BÀI 1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1 Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f x( )=ax bx c2+ + , trong đó a b c, , là những hệ số, a ≠ 0
2 Dấu của tam thức bậc hai
Cho f x( )=ax bx c a2+ + ( ≠0 ,) ∆ =b2−4ac
Nếu ∆ <0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số ( ) a, với mọi x∈
Nếu ∆ =0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số ( ) a, với mọi
2
bx
a
≠ −
Nếu ∆ >0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số ( ) akhi x∈ −∞( ;x1) (∪ x2;+∞) và f x luôn ( )trái dấu với hệ số akhi x∈(x x1; 2) Trong đó x x là hai nghiệm của 1 2 f x ( )
Chú ý:
a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;
Khi ∆ >0, dấu của f x và a là : “Trong trái ngồi cùng”
C
HƯ
ƠN
G
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
LÝ THUYẾT
I
cùng
Trang 2Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có); Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;
Bước 4: Xác định dấu của f(x)
b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆′thay cho biệt thức ∆
DẠNG 1: XÉT DẤU BIỂU THỨC
(Xét dấu của: Tam thức bậc hai, biểu thức có dạng tích hoặc thương của các tam thức bậc hai,…)
Câu 1: Xét dấu tam thức: f x( )= − +x2 5x−6
Câu 2: Xét dấu tam thức : f x( )=2x2+2x+5
Câu 3: Xét dấu biểu thức ( ) 2 22 14xxf xx− −=−
Câu 4: Tìm x để biểu thức : f x( )=(3x x− 2)(x2−6x+9) nhận giá trị dương
Câu 5: Xét dấu biểu thức:
2263 4xxP xxxx
Câu 1: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x<2?
A x2−5x+6 B 16 x− 2 C x2−2x+3 D − +x2 5x−6
Câu 2: Tam thức − −x2 3x−4 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
A x<–4 hoặc x>–1 B x<1 hoặc x>4 C –4< <x –4 D x∈
Câu 3: Tam thức y x= 2−12 13x− nhận giá trị âm khi và chỉ khi
A x<–13 hoặc x>1 B x<–1 hoặc x>13 C –13< <x 1 D –1< <x 13
Câu 4: Tam thức y x= 2−2 3x− nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A x<–3 hoặc x>–1 B x<–1 hoặc x>3 C x<–2 hoặc x>6 D –1< <x 3
Câu 5: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x( )=x2−6x+8 không dương?
A [ ]2;3 B (−∞;2] [∪ 4;+∞) C [ ]2;4 D [ ]1;4
Câu 6: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x( )=x2+ −9 6x luôn dương?
Trang 3Câu 7: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x( )=x2−2x+3 ln dương?
A ∅ B C (−∞ − ∪; 1) (3;+∞) D (−1;3)
Câu 8: Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f x( )= − +x2 6x−9?
A .B .
C .D .
Câu 9: Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f x( )= − − +x2 x 6 ?
A .B .
Trang 4BÀI 1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1 Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f x( )=ax bx c2+ + , trong đó a b c, , là những hệ số, a ≠ 0
2 Dấu của tam thức bậc hai
Cho f x( )=ax bx c a2+ + ( ≠0 ,) ∆ =b2−4ac
Nếu ∆ <0 thì f x ln cùng dấu với hệ số ( ) a, với mọi x∈
Nếu ∆ =0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số ( ) a, với mọi
2
bx
a
≠ −
Nếu ∆ >0 thì f x luôn cùng dấu với hệ số ( ) akhi x∈ −∞( ;x1) (∪ x2;+∞) và f x luôn ( )trái dấu với hệ số akhi x∈(x x1; 2) Trong đó x x là hai nghiệm của 1 2 f x ( )
Chú ý:
a) Để xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c (a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:
Khi ∆ >0, dấu của f x và a là : “Trong trái ngoài cùng”
C
HƯ
ƠN
G
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
LÝ THUYẾT
I
cùng
Trang 5Bước 2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có); Bước 3: Xác định dấu của hệ số a;
Bước 4: Xác định dấu của f(x)
b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆′thay cho biệt thức ∆
DẠNG 1: XÉT DẤU BIỂU THỨC
(Xét dấu của: Tam thức bậc hai, biểu thức có dạng tích hoặc thương của các tam thức bậc hai,…)
Câu 1: Xét dấu tam thức: f x( )= − +x2 5x−6
Lời giải
( )
f x có hai nghiệm phân biệt x1 =2, x2 =3 và có hệ số a = − < 1 0Ta có bảng xét dấu f x ( )
Câu 2: Xét dấu tam thức : f x( )=2x2+2x+5
Lời giải
Tam thức có ∆ = − <′ 9 0 và hệ số a = > nên 2 0 f x( )> ∀ ∈ 0, x
Câu 3: Xét dấu biểu thức f x( ) 2x22 x4 1
Trang 6Câu 4: Tìm x để biểu thức : f x( )=(3x x− 2)(x2−6x+9) nhận giá trị dương Lời giải Ta có 22 03 03xxxx=− = ⇔ = ; x2−6x+ = ⇔ =9 0 x 3
Lập bảng xét dấu ( Hoặc sử dụng phương pháp khoảng) ta có x 0; 3
Câu 5: Xét dấu biểu thức:
2263 4xxP xxxxLời giải Ta có 2 3 2 2 2221 66 2 5 63 4 3 4 3 4xxxxxxxxxxxxxxx Ta có 2 2 2 16 0 , 3 4 03 4xxxxxxxx Bảng xét dấu Suy ra 22 63 4xxxxx
dương khi và chỉ khi x 2; 1 1; 3 4;,
2263 4xxxxx
âm khi và chỉ khi x ; 2 1;1 3; 4
Câu 1: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với mọi x<2?
