Chuyên đề ôn thi đại học môn toán 2014

Tổng hợp các dạng và cach giải bài tập Toán để thi đỗ vào các trường đại học. Chuyên Đề Luyện Thi Đại Học Môn Toán Mời các thầy cô và các em download Chuyên Đề 1: Phương Trình Bất Phương Trình Đại Số Chuyên Đề 2: Hệ Đại Số Chuyên Đề 3: Phương Trình Bất Phương Trình Căn Thức Chuyên Đề 4:Phương Trình Bất Phương Trình Giá Trị Tuyệt Đối Chuyên Đề 5: Bất Đẳng Thức Chuyên Đề 6: Hệ Siêu Việt Chuyên Đề 7: Mũ Logarit Chuyên Đề 8: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Chuyên Đề 9: Khảo Sát Hàm Số Chuyên Đề 10: Ứng Dụng Đạo Hàm Chuyên Đề 11: Tích Phân Và Ứng Dụng Chuyên Đề 12: Hình Giải Tích Phẳng Chuyên Đề 13: Hình Giải Tích Không Gian Chuyên Đề 14: Đại Số Tổ Hợp Chuyên Đề 15: Phương Trình Lượng Giác

I/ PHẦN CHUNG (7 điểm)

Câu 1 (2 điểm):

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)

Câu 6 (1 điểm):

Bài toán tổng hợp

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

Theo chương trình chuẩn:

Câu 7a (1 điểm):

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Đường tròn, elip

- Viết phương trình đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 8a (1 điểm)

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số

Theo chương trình nâng cao:

Câu 7b (1 điểm):

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Đường tròn, ba đường conic

- Viết phương trình đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 8b (1 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Đường tròn, mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu 9b (1 điểm):

- Số phức

- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan

- Sự tiếp xúc của hai đường cong

- Hệ phương trình mũ và lôgarit

- Tổ hợp, xác suất, thống kê

- Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số

Theo Toán Học Việt Nam

1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị:

- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau:

- Lưu ý khi vẽ đồ thị:

+ Không được vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳng tọa độ

+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, không có chỗ gấp khúc Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn + Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn (nếu có)

3 Phương trình (vô tỉ), bất phương trình (vô tỉ), hệ phương trình, phương trình logarit:

- Thuộc các công thức logarit

- Nắm rõ cách giải các pt, bpt cơ bản

- Ứng dụng thành thạo 2 phương pháp giải hệ phương trình cơ bản là PP thế và PP cộng đại số, trong

đó PP thế là PP được ứng dụng nhiều nhất

- Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp

- Nhiều phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có thể giải dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ (thông thường ta phải biến đổi một chút để có thể nhìn ra ẩn phụ cần phải đặt)

4 Nguyên hàm, tích phân:

- Nắm rõ nguyên hàm của các hàm thông dụng

- Nắm rõ 2 phương pháp thông dụng để tính tích phân: phương pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần:

+ Phương pháp đổi biến thường áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa căn thức

+ Phương pháp tích phân từng phần thường áp dụng cho những hàm có dạng tích của 2 biểu thức khác nhau về bản chất: đa thức – lượng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lượng giác- hàm mũ

- Lưu ý về tích phân của hàm số lẻ, hàm số chẵn

- Trong một số trường hợp, ta có thể đổi biến bằng cách đặt

5 Hình học không gian:

- Nắm vững công thức tính thể tích của các khối thông dụng

- Ứng dụng các định lí về quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian để tạo được mối liên

hệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính được độ dài các cạnh và số đo của các góc chưa biết

