Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng boxmath vn

Mục lục Tóm tắt Lý thuyết Bài tốn có lời giải 15 Điểm - Đường thẳng 15 Đường trịn - Đường elip 68 Bài tập ơn luyện có đáp số 94 Bài tập Điểm - Đường thẳng 94 Bài tập Đường tròn - Đường elip 107 ath Lời nói đầu Hình học giải tích hay hình học tọa độ cách nhìn khác Hình học Hình học giải tích mặt phẳng đưa vào chương trình tốn lớp 10 có đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Để góp phần việc ơn tập cho học sinh trước dự thi Diễn đàn BoxMath xin đóng góp tuyển tập Khi thực biên soạn diễn đàn BoxMath, nhận quan tâm nhiều thành viên quản trị viên Những người góp sức vào q trình biên soạn, góp ý sửa chữa chi tiết tuyển tập Sự đóng góp bạn, thầy cô tâm huyết chứng tỏ tài liệu cần thiết cho học sinh Bây đây, bạn đọc máy tính hay in giấy Chúng tơi hy vọng góp phần ôn tập kiến thức thân đồng thời tăng thêm động lực học tập hình học giải tích khơng gian Mặc dù biên soạn kỹ nhiên tài liệu cịn sai sót, mong bạn đọc nhặt dùm gởi email hungchng@yahoo.com Đồng thời qua xin phép Tác giả có tập tuyển tập mà chưa nhớ để ghi rõ nguồn gốc vào, lời xin lỗi chân thành Thay mặt nhóm biên soạn, tơi xin chân thành cảm ơn! Chủ biên Châu Ngọc Hùng bo xm Các thành viên biên soạn Huỳnh Chí hào -THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Lê Đình Mẫn - THPT Nguyễn Chí Thanh - Quảng Bình Lê Trung Tín - THPT Hồng Ngự - Đồng Tháp Đỗ Kiêm Tùng - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội Nguyễn Quốc Tân quoctanmath Nguyễn Tài Tuệ - THPT Lương Thế Vinh - Vụ Bản Nam Định Nguyễn Xuân Cường - THPT Anh Sơn - Nghệ An Lê Đức Bin - THPT Đồng Xoài - Bình Phước Châu Ngọc Hùng - THPT Ninh Hải - Ninh Thuận 10 Phạm Tuấn Khải - THPT Trần Văn Năng - Đồng Tháp Tóm tắt lý thuyết Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ A KIẾN THỨC CƠ BẢN y I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : • • • • x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung O : gốc toạ độ rr i, j : véc tơ đơn vò r j x' ( r r r r i = j = vaø i ⊥ j ) r i x O y' Quy ước : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy) II Toạ độ điểm véc tơ: uuuur Định nghóa 1: Cho M ∈ mp(Oxy ) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo rr uuuur r r y i , j bở i hệ thứ c có n g : OM = xi + y j với x,y ∈ ¡ Q M r j Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M r i x Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M ) O P M ( x; y ) bo xm y' • Ý nghóa hình học: ⇔ uuuur r r OM = xi + y j x = OP y=OQ đ/n y M Q y x' x O x P r r Định nghóa 2: Cho a ∈ mp(Oxy ) Khi véc tơ a biểu diển cách theo rr r r r i, j hệ thức có dạng : a = a1 i + a2 j với a1 ,a2 ∈ ¡ r y Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a r v e2 Ký hieäu: a = (a1; a2 ) y' r a=(a1;a2 ) ñ/n ⇔ r r r a = a1 i + a2 j x' O r a v e1 x P y' Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn y K B2 A A2 x' ath Tóm tắt lý thuyết • Ý nghóa hình học: B a2 =A B2 a1 = A1B1 H x O A1 y' B1 III Các công thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) B( x B ; y B ) uuur AB = ( x B − x A ; yB − y A ) Định lý 2: A( x A ; y A ) v a r r Nếu a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) r r a = b * a=b ⇔  1  a2 = b2 r r * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ) r r * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ) r * k.a = (ka1; ka2 ) (k ∈ ¡) v b bo xm IV Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Định lý phương hai véc tơ: r r r r  Định lý : Cho hai véc tơ a b với b ≠ r r a phương b v a v b v a v b r r ⇔ ∃!k ∈ ¡ cho a = k b r r Nếu a ≠ số k trường hợp xác định sau: r r k > a hướng b v r r r a b k < a ngược hướng b r a k = r v 2v 5v v b a =− b , b=- a B A C  Định lý : Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn uuur uuur A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC ath Tóm tắt lý thuyết (Điều kiện điểm thẳng hàng ) r r Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) vaø b = (b1; b2 ) ta có :  r r a phương b v a = ( a1 ; a ) v b = (b1 ; b2 ) ⇔ a1 b2 − a2 b1 = VD : (Điều kiện phương véc tơ v a = (1;2) v b = ( 2;4) V Tích vô hướng hai véc tơ: Nhắc lại: rr r r r r v a b = a b cos( a , b) B v b b r2 r a =a O ϕ r r rr v A a a ⊥ b ⇔ a.b = v a  Định lý 6: y v b x' r r Cho hai veùc tơ a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ta coù : bo xm rr a.b = a1b1 + a2 b2  x v a O y' (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) r Định lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) ta coù : r a = a12 + a2  Định lý 8: (Công thức tính độ dài véc tơ ) A( x A ; y A ) B( x B ; y B ) Neáu A( x A ; y A ) vaø B(x B ; yB ) AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 (Công thức tính khoảng cách điểm) r r Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ta coù : r r a⊥b ⇔ a1b1 + a2 b2 = (Điều kiện vuông góc véc tơ)  Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tóm tắt lý thuyết r r Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ) vaø b = (b1; b2 ) ta coù rr r r a1b1 + a2 b2 a.b cos(a, b) = r r = a.b a12 + a2 b12 + b2 (Công thức tính góc véc tơ) VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: uuur uuur Định nghóa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : MA = k.MB M A •  B • • uuur uuur Định lý 11 : Neáu A( x A ; y A ) , B(x B ; yB ) vaø MA = k.MB ( k ≠ )  x A − k x B y A − k yB  ;  1− k   1− k ( x M ; yM ) =  Đặc biệt :  x A + x B y A + yB  ;    ( x M ; yM ) =  M trung điểm AB ⇔ VII Một số điều kiện xác định điểm tam giaùc : bo xm x A + x B + xC  x G = G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = ⇔   y = y A + y B + yC G  uuur uuur uuur uuur  AH ⊥ BC  AH BC = H trực tâm tam giác ABC ⇔  uuur uuur ⇔  uuur uuur A  BH ⊥ AC  BH AC = uuur uuur  AA' ⊥ BC A' chân đường cao kẻ từ A ⇔  uuur C uuur B A'  BA' phương BC  IA=IB I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔   IA=IC uuur AB uuur D chân đường phân giác góc A ∆ABC ⇔ DB = − DC AC uuur AB uuur E chân đường phân giác góc A ∆ABC ⇔ EB = EC A AC uur AB uuur J tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC ⇔ JA = − JD BD J A G A H D C B A I C B A C B C B C B D Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tóm tắt lý thuyết VIII Kiến thức thường sử dụng khác: Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : uuur uuur  Định lý 12: Cho tam giác ABC Đặt AB = (a1; a2 ) AC = (b1; b2 ) ta coù : S∆ABC = a1b2 − a2 b1 A C B Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc : Định lý 13: Cho hai đường thẳng ∆1 với hệ số góc k1 ∆ với hệ số góc k2 Khi ∆1; ∆ ) = α (· tan α = k1 − k2 + k1k2 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN bo xm I Các định nghóa VTCP VTPT (PVT) đường thẳng: r r đn  a ≠ r  a VTCP đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r a có giá song song trùng với (∆) r r đn  n ≠ r  n VTPT đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r n có giá vuông góc với (∆ ) v a v a v n (∆) * Chú ý: r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTCP a = (a1; a2 ) có VTPT n = (− a2 ; a1 ) r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTPT n = ( A; B) có VTCP a = (− B; A) v n v a (∆) (∆ ) Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ath Tóm tắt lý thuyết II Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng : r a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng ( ∆ ) qua M0(x0;y0) nhận a = (a1; a2 ) làm VTCP có : y v a M ( x; y ) x O M ( x0 ; y0 )  x = x0 + t.a1 Phương trình tham số : (∆) :   y = y0 + t.a2 Phương trình tắc : (∆) : (t ∈ ¡ ) x − x y − y0 = a1 a2 (a , a ≠ 0)  Phương trình tổng quát đường thẳng : r a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n = ( A; B) laø: y v n M ( x; y ) x O M ( x0 ; y ) ( ∆ ) : A( x − x ) + B ( y − y ) = ( A2 + B ≠ ) bo xm b Phương trình tổng quát đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng : v y n = ( A; B ) M ( x0 ; y0 ) O Ax + By + C = với A + B ≠ x v a = ( − B ; A) v a = ( B ; − A) Chú ý: Từ phương trình ( ∆ ):Ax + By + C = ta luoân suy : r VTPT ( ∆ ) laø n = ( A; B) r r VTCP ( ∆ ) a = (− B; A) hay a = ( B; − A) M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (∆) ⇔ Ax0 + By0 + C = Mệnh đề (3) hiểu : Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng ath Bài 105 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(4; −1) Đường cao trung tuyến kẻ từ B có phương trình: 2x − 3y + 12 = 0; 2x + 3y = Xác định tọa độ điểm C ĐS : C (8; −7) Bài 106 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2) Đường