Trang 7()()2 416 4 4 04xyxxxx< −= − = − + < ⇔ > (loại B) ()22 2 3 1 2 0,y x= − x+ = x− + > ∀ (loại C) x()()2 25 6 2 3 03xyxxxxx<= − + − = − − − < ⇔ > (Chọn D)
Cách 2: Thay x = vào từng đáp án; chỉ có D thỏa mãn 6 00 − < ( đúng)
Câu 2: Tam thức − −x2 3x−4 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
A x<–4 hoặc x>–1 B x<1 hoặc x>4
C –4< <x –4 D x∈
Lời giải Chọn D
Cách 1: y= − −x2 3 4x− nhận giá trị âm khi 2 3 4 0 2 2.3 9 7 0
2 4 4xx xx − − − < ⇔ − + + + < 23 7 0,2 4xx ⇔ − + − < ∀ ∈ .Cách 2: Casio wR112p1=p3=p4== ( đúng với tất cả các số thực)
Câu 3: Tam thức y x= 2−12 13x− nhận giá trị âm khi và chỉ khi
A x<–13 hoặc x>1 B x<–1 hoặc x>13 C –13< <x 1 D –1< <x 13 Lời giải Chọn DCách 1: y x= 2−12 13x− nhận giá trị âm tức là x2−12 13 0x− < ⇔(x+1)(x−13 0)<1 x 13⇔ − < < Cách 2: Casio: wR1121=p12=p13==
Câu 4: Tam thức y x= 2−2 3x− nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Trang 8Lời giải Chọn BCách 1: Ta có y x= 2−2 3x− nhận giá trị dương tức là x2−2x− > ⇔3 0 (x+1)(x− >3 0)1 03 0 311 03 0xxxxxx + > − > >⇔ + < ⇔ < − − <.
Cách 2: Casio y x= 2−2 3x− nhận giá trị dương tức là x2−2x− >3 0
1 1 1
MODE →↓→ → →
Rồi nhập 1=→ − =→ − =→=2 3 ; kết quả
Câu 5: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x( )=x2−6x+8 không dương?
A [ ]2;3 B (−∞;2] [∪ 4;+∞) C [ ]2;4 D [ ]1;4 Lời giải
Chọn C
Để f x khơng dương thì ( ) x2−6x+ ≤ ⇔8 0 (x−2)(x−4 0)≤Lập bảng xét dấu f x ta thấy để ( ) f x( )≤ ⇔ ∈0 x [ ]2;4
Câu 6: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x( )=x2+ −9 6x luôn dương?
A \ 3{ } B C (3;+∞ ) D (−∞;3) Lời giải Chọn A Ta có x2+ −9 6x> ⇔0 ()23 0 3x− > ⇔ ≠x Vậy x∈\ 3{ }
Câu 7: Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x( )=x2−2x+3 ln dương?
A ∅ B C (−∞ − ∪; 1) (3;+∞) D (−1;3)
Trang 9Ta có 2 ()2
2 3 1 2 2,
x − x+ = x− + ≥ ∀ ∈ x Vậy x∈
Câu 8: Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f x( )= − +x2 6x−9?
A .B .
C .D .
Lời giải Chọn D
Ta có − +x2 6x− = ⇔ =9 0 x 3 và a = − < 1 0
Câu 9: Bảng xét dấu nào sau đây là bảng xét dấu của tam thức f x( )= − − +x2 x 6 ?
Trang 10BÀI 1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Câu 1: Cho tam thức f x( )=ax2+bx c+ (a≠0 ,) ∆ =b2−4ac Ta có f x ≤( ) 0 với ∀ ∈ x khi và chỉ khi:A 00a <∆ ≤ B 00a ≤∆ < C 00a <∆ ≥ D 00a >∆ ≤
Câu 2: Cho tam thức bậc hai f x( )= −2x2+8 8x− Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A f x < với mọi ( ) 0 x ∈ B f x ≥ với mọi ( ) 0 x ∈ .
C f x ≤ với mọi ( ) 0 x ∈ D f x > với mọi ( ) 0 x ∈
Câu 3: Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của x?
A x2−10x+2 B x2−2 10x− C x2−2 10x+ D − +x2 2 10x+
Câu 4: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A f x( )=3x2+2x−5 là tam thức bậc hai B f x( )=2x−4 là tam thức bậc hai
C f x( )=3x3+2 1x− là tam thức bậc hai D f x( )=x4−x2+1 là tam thức bậc hai
Câu 5: Cho f x( )=ax2+bx c+ , (a ≠0) và ∆ =b2−4ac Cho biết dấu của ∆ khi f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈
A ∆ <0 B ∆ =0 C ∆ >0 D ∆ ≥0
Câu 6: Cho hàm số y f x= ( )=ax2+bx c+ có đồ thị như hình vẽ Đặt ∆ =b2−4ac, tìm dấu của a và ∆ A a >0, ∆ >0 B a <0, ∆ >0 C a >0, ∆ =0 D a <0, , 0∆ = ( )CHƯƠNG
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Trang 11A phương trình f x =( ) 0 vơ nghiệm B f x >( ) 0 với mọi x ∈
C f x ≥( ) 0 với mọi x ∈ D f x <( ) 0 khi x <4
Câu 8: Cho tam thức bậc hai f x( )=x2+1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A f x( )> ⇔ ∈ −∞ +∞0 x ( ; ) B f x( )= ⇔ = −0 x 1
C f x( )< ⇔ ∈ −∞0 x ( ;1) D f x( )> ⇔ ∈0 x ( )0;1
Câu 9: Cho tam thức bậc hai f x( )=ax bx c a2+ + ( ≠0) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu ∆ >0 thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈
B Nếu ∆ <0 thì f x( ) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x ∈
C Nếu ∆ =0 thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi \2bxa ∈ −
Trang 12BÀI 1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Câu 1: Cho tam thức f x( )=ax2+bx c+ (a≠0 ,) ∆ =b2−4ac Ta có f x ≤( ) 0 với ∀ ∈ x khi và chỉ khi:A 00a <∆ ≤ B 00a ≤∆ < C 00a <∆ ≥ D 00a >∆ ≤ Lời giảiChọn A
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: f x ≤( ) 0 với ∀ ∈ x khi và chỉ khi 00
a <
∆ ≤
Câu 2: Cho tam thức bậc hai f x( )= −2x2+8 8x− Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A f x < với mọi ( ) 0 x ∈ B f x ≥ với mọi ( ) 0 x ∈ .
C f x ≤ với mọi ( ) 0 x ∈ D f x > với mọi ( ) 0 x ∈
Lời giảiChọn C
Ta có 2 ()2
( ) 2( 4 4) 2 2 0
f x = − x − x+ = − x− ≤ với mọi x ∈ Vậy: f x ≤ với mọi ( ) 0 x ∈
Câu 3: Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của x?
