CHUYÊN ĐỀ :
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
THÁNG 6/2012
Diễn đàn MATHSCOPE
Niels Henrik Abel (1802-1829)
Gerolamo Cardano (1501-1576)
Trang 2PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chủ biên: Nguyễn Anh Huy
Trang 4Mục lục
Lời nói đầu 6
Các thành viên tham gia chuyên đề 8
1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ 10Phương trình bậc ba 10
Phương trình bậc bốn 16
Phương trình dạng phân thức 23
Xây dựng phương trình hữu tỉ 27
Một số phương trình bậc cao 29
2 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ 32Phương pháp sử dụng đạo hàm 32
Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle 42
Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ 46
Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng 55
Hình học khơng gian và việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn 76
Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số trong các kì thi Olympic 81
3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 93Phương pháp đặt ẩn phụ 93
Một số cách đặt ẩn phụ cơ bản 93
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích 94
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp 101
Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 103
Phương pháp sử dụng hệ số bất định 108
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình 109
Phương pháp lượng giác hóa 117
Phương pháp biến đổi đẳng thức 121
Phương pháp dùng lượng liên hợp 124
Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 138
Phương pháp dùng bất đẳng thức 146
Trang 54 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158
Lý thuyết 158
Phương pháp đặt ẩn phụ 158
Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 166
Phương pháp biến đổi đẳng thức 170
Bài tập tổng hợp 173
5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177Các loại hệ cơ bản 177
Hệ phương trình hốn vị 184
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải hệ phương trình 206
Phương pháp biến đổi đẳng thức 213
Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 222
Phương pháp hệ số bất định 231Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu 240Phương pháp dùng bất đẳng thức 246Tổng hợp các bài hệ phương trình 258Hệ phương trình hữu tỉ 258Hệ phương trình vơ tỉ 277
6 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297Xây dựng một số phương trình được giải bằng cách đưa về hệ phương trình 297
Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao 307
Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic 310
Sáng tác một số phương trình đẳng cấp đối với hai biểu thức 312
Xây dựng phương trình từ các đẳng thức 318
Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II 321
Xây dựng phương trình vơ tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số 324
Xây dựng phương trình vơ tỉ dựa vào các phương trình lượng giác 328
Sử dụng căn bậc n của số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình 331
Sử dụng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 338
Sử dụng hàm ngược để sáng tác một số phương trình, hệ phương trình 345
Sáng tác hệ phương trình 349
Kinh nghiệm giải một số bài hệ phương trình 353
7 Phụ lục 1: GIẢI TỐN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3628 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366Lịch sử phát triển của phương trình 366
Có mấy cách giải phương trình bậc hai? 366
Cuộc thách đố chấn động thế giới toán học 368
Trang 6Tỉểu sử một số nhà toán học nổi tiếng 376
Một cuộc đời trên bia mộ 376
Chỉ vì lề sách quá hẹp! 376
Hai gương mặt trẻ 377
Sống hay chết 378
Trang 7Lời nói đầu
Phương trình là một trong những phân mơn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứngdụng rất lớn trong các ngành khoa học Sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tínhtốn của con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét riêng trong Tốnhọc, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể, cả về hình thức (phương trình hữu tỉ,phương trình vơ tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trìnhsai phân, phương trình đạo hàm riêng, )
Cịn ở Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là một dạng tốn quen thuộc và đượcu thích bởi nhiều bạn học sinh Lên đến bậc THPT, với sự hỗ trợ của các cơng cụ giải tíchvà hình học, những bài tốn phương trình - hệ phương trình ngày càng được trau chuốt, trởthành nét đẹp của Toán học và một phần khơng thể thiếu trong các kì thi Học sinh giỏi, thiĐại học.
Đã có rất nhiều bài viết về phương trình - hệ phương trình, nhưng chưa thể đề cập mộtcách toàn diện về những phương pháp giải và sáng tạo phương trình Nhận thấy nhu cầu cómột tài liệu đầy đủ về hình thức và nội dung cho cả hệ chuyên và không chuyên, Diễn đànMathScope đã tiến hành biên soạn quyển sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình màchúng tơi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh.
