200 bài tập hình học có lời giải

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 · Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x - y + 17 x+ y-5 é x + 3y - 13 = (D1 ) = Ûê ë3 x - y - = (D2 ) 12 + (-7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với D1 D2 KL: x + 3y - = 3x - y + = Câu Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x - y + = d2 : x + y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 r r · d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uur uur Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = nên d1 ^ d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = Û Ax + By - A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I Û d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A - B é A = 3B Û = cos 450 Û A2 - AB - 3B = Û ê ë B = -3 A A2 + B2 22 + (-1)2 * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : x + y - = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y - = ; d : x - 3y - = Câu hỏi tương tự: a) d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = , P(0;1) ĐS: x + 3y - = ; x - y + = Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d2 : x + y + = điểm I (1; -2) Viết phương trình đường thẳng D qua I cắt d1, d2 A B cho AB = 2 uur uur · Giả sử A(a; -3a - 5) Ỵ d1; B(b; -3b - 1) Ỵ d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1) uur uur ìb - = k (a - 1) I, A, B thẳng hng ị IB = kIA ợ-3b + = k (-3a - 3) · Nếu a = b = Þ AB = (khơng thoả) b -1 · Nếu a ¹ -3b + = (-3a - 3) Û a = 3b - a -1 AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + ùû = 2 Û t + (3t + 4)2 = (với t = a - b ) + Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + = Û 5t + 12t + = Û t = -2; t = - Trang PP toạ độ mặt phẳng + Với t = Câu Trần Sĩ Tùng -2 -2 Þ a-b = Þ b = , a = Þ D : 7x - y - = 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = , d2 : x – y –1 = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;–1) cắt (d1) (d2) tương uuur uuur r ứng A B cho MA + MB = · Giả sử: A(a; uuur –a–1),uuur B(b; r2b – 1) Từ điều kiện MA + MB = tìm A(1; –2), B(1;1) suy (d): x – = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x – y + = A, B cho MB = 3MA uuur ì A Ỵ (d1 ) ì A(a; -1 - a) ìï uuur MA = (a - 1; -1 - a) ·í Ûí Þí B Ỵ ( d ) B (2 b 2; b ) ỵ ïỵ MB = (2b - 3; b) î uuur uuur uuur uuur Từ A, B, M thẳng hàng MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) MB = -3MA (2) ì ỉ 1ư ì A 0; -1) ïA - ;Þ (d ) : x - y - = (1) Þ í ỗố 3 ữứ ị (d ) : x - 5y - = (2) Þ í ( î B(4;3) ï B(-4; -1) î Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - = 0, d2 : x + y - = A, B cho Câu MA – 3MB = · Giả sử A(a;3a - 5) Ỵ d1 , B(b;4 - b) Î d2 uuur uuur é2 MA = 3MB (1) uuur Vì A, B, M thẳng hàng MA = 3MB nên ê uuur MA = MB (2) ë ì ỉ 5ư ïa = ì2(a - 1) = 3(b - 1) + (1) Û í ị A ỗ ; ữ , B(2;2) Suy d : x - y = î2(3a - 6) = 3(3 - b) è2 2ø ïîb = ì2(a - 1) = -3(b - 1) ìa = + (2) Û í Ûí Þ A(1; -2), B(1;3) Suy d : x - = ỵ2(3a - 6) = -3(3 - b) ỵb = Vậy có d : x - y = d : x - = Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA + 3OB) nhỏ Câu · PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): M(3; 1) Ỵ d = x y + = (a,b>0) a b Cô - si + ³ Þ ab ³ 12 a b a b ìa = 3b ï ìa = Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 1 Û í îb = ïî a = b = x y Phương trình đường thẳng d là: + = Û x + 3y - = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(4;1) cắt tia Ox, Oy A B cho giá trị tồng OA + OB nhỏ · x + 2y - = Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho nhỏ + OA2 OB · Đường thẳng (d) qua M(1;2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O, nên x y A(a; 0); B(0; b) vi a.b ị Phng trỡnh ca (d) có dạng + = a b Vì (d) qua M nên + = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có : a b Câu 2 ỉ1 2ư ỉ1 æ öæ ö 9 9 = ỗ + ữ = ỗ + ữ Ê ỗ + 1ữỗ + ữ Û + 2³ + ³ 2 2 b ø è øè a 10 10 b ø a b OA OB èa bø è3 a 2 20 Dấu xảy : = 1: + = Û a = 10, b = Þ d : x + y - 20 = a b a b Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(3;1) cắt trục Ox, Oy B C cho tam giác ABC cân A với A(2;–2) · x + 3y - = 0; x - y - = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S = · Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 a b ì2 ì2b + a = ab ï + =1 Theo giả thiết, ta có: í a b Ûí ab = ỵ ï ab = ỵ · Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = Þ d1 : x + y - = · Khi ab = -8 2b + a = -8 Ta có: b2 + 4b - = Û b = -2 ± 2 + Với b = -2 + 2 Þ d : (1 - ) x + (1 + ) y - = + Với b = -2 - 2 Þ d : (1 + ) x + (1 - ) y + = Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S = 12 ĐS: d : 3x - y - 12 = ; d : 3x - 