trung tuyến B M : 2x + y + = phân giác C D : x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC ĐS : 4x + 3y + = Bài 107 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có A(−1; 3) Đường cao B H nằm đường thẳng y = x Phân giác góc C nằm đường thẳng x + 3y + = Viết phương trình đường thẳng BC ĐS : BC : x − 7y − 18 = Bài 108 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có góc nhọn Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A, B,C tương ứng A (−1; −2); B (2; 2);C (−1, 2) Viết phương trình cạnh AC ĐS : AC : 2x + y − = Bài 109 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC vuông A, đỉnh C (−4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương ĐS : BC : 3x − 4y + 16 = Bài 110 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có A(−1; 2), B (2; 1) Tìm tọa độ điểm C thuộc d : x + 2y − = cho diện tích tam giác ABC ĐS : C (−9; 6) C (7; −2) bo xm Bài 111 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có A(1; 0), B (3; −1) Tìm tọa độ điểm C thuộc d : x − 2y − = cho diện tích tam giác ABC C có tung độ lớn ĐS : C (7; 3) Bài 112 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có B (2; −1), đường cao qua A có phương trình d : 3x − 4y + 27 = 0, phân giác góc C có phương trình d : x + 2y − = Tìm tọa độ đỉnh A ĐS : A(−5; 3) Bài 113 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có diện tích , A(2; −3) , B (3; −2) Tìm tọa độ đỉnh C biết C nằm đường thẳng d : 3x − y − = ĐS : C (−2; −10) C (1; −1) Bài 114 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC biết A(2; −3), B (3; −2), có diện tích trọng tâm G nằm đường thẳng d : 3x − y − = Tìm tọa độ C ĐS : C (−2; −10) C (1; −1) Bài 115 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng d : x −2y −1 = hai điểm A(1; 0), B (3; −1) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho diên tích tam giác ABC ĐS : C (7; 3) C (−5; 3) 104 boxmath.vn Bài 116 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có A(2; −3) B (3; −2) diện tích tan giác ath trọng tâm G nằm đường thẳng d : 3x − y − = Tìm tọa độ đỉnh C ĐS : C (−2; −10) C (1; −1) Bài 117 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có B (1; −2), đường cao AH : x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A,C tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng d : 2x + y − = diện tích tam giác ABC ĐS : C (2; −3), A(−1; 2) A(−3; 0) Bài 118 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có A(−3; 6), trực tâm H (2; 1), trọng tâm G Xác định tọa độ đỉnh B,C ; 3 ĐS : B (1; −2),C (6; 3) B (6; 3),C (−1; 2) Bài 119 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −4) Phương trình trung trực cạnh BC : x + y −1 = 0, đường trung tuyến xuất phát từ C có phương trình 3x − y −9 = Tìm tọa độ đỉnh B,C tam giác ABC ĐS : C (3; 0), B (1; −2) Bài 120 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC cân đỉnh A có A(6; 6), đường thẳng d qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B,C , biết điểm D(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác ABC ĐS : B (0; −4),C (−4; 0) B (−6; 2),C (2; −6) bo xm Bài 121 Trong mặt phẳng Ox y cho điểm C (2; −5) đường thẳng ∆ : 3x − 4y + = Tìm ∆ hai điểm A, B đối xứng qua I 2; cho diện tích tam giác ABC 15 ĐS : A(0; 1), B (4; 4) Bài 122 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC với AB = 5, đỉnh C (−1; −1) phương trình cạnh AB : x + 2y − = trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + y − = Xác định tọa độ đỉnh A, B tam giác ABC ĐS : A 4; − 3 , B 6; − B 4; − , A 6; − 2 2 Bài 123 Trong mặt phẳng Ox y tìm tọa độ đỉnh tam giác vuông cân, biết C (3; −1) phương trình cạnh huyền d : 3x − y + = ĐS : A 19 17 ,C − ; − ; 5 Bài 124 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC với đường cao B H : 3x + 4y + 10 = 0, đường phân giác góc A AD có phương trình x − y + = 0, điểm M (0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C khoảng Tìm tọa đỉnh tam giác ABC http://boxmath.vn/ ĐS : A(4; 5), B −3; − 31 33 ,C (1; 1) C ; 25 25 105 ath Bài 125 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC cân có đáy BC Đỉnh A có tọa độ số dương, hai điểm B,C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB : 7x − y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết chu vi tam giác ABC 18 ĐS : A(2; 7), B (1; 0),C (3; 0) Bài 126 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC biết phương trình chứa cạnh AB, BC có phương trình là: 4x + 3y − = 0, x − y − = Phân giác góc A nằm đường thẳng x + 2y − = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC ĐS : A(−2; 4), B (1; 0),C (5; 4) Bài 127 Trong mặt phẳng Ox y biết tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H (2; 2), I (1; 2) nà trung điểm M x B > xC 5 ; cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh A, B,C biết 2 ĐS : A(−1; 1), B (3; 1),C (2; 4) Bài 128 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC cân C có diện tích 10, phương trình cạnh AB : x − 2y = 0, điểm I (4; 2) trung điểm AB, điểm M 4; thuộc cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn ĐS : A(2; 1); B (6; 3);C (2; 6) bo xm Bài 129 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC vuông A, đỉnh A, B thuộc đường thẳng d : y = 2, phương trình cạnh BC : 3x − y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ĐS : A(3 + 3; 2), B (0; 2),C (3 + 3; + 3) A(−3 − 3; 2), B (0; 2),C (−1 − 3) 106 boxmath.vn Bài tập Đường tròn - Đường elip ath Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho ba đường thẳng (d ) : 2x + y − = 0, (d ) : 3x + 4y + = (d ) : 4x + 3y + = Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm thuộc (d ) tiếp xúc với (d ) (d ) Đáp số: (C ) :(x − 2)2 + (y + 1)2 = 49 , (C ) :(x − 4)2 + (y + 5)2 = 25 25 Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho điểm A(−2; 1),hai đường thẳng (d1 ) : x + 3y + = (d ) : 3x − 4y + 10 = Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm thuộc đường thẳng (d ), qua A tiếp xúc với đường thẳng (d ) Đáp số: (C ) : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25 Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho hai đường thẳng (d1 ) : 4x − 3y + = (d ) : 3x − 4y − 31 = Lập phương trình đường trịn (C ) tiếp xúc với (d1 ) điểm có tung độ tiếp xúc với (d2 ) Đáp số: (C ) : (x − 10)2 + (y − 6)2 = 25, (C ) : (x + 190)2 + (y − 156)2 = 60025 Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho hai điểm A(−1; 1) B (3; 3), đường thẳng (d ) : 3x − 4y + = Lập phương trình đường trịn (C ) qua A, B tiếp xúc với đường thẳng (d ) bo xm Đáp số: (C ) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 25, (C ) : x − 31 2 + y + 27 = 4225 Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho hai đường thẳng (d1 ) : x + 2y − = (d2 ) : x + 3y − = Lập phương trình đường trịn (C ) có bán kính 10 , có tâm thuộc (d ) tiếp xúc (d2 ) Đáp số: (C ) : (x + 9)2 + (y − 6)2 = , (C ) : (x − 7)2 + (y + 2)2 = Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : x + y + 3x − = Tia O y cắt (C ) A Lập phương trình đường trịn (C ), bán kính R = tiếp xúc ngồi với (C ) A Đáp số: (C ) : (x − 3)2 + (y − 3)2 = Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : x + y − 4y − = Lập phương trình đường trịn (C ) đối xứng với (C ) qua điểm M ; 5 Đáp số: (C ) : x − + y+ =9 Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : x +y −2x +4y +2 = Lập phương trình đường trịn (C ) tâm M (5; 1) biết (C ) cắt (C ) hai điểm A, B cho AB = http://boxmath.vn/ 107 Đáp số: (C ) : (x − 5)2 + (y − 1)2 = 43, (C ) : (x − 5)2 + (y − 1)2 = 13 ath Bài Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : (x −1)2 +(y −2)2 = điểm K (3; 4) Lập phương trình đường trịn (T ) có tâm K , cắt (C ) hai điểm A, B cho diện tích tam giác I AB lớn nhất, với I tâm đường tròn (C ) Đáp số: (C ) : (T ) : (x − 3)2 + (y − 4)2 = 4, (T ) : (x − 3)2 + (y − 4)2 = 20 Bài 10 Trong mặt phẳng Ox y , cho ba điểm A(−2; 3), B tròn (C ) nội tiếp tam giác ABC ; C (2; 0) Lập phương trình đường Đáp số: (C ) : x − 2 + y− 2 = Bài 11 Trong mặt phẳng Ox y , cho hai đường thẳng (d1 ) : 4x − 3y − 12 = (d ) : 4x + 3y − 12 = Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1 ), (d2 ) trục O y Đáp số: I 4 ;0 ,R = 3 bo xm Bài 12 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường thẳng (d ) : x − y − = hai đường trịn có phương trình (C ) : (x − 3)2 + (y + 4)2 = 8, (C ) : (x + 5)2 + (y − 4)2 = 32 Lập phương trình đường trịn (C ) có tâm I thuộc đường thẳng (d ) tiếp xúc với (C ) (C ) Đáp số: (C ) : x + (y + 1)2 = Bài 13 