A x2−10x+2 B x2−2 10x− C x2−2 10x+ D − +x2 2 10x+
Lời giảiChọn C
Tam thức ln dương với mọi giá trị của x phải có 00a∆ < > nên Chọn C Câu 4: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
C
HƯ
ƠN
G
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 13C f x( )=3x3+2 1x− là tam thức bậc hai D f x( )=x4−x2+1 là tam thức bậc hai
Lời giảiChọn A
* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f x( )=3x2+2x−5 là tam thức bậc hai
Câu 5: Cho f x( )=ax2+bx c+ , (a ≠0) và ∆ =b2−4ac Cho biết dấu của ∆ khi f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈
A ∆ <0 B ∆ =0 C ∆ >0 D ∆ ≥0
Lời giảiChọn A
* Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈
khi ∆ <0
Câu 6: Cho hàm số y f x= ( )=ax2+bx c+ có đồ thị như hình vẽ Đặt ∆ =b2−4ac, tìm dấu của a và ∆
A a >0, ∆ >0 B a <0, ∆ >0 C a >0, ∆ =0 D a <0, , 0∆ =
Lời giảiChọn A
* Đồ thị hàm số là một Parabol quay lên nên a >0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên ∆ >0
Câu 7: Cho tam thức f x( )=x2−8x 16+ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A phương trình f x =( ) 0 vô nghiệm B f x >( ) 0 với mọi x ∈
C f x ≥( ) 0 với mọi x ∈ D f x <( ) 0 khi x <4
Lời giảiChọn C
Ta có ( ) 2 ()2
8x 16 4
f x =x − + = x− Suy ra f x ≥( ) 0 với mọi x ∈
Câu 8: Cho tam thức bậc hai f x( )=x2+1 Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 14Ta có f x( )=x2+ ≥ >1 1 0, ∀ ∈ x
Câu 9: Cho tam thức bậc hai f x( )=ax bx c a2+ + ( ≠0) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu ∆ >0 thì f x( ) ln cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈
B Nếu ∆ <0 thì f x( ) ln trái dấu với hệ số a, với mọi x ∈
C Nếu ∆ =0 thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi \2bxa ∈ −
D Nếu ∆ <0thì f x( ) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi x ∈
Trang 15BÀI 2 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax bx c2+ + <0 ( hoặc ax bx c2+ + ≤0
, ax bx c2+ + >0, ax bx c2+ + ≥0), trong đó a b c, , là những số thực đã cho, a ≠ 0
2 Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + >0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu dương.
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + ≥0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu khơng âm (lớn hơn hoặc bằng 0).
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + <0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu âm.
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + ≤0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu không dương (bé hơn hoặc bằng 0).
DẠNG 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình dạng tích, thương của các tam thức bậc hai, bất phương trình đưa về bậc hai…)
Câu 1: Giải các bất phương trình sau: −3x2+2x+ <1 0
Câu 2: Giải bất phương trình sau: −36x2+12 1 0x− ≥
C
HƯ
ƠN
G
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Trang 16Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số: y= x2−2x+5
Câu 4: Giải bất phương trình (x x2−) 3(2+x x2− + ≥) 2 0
Câu 5: Giải bất phương trình :
23221 1 22 3 2x xxxxx x xx+ − > + −− − − +
Câu 6: Giải bất phương trình: (x2−4)(x2+2 ) 3(x≤x2+ +4 4)x
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y= 2x2−5 2x+ A ;12D = −∞ B [2;+∞) C ;1 [2; )2−∞ ∪ +∞ D 1 ;22
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình x2+ >9 6x là:
A \{3} B C (3;+∞) D (−∞;3)
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình x2−2x+ >3 0 là:
A ∅ B C (−∞ − ∪; 1) (3;+∞) D ( 1;3)−
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình x2<9 là:
A (–3;3) B (−∞ −; 3) C (−∞;3) D (−∞ − ∪; 3) (3;+∞)
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình x2− − <x 6 0 là:
A (−∞ − ∪; 3) (2;+∞) B (−3;2) C (−2;3) D (−∞ − ∪; 2) (3;+∞)
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình x2−4 2 8 0x+ < là:
A (−∞;2 2) B \ 2 2{ } C ∅ D
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình x2−4x+ >4 0 là:
A (2;+∞) B C \ 2{ }− D \ 2{ }
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình x2−2x+ >1 0là:
A (1;+∞) B C \ 1{ }− D \ 1{ }
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình x2+6x+ >9 0là:
A (3;+∞) B C \ 3{ }− D \ 3{ }
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 17Câu 10: Tập ngiệm của bất phương trình: −x2+6x+ ≥7 0 là: A (– ;∞ −1]∪[7;+∞) B [−1;7 ] C (– ; 7∞ − ] [∪ 1;+∞) D [−7;1 ]Câu 11: Tập xác định của hàm số y xx2 4x 5 là:A D 5;1 B D 5;1 C D ; 5 1; D D ; 5 1; Câu 12: Tập xác định của hàm số f x( )= 2x2−7 15x− làA ; 3 (5; )2−∞ − ∪ +∞ B ; 3 [5; )2−∞ − ∪ +∞ C ; 3 [5; )2−∞ − ∪ +∞ D ;3 [5; )2−∞ ∪ +∞ Câu 13: Tập xác định của hàm số y= 3x x− 2 là A (−∞;0] [∪ +∞3; ) B [ ]0;3 C ( )0;3 D
Câu 14: Giải bất phương trình 5(x− −1) (x 7− >x) x2−2xta được
A Vô nghiệm B Mọi x đều là nghiệm
C x > −2,5 D x > −2,6
Câu 15: Giải bất phương trình: 2228(2)22xxxx+−≥−+ A (x≤0) (∨ x≥2) B 0≤ ≤x 2 C (x< − ∨2) (x>2) D − ≤ ≤2 x 2
Câu 16: Tập hợp nghiệm của bất phương trình: 22 2 1 2 1.
4 4 2xxxxx A 35x B 35x vàx 2 C 3 25 x D 35x
Câu 17: Tìm nghiệm của bất phương trình: 22 3 3 4 22 3 1.
2 2xxxxx A x 5 B x 5 C x 5 D x 5
Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình (1 2 2 5− x x)( − )(x+ <1 0) là:
A 1;12S = − B 1;52S = − C 1;1 5;2 2S = − ∪ +∞ D S = − +∞( 1; )
Câu 19: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2−8x+ ≥7 0 Trong các tập hợp sau, tập nào
Trang 18A (−∞;0] B [8;+∞) C (−∞ −; 1] D [6;+∞)
Câu 20: Bất phương trình x x − ≥( 2 1) 0 có nghiệm là:
A x ∈ −∞ − ∪ +∞(; 1) [1;) B x ∈ −[ 1;0] [1;∪+∞)
C x ∈ −∞ − ∪(; 1] [0;1) D x ∈ −[ 1;1]
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình: 2 2 2 2
11xxxxxx− < ++ +− + là: A ∅ B 6 63 3xx < − ∨ > C 6 63 x 3 − < < D
Câu 22: Giải bất phương trình:2( 2)2 2 72x x A 32x B 32x C Vô nghiệm D x.