8y + 24 = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y + = Lập phương trình đường thẳng (D) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = Û ax + by – 2a + b = (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: cos a = 2a - b = Û 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = Þ b = 1; b = 10 5(a2 + b2 ) Þ (D1): x + y – = (D2): x + 7y + = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng D qua A tạo với đường thẳng d góc 450 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = Û ax + by – (2a + b) = (a2 + b2 ¹ 0) 2a + 3b Ta có: cos 450 = é a = 5b Û 5a2 - 24ab - 5b2 = Û ê ë5a = - b 13 a2 + b2 + Với a = 5b Chọn a = 5, b = Þ Phương trình D : x + y - 11 = + Với 5a = -b Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + = Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x - y - = điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I khoảng 10 tạo với đường thẳng d góc 45 · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = (a2 + b2 ¹ 0) Vì (· d , D) = 450 nên 2a - b 2 a +b é a = 3b Ûê ë b = -3a = 4+c éc = = 10 Û ê ëc = -14 10 -2 + c é c = -8 = 10 Û ê · Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û ëc = 12 10 · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û Vậy đường thẳng cần tìm: x + y + = 0; 3x + y - 14 = ; x - 3y - = 0; x - 3y + 12 = Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình 3x + y + = x - 3y + = Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho + đạt giá trị nhỏ AB AC · A = d1 Ç d2 Þ A(-1;1) Ta có d1 ^ d2 Gọi D đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A D ta có: 1 AB + AC = 1 AH ³ AM (không đổi) H º M, hay D đường thẳng qua M AB AC AM vng góc với AM Þ Phương trình D: x + y - = Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; -2) , d1 : x + y + = , d2 : x - 3y + = ĐS: D : x + y + = Þ + đạt giá trị nhỏ Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – = đường tròn (C ) : x + y – y = Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1) Ã M ẻ (d) ị M(3b+4; b) ị N(2 – 3b; – b) N Ỵ (C) Þ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = Þ b = 0; b = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng ỉ 38 ỉ 4ư Vậy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M ỗ ; ữ , N ỗ - ; ữ ố 5ø è 5ø Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) đường thẳng D: x + 3y + = Tìm điểm B thuộc đường thẳng D cho đường thẳng AB D hợp với góc 450 r ì x = - 3t · D có PTTS: í VTCP u = (-3;2) Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) ẻ D ợ y = -2 + 2t é 15 uuur r uuur r êt = 13 AB.u ( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) = Û Û 169t - 156t - 45 = Û ê r = AB u 2 êt = - 13 ë ỉ 32 ỉ 22 32 Vy cỏc im cn tỡm l: B1 ỗ - ; ữ , B2 ỗ ; - ữ ố 13 13 ø è 13 13 ø Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - = điểm N(3; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 uuur · Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x - 3y = Giả sử M (3m + 6; m) Î d 2S Khi ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = ON 4.(3m + 6) - 3m -13 Û = Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m = ỉ -13 -13 + Với m = -1 Þ M (3; -1) + Với m = ị M ỗ -7; ữ 3 ứ ố Cõu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x - y + = Tìm đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC · Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Ỵ d uuur r ỉ2 6ư 5 Vì DABC vuông B nên AB ^ d Û AB.ud = B ỗ ; ữ ị AB = ị BC = 5 è 5ø éc = Þ C (0;1) BC = 125c - 300c + 180 = Û ê ỉ4 7ư êc = ị C ỗ ; ữ 5 ố 5ø ë Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - = , d2 : x + y - = điểm A(1; 4) Tìm điểm B Ỵ d1, C Ỵ d2 cho tam giác ABC vuông cân A uuur uuur · Gọi B(b;3 - b) Ỵ d1, C (c;9 - c) Ỵ d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) uuur uuur ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = ì AB AC = DABC vng cân A Û í Ûí 2 2 (*) ỵ AB = AC ỵ(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c) Vì c = khơng nghiệm (*) nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì (b + 1)(5 - c) (1) ïïb - = c -1 (*) Û í (5 - c)2 ï(b + 1)2 + (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2) ïỵ (c - 1) éb = c - Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê ë b = -c + Với b = c - , thay vào (1) ta c = 4, b = Þ B(2;1), C (4;5) + Với b = -c , thay vào (1) ta c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) Vậy: B(2;1), C (4;5) B(-2;5), C (2;7) Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + – m = ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – = Chứng minh d1 d2 ln cắt Gọi P = d1 Ç d2 Tìm m cho PA + PB lớn ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - · Xét Hệ PT: í ỵ(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + æ 3ư m -1 m - Ta có D = = ỗ m - ữ + > 0, "m - m m -1 2ø è Þ d1, d2 ln cắt Ta có: A(0;1) Ỵ d1, B(2; -1) ẻ d2 , d1 ^ d2 ị D APB vng P Þ P nằm đường trịn đường kính AB Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = AB = 16 Þ PA + PB £ Dấu "=" xảy Û PA = PB Û P trung điểm cung » AB Û P(2; 1) P(0; –1) Û m = m = Vậy PA + PB lớn Û m = m =2 Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – y – = hai điểm A(-1;2) , B(3;4) Tìm điểm MỴ(D) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ uuur uuur · Giả sử M M (2t + 2; t ) ẻ D ị AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4) ỉ 2ư ỉ 26 ö Ta có: AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) ị f (t ) = f ỗ - ữ ị M ỗ ; - ữ ố 15 ứ ố 15 15 ø Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x - y + = điểm A(1; 0), B(2;1) Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ · Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > Þ A, B nằm phía d Gọi A¢ điểm đối xứng A qua d ị AÂ(-3;2) ị Phng trỡnh AÂB : x + 5y - = Với điểm M Ỵ d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B Mà MA¢ + MB nhỏ Û A¢, M, B thẳng hàng Û M giao điểm A¢B với d ỉ 17 Khi ú: M ỗ - ; ữ ố 11 11 ø Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B giao điểm đường thẳng (d): x – y – = đường tròn (C’): x + y - 20 x + 50 = Hãy viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm A, B, C(1; 1) · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x + y - x - 8y + 10 = , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm DABC nằm đường thẳng d : 3x – y – = Viết phương trình đường trịn qua điểm A, B, C · Tìm C (1; -1) , C2 (-2; -10) 11 11 16 + Với C1(1; -1) Þ (C): x + y - x + y + =0 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x + y - x + y + =0 3 Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : x + y - = , d2 : x + y + = , d3 : x + 3y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1 tiếp xúc với d2 d3 · Gọi tâm đường trịn I (t;3 - 2t ) Ỵ d1 3t + 4(3 - 2t ) + 4t + 3(3 - 2t ) + ét = = Û ê 5 ët = 49 Vậy có đường trịn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = 25 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d1 : x – y –10 = , d2 : x + y + = , d3 : x - 3y - = Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û 2 æ 10 ö æ 70 ö æ ö ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoc ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = ỗ ữ 43 ø è 43 ø è 43 ø è 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + = , D ' :3x - y + 10 = điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng D , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng D¢ Câu · Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Ỵ D Ta có: d ( I , D¢ ) = IA Û 3(-3t - 8) - 4t + 10 +4 = (-3t - + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = PT đường tròn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x - 3y + = D ' : x - y - 31 = Lập phương trình đường trịn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D điểm có tung độ tiếp xúc với D ' Tìm tọa độ tiếp điểm (C ) D ' Câu · Gọi I (a; b) tâm đường tròn (C) (C ) tiếp xúc với D điểm M(6;9) (C ) tiếp xúc với D¢ nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì ì 4a - 3b + 3a - 4b - 31 54 - 3a ìduuu (rI , D) = d (I , D ') ï ï 4a - + = 6a - 85 = Ûí Ûí r í 5 ỵ IM ^ uD = (3; 4) ïỵ3(a - 6) + 4(b - 9) = ïỵ3a + 4b = 54 ì ï 25a - 150 = 6a - 85 é a = 10; b = Ûí Ûê 54 - 3a b = ë a = -190; b = 156 ïỵ Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' N(13;2) (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' N(-43; -40) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn qua A(2; -1) tiếp xúc với trục toạ độ é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) · Phương trình đường trịn có dạng: ê 2 êë( x - a) + ( y - a) = a (b) a) Þ a = 1; a = b) Þ vơ nghiệm Câu Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x - y - = Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d) · Gọi I (m;2m - 4) Ỵ (d ) tâm đường trịn cần tìm Ta có: m = 2m - Û m = 4, m = Câu 2 æ 4ö æ ö 16 · m = thỡ phng trỡnh ng trũn l: ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = 3ứ ố 3ø è · m = phương trình đường tròn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) B(3;3), đường thẳng (D): 3x – y + = Lập phương trình đường trịn qua A, B tiếp xúc với đường thẳng (D) Câu · Tâm I đường tròn nằm uuurtrên đường trung trực d đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT AB = (4;2) Þ d: 