6 Bất đẳng thức, cực trị:

- Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki

- Với một số bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số

7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian: Nên ghi định hướng làm bài (sơ đồ

giải) trước khi giải

8 Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng công thức Moa-vrơ nếu có thể đưa các số phức về dạng

lượng giác của các góc đặc biệt

Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số 16

1 Qui tắc 1: Dùng định lí 1 16

2 Qui tắc 2: Dùng định lí 2 16

Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị 16

Vấn đề 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 16

Vấn đề 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 17

1 Định nghĩa: 17

2 Chú ý: 17

Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 17

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) 17

Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) 18

1 Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1) 18

2 Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) 18

3 Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3) 18

4 Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4) 18

Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị 18

Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị 18

1 Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3 19

Trường hợp 1: 19

1.1 Trường hợp 2: 19

1.2 Trường hợp 3: 19

1.3 2 Dạng 2: Phương trình bậc ba cĩ 3 nghiệm cùng dấu 19

Trường hợp 1: (1) cĩ 3 nghiệm dương phân biệt 19

2.1 rường hợp 2: (1) cĩ 3 nghiệm cĩ âm phân biệt 19

2.2 Vấn đề 9: SỰ TIẾP XƯC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG 19

Vấn đề 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) (Quan trọng) 19

1 Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M x y0 0 0 ;  : 20

2 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  cĩ hệ số gĩc k cho trước 20

3 Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A x y( ; )A A 20

Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 20

Vấn đề 12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x) 21

Vấn đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đĩ tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuơng gĩc với một đường thẳng d cho trước 21

Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) 21

Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau 21

Vấn đề 16: HỌ ĐỒ THỊ 22

Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) 22

Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng cĩ đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua 22

Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua 22

Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM 23

1 Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M 23

2 Dạng 2: 23

Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng) 23

1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x( ) 23

2 Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x   23

Vấn đề 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cĩ toạ độ nguyên 24

Vấn đề 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b 24

Vấn đề 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) 24

Vấn đề 25: Khoảng cách 25

Vấn đề 1: Công thức lượng giác 26

1 HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 26

2 CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ) 26

3 CÔNG THỨC NHÂN 26

NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 26

3.1 NHÂN BA : ( 3 công thức) 27

3.2 4 HẠ BẬC : ( 4 công thức) 27

5 GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) 27

6 TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) 27

7 TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) 27

8 CUNG LIÊN KẾT : 28

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 28

1 CƠ BẢN : 28

2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos 28

Dạng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b2 0 ) 28

2.1 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 29

Đối với một hàm số lượng giác: 29

3.1 Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx 29

3.2 Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: 29

3.3 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 30

Tổng bình phương : 30

4.1 Đối lập : 30

4.2 Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 30

1 Phương pháp 1: Dùng các cơng thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích 30

2 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 31

3 Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức 31

4 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số 32

Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 36

1 Tam giác thường ( các định lý) 36

Chú ý: 37

1.1 2 Hệ thức lượng tam giác vuông: 37

Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ 37

Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B 39

39

1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC: Vấn đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 39

40

1 MỘT SỐ VÍ DỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC: Phương pháp đưa về dạng tích 42

1.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 42

1.2 Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = 0 ( a  0) 43

Vấn đề 4: DẤU NHỊ THỨC 44

Vấn đề 5: DẤU TAM THỨC 44

Vấn đề 6: SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ 44

1 Aùp dụng: 46

a Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 1.1 vế khơng âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế khơng âm 47

Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: 47

1.2 Chuyển về dạng: A1 + A2 + + An = 0 với A i 0 1,  i n khi đĩ pt tương đương 1.3 với: A1 0, A2 0, A n0 48

Sử dụng lập phương: 48

1.4 Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu: 48

1.5 1.5.1 TH1: Mẩu luơn dương hoặc luơn âm thì ta quy đồng khử mẩu: 48

1.5.2 TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp: 49

Dạng 2: 49

1.6 Dạng 3: 50

1.7 Dạng 4: (Đặt ẩn phụ khơng triệt để) 50

1.8 Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) 51

1.9 Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình) 51

1.10 2 Phương pháp hàm số 52

Vấn đề 8: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54

Vấn đề 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 54

Vấn đề 1: BẢNG TÍCH PHÂN 55

1 Công thức NewTon _ Leibnitz : 55

2 Tích phân từng phần : 55

3 Đổi cơ số : 55

4 Tính chất : 55

5 Bảng tích phân : 55

Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 57

Vấn đề 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 58

Vấn đề 4: Thiết lập công thức truy hồi 58

Vấn đề 5: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 58

1 Diện tích hình phẳng 58

2 Thể tích vật thể 59

Vấn đề 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 60

Vấn đề 2: Khoảng cách trong không gian 61

1 Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng 61

2 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: 62

3 Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : 62

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 62

Vấn đề 3: Cách xác định góc trong không gian 63

1 Góc giữa hai đường thẳng: 63

2 Góc giữa hai mặt phẳng: 63

3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 63

Vấn đề 4: HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶC BIỆT 64

1 Hình chĩp tam giác đều 64

2 Hình chĩp tứ giác đều 64

3 Hình chĩp cĩ một canh bên vuơng gĩc với đáy 64

4 Phương pháp xác định đường cao các loại khối chĩp: 65

Vấn đề 5: DIỆN TÍCH & THỂ TÍCH HÌNH CHÓP 65

1 DIỆN TÍCH: 65

Diện tích xung quanh, tồn phần của hình chĩp ĐỀU: 65

1.1 2 THỂ TÍCH: 65

3 TỶ SỐ THỂ TÍCH (chú ý) 65

4 HÌNH CHĨP CỤT 66

DIỆN TÍCH 66

4.1 THỂ TÍCH 66

4.2 Vấn đề 6: HÌNH LĂNG TRỤ 66

1 DIỆN TÍCH: 66

2 THỂ TÍCH: 67

Vấn đề 7: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU 67

1 HÌNH TRỤ 67

Diện tích: 67

1.1 Thể tích: 67

1.2 2 HÌNH NĨN 67

Diện tích: 67

2.1 Thể tích: 67

2.2 3 HÌNH NĨN CỤT 67

Diện tích: 67

3.1 Thể tích: 68

3.2 4 HÌNH CẦU 68

Vấn đề 8: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 68

1 PHƯƠNG PHÁP: 68

2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian 68

Vấn đề 1: BẤT ĐẲNG THỨC 73

1 Định nghĩa : 73

2 Tính chất : 73

3 BĐT Cô Si : 73

4 BĐT Bunhia Côp ski (chú ý) 73

5 BĐT BecnuLi : 73

6 BĐT tam giác : 74

Vấn đề 2: Cấp số cộng, cấp số nhân 74

1 Cấp số cộng: 74

2 Cấp số nhân: 74

3 Ví dụ: 74

Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : 76

Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG 76

1 Phương trình tham số : 76

2 Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 0) 77

3 Phương trình pháp dạng : 77

4 Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : 77

5 Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) : 77

6 Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn) 77

7 Phương trình chính tắc : 77

8 Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : 77

9 Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = 0 : 77

10 Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 78

11 Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : 78

12 Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 : 78

Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÕN 79

1 Phương trình đường trịn: 79

2 Sự tương giao giữa đường thẳng và đường trịn: 79

3 Phương trình tiếp tuyến của đường trịn 79

Dạng 1: Tiếp tuyến của (C) tại M(x0;y0) cĩ dạng: 79

3.1 Dạng 2: Tiếp tuyến của (C) đi qua M(x0;y0) 79

3.2 Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuơng gĩc) với đường thẳng  : Ax + By 3.3 + C = 0 79 Dạng 4: Tiếp tuyến của (C) khi biết trước hệ số gĩc k: 80