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình
2 11x xxx+ − > −− làA 1;12 .B 1 ;2 +∞ C (1;+∞).D ;1 (1; )2−∞ +∞
Câu 24: Giải bất phương trình: 2 4 2 1
433 2xxx−≤++++ A (x≤ − ∨ > −7) (x 3) B − ≤ < −7 x 3 C − ≤ ≤ −5 x 1 D (x≤ − ∨ > −5) (x 1)
Câu 25: Giải bất phương trình:
222 34 2x xxx− + > −− − A x < −4∨ x > − 2 B − < <4 x 2 C − < <2 x 2 D x < −2 ∨ x > 2
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình 2
Trang 19C x < − hoặc 2 0 85x≤ ≤ D − < ≤2 x 0 hoặc 52x ≥
Câu 28: Tập nghiệm của bất phương trình (x2− + +3 1 3 5x)2 x2− + >9x0 là
A S = −∞( ;1) B S =(2;+∞) C S = −∞ ∪ +∞( ;1) (2; ).D S 0;1
Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình x2+ +x 12 >x2+ +x 12 là
A ∅ B
C (− −4; 3) D (−∞ − ∪ − +∞; 4) ( 3; )
DẠNG 2: ĐIỀU KIỆN VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Câu 1: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm: f x( )= − −x2 2x m−
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với ∀ ∈ x
22
3x −2(m+1)x−2m +3m− ≥2 0
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau xác định với mọi x∈
( ) 2 1( 1) 2( 2) 2f xmxmxm=− − − + −
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm
2 2( 2) 2 1 0
x + m− x+ m− ≤
Câu 5: Tìm m để mọi x∈ −[ 1;1] đều là nghiệm của bất phương trình 3x2−2(m+5)x m− 2+2m+ ≤8 0(1)
Câu 1: Để f x( )=x2+(m+1)x+2m+ >7 0 với mọi x thì
A − ≤ ≤3 m 9 B m< − ∨ >3 m 9
C − < <3 m 9 D m≤ − ∨ ≥3 m 9
Câu 2: Bất phương trình f x( )=mx2−4x+3m+ >1 0 nghiệm đúng mọi x > khi 0
A m > 0 B 4
3
m > C m > 1 D m > 2
Trang 20A m < − 1 B m > − 1 C 43m < − D 43m > Câu 5: Tìm m để f x( )=x2−2 2( m−3)x+4m− >3 0, ∀ ∈ ?xA 32m > B 34m > C 3 34< <m 2 D 1< <m 3
Câu 6: Với giá trị nào của a thì bất phương trình ax2− + ≥ ∀ ∈ ?x a 0, x
A a = 0 B a < 0 C 0 12a< ≤ D 12a ≥
Câu 7: Cho f x( )= −2x2+(m+2)x m+ −4 Tìm m để f x( )âm với mọi x
A − < <14 m 2 B − ≤ ≤14 m 2
C − < <2 m 14 D m < − hoặc 14 m > 2
Câu 8: Tìm giá trị nguyên của k để bất phương trình x2−2 4 1( k− )x+15k2−2k− >7 0 nghiệm đúng với mọi x∈ là
A k = 2 B k = 3 C k = 4 D k = 5
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm
( ) (m 3)x2 ( 2)x 4 0fx = − + m+ − >A m≤ − ∨ ≥22 m 2 B − ≤ ≤22 m 2 C − < <22 m 2 D 22 23mm− ≤ ≤ =
Câu 10: Cho bất phương trình mx2−(2 1m− )x m+ + <1 0 (1) Tìm tất cả các giá thực của tham số m để
bất phương trình (1) vơ nghiệm
A 18m ≥ B 18m > C 18m < D 18m ≤
Câu 11: Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2− + ≤x m 0 vô nghiệm?
A m < 1 B m > 1 C 1
4
m < D 1
4
m >
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình sau có tập nghiệm là ?
2 2 3 3 2 4 4 0
x mx mx mx
A 1 B 4
C 6 D Nhiều hơn 6 nhưng hữu hạn
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (m−1)x2+2(m−1)x+ >5 0 đúng với mọi x∈
Trang 21Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (m+1)x2−2(m−1)x+3m− ≤8 0đúng với mọi x∈ A m < − 1 B m > 3 C 32m ≤ − D 3 32 m− < ≤
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức x2−(m+2)x+8m+1 luôn dương với mọi x
A m< ∨0 m>20 B 0< <m 20 C m< ∨0 m>28 D 0< <m 28
Câu 16: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình − +x2 4(m+1)x+ −1 m2 ≥0 vô nghiệm x
A 5 1
3
m< − ∨ m> − B 5 13 m
− < < − C m≤ ∨3 m≥1 D 0≤ ≤m 28
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (2m−1)x2+2(m−2)x m+ − >4 0 vơ nghiệm A 1 12m≤ ∨ =m B m ≤ 1 C m ≤ 0 D 0 12m≤ ∨ =m
Câu 18: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2x2−4x− + ≥5 m 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [−2;3]
A m ≥ 7 B m > 7 C m ≥ 6 D m ≤ 7
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2x2−4x− + ≥5 m 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [ ]2;6
A m ≥ 7 B m > 4 C m ≥ 5 D m ≥ 4
Câu 20: Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình (m2+1)x m x+ ( + + >3 1 0) nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 1;2]?
A 0≤ ≤m 2 B m > 0 C m < 2 D 0< <m 2
Câu 21: Tìm giá trị của tham số m để f x( )=x2+4x m+ – 5 0≤ trên một đoạn có độ dài bằng 2
A m = 10 B m = 8 C m = 9 D m = 7
Câu 22: Cho hàm số f x( ) (= x+1)(x+3)(x2+4x+6) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ( ) ,f x ≥m x∀ ∈ A 94m ≤ − B m ≤ − 2C m ≤ − hoặc 2 32m ≥ − D 9 24 m− ≤ ≤ −
Câu 23: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
( 2 ) 2 ()12 2 4 8ymmxmx m=+ + − + + + xác
Trang 22A − −4 14< < − +m 4 14 ∨ m>0 B − −4 14< < − +m 4 14.