2x + y – = Þ Tâm I(a;4 – 2a) éa = Ta có IA = d(I,D) Û 11a - = 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = Û ê 31 êa = ë · Với a = Þ I(3;–2), R = Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 ỉ 31 ỉ 31 4225 31 65 Ã Vi a = ị I ỗ ; -27 ữ , R = ị (C): ỗ x - ữ + ( y + 27)2 = 2 2ø è ø è Câu Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + y - = D : x + 3y - = Lập 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với D Ã Tõm I ẻ d ị I (-2a + 3; a) (C) tiếp xúc với D nên: phương trình đường trịn có bán kính d (I , D) = R Û a-2 10 = 10 éa = Ûê ë a = -2 Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 = 8 (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = 5 Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + x - = Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C¢), bán kính R¢ = tiếp xúc ngồi với (C) A · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2) Gọi I¢ tâm (C¢) ì PT đường thẳng IA : í x = 3t , I ' ẻ IA ị I Â(2 3t;2t + 2) ỵ y = 2t + uur uur AI = I ¢A Û t = Þ I '( 3;3) Þ (C¢): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y – y – = Hãy viết ỉ4 2ư phương trình đường trịn (C¢) đối xứng với đường trịn (C) qua im M ỗ ; ữ ố 5ứ Ã (C) có tâm I(0;2), bán kính R = Gọi I’ điểm đối xứng I qua M æ -6 ị IÂ ỗ ; ữ ị (CÂ): ố5 ứ 2 ổ 8ử ổ 6ử ỗx - ữ +ỗy+ ữ = 5ứ ố 5ứ ố Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y - x + y + = Viết phương trình đường trịn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) hai điểm A, B cho AB = · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = PT đường thẳng IM: 3x - y - 11 = AB = ì H Ỵ IM ì3 x - y - 11 = ï ï Û Gọi H ( x; y ) trung điểm AB Ta có: í í 2 2 ïỵ IH = R - AH = ïỵ( x - 1) + ( y + 2) = é 29 ê x = - ; y = - 10 ỉ 29 ỉ 11 11 ị H ỗ - ; - ữ hoc H ỗ ; - ữ ố 10 ứ è 10 ø ê x = 11 ; y = - 11 10 ë ỉ 29 Ã Vi H ỗ - ; - ữ Ta có R¢2 = MH + AH = 43 Þ PT (C¢): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 è 10 ø æ 11 11 Ã Vi H ỗ ; - ữ Ta có R¢2 = MH + AH = 13 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 è 10 ø Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = điểm K(3;4) Lập phương trình đường trịn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I tâm đường trịn (C) · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = SD IAB lớn Û DIAB vuông I Û AB = 2 Mà IK = 2 nên có hai đường trịn thoả YCBT + (T1 ) có bán kính R1 = R = Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC ỉ1 với đỉnh: A(–2;3), B ç ;0 ÷ , C (2;0) è4 ø ỉ1 Ã im D(d;0) ỗ < d < ữ thuộc đoạn BC chân đường phân giác gúc A ố4 ứ 2 ổ9ử ỗ ÷ + ( -3) d DB AB 4= è ø = Û Þ 4d - = - 3d Þ d = DC AC 2-d + ( -3 ) x +2 y-3 x +2 y -3 = Û x + y - = ; AC: = Û 3x + y - = -3 -3 Giả sử tâm I đường trịn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ 1- b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có: é (1 - b ) + 4b - ê b - = 5b Þ b = - = b Û b - = 5b Þ ê 2 ê b - = -5b Þ b = +4 ë Rõ ràng có giá trị b = hợp lý Phương trình AD: 2 ỉ 1ư ỉ 1ư Vậy, phương trình đường trịn nội tiếp DABC l: ỗ x - ữ + ỗ y - ÷ = 2ø è 2ø è Câu 15 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x - 3y - 12 = (d2): x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2) trục Oy · Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 Ç Oy, C = d2 Ç Oy Þ A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A AO phân giác góc A Gọi I, R tâm bán kính đường trũn ni tip DABC ổ4 ị I ỗ ;0 ÷ , R = è3 ø Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - = hai đường trịn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc với (C1) (C2) · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 tâm bán kính (C), (C1), (C2) Giả sử I (a; a –1)Ỵ d (C) tiếp xúc với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II = R + R2 Þ II1 – R1 = II – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - Û a = Þ I(0; –1), R = Þ Phương trình (C): x + ( y + 1)2 = Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC Trang 10 ... d có phương trình x – y + = Lập phương trình đường thẳng (D) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = Û ax + by – 2a + b = (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: ... khác A ) cho + đạt giá trị nhỏ AB AC Ã A = d1 ầ d2 ị A(-1;1) Ta có d1 ^ d2 Gọi D đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A D ta có: 1 AB + AC = 1 AH ³ AM (không đổi) H º M, hay D đường thẳng... thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 uuur · Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x - 3y = Giả sử M (3m + 6; m) Ỵ d 2S Khi ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M ,