Quyển sách này gồm 6 chương, với các nội dung như sau:
> Chương I: Đại cương về phương hữu tỉ cung cấp một số cách giải tổng quát phươngtrình bậc ba và bốn, ngồi ra cịn đề cập đến phương trình phân thức và những cách xây dựngphương trình hữu tỉ.
> Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương phápgiải và biện luận bài tốn có tham số ,cũng như một số bài tốn thường gặp trong các kì thiHọc sinh giỏi.
> Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp những phươngpháp quen thuộc như bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, với nhiều bài tốnmở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan về phương trình.
Chương này khơng đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có trong chuyên đềLượng giác của Diễn đàn.
> Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra một số dạng bài tập ứng dụng của hàmsố logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng như đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơnđiệu,
Trang 8bao gồm một số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình haytrong những kì thi học sinh giỏi trong nước cũng như quốc tế.
> Chương VI: Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa ra những cách xây dựng một bàihay và khó từ những phương trình đơn giản bằng các cơng cụ mới như số phức, hàm hyperbolic,hàm đơn điệu,
Ngoài ra cịn có hai phần Phụ lục cung cấp thơng tin ứng dụng phương trình, hệ phươngtrình trong giải tốn và về lịch sử phát triển của phương trình.
Chúng tơi xin ngỏ lời cảm ơn tới những thành viên của Diễn đàn đã chung tay xây dựngchuyên đề Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn,anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp nhữngý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra cácbài viết để có một tuyển tập hồn chỉnh.
Niềm hi vọng duy nhất của những người làm chuyên đề là bạn đọc sẽ tìm thấy nhiều điềubổ ích và tình u tốn học thơng qua quyển sách này Chúng tơi xin đón nhận và hoan nghênhmọi ý kiến xây dựng của bạn đọc để chuyên đề được hoàn thiện hơn Mọi góp ý xin vui lịngchuyển đến anhhuy0706@gmail.com
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012Thay mặt nhóm biên soạn
Trang 9Các thành viên tham gia chuyên đề
Để hoàn thành được các nội dung trên, chính là nhờ sự cố gắng nỗ lực của các thành viên củadiễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề:
• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM),Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM)
• Đại cương về phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền –TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM)
• Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT n Mơ A– Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phịng), Đình Võ Bảo Châu(THPT chun Lê Q Đơn - Vũng Tàu), Hồng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên TrầnĐại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong ThếPhương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)
• Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầyNguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPTNguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đồn ThếHồ (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai)
• Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa -TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chun Lê Q Đơn, Vũng Tàu), Đồn ThếHịa (THPT Long Khánh - Đồng Nai)
• Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-TP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - khiếu-TPHCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình(11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi),
• Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong- TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long(10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội)
• Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TPHCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai)
Trang 10• Hệ phương trình hốn vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình),Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hồng(10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội)
• Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hồng (10A10 THPT Kim Liên - HàNội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM)
• Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy,Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM)
• Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê HồngPhong TP HCM)
• Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng PhongTP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), TrầnMinh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPTNguyễn Thị Minh Khai – TP HCM)
• Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai),thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CTTHPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM)
• Giải tốn bằng cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu-TP HCM)
Trang 11HỮU TỈ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Một số phương pháp giải phương trình bậc ba
F Phương pháp phân tích nhân tử:
Nếu phương trình bậc ba ax3+ bx2+ cx + d = 0 có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) do đócó thể phân tích
ax3+ bx2+ cx + d = (x − r)[ax2+ (b + ar)x + c + br + ar2]Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là
−b − ra ±√b2− 4ac − 2abr − 3a2r2
2aF Phương pháp Cardano:
Xét phương trình bậc ba x3+ ax2+ bx + c = 0 (1).Bằng cách đặt x = y − a
3, phương trình (1) ln biến đổi được về dạng chính tắc:y3+ py + q = 0(2)Trong đó: p = b − a23, q = c +2a3− 9ab27
Ta chỉ xét p, q 6= 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa về trường hợp đơn giản.Đặt y = u + v thay vào (2), ta được:
(u + v)3+ p(u + v) + q = 0 ⇔ u3+ v3+ (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3)Chọn u, v sao cho 3uv + p = 0 (4).
Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:u3+ v3 = −qu3v3 = −p327
Trang 12> Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm:u3 = −q2+√∆, v3 = −q2 −√∆
Như vậy, phương trình (2) sẽ có nghiệm thực duy nhất:
y = 3r−q2 +√∆ + 3r−q2 −√∆> Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v = −r q32
Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép.
y1 = 2 3r−q2, y2 = y3 =3r q2> Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức.Gọi u30 là một nghiệm phức của (5), v3
0 là giá trị tương ứng sao cho u0v0 = −p3.Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.
y1 = u0+ v0y2 = −12(u0+ v0) + i√32 (u0− v0)y3 = −12(u0+ v0) − i√32 (u0− v0)
F Phương pháp lượng giác hố - hàm hyperbolic:
Một phương trình bậc ba, nếu có 3 nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quanđến số phức Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễnkhác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos
Cụ thể, từ phương trình t3 + pt + q = 0 (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) vềdạng
4 cos3α − 3 cos α − cos 3α = 0Muốn vậy, ta chọn u = 2r −p
3 và chia 2 vế của (∗) chou34 để được4 cos3α − 3 cos α −3q2p.r −3p = 0 ⇔ cos 3α =3q2p.r −3pVậy 3 nghiệm thực làti = 2r −p3 cos 13arccos 3q2p.r −3p− 2iπ3với i = 0, 1, 2.
Lưu ý rằng nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì p < 0 (điều ngược lại khơng đúng) nên cơngthức trên khơng có số phức.
Trang 13>t = −2r p3 sinh 13.arsinh 3q2p.r 3pnếu p > 0
Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng qt Nhưng mục đíchcủa chúng ta trong mỗi bài tốn ln là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất Hãy cùng xem quamột số ví dụ:
Bài tập ví dụ
Bài 1: Giải phương trình x3+ x2 + x = −13
Giải
Phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng thể phân tích nhân tử Trước khi nghĩ tớicơng thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình:
3x3+ 3x2+ 3x + 1 = 0
Đại lượng 3x2+3x+1 gợi ta đến một hằng đẳng thức rất quen thuộc x3+3x2+3x+1 = (x+1)3.Do đó phương trình tương đương:
(x + 1)3 = −2x3hay
x + 1 = −√3
2xTừ đó suy ra nghiệm duy nhất x = −1
1 +√3
2.
~ Nhận xét: Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vơ tỉ, và được giải nhờ khéo léobiến đổi đẳng thức Nhưng những bài đơn giản như thế này khơng có nhiều Sau đây ta sẽ đisâu vào công thức Cardano:
Bài 2: Giải phuơng trình x3− 3x2+ 4x + 11 = 0
Giải
Đặt x = y + 1 Thế vào phương trình đầu bài, ta được phương trình:y3+ 1.y + 13 = 0
Tính ∆ = 132+ 427.1
3 = 456727 > 0Áp dụng công thức Cardano suy ra:
y =3vuut−13 +q4567272 +3vuut−13 −q4567272Suy ra x =3vuut−13 +q4567272 +3vuut−13 −q4567272 + 1.
Trang 14Bài 3: Giải phương trình x3+ 3x2+ 2x − 1 = 0Giải
Đầu tiên đặt x = y − 1 ta đưa về phương trình y3− y − 1 = 0 (1) Đến đây ta dùng lượng giácnhư sau:Nếu |y| < √23 suy ra √32 y