3.4 4 Phương trình tích của một điểm M(x0; y0) đối với đường trịn (C): 80

5 Trục đẳng thức 80

Vấn đề 4: CÁC CÔNG THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN: 80

1 Tam giác đều cạnh a: 80

2 Tam giác vuơng: 80

3 Tam giác vuơng cân (nửa hình vuơng): 80

4 Nửa tam giác đều: 80

5 Tam giác cân: 80

6 Hình chữ nhật: 80

7 Hình thoi: 80

8 Hình vuơng: 81

9 Hình bình hành: 81

10 Đường trịn: 81

11 CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC 81

Vấn đề 5: ELIP 81

1 Tiếp tuyến Elip: 81

Vấn đề 6: HYPEBOL 82

1 Tiếp tuyến của Hyperbol: 82

Vấn đề 7: PARAPOL 82

1 Tiếp tuyến của Parapol (P): y2 = 2px 83

Vấn đề 1: VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : 83

Vấn đề 2: Phép toán 83

1 Định nghĩa : 84

2 Tính chất : 84

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 85

1 Phương trình tham số : 85

2 Phương trình tổng quát : 85

3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 85

4 Các dạng chính tắc : 85

6 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 86

7 GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 86

8 KHOẢNG CÁCH 86

Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 87

1 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 87

Phương trình của các trục tọa độ : 87

1.1 Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc : 87

1.2 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 87

3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88

4 GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 88

Gĩc giữa hai đường thẳng : 88

4.1 Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng : 89

4.2 5 KHOẢNG CÁCH 89

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : 89

5.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : 89

5.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 89

5.3 6 HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG 89

Điểm 89

6.1 Đường thẳng 90

6.2 Vấn đề 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 90

1 Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và cĩ VTPT n =(A;B;C) 90

2 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) 90

3 Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuơng gĩc với đường thẳng d 90

4 Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R) 90

5 Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C khơng thẳng hàng 90

6 Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q) 91

7 Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d) 91

8 Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB 91

9 Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A 91

10 Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  ) 91

11 Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q) 91

12 Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h 91

13 Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h 91

14 Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một gĩc   900 92

15 Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một gĩc   900 92

16 Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất 92

17 Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 92

18 Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn(C) cĩ bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước) 92

19 Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 93

20 Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) cĩ bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) 93

21 Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) cĩ bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm) 93

Vấn đề 6: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 93

1 Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và cĩ VTCP u =(a,b,c) 93

2 Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B 94

3 Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (  ) 94

4 Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P) 94

5 Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuơng gĩc với cả 2 dt (d1),(d2) 94

6 Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp 94

7 Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) 94

8 Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: 94

9 Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 95

10 Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuơng gĩc đường thẳng d1 và cắt d2 95

11 Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( )  , cắt đường thẳng d' 95

12 Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước 95

13 Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuơng gĩc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d' 95

14 Dạng 14 : Viết ptđt vuơng gĩc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : 95

15 Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuơng gĩc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 96

16 Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuơng gĩc với đường thẳng d1 96

17 Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuơng gĩc với d1,tạo với d2 gĩc   (0 ;90 )0 0 (= 300, 450, 600) 96

18 Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 gĩc   (0 ;90 )0 0 96

19 Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 gĩc   (0 ;90 )0 0 96

20 Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuơng gĩc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h 97

Vấn đề 7: CÁC DẠNG TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 97

1 Dạng 1 Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng 97

2 Dạng 2 Xác định hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên mặt phẳng ( )  97

3 Dạng 3 Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng ( )  97

4 Dạng 4 Xác định hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên đường thẳng  97

5 Dạng 5 Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước 98

6 Dạng 6 Xác định hình chiếu vuơng gĩc của đường thẳng  lên mp ( )  98

7 Dạng 7 Xác định hình chiếu song song của đường thẳng 1lên mp ( )  theo phương 2cắt ( )  100

8 Dạng 8 Viết phương trình đường thẳng  qua M và cắt 1, 2với 1, 2 chéo nhau và khơng đi qua M 100

9 Dạng 9 Viết phương trình đường thẳng  cắt 1, 2 và song song với 3 100

10 Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuơng gĩc với 1, cắt 2 trong đĩ 1, 2 M   101

11 Dạng 11 Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1, 2   102

12 Các bài tốn về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất : 103

Dạng 1: Cho 2 điểm A x y z ( ; ; ); ( ;1 1 1 B x y z2 2; 2) Tìm M  ( ) : P ax by cz     d 0 để 12.1 (MA+MB)min 103

Dạng 2: Cho 2 điểm A x y z ( ; ; ); ( ;1 1 1 B x y z2 2; 2) Tìm M  ( ) : P ax by cz     d 0 để 12.2. MA MB max 104

Dạng 3: Cho 2 điểm A x y z ( ; ; ); ( ;1 1 1 B x y z2 2; 2) Tìm M cho trước sao cho (MA + 12.3 MB) min 104