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 10 đường thẳng (d ) : 2x −y −2 = Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d ) góc 450 Đáp số: có tiếp tuyến cần tìm 3x + y + = 0, 3x + y − 14 = 0, x − 3y − = 0, x − 3y + 12 = Bài 14 Trong mặt phẳng Ox y , cho hai đường tròn (C ) : x + y − 2x − 2y − = 0, (C ) : x + y − 8x − 2y + 16 = Lập phương trình tiếp tuyến chung (C ) (C ) Đáp số: có tiếp tuyến chung x = 3, y = − 4+7 2 4−7 x+ ,y = x+ 4 4 Bài 15 Trong mặt phẳng Ox y , cho hai đường tròn (C ) : (x − 1)2 + y = , (C ) : (x − 2)2 + (y − 2)2 = Viết phương trình đường thẳng (d ) tiếp xúc với (C ) cắt (C ) hai điểm M , N cho M N = 2 Đáp số: (d ) : x + y − = 0, (d ) : x + 7y − = 0, (d ) : x − y − = 0, (d ) : 7x − y − = 108 boxmath.vn ath Bài 16 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : x + y − 4x − 2y = đường thẳng (d ) : x + 2y − 12 = Tìm M (d ) cho từ M vẽ với (C ) hai tiếp tuyến lập với góc 60o Đáp số: M (6; 3), M 27 ; 5 Bài 17 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng (d ) : x + y + m = Tìm m để (d ) có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (C ) (B,C tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông Đáp số: m ∈ {−5; 7} Bài 18 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng (d ) : 3x −4y +m = Tìm m để (d ) có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (C ) (B,C tiếp điểm) cho tam giác ABC Đáp số: m ∈ {−41; 9} Bài 19 Trong mặt phẳng Ox y , cho hai đường tròn (C ) : x +y −18x−6y +65 = (C ) : x +y = Từ điểm M thuộc C ) kẻ hai tiếp tuyến với (C ), gọi A, B tiếp điểm Tìm tọa độ M , biết độ dài đoạn AB 4,8 Đáp số: M (4; 3), M (5; 0) bo xm Bài 20 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 25 điểm M (7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d ) qua M cắt (C ) hai điểm A, B phân biệt cho M A = 3M B Đáp số: (d ) : y − = 0, (d ) : 12x − 5y − 69 = x2 y + = Gọi A, B điểm (E ) cho 25 16 AF + AF = 8, với F , F tiêu điểm Tính AF + B F Bài 21 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : Đáp số: AF2 + B F1 = 12 Bài 22 Trong mặt phẳng Ox y , viết phương trình elip (E ) với tiêu điểm F1 (−1; 1), F2 (5; 1) tâm sai e = 0, Đáp số: (E ) : (x − 2)2 (y − 1)2 + =1 25 16 x2 y + = Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E ), biết A, B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác Bài 23 Trong mặt phẳng Ox y , cho điểm C (2; 0) elip (E ) : http://boxmath.vn/ Đáp số: A 4 ; ,B ;− 7 7 109 Bài 24 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : x2 y2 + = Tìm M ∈ (E ) cho F M F = 1200 (với 100 25 ath F , F hai tiêu điểm) Đáp số: M1 (0; 5), M2 (0; −5) Bài 25 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) có hai tiêu điểm F1 (− 3; 0), F2 ( 3; 0) qua điểm Lập phương trình tắc (E ) với điểm M elip, tính giá trị biểu thức P = F1 M + F2 M − 3OM − F1 M F2 M A 3; Đáp số: (E ) : x2 y + = 1, P = Bài 26 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : 4x + 16y = 64 Gọi F2 tiêu điểm bên phải (E ), M điểm (E ) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ M tới F tới đường thẳng ∆:x = có giá trị khơng đổi Đáp số: M F2 = d (M ; ∆) Bài 27 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : 5x + 16y = 80 hai điểm A(−5; −1), B (−1; 1) Một điểm M di động (E ) Tính giá trị lớn diện tích tam giác M AB  bo xm  Đáp số: S max = M   3; −    5 x2 y + = hai điểm A(3; −2), B (−3; 2) Tìm (E ) điểm (C ) có hồnh độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn Bài 28 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : Đáp số: M ; 2 x2 y + = điểm M (1; 1) Viết phương trình đường 25 thẳng qua M cắt (E ) hai điểm A, B cho M trung điểm AB Bài 29 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : Đáp số: 9x + 25y − 34 = x2 y Bài 30 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : + = Tìm M (E ) cho M có tọa độ nguyên 110 Đáp số: (2; 1), (2; −1), (−2; 1), (−2; −1) boxmath.vn Bài 31 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : x2 y + = Tìm M ∈ (E ) cho tổng hai tọa độ ath M có giá trị lớn Đáp số: M 10 10 ; 5 x2 y + = đường thẳng (d ) : mx −n y = 0, (d ) : nx + m y = 0, với m + n = Gọi M , N giao điểm (d ) với (E ), P,Q giao điểm Bài 32 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : (d ) với (E ) Tìm điều kiện m, n để diện tích tứ giác M P NQ đạt giá trị nhỏ Đáp số: m = ±n x2 y Bài 33 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : + = đường thẳng (d ) : 3x + 4y − 12 = 16 Chứng minh đường thẳng (d ) cắt (E ) hai điểm phân biết A, B Tìm C ∈ (E ) cho diện tích tam giác ABC Đáp số: C 2; − Bài 34 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : cho tam giác ABC vuông cân A 3 , C −2 2; 2 x2 y + = A(3; 0) Tìm tọa độ điểm B,C ∈ (E ) bo xm Đáp số: B 12 12 12 12 ; ,C ; − B ;− , C ; 5 5 5 5 x2 y + = M N hai điểm (E ) cho tam 25 giác OM N vuông O ( O gốc tọa độ) Gọi H hình chiếu O M N Tìm quỹ tích H Bài 35 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E) : Đáp số: x H + y H = 100 29 Bài 36 Trong mặt phẳng Ox y , cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E ), biết (E ) có độ dài trục lớn (E ) cắt (C ) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng Đáp số: (E ) : x2 y + =1 16 16 Bài 37 Trong mặt phẳng Ox y , cho hình thoi ABC D có AC = 2B D đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E ) qua đỉnh A, B,C , D Biết A thuộc Ox http://boxmath.vn/ Đáp số: (E ) : x2 y + =1 20 111 x2 y + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E ), có hồnh độ dương cho tam giác O AB cân O có diện tích lớn ath Bài 38 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : Đáp số: A 2; ,B 2; − A 2; − ,B 2; 2 x2 y Bài 39 Trong mặt phẳng Ox y , cho điểm A(2; 3) elip (E ) : + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E ) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E ); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F Đáp số: (x − 1) + y − 2 = x2 y Bài 40 Trong mặt phẳng Ox y , cho elip (E ) : + = Tìm điểm M ∈ (E ) cho M nhìn đoạn nối hai tiêu điểm góc 600 Đáp số: M 21 21 21 ; ;M − ; ;M − ;− ;M 6 21 ;− Bài 41 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng (d ) : x − y + = đường tròn (C ) : x + y + 2x − 4y = Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d ) mà qua M kẻ tiếp tuyền tiếp xúc với (C ) A B cho AM B = 60o ĐS : bo xm Bài 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y −2x −2y + = 0, (C ) : x + y + 4x − = qua M (1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường trịn (C ), (C )lần lượt A, B cho M A = 2M B ĐS : 6x + 1y − = Bài 43 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y −6x +5 = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C ) mà góc hai tiếp tuyến 60o ĐS : Bài 44 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn hai đường (C ) : x + y − 2x − 2y + = 0, (C ) : x + y + 4x − = qua M (1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C )lần lượt A, B cho M A = 2M B ĐS : Bài 45 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y + 2x − 8y − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x + y − = cắt đường trịn theo dây cung có độ dài ĐS : Bài 46 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y = 1, đường thẳng (d ) : x + y +m = Tìm m để (C ) cắt (d ) A B cho diện tích tam giác ABO lớn ĐS : 112 boxmath.vn ath Bài 47 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 4x − 2y − = đường thẳng d : x + y +1 = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C ) hai tiếp tuyến hợp với góc 90o ĐS : Bài 48 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y +4 3x −4 = Tia O y cắt (C ) A Lập phương trình đường trịn (C ), bán kính R = tiếp xúc với (C ) A ĐS : Bài 49 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C ) tâm M (5, 1) biết (C ) cắt (C ) điểm A, B cho AB = ĐS : Bài 50 Trong mặt phẳng Ox y cho đường trịn (C ) có phương trình (x − 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d : x + y + m = Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C ) (B,C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông ĐS : Bài 51 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y − = đường thẳng d có phương trình x + y + m = Tìm m để đường thẳng d có điểm A mà từ kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C ) (B,C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông ĐS : Bài 52 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng d : x − 2y + = Viết phương trình đường trịn có tâm I (3; 1) chắn đường thẳng d dây cung có độ dài ĐS : (x − 3)2 + (y − 1)2 = bo xm Bài 53 Trong mặt phẳng Ox y cho hai điểm A(2; 3), B (−1; 1) đường thẳng ∆ : x −3y −11 = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm ∆ qua hai điểm A, B ĐS : x + y − 7x + 5y − 14 = Bài 54 Trong mặt phẳng Ox y cho hai điểm A(0; 5), B (2; 3) Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A, B có bán kính R = 10 ĐS : (x + 1)2 + (y − 2)2 = 10 (x − 3)2 + (y − 6)2 = 10 Bài 55 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng ∆ : x + y − = đường thẳng d : 3x + y − = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng ∆ có bán kính 10 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d ĐS : (x − 4)2 + (y − 1)2 = 10 (x + 6)2 + (y − 11)2 = 10 Bài 56 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng ∆ : 2x + y = đường thẳng d : x − 7y + 10 = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng ∆ tiếp xúc với d A(4; 2) ĐS : (x − 6)2 + (y + 12)2 = 200 Bài 57 Trong mặt phẳng Ox y cho ba đường thẳng d1 : 2x + y − = 0, d2 : 3x + 4y + = 0, d : 4x + 3y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d tiếp xúc với d , d ĐS : (x − 10)2 + y = 49 x − http://boxmath.vn/ 10 43 + y+ 70 43 = 43 113 ath Bài 58 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng d : x − 7y + 10 = đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y − 20 = Viết phương trình đường trịn (C ) qua A(1; −2) giao điểm (C ) d ĐS : x + y − 2x + 4y − 10 = Bài 59 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có diện tích , A(2; −3), B (3; −2), trọng tâm G tam giác ABC nằm đường thẳng d : 3x − y −8 = Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A, B,C 11 11 16 91 91 416 x+ y+ = x + y − x + y + = 3 3 3 Bài 60 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 12x − 4y + 36 = Viết phương trình ĐS : x + y − đườn tròn (C ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,O y đồng thời tiếp xúc với đường tròn (C ) ĐS : (x − 18)2 + (y − 18)2 = 324, (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4, (x − 6)2 + (y + 6)2 = 36 Bài 61 Trong mặt phẳng Ox y cho ba điểm A(−1; 7), B (4; −3),C (−4; −1) Hãy viết phương trình đường trịn (C ) nội tiếp tam giác ABC ĐS : (x + 1)2 + (y − 2)2 = Bài 62 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x −1)2 +(y +3)2 = 25 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc tọa độ O cắt (C ) theo dây cung có độ dài ĐS : y = 3x − 4y = bo xm Bài 63 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y + 2x − 4y − 20 = điểm A(3; 0) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt đường tròn (C ) hai điểm M , N cho M N có độ dài nhỏ ĐS : x + 2y − = Bài 64 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y + 2x − 4y − 20 = điểm A(3; 0) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt đường tròn (C ) hai điểm M , N cho M N có độ dài lớn ĐS : 2x − y − = Bài 65 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y + 2x − 4y + = có tâm I điểm M (−1; −3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B cho tam giác I AB có diện tích lớn ĐS : x + y + = 7x + y + 10 = Bài 66 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 6x + = Tìm điểm M thuộc trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến với (C ) mà góc hai tiếp tuyến 600 ĐS : M (0; − 7) M (0; 7) Bài 67 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 4x − 2y = đường thẳng d : x + 2y − 12 = Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến với (C ) mà góc hai tiếp tuyến 600 114 ĐS : M (6; 3), M 27 ; 5 boxmath.vn Bài 68 Trong mặt phẳng Ox y cho hai đường tròn (C ) : x + y −18x −6y +65 = (C ) : x + y = Từ điểm M thuộc đường tròn (C ) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C ), gọi A, B hai tiếp điểm ath Tìm tọa độ điểm M , biết độ dài AB ĐS : M (4; 3) M (5; 0) Bài 69 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x + 4)2 + (y − 3)2 = 25 đường thẳng ∆ : 3x − 4y + 10 = Lập phương trình đường thẳng d biết d vng góc với ∆ d cắt (C ) A, B cho AB = ĐS : 4x + 3y + 27 = 4x + 3y − 13 = Bài 70 Trong mặt phẳng Ox y cho hai đường tròn (C ) : x + y = 13 (C ) : (x − 6)2 + y = 25 Gọi A giao điểm (C ) (C ) với y A > Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C ), (C ) theo hai đay cung có độ dài ĐS : x − = x − 3y + = Bài 71 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng d : x − 5y − = đường tròn (C ) : x + y + 2x − 4y − = Xác định tọa độ giao điểm A, B đường tròn (C ) đường thẳng d biết A có hồnh độ dương Tìm tọa độ điểm C thuộc đường tròn (C ) cho tam giác ABC vuông B ĐS : C (−4; 4) Bài 72 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 2x − 4y − = A(0; −1) Tìm tọa độ B,C thuộc đường tròn (C ) cho tam giác ABC bo xm ĐS : B 7+ 3−3 7− 3+3 ; ,C ; 2 2 Bài 73 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x − 3)2 + (y − 4)2 = 35 điểm A(5; 5) Tìm (C ) hai điểm B,C cho tam giác ABC vuông cân A ĐS : B B + 13 11 − 13 + 13 + 13 ; ; ,C 2 2 − 13 − 13 − 13 11 + 13 ,C ; ; 2 2 Bài 74 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y = điểm A 1; thuộc (C ) cho tam giác M AB có diện tích 20 −8 , B (3; 0) Tìm M ĐS : M (−2; 0) M − 14 48 ; 25 75 Bài 75 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 2x − 2y + = đường thẳng d : x − y + = Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C ) tiếp xúc ngồi với đường trịn (C ) ĐS : M (1; 4), M (−2; 1) http://boxmath.vn/ 115 ath Bài 76 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d : 3x − 4y +m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến P A, P B tới (C ) ( A, B hai tiếp điểm) cho tam giác ABC ĐS : m = 19, m = −41 Bài 77 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x −1)2 + y = có tâm I Xác định tọa độ điểm M thuộc đường tròn (C ) cho I MO = 300 3 3 ; M ; − 2 2 ĐS : M Bài 78 Trong mặt phẳng Ox y cho hai điểm A(2; 0) B (6; 4) Viết phương trình đường trịn (C ) tiếp xúc với trục hồnh A khoảng cách từ tâm (C ) đến điểm B ĐS : (x − 2)2 + (y − 1)2 = (x − 2)2 + (y − 7)2 = 49 Bài 79 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y − 2x − 6y + = điểm M (−3; 1) Gọi A, B hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C ) Viết phương trình đường thẳng AB ĐS : AB : 2x + y − = hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = Xác định tọa độ tâm K đường tròn (C ) biết đường tròn (C ) tiếp xúc với Bài 80 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x −2)2 + y = đường thẳng ∆1 , ∆2 tâm K thuộc đường tròn (C ) ĐS : K 2 ; ,R = 5 bo xm Bài 81 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : (x−1)2 +(y −2)2 = đường thẳng d : x−y −1 = Viết phương trình đường trịn (C ) đối xứng với đường trịn (C ) qua d ĐS : (x − 2)2 + y = Bài 82 Trong mặt phẳng Ox y cho tam giác ABC có A(0; 2), B (−2; −2),C (4; −2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B , M N trung điểm AB BC Viết phương trình đường tròn qua điểm H , M , N ĐS : x + y − x + y − = Bài 83 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + m y − 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C ) Tìm m để ∆ cắt (C ) hai điểm phân biệt A B cho diên tích tam giác I AB lớn ĐS : m = 0, m = 15 Bài 84 Trong mặt phẳng Ox y cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = d2 : 3x − y = Gọi (C ) đường tròn tiếp xúc với d A cắt d2 tai hai điểm B,C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường trịn (C ) biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương 116 ĐS : x + + y+ 2 = boxmath.vn ath Bài 85 Trong mặt phẳng Ox y cho đường tròn (C ) : x + y = 4, (C ) : x + y − 12x + 18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C ), tiếp xúc với d cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB vng góc với d ĐS : (x − 3)2 + (y − 3)2 = bo xm Bài 86 Trong mặt phẳng Ox y cho đường thẳng d : 2x − y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d , cắt Ox A, B , cắt O y C , D cho AB = C D = ĐS : (x + 1)2 + (y − 1)2 = (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 http://boxmath.vn/ 117 ... giải tích hay hình học tọa độ cách nhìn khác Hình học Hình học giải tích mặt phẳng đưa vào chương trình tốn lớp 10 có đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Để góp phần việc ơn tập cho học sinh trước... Chí Hào – boxmath.vn ath HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ A KIẾN THỨC CƠ BẢN y I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng : • • • • x'Ox... tài liệu cần thiết cho học sinh Bây đây, bạn đọc máy tính hay in giấy Chúng tơi hy vọng góp phần ôn tập kiến thức thân đồng thời tăng thêm động lực học tập hình học giải tích không gian Mặc dù