C − −2 7 < < − +m 2 7 ∨ m>0 D − −2 7 < < − +m 2 7
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 22 2 31x mxxx− +≤+ + có tập nghiệm là A − ≤ ≤3 m 2 B − ≤ ≤ ∨3 m 2 m>5.C m< − ∨ − ≤ ≤ −5 3 m 1 D − ≤ ≤ −5 m 1
Câu 25: Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình ( 3 ) 2 ( 2 )
21 202mxm m x mxx+ − + +≤+ + có nghiệm A 1 0 12mm− ≤ ≤ ∨ ≥ B 0 12m≤ ∨ m≥ C 1 12m≤ − ∨m≥ D 1 0 12m≤ − ∨ ≤ ≤m
DẠNG 3: ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
{Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện…}
Câu 1: Tìm điều kiện của tham số mđể phương trình (m+2)x2−3x+2m− =3 0 có hai nghiệm trái dấu.
Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để phương trình (m−3)x2+(m+3)x m−( + =1) 0 có hai nghiệm phân biệt
Câu 3: Xác định m để phương trình: (m+1)x2−2(m+2)x m+ − =1 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
sao cho
12
1 1 2
x +x >
Câu 4: Với giá trị nào của m thì phương trình: (m−1)x2−2(m−2)x m+ − =3 0 có hai nghiệm x x 1, 2thỏa mãn x x1+ 2+x x1 2 <1?
Câu 5: Cho hàm số y=(m−2)x2−3mx+2m−3 ( m là tham số) Tìm các giá trị của tham số m để đồ
thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho gốc tọa độ O nằm giữa A và B.
Câu 1: Tìm điều kiện của b để f x( )=x2 −bx+3có hai nghiệm phân biệt?
Trang 23Câu 2: Giá trị nào của m thì phương trình (m−3)x2+(m+3) (x m− + =1 0) (1) có hai nghiệm phân biệt?A ; 3 (1; ) { }\ 35m ∈ −∞ − ∪ +∞ B 3;15m ∈ − C 3;5m ∈ − +∞ D m∈\ 3{ }
Câu 3: Các giá trị m để tam thức f x( )=x2−(m+2)x+8m+1 đổi dấu 2 lần là
A m ≤ hoặc 0 m ≥28 B m < hoặc 0 m > 28
C 0< <m 28 D m > 0
Câu 4: Cho phương trình x2 2x m 0 (1) Tìm tất cả các giá trị của m để (1) có 2 nghiệm x x1, 2thỏa mãn x1 x2 2
A m 0 B m 1 C 1 m 0 D 1
4
m
Câu 5: Với điều kiện nào của m để phương trình x2−(m−1)x m+ + =2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2khác 0 thỏa mãn 2 2121 1 1x +x > A − < <2 m 7.B − ≠ < −2 m 1 C 78m < − và m ≠ − 2 D − ≠ < −2 m 1 ∨ m > 7
Câu 6: Với điều kiện nào của m để phương trình x2−(m−1)x m+ + =2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2khác 0 thỏa mãn 3 3121 1 1x + x < A − < < −2 m 1 ∨ m > 7 B m < −2 ∨ m > 7C 1 12m− < < − .D 1 72 m− < <
Câu 7: Định m để phương trình x2−(2m−3)x m+ 2−3m+ =2 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
(−3;2 ?)
A − < <2 m 4.B m < −2 ∨ m > 4 C − < <1 m 3.D m< − ∨1 m>3
Câu 8: Giá trị của m làm cho phương trình (m−2)x2−2mx m+ + =3 0có 2 nghiệm dương phân biệt là:
A m<6 và m≠2 B m< −3 hoặc 2< <m 6
C 2< <m 6 D m>6
Câu 9: Cho phương trình (m−5)x2+(m−1)x m+ =0 (1) Với giá trị nào của m thì (1) có 2 nghiệm
1, 2
Trang 24A 227<m B 22 57 < <m C m≥5 D 22 57 ≤ ≤m
Câu 10: Giá trị nào của m thì phương trình: (m−1)x2−2(m−2)x m+ − =3 0 có 2 nghiệm trái dấu?
A m < 1 B m > 2 C m > 3 D 1< <m 3
Câu 11: Định m để phương trình (m+1)x2−2mx m+ − =2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
12
1 1 3
x + x <
A m< ∨2 6m> B − < < −2 m 1∨ − < <1 m 2 ∨ m > 6
C 2< <m 6.D − < <2 m 6
Câu 12: Với điều kiện nào của m thì phương trình mx2−2(m−1)x m+ − =2 0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; 2)? A − ≤ ≤2 m 1.B m< − ∨1 1m> .C 43m < .D 0 43m< <
Câu 13: Phương trình (m+1)x2−2(m−1)x m+ 2+4m− = có đúng hai nghiệm 5 0 x x thoả 1, 2
12
2 x x< < Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
A − < < −2 m 1 B m > 1 C − < < −5 m 3 D − < <2 m 1
Trang 25BÀI 2 GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax bx c2+ + <0 ( hoặc ax bx c2+ + ≤0
, ax bx c2+ + >0, ax bx c2+ + ≥0), trong đó a b c, , là những số thực đã cho, a ≠ 0
2 Giải bất phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + >0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu dương.
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + ≥0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu khơng âm (lớn hơn hoặc bằng 0).
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + <0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu âm.
Giải bất phương trình bậc hai ax bx c2+ + ≤0 là tìm các khoảng mà trong đó
( ) 2
f x =ax bx c+ + có dấu không dương (bé hơn hoặc bằng 0).