Vấn đề 8: CÁC DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU 105

1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R 105

2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu 105

3 Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu 105

4 CÁC DẠNG TOÁN 105

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A 105

4.1 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB 106

4.2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(  ) 106

4.3 Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 106

4.4 Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) 106

4.5 Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A 106

4.6 Dạng 7: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu: 106

4.7 Vấn đề 1: HÀM SỐ LIÊN TỤC 107

Vấn đề 2: ĐẠO HÀM 107

1 Định nghĩa đạo hàm : 107

2 Qui tắc tính đạo hàm : 107

3 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản : 107

Vấn đề 3: LUỸ THỪA – LOGARIT 109

1 LUỸ THỪA 109

Định nghĩa luỹ thừa 109

1.1 Tính chất của luỹ thừa 109

1.2 Định nghĩa và tính chất của căn thức 109

1.3 2 II LOGARIT 110

Định nghĩa 110

2.1 Tính chất 110

2.2 Các qui tắc tính logarit 110

2.3 Đổi cơ số 110

2.4 Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 110

1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ 110

Phương trình mũ cơ bản: 110

1.1 Một số phương pháp giải phương trình mũ 111

1.2 1.2.1 Đưa về cùng cơ số: 111

1.2.2 Logarit hoá: 111

1.2.3 Đặt ẩn phụ: 111

1.2.4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 111

2 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 111

Phương trình logarit cơ bản 111

2.1 Một số phương pháp giải phương trình logarit 111

2.2 Vấn đề 5: BẤT PHƯƠNG, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 112

Vấn đề 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 112

Vấn đề 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 112

Vấn đề 1: HOÁN VỊ _ TỔ HỢP _ CHỈNH HỢP 113

1 Hoán vị : 113

2 Tổ hợp : 113

3 Chỉnh hợp : 113

Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT 113

1 Nguyên tắc đếm 113

Chú ý: 113

1.1 2 XÁC SUẤT 113

Khơng gian mẫu: 113

2.1 Xác suất: 113

2.2 CÁC CƠNG THỨC 113

2.3 Vấn đề 3: Nhị thức NIUTƠN 114

1 Cơng thức nhị thức Newtơn: 114

2 Các nhận xét về cơng thức khai triển: ( a b  )n 114

3 Một số dạng đặc biệt: 114

4 Các dạng tốn ứng dụng nhị thức NewTơn 115

1 Khái niệm số phức 117

2 Biểu diễn hình học: 117

3 Cộng và trừ số phức: 117

4 Nhân hai số phức : 117

5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi  118

6 Môđun của số phức : z = a + bi 118

7 Chia hai số phức: 118

8 Căn bậc hai của số phức: 118

9 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 118

10 Dạng lượng giác của số phức: 118

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác 119

12 Công thức Moa–vrơ: 119

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: 119

14 Các dạng bài tập: 119

Dạng 1 : Tìm mơ đun ,căn bậc hai của số phức, giải phương trình ,hệ phương trình 14.1 trên tập số phức 119

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 123

14.2 Dạng 3: Biểu diễn số phức dưới dạng đại số , dạng lượng giác 124 14.3.

Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số

1 Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng cĩ đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

2 Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …)

+ Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

+ Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 khơng cĩ đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3 bx2 cx d cĩ cực trị  Phương trình y = cĩ hai nghiệm phân biệt

Khi đĩ nếu x 0 là điểm cực trị thì ta cĩ thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

 Khi đĩ nếu x 0 là điểm cực trị thì ta cĩ thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0

( )( )

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số cĩ cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta cịn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et

Vấn đề 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1 Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đĩ, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( ) ( )

'( ) '( )

P x y

Vấn đề 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

 Nếu Q(x) = 0 cĩ nghiệm x0 thì đồ thị cĩ tiệm cận đứng x x 0

 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị cĩ tiệm cận ngang

 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị cĩ tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta cĩ thể áp dụng các cơng thức sau:

Vấn đề 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y bằng 0 hoặc khơng xác định

+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu cĩ)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y

– Tìm các điểm tại đĩ y = 0 và xét dấu y

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu cĩ) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì cĩ thể bỏ qua) Cĩ thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để cĩ thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu cĩ) của đồ thị

y = kx

m (C

d 2 O

Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng)

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

1 Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1)

Khi đĩ (1) cĩ thể xem là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

 d là đường thẳng cùng phương với trục hồnh

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d Từ đĩ suy ra số nghiệm của (1)

