35 = a Viết phương trình đường thẳng qua ddiemr M vng govs với mp (α ) b Tính khoảng cách từ điểm M đến mp (α ) Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox cho độ dài đoạn thẳng NM khoảng cách từ điểm M đến mp (α ) Bài 11: (TNTHPT - 2009 chuẩn) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mp(P) có phương trình Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 60 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chun Đề Ơn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 (S) : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 2)2 = 36 (P): x + 2y + 2z +18 =0 a Xác định tọa độ tâm T tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mp(P) b Viết PTTS đường thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P) Bài 12: (TNTHPT - 2009 nâng cao) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1 ;-2 ;3) đường thẳng x +1 y − z + = = d có pt : −1 a Viết phương trình tổng qt mp qua A vng góc với đường thẳng d b Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d Viết pt mặt cầu tâm A tiếp xúc với d Bài 13 : (TNTHPT - 2010 chuẩn) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ;0 ;0), B(0 ;2 ;0), C(0 ;0 ;3) a Viết PTMP qua A vng góc với đường thẳng BC b Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 14 : (TNTHPT - 2010 nâng cao)Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng ∆ có phương trình x y +1 z −1 = = −2 a Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ b Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O đường thẳng ∆ Bài 15 : (TNTHPT - 2011 chuẩn) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0) mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y – z + = a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với mặt phẳng (P) b) Xác định tọa độ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (P) Bài 15 : (TNTHPT - 2011 nâng cao) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;3), B(-1;-2;1) C(-1;0;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 61 [...]... 3x 2 + 3 2 d/ y = -x4 + 10x2 - 9 ; Bi 5: Kho sỏt s bin thi n v v th cỏc hm s: a/y= x+3 x +1 ; b/y = x4 x2 c/ y = 3x + 2 x+2 ; d/y= x+2 2x + 1 e/ y = 2x 4 x 3 ; f /y= x + 1 x+2 g/y = x+2 2x + 1 ; h/y= 3x + 1 2x + 2 Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 11 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 * * * Vn 6 TIP TUYN CA TH HM S Phng trỡnh tip tuyn... - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 12 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 Dng 3: Lp phng trỡnh tip tuyn ca th hm s khi bit tung tip im y0 Phng phỏp: Bc 1:Tớnh honh tip im x0 bng cỏch gii phng trỡnh y0 = f ( x0 ) x0 Bc 2: Tớnh y '( x0 ) Bc 3: Th vo phng trỡnh y = y '( x0 ).( x x0 ) + y0 Bi tp 4: Cho hm s y = x 4 + 2x + 3 (C) a.Kho sỏt s bin thi n... S nghim ca phng trỡnh f ( x) = g ( x) bng s giao im ca ( C1 ) v ( C2 ) Bi 1: Cho hm s y = x 3 3x + 1 (C) a Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 15 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 b Bin lun theo k s nghim ca phng trỡnh x 3 + 3x 1 + k = 0 HD: Phng trỡnh x 3 + 3x 1 + k = 0 x3 3x + 1 = k S nghim... bin thi n v v th cỏc hm s: a/ y = x3 - 3x + 2 ; b/ y = 2x3 - 3x2 + 1 1 3 5 3 x3 2x 2 + 3x + 1 3 c/ y = x 3 + x 2 + 3x + ; d/ y = e/ y = x3 + 4x2 + 4x ; f/ y = -x3 + 2x2 - 8x - 1 ; h/ y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 g/y= 1 3 x 2x 2 + 3x 3 Bi 3: Kho sỏt s bin thi n v v th cỏc hm s: a / y = x 4 + 3x 2 + 2 c/ y = 1 4 1 x + x2 + 2 2 ; 1 1 b / y = x4 x2 + 4 4 ; d / y = x 4 2x 2 + 1 Bi 4: Kho sỏt s bin thi n... tip tuyn i qua im cho trc Cho hm s y = f ( x) (C) lp phng trỡnh tip tuyn i qua im A( x A ; y A ) ta la chn mt trong hai cỏch sau: Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 13 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 Cỏch 1: Bc 1: ng thng (d) qua A( x A ; y A ) cú phng trỡnh: y = k ( x x A ) + y A Bc 2: (d) tip xỳcvi (C) khi v ch khi h sau cú nghim (1)... trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im un c Mt ng thng i qua gc ta O (0; 0)v im A (2; 2) Tỡm ta cỏc giao im ca th (C) vi ng thng OA Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 14 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 HD : b + im un I (1;1) + y(1) = 3 + Phng trỡnh tip tuyn c + Phng trỡnh ng thng OA y = kx, OA qua A(2; 2) nờn phng trỡnh OA l y = x Phng trỡnh... http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 y' y + + a c + a c - 5) im c bit: b (nu d 0) d b * y = 0 x = (nu a 0) a *x=0 y= Tỡm thờm ta 2 im cú honh i xng qua tim cn ng 6) th: V h trc - V ng tim cn - Dng cỏc im c bit (sao cho mi nhỏnh ca th phi qua hai im) V th (v hỡnh sao cho giao im 2 ng tim cn l tõm ca hỡnh v) Phi chn n v trờn Ox, Oy bng nhau BI TP Bi 1: Kho sỏt s bin thi n v v th cỏc hm... R; a m + n = a m a n (a ) = a a n an ( ) = n b b m n m.n m (a.b) n = a n b n n am = a n 3/ Cho 0 < a, b, c 1; M , N > 0; R Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 16 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 log a a = 1 log a 1 = 0 M = log a M log a N N 1 log a b = log b a log a MN = log a M + log a N log a log a M = log a M log a M = 1 log... Bin i v cựng c s v dng c bn +Bc 1: Tỡm iu kin ca n ó cho (nu cú) +Bc 2: Bin i tng ng v cỏc phng trỡnh , bt phng trỡnh c bn gii Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 17 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 *Chỳ ý: Phng phỏp ny s dng i vi phng trỡnh, bt phng trỡnh m ch cú 1 c s v ch cú 2 s hng 2/ Phng phỏp 2: Lụgarit húa Ly lụgarit c hai v ca... tiờn phi chỳ ý l t iu kin phng trỡnh, bt phng trỡnh cú ngha +Nu c s cha n thỡ K l: c s dng v khỏc 1 +Biu thc di du lụgarit phi dng Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 18 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 1 Phng phỏp 1: Bin i a v cựng c s Bin i a v cựng mt c s, thng c s l hng s sau ú bin i v phng trỡnh , bt phng trỡnh c bn gii 2 Phng phỏp