DẠNG 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Giải bất phương trình bậc hai, bất phương trình dạng tích, thương của các tam thức bậc hai, bất phương trình đưa về bậc hai…)
Câu 1: Giải các bất phương trình sau: −3x2+2x+ <1 0
Lời giải
C
HƯ
ƠN
G
VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Trang 26Tam thức f x( ) 3= −x2+ +2 1x có a = − < và có hai nghiệm 3 0 1 1 ;3x = −x = 2 1( f x( ) cùng dấu với hệ số a ) Suy ra 3 2 2 1 0 13xxx− + + < ⇔ < − hoặc x > 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: ( ; 1) (1; )3
S = −∞ − ∪ +∞
Câu 2: Giải bất phương trình sau: −36x2+12 1 0x− ≥
Lời giải Tam thức f x( )= −36x2+12 1x− có a = − < và 36 0 ∆ =0
( )
f x trái dấu với hệ số a nên f x âm với ( ) 1
6x∀ ≠ và 1 06f = Suy ra 36 2 12 1 0 16xxx− + − ≥ ⇔ =
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 16 = Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số: y= x2−2x+5Lời giải Điều kiện: x2−2x+ ≥5 0
Xét tam thức vế trái có ∆ = − <′ 4 0 và a = > nên 1 0 x2 − + > ∀ ∈2 5 0,xx Vậy tập xác định của hàm số D =
Câu 4: Giải bất phương trình (x x2−) 3(2+x x2− + ≥) 2 0
Lời giải Ta có (x x2−) 3(2+x x2− + ≥) 2 0 22 21x xx x − ≤ −⇔ − ≥ −222 01 0x xx x − + ≤⇔ ⇔− + ≥ đúng ∀x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình T =
Câu 5: Giải bất phương trình :
Trang 27Câu 6: Giải bất phương trình: (x2−4)(x2+2 ) 3(x≤x2+ +4 4)x Lời giải BPT ⇔(x+2)2(x2−2x)≤3(x+2)2()2( 2 )2230xxx⇔+−−≤222 3 0xxx= −⇔ − − ≤ ⇔ = − ∨ − ≤ ≤x 2 1 x 3 Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y= 2x2−5 2x+ A ;12D = −∞ B [2;+∞) C ;1 [2; )2−∞ ∪ +∞ D 1 ;22 Lời giải Chọn CHàm số y= 2x2−5 2x+ xác định khi và chỉ khi 2 2 5 2 0 ;1 [2; )2x − x+ ≥ ⇔ ∈ −∞x ∪ +∞
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình x2+ >9 6x là:
A \{3} B C (3;+∞) D (−∞;3) Lời giải Chọn A2+ >9 6xx ⇔x2−6x+9 0> ()23 0, 3⇔ x− > ∀ ≠x
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình x2−2x+ >3 0 là:
A ∅ B C (−∞ − ∪; 1) (3;+∞) D ( 1;3)− Lời giải Chọn B()22−2 + =3 −1 + >2 0, ∀ ∈ xxxx
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình x2<9 là:
A (–3;3) B (−∞ −; 3)
C (−∞;3) D (−∞ − ∪; 3) (3;+∞)
Lời giải Chọn A
Ta có x2< ⇔ < ⇔ − < <9 x 3 3 x 3( chọn A)
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình x2− − <x 6 0 là:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 28A (−∞ − ∪; 3) (2;+∞) B (−3;2) C (−2;3) D (−∞ − ∪; 2) (3;+∞) Lời giải Chọn C 26 023x − − < ⇔ − < <xx
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (−2;3)
Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình x2−4 2 8 0x+ < là:
A (−∞;2 2) B \ 2 2{ } C ∅ D Lời giải Chọn C ()22 4 2 8 0 2 2 0x − x+ < ⇔ −x < ⇔ ∈∅x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ∅
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình x2−4x+ >4 0 là:
A (2;+∞) B C \ 2{ }− D \ 2{ } Lời giải Chọn D ()22 4 4 0 2 0 2x − x+ > ⇔ x− > ⇔ ≠x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \ 2{ }
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình x2−2x+ >1 0là:
A (1;+∞) B C \ 1{ }− D \ 1{ } Lời giải Chọn D ()22 2 1 0 1 0 1 0 1x − x+ > ⇔ x− > ⇔ − ≠ ⇔ ≠xx
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \ 1{ }
Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình x2+6x+ >9 0là:
Trang 30A (−∞;0] [∪ +∞3; ) B [ ]0;3 C ( )0;3 D
Lời giải Chọn B
ĐKXĐ 3x x−2≥ ⇔ ≤ ≤00 x 3
Câu 14: Giải bất phương trình 5(x− −1) (x 7− >x) x2−2xta được
A Vô nghiệm B Mọixđều là nghiệm
C x> −2,5 D x> −2,6
Lời giảiChọn A
Ta có 5(x− −1) (x 7− >x) x2 −2x⇔ − >5 0vô lý Vậy bất phương trình đã cho vơ nghiệm
Câu 15: Giải bất phương trình: 2228(2)22xxxx+−≥−+ A (x≤0) (∨ x≥2) B 0≤ ≤x 2 C (x< − ∨2) (x>2) D − ≤ ≤2 x 2 Lời giải Chọn A Nhận xét x2−2x+ > ∀ ∈ 2 0 x ()()222228(2)22 244822xxxxxxxx+−≥⇔−+−+≥−+( 2 )2 2 ( ) 222 2 2 22 2 4 2 002 2 2xxxxxxxxxxVN − + ≥ ≥⇔ − + ≥ ⇔ − + ≤ − ⇔ − ≥ ⇔ ≤
Câu 16: Tập hợp nghiệm của bất phương trình: 22 2 1 2 1.
Trang 31Câu 17: Tìm nghiệm của bất phương trình: 22 3 3 4 22 3 1.2 2xxxxx A x 5 B x 5 C x 5 D x 5 Lời giải Chọn B TXĐ: D PT 22 3 3 4 22 3 12 2xxxxx 222222 3 3 6 4 3 22 2xxxx xxx 2223x 2x 3 3x 3x 2 x 2 0 x 5x Kết luận: x 5
Câu 18: Tập nghiệm của bất phương trình (1 2 2 5− x x)( − )(x+ <1 0) là:
A 1;12S = − B 1;52S = − C 1;1 5;2 2S = − ∪ +∞ D S = − +∞( 1; ) Lời giải Chọn C Bất phương trình ⇔(2 1 2 5x− )( x− )(x+ >1 0)Lập bảng xét dấu dễ dàng ta được 1;1 5;2 2S = − ∪ +∞
Câu 19: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2−8x+ ≥7 0 Trong các tập hợp sau, tập nào
không là tập con của S ?