2 Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, cĩ thể đặt g(m) = k Biện luận theo k, sau đĩ biện luận theo m

(k: khơng đổi) Khi đĩ (3) cĩ thể xem là phương trình hồnh độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = kx + m

 Vì d cĩ hệ số gĩc k khơng đổi nên d cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) cĩ hệ số gĩc k

 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, … để biện luận

Khi đĩ (4) cĩ thể xem là phương trình

hồnh độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0

 d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C) đi qua M0

 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

Chú ý:

 Nếu F(x, m) = 0 cĩ nghiệm thoả điều kiện:  x  thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với  x 

 Nếu cĩ đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đĩ biện luận theo m

Vấn đề 7: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong

đĩ lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị

Vấn đề 8: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3 bx2 cx d  0(a  0) (1)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x ( ) ax3 bx2 cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hồnh

2 Dạng 2: Phương trình bậc ba cĩ 3 nghiệm cùng dấu

Trường hợp 1: (1) cĩ 3 nghiệm dương phân biệt

Vấn đề 9: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số gĩc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0 0 ; ( ) 0 

Khi đĩ phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0 0 ; ( ) 0  là:

(*)Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đường đĩ

3 Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình

2

ax bx c px q   cĩ nghiệm kép

Vấn đề 10: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) (Quan trọng)

1 Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M x y0 0 0 ; :

 Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 )

Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0

 Tính y = f (x) Suy ra y(x 0 ) = f (x 0 )

 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

2 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  cĩ hệ số gĩc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f (x 0 )

 cĩ hệ số gĩc k  f (x 0 ) = k (1)

 Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đĩ viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

 Giải hệ (*), tìm được m Từ đĩ viết phương trình của 

Chú ý: Hệ số gĩc k của tiếp tuyến  cĩ thể được cho gián tiếp như sau:

+  tạo với chiều dương trục hồnh gĩc  thì k = tan

+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+  vuơng gĩc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 1

 

3 Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm A x y( ; )A A

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đĩ: y 0 = f(x 0 ), y0 = f (x 0 )

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

 đi qua A x y( ; )A A nên: y A – y 0 = f (x 0 ).(x A – x ) (2)

 Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đĩ viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

 Phương trình đường thẳng  đi qua A x y( ; )A A và cĩ hệ số gĩc k: y – y A = k(x – x A )

 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

Vấn đề 11: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

Vấn đề 12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C 1 ): y = f(x) và C 2 ): y = g(x)

1 Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 )

u là hồnh độ tiếp điểm của  và (C 1 ), v là hồnh độ tiếp điểm của  và (C 2 )

 tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm:

 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b Từ đĩ viết phương trình của 

2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm cĩ hồnh độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đĩ

Vấn đề 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đĩ tiếp tuyến của (C) song song

hoặc vuơng gĩc với một đường thẳng d cho trước

 Gọi M(x 0 ; y 0 )  (C)  là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f (x 0 )

 Vì  // d nên f (x 0 ) = k d (1)

hoặc  d nên f (x 0 ) = 1

d k

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đĩ tìm được M(x 0 ; y 0 )  (C)

Vấn đề 14: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với

đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0 M(x M ; y M )  d

 Phương trình đường thẳng  qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x – x M ) + y M

 tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Vấn đề 15: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp

tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau

Gọi M(x M ; y M )

 Phương trình đường thẳng  qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x – x M ) + y M

 tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

 Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau  f (x 1 ).f (x 2 ) = –1

Từ đĩ tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hồnh thì

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M

 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M

Khi đĩ, M đƣợc gọi là điểm cố định của họ (Cm)

 Nếu (1) cĩ n nghiệm phân biệt thì cĩ n đồ thị của họ (Cm) đi qua M

 Nếu (1) vơ nghiệm thì khơng cĩ đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M

Vấn đề 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m): y = f(x, m)

 

 

000

A B C

 Giải (3) tìm được x 0 Thay x 0 vào (1) tìm được y 0 Từ đĩsuy ra được các điểm cố định

Vấn đề 18: Tìm điểm mà khơng cĩ đồ thị nào của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà khơng cĩ đồ thị nào của họ (C m ) đi qua