A (−∞;0] B [8;+∞) C (−∞ −; 1] D [6;+∞) Lời giải Chọn D Ta có 2 78 7 01xxxx≥− + ≥ ⇔ ≤
Câu 20: Bất phương trình x x − ≥( 2 1) 0 có nghiệm là:
A x ∈ −∞ − ∪ +∞(; 1) [1;) B x ∈ −[ 1;0] [1;∪+∞)
C x ∈ −∞ − ∪(; 1] [0;1) D x ∈ −[ 1;1]
Lời giải Chọn B
+ Nhị thức x có nghiệm duy nhất x = 0
Trang 32+ Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có x x( 2 − ≥ ⇔ ∈ −1) 0 x [ 1;0] [∪ +∞1; )
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình: 2 2 2 2
11xxxxxx−+<+ +− + là: A ∅ B 6 63 3xx < − ∨ > C 6 63 x 3 − < < D Lời giải Chọn D Nhận xét x2+ + > ∀ ∈ x 1 0 x ; x2− + > ∀ ∈ x 1 0 x ()( 2 )()( 2 )2222 2 1 2 111xxxxxxxxxxxx− < + ⇔ − − + < + + ++ +− +3323233232xxxxxx⇔−+− <+++26x 4 0 x⇔+ > ⇔ ∈ .
Câu 22: Giải bất phương trình:2( 2)2 2 72x x A 32x B 32x C Vô nghiệm D x.Lời giải Chọn D BPT: 2( 2)2 2 7 2 2 6 9 0 2 3 2 02 2 2x x x x x x Kết luận: x
Câu 23: Tập nghiệm của bất phương trình
Trang 33Bất phương trình đã cho tương đương với 2 1 0 2 1 0 1 11 1 2x xxxxxx+ − + > ⇔ − > ⇔ < <− −
Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình 1 ;12
S =
Câu 24: Giải bất phương trình: 2 4 2 1
433 2xxx− ≤ ++++ A (x≤ − ∨ > −7) (x 3) B − ≤ < −7 x 3 C − ≤ ≤ −5 x 1 D (x≤ − ∨ > −5) (x 1) Lời giải Chọn D ()()2228 4 1 4 34 2 1 04 3 3 2 4 3xxxxxxxx+ + + + +−≤ + ⇔ ≥+ + + + +22 8 15 04 3xxxx+ +⇔ ≥+ +Cho 2 58 15 03xxxx= −+ + = ⇔ = −Cho 2 34 3 01xxxx= −+ + = ⇔ = −Bảng xét dấu 5 1xx⇒ ≤ − ∨ > −
Câu 25: Giải bất phương trình:
222 34 2x xxx− + −>− − A x < −4∨ x > − 2 B − < <4 x 2 C − < <2 x 2 D x < −2 ∨ x > 2Lời giải Chọn D BPT 2 ()22 3 204x xxx− + + +⇔ >−222 8 04xxx+ +⇔ >− ⇔x2− >4 0(vi x2+2x+ > ∀8 0 x) ⇔ x < −2 ∨ x > 2
Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình 2
Trang 34Chọn A Ta có 22911xxxx+ + ≤+ + ( 2 )219xx⇔+ +≤⇔ − ≤3 x2+ + ≤x 1 3.22 0xx⇔+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤2 x 1 Câu 27: Bất phương trình: 2 25 4 14xxx− + ≥− có nghiệm là: A x ≤ hoặc 0 8 55 x 2, x ≠ ± 2 B 85x ≤ hoặc 2 52x< ≤ C x < − hoặc 2 0 85x≤ ≤ D − < ≤2 x 0 hoặc 52x ≥ Lời giải Chọn A Áp dụng công thức A B≥ ABA B≤ −⇔ ≥14x4x5x22≥−+−⇔22225 4 145 4 14xxxxxx − + ≤ − −− + ≥ −⇔2222 5 0 (1)45 8 0 (2)4xxxxx − ≤ −− + ≥ −Giải (1): Bảng xét dấu: Ta có (1) ⇔− < ≤2x0 hoặc2 52x< ≤Giải (2): Bảng xét dấu: Ta có (2) ⇔x < −2 hoặc8 25 ≤ <x Lấy hợp tập nghiệm (1)(2) x ≤ hoặc 0
25x5
8≤ ≤ , x ≠ ±2
Câu 28: Tập nghiệm của bất phương trình (x2− + +3 1 3 5x)2 x2− + >9x0 là
A S = −∞( ;1) B S =(2;+∞)
C S = −∞ ∪ +∞( ;1) (2; ) D S 0;1
Trang 35223 1 23 1 1xxxx − + < −⇔ − + > −223 3 03 2 0xxxx − + <⇔ − + >12xx<⇔ >
Câu 29: Tập nghiệm của bất phương trình x2+ +x 12 >x2+ +x 12 là
A ∅ B C (− −4; 3) D (−∞ − ∪ − +∞; 4) ( 3; ) Lời giải Chọn A Ta có ()()22222220 0 12 1212 122 2 24 0 12 12xxxxxxxxvô nghiemvxxxxxxxô nghi me> + + > + ++ + > + + ⇔ ⇔ + + <+ + < − − −
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = ∅
DẠNG 2: ĐIỀU KIỆN VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Câu 1: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm: f x( )= − −x2 2x m−
Lời giải ( ) 0, 1 0 1' 1 4 0 4af xxmm= − << ∀ ⇔∆ = − < ⇔ >Vậy với 1 04 m
− < < thì biểu thức f x ln âm ( )
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với ∀ ∈ x
223x −2(m+1)x−2m +3m− ≥2 0 Lời giải 223x 2(− m+1)x−2m +3m− ≥2 0 ∀ ∈x R22' (m 1) 3(2m 3m 2) 0⇔ ∆ = + + − + ≤ ⇔7m2−7m+ ≤7 0 bpt vô nghiệm
Vậy khơng có m thỏa mãn u cầu bài tốn
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau xác định với mọi x∈
Trang 36Khi đó ( )() (2 )() 211 0 1 31 3 2222 7 6 02 1 2 02mmmmmmmmmm>− > > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <′ − + < < <∆ = − − − − < Vậy 3 22< <m .