A B C A

 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị khơng đi qua

Vấn đề 19: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (C m ): y = f(x, m) đi qua

 Ta cĩ: M(x 0 ; y 0 )  (C m )  y 0 = f(x 0 , m) (1)

Am + B = 0 (2a) hoặc Am2Bm C 0 (2b)

 Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (C m ) đi qua M

Vấn đề 20: TẬP HỢP ĐIỂM

Bài tốn: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất 

 Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đĩ

1) Tìm điều kiện (nếu cĩ) của tham số m để tồn tại điểm M

2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m

Khử tham số m giữa x và y, ta cĩ một hệ thức giữa x, y độc lập với m cĩ dạng:

F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)

Khi đĩ điểm M nằm trên đường thẳng y = b

3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu cĩ) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y) Đĩ là giới hạn của quĩ tích

4) Kết luận: Tập hợp các điểm M cĩ phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3)

Trong trường hợp ta khơng thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0

Chú ý: Nếu bài tốn chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình

F(x, y) = 0 mà khơng cần tìm giới hạn của quĩ tích

Vấn đề 21: HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (quan trọng)

Bài tốn: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 Xét dấu biểu thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

1 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x( )

Đồ thị (C) của hàm số y f x( ) cĩ thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh

+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên

2 Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x  

Đồ thị (C) của hàm số y f x   cĩ thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

(d) (C) (D)

B

A I

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên

Vấn đề 22: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) cĩ toạ độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P x y

  Q(x) là ước số của a Từ đĩ ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a

 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận

Vấn đề 23: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB

 Phương trình đường thẳng  vuơng gĩc với d: y = ax = b cĩ dạng:

 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt A, B Khi đĩ x A , x B là các nghiệm của (1)

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm

Vấn đề 24: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: y k x a b  (   )

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = k x a b (   ) (1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B khi đó x A , x B là 2 nghiệm của (1)

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  x A , x B

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O  A B

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB= ( xB xA)2 ( yB yA)2

2) Khoảng cách từ điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:

Vấn đề 1: Công thức lượng giác

1 HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

1/ Sin2xCos2x1

2/

Cosx

Sinx Tanx

3/

Sinx

Cosx Cotx

4/ Tanx.Cotx1

5/

x Cos x Tan2 12

1  

6/

x Sin x

 Sinx là – 1  Sinx  1

 Cosx là – 1  Cosx  1

Chú ý :

 a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab

 a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)

2 CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )

Nhớ: “ Sin thì sin cos, cos sin

Cos thì cos cos, sin sin nhớ trừ (dấu đối)”

7/ Cos(ab)CosaCosbSinaSinb

8/ Cos(ab)CosaCosbSinaSinb

9/ Sin(ab)SinaCosbCosaSinb

10/.Sin(ab)SinaCosbCosaSinb

11/

TanaTanb

Tanb Tana b

a Tan







1)(12/

TanaTanb

Tanb Tana b

a Tan







1)

13/

Cotb Cota

CotaCotb b

a Cot

CotaCotb b

a Cot

Tana a

1

22





NHÂN BA : ( 3 công thức)

3.2.

18/ Cos3a4Cos3a3Cosa

19/ Sin3a3Sina4Sin3a

20/

a Tan

a Tan Tana a

3

3 1

3 3

2 Cos a a

22/

2

21

2 Cos a a

a Cos a

3 Sina Sin a a

24/

4

33

3 Cosa Cos a a



2 2

1

1

t

t Cosx

t

27/

6 TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)

Nhớ: “Sin cộng sin bằng hai lần sin cos Sin trừ sin bằng hai lần cos sin

Cos cộng cos bằng hai lần cos cos Cos trừ cos bằng hai lần cos sin”