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm
2 2( 2) 2 1 0x + m− x+ m− ≤Lời giải BPT có vơ nghiệmx22m2x2m 1 0, x ' ()22 2 1 0mm⇔ ∆ = − − + <2 6 5 0mm⇔ − + <1 <m 5⇔ <
Câu 5: Tìm m để mọi x∈ −[ 1;1] đều là nghiệm của bất phương trình 3x2−2(m+5)x m− 2+2m+ ≤8 0(1) Lời giải Ta có 3x2−2(m+5)x m− 2+2m+ = ⇔ = +8 0 x m 2 hoặc 43mx= −* Với 2 4 3 6 4 13 2mm+ > − ⇔ m+ > − ⇔ > −mm ta có Bất phương trình (1) 4 23m x m−⇔ ≤ ≤ +
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 4 ; 2
3m m
−
+
Suy ra mọi x∈ −[ 1;1] đều là nghiệm của bất phương trình (1) khi và chỉ khi [ 1;1] 4 ; 2 1 433 1 2mm mm−− ≥− − ⊂ + ⇔ ≤ +771mmm≥⇔ ≥ − ⇔ ≥
Kết hợp với điều kiện 1
2
m > − ta có m ≥ thỏa mãn yêu cầu bài toán 7
* Với 2 4 13m 2m+ < − ⇔ < −m ta có Bất phương trình (1) 2 43mmx −⇔ + ≤ ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là 2;43mm − +
Trang 37khi và chỉ khi [ 1;1] 2;4 1 4 23 13mmmm− ≥ +− − ⊂ + ⇔ −≤ 331mmm≤ −⇔ ⇔ ≤ −≤
Kết hợp với điều kiện 1
2
m < − ta có m ≤ − thỏa mãn yêu cầu bài toán 3* Với 12m = − ta có bất phương trình (1) 32x⇔ = nên 12
m = − không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy m∈ −∞ − ∪ +∞( ; 3] [7; ) là giá trị cần tìm
Câu 1: Để f x( )=x2+(m+1)x+2m+ >7 0 với mọi x thì
A − ≤ ≤3 m 9 B m< − ∨ >3 m 9 C − < <3 m 9 D m≤ − ∨ ≥3 m 9 Lời giải Chọn C Ta có f x >( ) 0∀ ∈ x 1 026 27 0amm= >⇔ ∆ = − − < ⇔ − < <3 m 9
Câu 2: Bất phương trình f x( )=mx2−4x+3m+ >1 0 nghiệm đúng mọi x > khi 0
A m > 0 B 4
3
m > C m > 1 D m > 2
Lời giải Chọn C
Chọnm =1 f x( )=x2−4x+ >4 0 không đúng với x = nên ta loại 2 A
Chọn 43m = ( ) 4 2 4 5 03f x = x − x+ > đúng ∀ ∈ do x 4 03a = > và 32 03−∆ = < nên loạiB Chọn m =2 f x( )=2x2−4x+ =7 2(x−1)2+ >5 0∀ ∈ nên ta loại x D
Trang 38Ta có f x >( ) 0∀ ∈ x 1 026 8 0akk= >⇔ ∆ = − + < ⇔ < <2 k 4 mà k nguyên nên k = 3Câu 4: Tìm m để (m+1)x mx m2+ + < ∀ ∈ ?0, xA m < − 1 B m > − 1 C 43m < − D 43m > Lời giải Chọn C
Với m = − không thỏa mãn 1
Với m ≠ − , 1 () 2 01 0,0am+ x +mx m+ < ∀ ∈ ⇔ x ∆ <<21 03 4 0mmm+ <⇔ − − <1430mmm< −⇔ < − >43m⇔ < − Câu 5: Tìm m để f x( )=x2−2 2( m−3)x+4m− >3 0, ∀ ∈ ?xA 32m > B 34m > C 3 34< <m 2 D 1< <m 3 Lời giải Chọn D ( ) 2 2 2( 3) 4 3 0,f x =x − m− x+ m− > ∀ ∈ x ⇔ ∆ <0 ⇔4m2−16m+12 0< ⇔ < <1 m 3
Câu 6: Với giá trị nào của a thì bất phương trình ax2− + ≥ ∀ ∈ ?x a 0, x
A a = 0 B a < 0 C 0 12a< ≤ D 12a ≥ Lời giải Chọn D TH 1: a không thỏa mãn 0TH 2: a 0Để bất phương trình ax2− + ≥ ∀ ∈ x a 0, x ⇔ a∆ ≤>0021 4 00aa − ≤⇔ >12120aaa ≥⇔ ≤ −>12a⇔ ≥
Câu 7: Cho f x( )= −2x2+(m+2)x m+ −4 Tìm m để f x( )âm với mọi x
A − < <14 m 2 B − ≤ ≤14 m 2
C − < <2 m 14 D m < − hoặc 14 m > 2
Trang 39Ta có f x( )< ∀ ∈ 0, x 00a∆ <⇔ < ⇔(m+2)2+8(m−4)<0 ⇔m2+12m−28 0<14 m 2⇔ − < <
Câu 8: Tìm giá trị nguyên của k để bất phương trình x2−2 4 1( k− )x+15k2−2k− >7 0 nghiệm đúng với mọi x∈ là
A k = 2 B k = 3 C k = 4 D k = 5
Lời giải Chọn B
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ thì:
1 00a = >⇔ ′∆ < ∆ <′ 0 ()2 24 1k 15k 2k 7 0⇔ − − + + < ⇔ < <2 k 4Vì k ∈ nên k = 3
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm
( ) (m 3)x2 ( 2)x 4 0fx = − + m+ − >A m≤ − ∨ ≥22 m 2 B − ≤ ≤22 m 2 C − < <22 m 2 D 22 23mm− ≤ ≤ = Lời giải Chọn B Ta có f x > vơ nghiệm ( ) 0 ⇔ f x( )≤ ∀ ∈ 0 xXét m =3 f x( )=5x−4 nên loại m = 3Xét m ≠3 f x( )≤ ∀ ∈ 0 x 2 3 020 44 0a mmm= − <⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤22 m 2
Câu 10: Cho bất phương trình mx2−(2 1m− )x m+ + <1 0 (1) Tìm tất cả các giá thực của tham số m để
bất phương trình (1) vơ nghiệm
Trang 40Câu 11: Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2− + ≤x m 0 vô nghiệm?A m < 1 B m > 1 C 14m < D 14m > Lời giải Chọn D
Bất phương trình x2− + ≤x m 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
2 0,x − + > ∀ ∈ x mx ⇔ 1 0∆ <> 0 ⇔ −1 4m<0 14m⇔ >
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình sau có tập nghiệm là ?
2 2 3 3 2 4 4 0
x mx mx mx
A 1 B 4
C 6 D Nhiều hơn 6 nhưng hữu hạn
Lời giải Chọn A Ta có x2 2mx3 3mx2 4mx 4 0 2mx3 1 3m x 2 4mx 4 0 Để bất phương trình có tập nghiệm là thì 22 01 3 4 4 0,mm xmxx 201 3 0' 4 12 4 0mmmm 0133 13 3 132 3mmm 0m
Vậy có 1 giá trị nguyên của m để bất phương trình có tập nghiệm là