28/

2 2

2Cos a b Cos a b Cosb

29/

2 2

2Sin a b Sin a b Cosb

30/

2 2

2Sin a b Cos a b Sinb

31/

2 2

2Cos a b Sin a b Sinb

32/

CosaCosb

b a Sin Tanb

33/

CosaCosb

b a Sin Tanb

34/

SinaSinb

b a Sin Cotb

35/

SinaSinb

b a Sin Cotb

2

1sincosa b Sin ab Sin ab





x x

x x

sin2cos

x x

x x

8 CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin

Sin bù Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos

Phụ chéo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin

Khác  Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot

Sai kém / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin

Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

k v u

k  Z Cosu = Cosv uvk2

2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos

Dạng asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b 2 0 )

b Cos

b a

) (

b a

c x

2 2 2

c b

a  

(*) Vô nghiệm khi a2b2 c2

Thế

2 2 2

1

1

; 1

2

t

t Cosx t

t Sinx

3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

Đối với một hàm số lượng giác:

3.1.

Giả sử a 0 0

aCot ; ( đặt tCotx ,xk)

Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

3.2.

Dạng: aSin2xbSinxCosxcCos2x0 (1)

03 2

Kiểm cosx = 0  x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?

 Xét cosx  0  x  / 2 + k Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx

Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

3.3.

4(

1(*)

1 (*)

4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :

K A

k B

l A

l A

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC

Ví dụ 1 Giải phương tình: sin2

x + sin23x = cos22x + cos24x (1)

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos6

x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2)

3 3 3

2

(3) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2cos 2 (1 cos 4 )

22cos 2 cos 2

42cos 2

Ta có (5)  2(1 cos2

x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0

 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

n



Giải các phương trình sau:

2

x  k  x    n 

2 tanx.sin2x2sin 2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2

8 sin 3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:

12

x  k 

10 sin3 x  3 cos3x  sin cos x 2 x  3 sin2 x cos x

HD: Chia hai vế cho cos3

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …

tan cot 2 cot 1

16 Giải phương trình: sin4 cos4 1 

1 sin 2

1 sin cos2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

3 3 sin x  9sin x cos x  3 3 sin cos x x  cos x  cos x  0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

3 3 tan x  8 tan x  3 3 tan x  0

tan x 0 x k

tan cot 2 cot 1

Điều kiện: cos sin 2 sin tan cot 2  0

* 4 cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2  cos 4 

Vấn đề 4: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Tam giác thường ( các định lý)

Hàm số Cosin

 a2 b2 c2  2bcCosA 

bc

a c b CosA

2

2 2

2

2 2

2

2 2

b SinA

a

2,



Hàm số Tan 

b a

b a B A Tan

B A Tan

Các chiếu  abCosCcCosB

ah S

2

12

12

12

Bán kính đường trịn

bàng tiếp  .tan2

A p

b SinA

a S

abc R

22

2



 a, b, c : cạnh tam giác

 A, B, C: góc tam giác

 ha: Đường cao tương ứng với cạnh a

 ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

 R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác



2

c b a

p   Nửa chu vi tam giác

2 Hệ thức lượng tam giác vuông:



AC AB BC AH

CH BH AH

.

AB2 

 AC2CH.CB

AC AB

Vấn đề 5: MỘT VÀI VẤN ĐỀ CẦN NHỚ

Cho tam giác ABC :

1/

2 2 2

4Cos A Cos B Cos C SinC

SinB

2/

2224

1 Sin A Sin B Sin C CosC

.22

22

C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot

A

2 2 2

111

AC AB

AH  

5/ 1

2

.22

.22

2 Tan BTan B Tan CTan C Tan A

A

Tan

6/Sin2ASin2BSin2C 2  2CosA.CosB.CosC

7/ Cos2ACos2BCos2C12CosA.CosB.CosC

C Cos B A Sin  

22

C Sin

B

A

22

C Cot B A

9/

8 3 3

.2

.2

2

2Cos2 ACos2 BCos2C

2 2

2

2 2

2 ATan BTan C 

2 2

2

2 2

2ACos BCos C

Cos

Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Ax = B

 A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất

A

B

x

 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm

 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

 A = 0 và B  0 : vô nghiệm

 A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PT VÀ BPT ÔN THI ĐẠI HỌC:

2x  6x    1 x 2 0 1Giải

Chú ý: + x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt cĩ 2 nghiệm trái dấu

+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luơn dương hoặc luơn âm

+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đĩ với x    1 t 0

Điều kiện:

 

1

2 * 0